高考數(shù)學復習11導數(shù)解答題之極最值問題

微專題11導數(shù)解答題之極最值問題

秒殺總結

1.利用導數(shù)求函數(shù)的極最值問題.解題方法是利用導函數(shù)與單調性關系確定單調區(qū)間，從而求得極最值.只

是對含有參數(shù)的極最值問題，需要對導函數(shù)進行二次討論，對導函數(shù)或其中部分函數(shù)再一次求導，確定單

調性，零點的存在性及唯一性等，由于零點的存在性與參數(shù)有關，因此對函數(shù)的極最值又需引入新函數(shù)，

對新函數(shù)再用導數(shù)進行求值、證明等操作.

例1.（新疆克拉瑪依市2019屆高三三模數(shù)學（理）試題）已知函數(shù)/（x）=xe*+a（hix+x）.

⑴若”=-e,求〃x）的單調區(qū)間；

（2）當"0時，記的最小值為〃?，求證：，"￡1.

例2.（河南省洛陽市2021-2022學年高三上學期第一次統(tǒng)一考試數(shù)學（理）試卷）已知函數(shù)

X

/（X）=—4-tz（inX-X）（6ZGR）.

⑴當a=l時，求曲線y=f（x）在點（1J⑴）處的切線方程；

（2）討論函數(shù)f（x）的極值點的個數(shù).

例3.（河北省張家口市2022屆高三上學期期末數(shù)學試題）已知函數(shù)/（x）=e'+eT-or2-2.

⑴當4=1時，證明：函數(shù)/"）在區(qū)間（0,+功上單調遞增；

⑵若g（x）=I⑺一e-、,討論函數(shù)g（x）的極值點的個數(shù).

過關測試

1.（江蘇省泰州市泰興中學2021-2022學年高三上學期期中數(shù)學試題）已知函數(shù)，。）=的土?.

x+a

⑴當。=-1時，判斷“X）在區(qū)間（1，+00）上的單調性：

⑵當”>1時，記/（X）的最大值為求證：Me（eT,g）.

1

2.(北京市海淀區(qū)2022屆高三上學期期末練習數(shù)學試題)函數(shù)〃x)=ae'-sinx+2x.

⑴求曲線y=〃力在點(oj(o))處的切線方程；

(2)當420時，求函數(shù)“X)在［0,1］上的最小值；

(3)直接寫出a的一個值，使恒成立，并證明.

3.(年四川省瀘州市2021-2022學高三第一次教學質量診斷性考試數(shù)學(理)試題)已知函數(shù)/(x)=e'-/

(其中為自然對數(shù)的底數(shù)).

⑴討論函數(shù)”X)的導函數(shù)/'(x)的單調性；

(2)設g(x)=cosx+x-/(x),若x=0為g(x)的極小值點，求實數(shù)a的取值范圍.

4.(云南省昆明市2022屆高三“三診一模''市統(tǒng)測數(shù)學(文)試題)已知函數(shù)f(x)=x2-2x-a\nx+ax,aeR.

⑴若a=l,求曲線y=/(x)在點(1J。))處的切線方程；

2

(2)設f(x)的極小值點為％,且求a的取值范圍.

5.(重慶市主城區(qū)2022屆高三上學期一診學業(yè)質量調研抽測數(shù)學試題)已知函數(shù)

/(x)=^x2+,其中QE/?.

⑴討論了(%)的單調性；

⑵若函數(shù)F(x)="x)+(a-l)x有兩個極值點斗，多,且尸國)+尸優(yōu))>-：-2恒成立《為自然對數(shù)的底

數(shù))，求實數(shù)”的取值范圍.

6.(第13講雙變量問題-2022年新高考數(shù)學二輪專題突破精練)已知函數(shù)/(x)=；a?_x+2mn_r("0)

(1)討論的單調性；

(2)若/(X)存在兩個極值點斗，x2,證明：+

玉一X2X\X2

7.(陜西省安康市2021-2022學年高三上學期期末文科數(shù)學試題)已知函數(shù)f(x)=x-(a+l)lnx-?(aeR).

⑴討論/(x)的單調性；

(2)若/(X)有兩個極值點，且這兩個極值點分別為玉，々，若不等式/(xj+f(x2)<&lnx|+lnx2)恒成立,

求義的值.

2

微專題11導數(shù)解答題之極最值問題

秒殺總結

1.利用導數(shù)求函數(shù)的極最值問題.解題方法是利用導函數(shù)與單調性關系確定單調區(qū)間，從而求得極最值.只

是對含有參數(shù)的極最值問題，需要對導函數(shù)進行二次討論，對導函數(shù)或其中部分函數(shù)再一次求導，確定單

調性，零點的存在性及唯一性等，由于零點的存在性與參數(shù)有關，因此對函數(shù)的極最值又需引入新函數(shù)，

對新函數(shù)再用導數(shù)進行求值、證明等操作.

例1.(新疆克拉瑪依市2019屆高三三模數(shù)學(理)試題)已知函數(shù)〃x)=Ae，+a(lar+x).

⑴若"=一,求的單調區(qū)間：

(2)當"0時，記的最小值為機，求證：，”￡1.

【答案】(1)函數(shù)的單調遞減區(qū)間為(0』)，單調遞增區(qū)間為(1，依)

(2)證明見解析

【解析】

【分析】

(1)求出導函數(shù)f(x),由r(x)>o得增區(qū)間，由/'(x)<0得減區(qū)間；

(2)函數(shù)定義域是(0,田)，求得導函數(shù)尸(力=四(.武+力，這里四是正數(shù)，弓|入g(x)=xe'+“，利用

XX

它的單調性，得其有唯一零點苞，是/(X)的唯一極小值點，

即加=/(%)=%e&+。(1叫+%),由g(x())=%e*,+a=0把〃z=.f(x())轉化為關于a的函數(shù)，再由導數(shù)得新函數(shù)

的最大值不大于1，證得結論成立.

(1)

當a=-e時，/(x)=xe'-e(lnx+x),/(x)的定義域是(0,+功，

當0<x<l時，尸(“<0：當x>l時，尸(力>0.

所以函數(shù)/(》)的單調遞減區(qū)間為(01)，單調遞增區(qū)間為(1，田).

⑵

由⑴得“X)的定義域是(。，+8),/(x)=T(xe'+a),

令g(x)=xe'+a,則g'(x)=(x+l)，>。，g(x)在(。,+功上單調遞增,

因為"0,所以g(0)=a<0,g[-a)=-aQ°+a>-a+a=0,

故存在不￡(0,-a)>使得g(%)=與+a=0.

當xw(O,x0)時,g(x)<0,r(x)=W(xe、+a)<0,單調遞減；

1

當xe(如+8)時，g(x)>0,r(x)=?(xe，+a)>0,f(x)單調遞增;

故工=/時，/(X)取得最小值，即機=/(%)=/e"+”(*+%),

由*?+〃=(),得加=升戶"+aln)二一a+aln(-a),

令工=一〃>0,h(x)=x-xlnx,則h\x)=1-(1+lav)=-Inx,

當x￡(0,1)時，〃(x)=—Iru>0,/7(A)=x-Alnx單調遞增，

當xw(1,+oo)時，hf(x)=-Inx<0,/?(x)=x-xlnx單調遞減，

故J=1,即0=-1時,Mx)=x—xlnx取最大值1,相￡1.

例2.(河南省洛陽市2021-2022學年高三上學期第一次統(tǒng)一考試數(shù)學(理)試卷)已知函數(shù)

/(X)=—+6T(lnX-X)(6fGR).

⑴當”=1時，求曲線y=〃x)在點(1J⑴)處的切線方程;

(2)討論函數(shù)〃x)的極值點的個數(shù).

【答案】(i)y=1-i；

e

(2)答案見解析.

【解析】

【分析】

(1)分別求出/(1)和尸(1),即可求出切線方程；

(2)分〃20、和-1<a<0三種情況，分別討論/(x)單調性，即可得到對應的極值點的情況.

ee

(1)

當a=l時，/(x)吟+lnx-x定義域為(0,+co),

1_V11_1

因為尸(x)=h+t_l，所以/'(1)="+1_1=0.

所以y=/(X)在點處的切線方程為：>?=；-1.

⑵

函數(shù)〃X)=j+a(lnx-x)(aeR)定義域為(0,+8),

令g(6=j+“，a>°)，g'a)=M-

令g，(x)>0,得0cx<1；令g'(x)<0,得x>l：

所以g(x)在(0/)上單增，在(1，+8)上單減.

2

所以g(x)max=g(l)=：+"，所以a<g(x)4：+a

①當a"時，-^+->0,令/(x)>0,得0<x<l；令r(x)<0,得X>1；

ex

所以〃力在(o,l)上單增，在(1,"0)上單減.

此時〃x)有且只有一個極值點.

1V

②當“4——時，^(x)=—+?<0,

ee

令r(x)>0,得x>l;令尸(力<0,得0<x<l;

所以,(X)在(0,1)上單減，在(1,+?0上單增.

此時“X)有且只有一個極值點.

③當時，方程g(x)=。有兩個相異正根陽,工2,不妨設0<不<1<兩，

e

則當0<xvx,時，有廣(力<0；當時，有/'(x)>0；當1cxe々時，有；r(x)<0；當了>芍時,

有；rw>o；

所以〃x)在(O,xJ上單減，在(占,1)上單增，在(1,多)上單減，在(%,+8)上單增，

此時〃x)有三個極值點.

綜上所述：當aNO或“4-1時，/(力有且只有一個極值點；

e

當」<a<0時，/⑺有三個極值點.

e

【點睛】

導數(shù)的應用主要有：

(1)利用導函數(shù)幾何意義求切線方程；

(2)利用導數(shù)研究原函數(shù)的單調性，求極值(最值)；

(3)利用導數(shù)求參數(shù)的取值范圍.

例3.(河北省張家口市2022屆高三上學期期末數(shù)學試題)已知函數(shù)〃x)=e*+eT-ax2_2.

⑴當a=l時，證明：函數(shù)”X)在區(qū)間(0,+8)上單調遞增；

⑵若g(x)=,討論函數(shù)g(x)的極值點的個數(shù).

【答案】(1)證明見解析

(2)答案見解析

【解析】

【分析】

3

(1)先對函數(shù)求導，再二次求導，可求得導函數(shù)在區(qū)間(o,+8)上單調遞增，從而可得r(x)>r(o)=o,

進而可證得結論，

(2)當4=0時，可得g(x)單調遞增，無極值點，當〃工0時，=ev-2ax,令e'-2辦=0=2〃=J,

x

令Mx》?，利用導數(shù)求出/?(x)的單調區(qū)間和極值，從而分0<0<|,0=］和求解即可

(1)

證明：當a=l時，/(x)=ev+e'x-x2-2,//(x)=ex--2x.

/"(x)=el+e-'-2>0,.

所以函數(shù)尸(x)在區(qū)間(0,+8)上單調遞增，

故r(x)>r(o)=o,

故函數(shù)〃x)在區(qū)間(0,+8)上單調遞增.

⑵

解：當。=0時，g(x)=e'-2單調遞增，無極值點，

當awO時，g'(x)=ex-2ax,

令e'—2ax=0=>2a=—,

x

令/?(x)=￡,則〃'(x)=e'(：T),

當x<0時，/j(x)<0,且〃'(x)<0,當"0時，方程2〃="有唯一小于零的零點，故函數(shù)g(x)存在一個極

X

值點；

當0<x<l時，"(x)<0,當x>l時，/?,(%)>0,

故函數(shù)力(力在(0/)上單調遞減，在(1，"0)上單調遞增，"l)=e為函數(shù)力(力極小值，

所以當0<〃<］時，方程2〃="無解，函數(shù)g(x)無極值點；

當。=3時，方程2a=三有一個解，

2X

vrx

但當0cx<1時，—>2a,(x)=e-2ax>0,當x>l時，—>2a9g(x)=e-2ax>0f故函數(shù)g(x)無極值

點.

當時，方程2a=《有兩解，函數(shù)g(x)存在一個極大值點和一個極小值點.

2x

綜上，當"()時，函數(shù)g(x)存在一個極值點,

4

當臉h]時，函數(shù)g(x)無極值點，

當時，函數(shù)g(x)存在一個極大值點和一個極小值點.

過關測試

1.(江蘇省泰州市泰興中學2021-2022學年高三上學期期中數(shù)學試題)已知函數(shù)省x)=M(x+l).

x+a

⑴當a=-1時，判斷“X)在區(qū)間(l,*o)上的單調性；

⑵當a>l時，記〃力的最大值為求證：Me(""]).

【答案】(l)f(x)在(1,E)上單調遞減.

(2)證明見解析

【解析】

【分析】

(1)利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性即可；

x+a1,八

(2)由題知、_x+l，設g(x)=----—ln(x+1),進而得g(M在(-L-)存在唯一零點

/a'(X+TX+1

X。e(1,e。-1)且/(x)的最大值M=f(x0)=,]),再結合In(%+1)=可得M=±e

(1)

——--ln(x+l)

當a=-l時,

f\x)=^±l~--(%>1);

(x-1)-

設g(x)=---ln(x+l),則g'(x)=J八，,

x+1(x+1)-

當xw(l,+a5)時,g'(x)<O,g(x)在(1,e)上單調遞減,

所以g(x)<g⑴=Tn2<0,

所以尸(x)VO,

所以/(X)在(1,+8)上單調遞減.

⑵

x+a

_T±I-ln(x+l)

f'M

(x+a)2

設g(、)=喜一皿HD,則g*)=舒?

當a>1時，f(x)的定義域為(-l,+oo),g'(x)<0,g(x)在(-l,+oo)上單調遞減,

5

B^Jg(l)=^--ln2>l-ln2>0,g(^-l)=------——^<0

所以g⑴g9'-1)<0.

又因為g(x)的圖象是不間斷的，且g(x)在(-1,叱)上單調遞減，

所以g(x)在(T+8)存在唯一零點x°e(w-l),

當xe(-l,x。)時，8。)>0,/'。)>0,/。)在(-1,%)上單調遞增，

當X€仇,+8)時，g(X)<0,f'(X)<0,f(X)在(后,+8)上單調遞減，

所以的最大值M=/(/)=勘空

由g(Xo)=。得1n(%+1)=岑S

所以M=一二從而原命題得證.

2.(北京市海淀區(qū)2022屆高三上學期期末練習數(shù)學試題)函數(shù)〃x)=m'-sinx+2x.

⑴求曲線y=/(x)在點(oj(o))處的切線方程：

(2)當°20時，求函數(shù)“X)在[0,1]上的最小值：

(3)直接寫出。的一個值，使7(x)4。恒成立，并證明.

【答案】(l)N=(a+l)x+a

⑵。

(3)a=-l,證明見解析

【解析】

【分析】

(1)利用導數(shù)的幾何意義直接求解；

(2)利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，進而求得最小值；

(3)取a=-l,構造函數(shù)g(x)=e"sinx-2x-l,即證g(x)NO恒成立，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性及最值即

可證得結論.

(1)

由/(x)=ae*-sinx+2x,知〃0)=a,切點為(0,a)

求導尸(x)=ae，-cosx+2,貝lj切線斜率k=尸(0)=a-1+2=a+1

所以切線方程為：y-a=(a+l)x,g|Jy=(a+l)x+a

⑵

求導尸(x)=ae，-cos尤+2,xe[0,l]

6

.a>0,cosxe[-1,1],依龍)>0,所以函數(shù)〃x)在[0,1]上單調遞增，

即函數(shù)在上的最小值為

???/(x)min=/(0)=a,/(x)[0,1]a.

⑶

取a=-l,下面證明一e*-sinx+2x4-l恒成立，即證e*+sinx-2x-l20恒成立，

☆g(x)=e，+sinx-2x-l,即證g(x)20恒成立

求導g'(x)=e'+cosx-2,

(i)當x40時，e'<I,cosxe[-l,l],止匕時g'(x)40

所以函數(shù)g(x)在(-8,0]上單調遞減，，g(x)Ng(0)=0,即g(x)20成立

(ii)當x>0時，令p(x)=g，(x)=e*+cosx-2,x>0,pf(x)=e'-sinx,

因為e*>l，sinxe[-l,l],所以“(x)>0,所以函數(shù)g'(x)在(0,+8)上單調遞增，

.?.g'(x)>g'(0)=0,所以函數(shù)g(x)在(0,+動上單調遞增，??.g(x)>g(0)=0,

綜上可知，g(x)40恒成立，即〃x)恒成立

3.(年四川省瀘州市2021-2022學高三第一次教學質量診斷性考試數(shù)學(理)試題)已知函數(shù)"x)=e*-ax

(其中為自然對數(shù)的底數(shù)).

⑴討論函數(shù)的導函數(shù)尸(力的單調性；

⑵設g(x)=cosjc+x-〃x),若x=0為g(x)的極小值點，求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】(1)答案見解析；

⑵0，+8).

【解析】

【分析】

(1)先求導，再對。利用導數(shù)分兩種情況求函數(shù)的單調區(qū)間：

(2)求出g'(x)=-sinx+l-e*+2ax,令G(x)=-sinx+l-e*+2ax,則G'(x)=-cosx-e*+2a,令

Mx)=G，(x),再對2。-2分兩種情況討論分析得解.

(1)

解：/,(x)=ev-2ar,令F(x)=e，-2ax,貝ijF'(x)=e*-2a,

①當aVO時，F(xiàn)'(x)>0,

②當a>0時，xe(ln(2“),+8)時，尸(x)>0,xe(-8,In(2a))時，F(xiàn)(x)<0；

綜上，當a=0時，/(x)在(-oo,+8)上是增函數(shù)：

當a>0時，/(x)在(ln(2a),+8)上是增函數(shù)，在(-=o,ln(2a))上是減函數(shù)；

⑵

7

解：(x)=cosx+x-er+ax1,貝!|g'(x)=_sinx+l—e*+2ax,g'(0)=0,

令G(x)=-sinx+l-e*+2ax,則G,(x)=-cosx-et+2a,

令〃(x)=G<x),則"(x)=sinx-e”,

當x>0時，sinx<l,e'>1,故G[x)是減函數(shù)，

所以G[x)<G(O)=2a-2.

①當2a-240,即“41時，G'(x)<0,

即G(x)在(0,+8)上是減函數(shù)，不符合x=0是極小值，舍去；

②當2a-2>0,即。>1時，

因為G'(x)是減函數(shù)，且G'(0)>0,G'(ln(2a+3))=-cos[ln(2a+3)]-3<0,

所以叫e(0,ln(2a+3)),使得G(%)=0,

當x?0,x.)時,G'(x)>0,即g'(x)是增函數(shù)，所以g'(x)>g'(O)=O,

即g(x)在(0,%)上是增函數(shù)；

當x<0時，Ve(-^O),使得”(x)<0,G'(x)是減函數(shù)，

故G'(x)>G'(0)=2a-2>0,

從而g'(x)是增函數(shù)，所以g'(x)<g'(O)=O,即g(x)在(一肛0)上是減函數(shù).

綜上，”的取值范圍是(1，+8).

4.(云南省昆明市2022屆高三“三診一?！笔薪y(tǒng)測數(shù)學(文)試題)已知函數(shù)/(x)=x2-2x-a\nx+ax,aeR.

⑴若。=1,求曲線y=f(x)在點(1J⑴)處的切線方程；

(2)設/(X)的極小值點為%,且求。的取值范圍.

【答案】(1”=。

⑵(-2⑵

【解析】

【分析】

(1)由導數(shù)的兒何意義得出切線方程；

(2)對。的值進行分類討論，利用導數(shù)得出其單調性，再根據(jù)題意解不等式得出。的取值范圍.

(1)

由/(x)=x2-x-lnx可得，/(1)=0,由/(x)=2x-l-：可得，/(1)=2-1-1=0

即曲線y=fM在點(1J(D)處的切線方程為y=0

⑵

8

/,(x)=2x-2--+a=(Y-1)(2v+t?)

XX

若a.O時，x>ln/'(x)〉0；0<x<ln/'(x)v0

即函數(shù)丁=/(幻在(01)上單調遞減，在。,”)上單調遞增，極小值點為1

2f/

fi〃一]<(，-

由---，可得14,解得0W〃<2.

a.O

若a<—2時，當*€(0,1)71/+sj時，f\x)>0,則函數(shù)〃x)在上單調遞增；

當xdl,圄時，/'(x)<0,則函數(shù)f(x)在[1,-?上單調遞減，則極小值點為g

由/-]<a-寧可得，[2),此時不等式組無解.

I)[a<-2

若a=—2時，f'(x)=2(x~lr>0,函數(shù)〃x)無極值點.

X

若—2<a<0時，當儀0,圄51,+8)時，r(x)>0,即函數(shù)/(x)在(。,一3(1,+8)上單調遞增.

當時，/'(x)<0,即函數(shù)在(gl)上單調遞減,即函數(shù)/*)的極小值點為1,由〃

0

a—I1<a礦.

可得4,解得-2va<0.

-2<a<0

綜上，aw(-2,2)

5.(重慶市主城區(qū)2022屆高三上學期一診學業(yè)質量調研抽測數(shù)學試題)已知函數(shù)

/(x)=-x2+alnx-(G+l)x,其中R.

(I)討論/(X)的單調性；

2

⑵若函數(shù)F(x)=〃x)+(a-l)x有兩個極值點不，x2,且尸(西)+尸(迎)>-1-2恒成立(e為自然對數(shù)的底

數(shù))，求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】(I)答案見解析；

(2)0<o<—.

e

【解析】

【分析】

(1)示出導函數(shù)/(x),在定義域內分類討論確定/(X)的正負，得單調區(qū)間;

9

(2)由F'(x)=O有兩個不等實根得出a的一個范圍，同時得出加看的關系，計算尸(與)+/(々)化為。的函

數(shù)，不等式變形后，引入函數(shù)g(x)=Enx-x+±,由導數(shù)確定單調性后可得不等式的解，即得。的范圍.

e

(1)

/5)的定義域是(0,"),

/(x)=x+一一(a+l)=-——-----,

XX

aMO時，0<xvl時,f\x)<0,%>1時,r(x)>0,f(x)的減區(qū)間(0,1),增區(qū)間是(1,+8)；

0<“<1時，0<x<a或x>l時,r(x)>0,a<x<l時,f'(x)<0,/(x)的增區(qū)間是((),〃)和(1,田)，減區(qū)間

是3,1)；

4=1時，/'(x)20恒成立，f(x)的增區(qū)間是(0,+8),無減區(qū)間；

“>1時，0cx<1或X>a時，f\x)>0,1cx<a時，/'(x)<o,/(x)的增區(qū)間是(0,1)和(。，a)，減區(qū)間是

(1,。)；

⑵

F(x)=T(x)+a-l=『二2士,由題意』-2x+a=O有兩個不等正根冷電，

A=4-4^>0,a<\,又不+工2=2,x}x2=a>0,所以0va<l,

12,

F(x)=~x~+alnx-2x,

2

F(xl)+F(x2)=^xf4-In%)-2x]+〃lnw-2x2=—[(Xj+x2)-2x]x2]+a\n(x{x2)-2(x}+x2)

=2-a+a\na-4=a\na-a-2,

2

由題意〃Ina-〃-2>----2,

e

2

a\na-a-^-—>0

e9

2

設g(x)=xlnx-x+—(0<x<1),則g'(x)=lnx+l-1=lnx<0,

e

I111221

g(x)在(0,1)上遞減，又g(-)=-ln----+-=0,所以由Qln〃-a+->0,得0<〃<一.

eeeeeee

綜上，0<a<-.

e

【點睛】

本題考查導數(shù)研究函數(shù)的單調性，考查極值點有關的問題，解題方法由導函數(shù)為0得出極值點的性質，同

時得出參數(shù)的一個范圍，計算有關極值點的代數(shù)式/(石)+尸(女)，化簡不等式，利用函數(shù)的單調性得出不等

式的解，從而得出結論，本題屬于較難題.

6.(第13講雙變量問題-2022年新高考數(shù)學二輪專題突破精練)已知函數(shù)/(%)=；々7+2/成("0)

10

(1)討論/(x)的單調性；

/,(x.)-/(x,)11

若存在兩個極值點為，證明：'

(2)f(x)x2,

X,-X2Xjx2

【答案】(1)答案不唯一，具體見解析

(2)證明見解析

【解析】

【分析】

(1)函數(shù)f(x)求導后，分子為含參的二次三項式，結合。工0,我們可以從A,o和A>0結合開口方向和兩

根的大小來討論；

(2)%,,與為函數(shù)/(x)的兩個極值點，我們可以通過了‘(X)結合韋達定理，找到為，￡的關系，帶入到要證

明的不等式中，然后通過整理，化簡成一個關于土的函數(shù)關系，再通過換元，構造函數(shù)，通過求解函數(shù)的

值域完成證明.

(1)

設p*)：：：0X2-x+2z?.(x>0),A=l-8d,

①當時，A,,0,p(x)..O,則/(x)在(0,E)上單調遞增，

②當。時，A>0,p(x)的零點為內=1二，1-8/,I+J1-8.,且。<玉氣，

22a2a

令ra)>。，得o<x<x，或%>W，令f'(x)<0,得

.?"。)在(匕恒心，匕正弘)上單調遞減，在(0,1-，-84土后心，+助單調遞增，

2a2a2a2a

③當“<0時，A>0,p(x)的零點為二8",

2a

.?"(x)在(0,上MH豆)上單調遞增，在(土百+8)上單調遞減.

2a2a

綜上所述：當時，/(X)在(0,+00)上單調遞增；當0<a<:時，f(x)在(1二?二8一,匕2叵1)上單調遞

222a2a

減，在(0,上業(yè)亙)，(匕正更，+8)單調遞增：當。<0時，f(x)在(0,上M亙)上單調遞增，在

2a2〃2a

匕叵+功上單調遞減.

2a

(2)

證明：由(1)知，當0<a<g時,，/(x)存在兩個極值點，

11

不妨設。<不<、2，則外+電=二，

要證：小)-/㈤<1+_L,只要證〃西)-/(々)>量*土叁=土-主，

%1-x2X]x2X]X2x2x]

2

只需要證1區(qū)-工2)1。(%+X2)-2]4-2aln—>--,

2%2x2x}

即證2(/In甘—3+芋>二(玉一工。)，

設f=2,(0<r<l),

42

設函數(shù)g(f)=2/lm—+；,

?"A=4<z4—4<0,

t~—2z72f+1>0,

???g'(f)<0,

???g⑺在(0,1)上單調遞減，則gQ)>g(l)=0,

又/(3-G)<。,

則g(t)>0>；(Xi-

則