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文檔簡介
微專題18圓錐曲線經(jīng)典難題之一類交點軌跡問題的通性通法研究
秒殺總結(jié)
交點軌跡問題的常用技巧:
1.兩直線方程相乘消元
2.兩直線方程相除,相當于兩斜率比問題,平方轉(zhuǎn)韋達結(jié)構(gòu)可消元
3.定比點差法
4洞構(gòu)
5.硬解坐標
典型例題
22
例1.(2022?全國?高三專題練習)已知雙曲線「:,-2=1(。>0力>0)過點(4,13),離心率為瓦,直線
/:x=9交x軸于點A,過點A作直線交雙曲線「于M,N兩點.
(1)求雙曲線「的標準方程;
(2)若M是線段4N的中點,求直線MN的方程;
(3)設(shè)只。是直線/上關(guān)于x軸對稱的兩點,直線PM與QN的交點是否在一條直線上?請說明你的理由.
例2.(2022?全國?高三專題練習)已知拋物線C的頂點為原點,其焦點F(0,c)(c>0)到直線/:x-y-2=0的
距離為逑.
2
(1)求拋物線(:的方程;
(2)設(shè)點尸(看,%)為直線/上一動點,過點P作拋物線C的兩條切線尸A,PB,其中A,B為切點,求直線A8
的方程,并證明直線過定點。;
⑶過(2)中的點。的直線機交拋物線C于A,B兩點,過點A,8分別作拋物線C的切線4,12,求心4
交點M滿足的軌跡方程.
1
22
例3.(2022?全國?高三專題練習)已知橢圓C:£+3=l(a>b>0)的離心率為梟橢圓上的點到焦點的最
小距離為1.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若直線/與橢圓C交于A,8兩點,且OA,03(0為坐標原點),0/7,43于"點.試求點H的軌跡方程.
?1(4>人>0)的離心率為]
例4.(2022?全國?高三開學考試(理))橢圓E:,且過點(2&,2).
(1)求橢圓E的方程;
(2)",瑞分別為橢圓E的左、右焦點,動點48在橢圓上(不含長軸端點),且關(guān)于y軸對稱,尸為橢圓上
異于48的動點,直線處與尸8分別交y軸于M,N兩點求證:直線與鶴的交點在定圓上.
過關(guān)測試
22
1.(2022?上海民辦南模中學高三階段練習)如圖,A.8是橢圓C:三+二=1長軸的兩個端點,M,N是橢
43
圓上與/、8均不重合的相異兩點,設(shè)直線/初、BN、⑷V的斜率分別是勺、&2、k、.
⑴若直線MM過點(1,0),求證:勺“為定值;
(2)設(shè)直線MN與x軸的交點為&0)(/為常數(shù)且f*0),試探究直線NA/與直線8N的交點。是否落在某條定
直線上?若是,請求出該定直線的方程;若不是,請說明理由.
2
22
2.(2022?江蘇南京?高三開學考試)在平面直角坐標系xQy中,已知橢圓C:「+與=1(°>6>0)的上頂點
CTb~
為A(0,2),離心率e=也,過原點O的直線(與坐標軸不重合)與橢圓C交于P,。兩點,直線以,分別
2
與x軸交于A/,N兩點,過點〃,N分別作直線以,Q(的垂線,設(shè)交點為R
(1)求橢圓C的方程;
(2)證明:點尺在定直線上運動.
3.(2022?山西?一模(理))在平面直角坐標系中,橢圓C:三+/=1(。>6>0)的離心率e=^,且
過點,手),A,2分別是C的左、右頂點.
⑴求C的方程;
(2)已知過點G(l,0)的直線交C于M,N兩點(異于點/,B),試證直線與直線N8的交點在定直線上.
4.(2022?河南?模擬預(yù)測(理))在直角坐標系xOy中,橢圓C:二+丁=1與直線/:犬=沖+1交于四,N兩
4
點,P為的中點.
(1)若相<0,且N在x軸下方,求tanNOPN的最大值;
(2)設(shè)48為橢圓的左、右頂點,證明:直線ZM的交點。恒在一條定直線上.
22
5.(2022?河南?模擬預(yù)測(文))已知橢圓C:=+4=1(a>。>0)的左、右頂點分別為A(-2,0),8(2,0),離
ab
心率為且直線/:x=my+l和C交于N兩點
2
(1)當機=。時,求|MN|的值;
(2)設(shè)直線的交點為。,證明:點。恒在一條定直線上.
6.(2022?河南?溫縣第一高級中學高三階段練習(理))己知橢圓C:1+與=1的離心率為業(yè),其長軸的
crh23
兩個端點分別為4(-3,0),5(3,0).
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)點P為橢圓上除48外的任意一點,直線力P交直線x=4于點E,點O為坐標原點,過點。且與直線
8E垂直的直線記為I,直線8尸交y軸于點交直線/于點N,求N點的軌跡方程,并探究△8M0與△NA/O
的面積之比是否為定值.
3
7.(2022?廣東珠海?高三期末)已知橢圓C:%,=l(a>b>0)的長軸長為4,左頂點力到上頂點8的距
離為㈠,廠為右焦點.
(1)求橢圓C的方程和離心率;
(2)設(shè)直線/與橢圓C交于不同的兩點“,N(不同于48兩點),且直線8ML8N時,求尸在/上的射影
,的軌跡方程.
8.(2022?河北石家莊?一模)已知拋物線C:y?=2px(P>0),過點的直線/與拋物線C交于A,
B兩點(A在B的左側(cè)),M為線段的中點.當直線/斜率為-1時,中點M的縱坐標為
(1)求拋物線(7的方程;
(2)若線段AM上存在點N,使得阿呢石加年M小求點N的軌跡方程.
9.(2022?貴州貴陽?一模(文))已知橢圓C:江+亡=1與直線/(不平行于坐標軸)相切于點
164
過點〃且與/垂直的直線分別交X軸J軸于A(m,0),,8(0,〃)兩點.
(1)證明:直線等+乎=1與橢圓C相切;
164
(2)當點M運動時,點尸(機,n)隨之運動,求點尸的軌跡方程.
10.(2022?全國?高三專題練習)設(shè)〃是橢圓C:£+?=1上的一點,尸、。、T分別為“關(guān)于y軸、原點、
x軸的對稱點,N為橢圓C上異于"的另一點,且MN_LMQ,0N與P7的交點為E,當M沿橢圓C運動時,
求動點E的軌跡方程.
11.(2022?全國?高三專題練習)已知拋物線y2=4px(p>0),。為頂點,A,8為拋物線上的兩動點,且滿
足。如果于/點,求點M的軌跡方程.
22
12.(2022?全國?高三專題練習)為橢圓工+與=1上兩個動點,且。QLOQz,過原點。作直線QQ
2h~h~
的垂線。。,求。的軌跡方程.
4
13.(2022?全國?高三專題練習)已知動點P與定點尸(1,0)的距離和它到定直線/:x=4的距離之比為3,記
P的軌跡為曲線C.
⑴求曲線C的方程;
⑵過點M(4,0)的直線與曲線C交于A8兩點,R,Q分別為曲線C與x軸的兩個交點,直線AR,8Q交于點
N,求證:點N在定直線上.
5
微專題18圓錐曲線經(jīng)典難題之一類交點軌跡問題的通性通法研究
秒殺總結(jié)
交點軌跡問題的常用技巧:
1.兩直線方程相乘消元
2.兩直線方程相除,相當于兩斜率比問題,平方轉(zhuǎn)韋達結(jié)構(gòu)可消元
3.定比點差法
4洞構(gòu)
5.硬解坐標
典型例題
22
例1.(2022?全國?高三專題練習)已知雙曲線「:,-2=1(。>0力>0)過點(4,13),離心率為瓦,直線
/:x=9交x軸于點A,過點A作直線交雙曲線「于M,N兩點.
(1)求雙曲線「的標準方程;
(2)若M是線段4N的中點,求直線MN的方程;
(3)設(shè)只。是直線/上關(guān)于x軸對稱的兩點,直線PM與QN的交點是否在一條直線上?請說明你的理由.
【答案】⑴三-二=1
339
⑵x+y_9=0或x_y_9=()
(3)直線PM與0N的交點在定直線,理由見解析
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)題意,列出方程組,結(jié)合02=儲+從,求得。力的值,得出雙曲線的標準方程,
(2)設(shè)"(%,%),則聯(lián)立方程組,求得",N的坐標,即可求得直線的方程;
(3)設(shè)P(9,f),0(9,T),得到腦V:x=/ny+9,聯(lián)立方程組,求得)1+必,必必,再由直線PM和QV的方程,
求得交點的橫坐標,即可求解.
(1)
由題意得:二一獸=1,-=714,片+萬、/
aba
解得片=3,b2=39,所以雙曲線「的標準方程為t-f=l.
339
⑵
方法1:設(shè)則可空4)
1
22
二一空=1
339-
依題意有/-22解得無。二一4,y=±13
(%+9)為=]0
3x439x4-
所以直線MN的方程為x+y_9=0或x_y_9=().
2,
方法2:設(shè)直線MN的方程為》=左(工-9),與雙曲線的方程三-21=1聯(lián)立得:
339
(13-*2)X2+18)12X-(8U2+39)=0.
當A=324A4+4(13-陰(81公+39)>0時
81標+39
設(shè)N(x2,y2),得為+々=—=----------------―,
13—K1-13-公
T7中心電+9由29公+39x;+9x,81fc2+39,,
又因為%=一]一,所以&=一13—m'=-下丁,解得“2=1?
此時△>(),所以直線MN的方程為x+y-9=0或x-y-9=0.
(3)
方法1:設(shè)尸(91),Q(9,-r),
直線PM的方程為y-f=?/(x-9),直線ON的方程y+r=,
聯(lián)立兩方程,可得2f=(=-入=](x-9)①
x,-9j
轉(zhuǎn)八(2)方法2可得々-9)+1_%(占一9)一「=乂斗+三一18)
一口口(2)方法2,可得&_9X|_9X2-9X,-9X,X2-9(X,+X2)+81
代人①得2=憂二Li.(X—日
A|-7IA|十X>I+O1
.81公+39)J18公)
故x=2中2-9(3+當)=(J]3J—(一]3―rJ」
x.+-1818k~.Q3
------v-1o
13-k2
所以直線PM與0N的交點在定直線x=g上.
方法2設(shè)直線的方程為x=,改+9,與雙曲線的方程二-£=1聯(lián)立得:
339
(13/7t2-l)y2+234n?y+1014=0.
設(shè)川(石方),NH,%),P(9J),Q(9l),由根與系數(shù)的關(guān)系,得
234/7?1014
x+必"際了.二為二1
2
1PM:匕,=儲(》-9),加:y+r=污(x-9),聯(lián)立兩方程,可得:
2「=衛(wèi)一回(、一9)/"一回(>9)=絲當(3)
19一9X.-9)(四2)沖段
234m
=W-.!..f(x_9)=_2z(x_9),
m\3m2-\
解得X=;
所以直線PM與QN的交點在定直線X=;上.
例2.(2022?全國?高三專題練習)已知拋物線C的頂點為原點,其焦點尸(0,c)(c>0)到直線/:x-y-2=0的
距離為逑.
2
(1)求拋物線C的方程;
(2)設(shè)點?(%,%)為直線/上一動點,過點P作拋物線C的兩條切線PA,PB,其中A,8為切點,求直線
的方程,并證明直線過定點Q;
(3)過(2)中的點。的直線〃?交拋物線C于A,B兩點,過點A,B分別作拋物線C的切線心12,求心/2
交點M滿足的軌跡方程.
【答案】⑴W=4y
(2)直線AB的方程為與x-2y-2%=0,證明見解析
(3)x-y-2=0
【解析】
【分析】
(1)利用點到直線的距離公式直接求得c值;
丫2丫2y
(2)設(shè)尸(天,與-2),設(shè)切點為區(qū)二),曲線C:y=—,/=-,從而
442
£_2川+4%_8=0,由此能求出直線x°x-2y-2%=0,并能證明直線A8過定點。(2,2);
⑶設(shè)A(±,乎),85與),從而求出交點竽),設(shè)過Q點的直線為y-)+2,聯(lián)立
ly=A-(.r-2)+2^得/_4履+弘一8=0,由此能求出點M滿足的軌跡方程為x—y-2=0.
[廠=4>
(1)
設(shè)拋物線的方程為d=2py,
3
???拋物線C的焦點尸(0,c)(c>0)到直線/:x-y-2=0的距離為手,
...|0一72|=半,解得c=[或c=_5(舍去),
V22
=1,p=2,
拋物線C的方程為f=4y.
⑵
丫21-2y
設(shè)P(%,%-2),設(shè)切點為(x,?。€C:y==,y'=~>
442
x2
則切線的斜率為WT%-2)_x,化簡得/-2x0x+4x0-8=0,
x-%2
設(shè)g,爭,85,苧),則巧是以上方程的兩根,
則x,+x2=2XQ,x}x2=4x0-8,
X\2X2
44_X|+“2_/,
4B
-x,-x24-2
直線AB的方程為:),_(=W(X7J,整理得y=Ex-A±+二,
42224
?.?切線以的方程為y得=5(f),整理得>=尹-4且點P(%,%)在切線E4上,
???%=9%-(,即直線AB的方程為:y=,x-%,化簡得5-2〉-2%=0,
242
XVy0=^-2,xo(x-2)-2^+4=O,
故直線AB過定點Q(2,2).
⑶
設(shè)A8,、),BQ,5-),
過A的切線y=](x-M+f,過B的切線y=£(xf)+苧,
則交點M(工1工,等)
設(shè)過Q點的直線為y=?x—2)+2,
,-fy=Z(x-2)+2
聯(lián)立〈2:,得Y-4丘+肽-8=0,
x=4y
xl+x2=4kf%%=8Z—2,
4
??.M(2k,2k-2),
y=x-2.
???點M滿足的軌跡方程為x-y-2=0.
例3.(2022?全國?高三專題練習)已知橢圓。:.+£=1(。>6>0)的離心率為橢圓上的點到焦點的最
小距離為1.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若直線/與橢圓C交于A,8兩點,且04,08(0為坐標原點),于H點.試求點”的軌跡方程.
【答案】⑴三+匯=1;
43
e2212
(2)X2+/=y.
【解析】
【分析】
1r1
(1)根據(jù)題意橢圓上的點到焦點的最小距離得4-C=l,再根據(jù)離心率為:,得上=即可解得橢圓C的
2a2
方程.
(2)直線/與橢圓C交于A,B兩點,設(shè)A(玉,x),B(X2,y2),根據(jù)題意求出軸時,點”(土欄,0),
/_Ly軸,”(0,士欄).當直線/的斜率存在且不為0時,設(shè)/:丁=履+〃?,聯(lián)立直線與橢圓方程,韋達定理寫
出%+々、玉々關(guān)于人與加的式子,再把,力的式子也用人與,"表示出來,再利用OAA.OB,知王9+,必=0,
代入得7M=12"+1),再利用Oa_LAB得直線OH的方程為丫=-:彳,聯(lián)立直線Q"與直線/,把左與制用x
與y表示出來,代入7療=12(公+1)中,化簡即可得到關(guān)于x與尸的方程,再結(jié)合①②即可得到答案.
(1)
C1
由題意知:e=—=—,a-c=\,a1=b2+c2,解得。=2,b2=3.
a2
r22
故橢圓的方程為工+匕v=1.
43
⑵
設(shè)4再,y),3(毛,y2),
(i)若/_Lx軸,可設(shè)〃(%,。),因Q4LOB,則4%,%).由丘+丘=1,得需=2,即H(土欄,0);
437V7
若/_Ly軸,可設(shè)4(0,%),同理可得“(0,土源);
(ii)當直線/的斜率存在且不為。時,設(shè)/:丫=丘+加,
5
y=kx+m
■y9(3+4公)/+8切ir+4>-12=0,
由三+x=i'消去y得:
43
1TbI8h"W-12
則%+*2=一晨而,為々=
3+4公
3m2-12k2
yy=(fcv,+m)(kx+tn)=k2xx+km(x、+x)+m2-
22t223+4公
3m2-l2k2
由OA_LO8,知g+y%=。.故小4-------—=0,
3+4攵2
即7加=12伏2+1)(記為①).
由QH_LA8,可知直線?!ǖ姆匠虨閥=-,x,
K
y=kx+mk=~-
y
聯(lián)立方程組1,得<,(記為②),
V=——X廠
Ikm=Fy
10
將②代入①,化簡得V+丁若.
19
綜合(1)、(2),可知點”的軌跡方程為/+y2=£.
例4.(2022?全國?高三開學考試(理))橢圓E:5■+,=1(〃>〃>0)的離心率為孝,且過點僅在2).
⑴求橢圓E的方程;
(2)6,鳥分別為橢圓E的左、右焦點,動點A,8在橢圓上(不含長軸端點),且關(guān)于y軸對稱,P為橢圓上
異于48的動點,直線均與尸8分別交y軸于M,N兩點求證:直線M耳與叫的交點在定圓上.
【答案】⑴2+1=1
168
(2)證明見解析
【解析】
【分析】
(1)依題意可得4=0。且8=。,再根據(jù)橢圓過點(2應(yīng),2),即可求出c,從而得解;
(2)設(shè)A(X,M),尸仁,%),即可得到心、3P的方程,表示出用、N的坐標,從而得到加£、
NF1,兩式相乘整理即可得到交點方程;
(1)
解:由£=變得°=缶,由—從,所以6=c,
a2
6
把點(2夜,2)代入方程得《+捺=1,所以,2=8,
22
所以橢圓E的方程為土r+匕=1.
168
⑵
解:設(shè)A(x”yJ,尸(如為),
1
由A尸方程:曠一y二必一,(*_&),得“jo,汕二包,
%2-苦VX2~X\y
由BP方程:y-y=止彌+不),得N(o,&2i±四,
%+%I超+玉)
二岬的方程為"蒸舞卜+2月,①
可的方程為尸一翁[二/-2&),②
由①②相乘得/=聾言印,一8),③
由A,P在橢圓上可得才=8吟,貨=8吟,
代入③式可得:y2=-(x2-8),
即直線M耳與Ng的交點在定圓£+尸=8上.
過關(guān)測試
22
1.(2022?上海民辦南模中學高三階段練習)如圖,4、8是橢圓C:工+匯=1長軸的兩個端點,M、N是橢
43
圓上與48均不重合的相異兩點,設(shè)直線//、BN、ZN的斜率分別是占、自、
⑴若直線初V過點(1,0),求證:4義為定值;
(2)設(shè)直線A/N與x軸的交點為?,0)(/為常數(shù)且20),試探究直線ZM與直線8N的交點。是否落在某條定
直線上?若是,請求出該定直線的方程;若不是,請說明理由.
7
【答案】(1)證明見解析;
4
(2)是,x=—.
t
【解析】
【分析】
⑴設(shè)直線"N為:x=my+\,%(%,%),聯(lián)立MV方程和橢圓方程,根據(jù)韋達定理和斜率計算
公式計算匕4即可;
(2)設(shè)仞V:x=my+t,M(XQJ,N(x?,%).聯(lián)立A/N方程和橢圓方程,求得根與系數(shù)關(guān)系.聯(lián)立與BN
方程,消去外求解x,將根與系數(shù)關(guān)系代入化簡即可求解.
(1)
設(shè)直線MN為:x=my+1,”(內(nèi),y),N(x2,y2),
x=my-\-\
X2y2得,(3機2+4)/+6沖一9=0,
----F—=1
43
16m—9
??y+必=—$—
13m2+4
.?i=上上=」一———”一「
%+2x2+2myx+3my2+3m'y%+3加(y+>2)+9
—9
=____________3瓶2+4_____________=__________2?_________=z2=_l
,(91"-9/M2-18/M2+27W2+36364
I3m-+4JI3m'+4J
火「B為定值;
4
⑵
設(shè)A/N:x=my+t,N?,%).
=1
43n(4+3m2)y2+6m/>+3產(chǎn)-12=0,
x=my+1
一6mt3產(chǎn)-12-6mt
.?k
則AM:y=):(x+2),BN:y=(x-2),
了2—2
//和8N方程聯(lián)立得,”、(x+2)=一三(x-2),
x+2%,+2%(機y+f+2)%相)'跖+"+2)必
RJ--------=---------------=-------------------------=----------------------------
x-2X2-2x(m%+-2)K吵%+。一2)X
8
3廣-12/_\(—Gmt
4+3加2')(4+3m2
3產(chǎn)-12
+(,_2),弘
4+3小
m(3t2-12)+(,+2)[-6皿一(4+3m2)y]
^(3/2-12)+(/-2)(4+3//12)^
222
3mt-\2m-6mt-12mt-(Z+2)(44-3/n)yi
m(3/_12)+(,_2乂4+3加卜1
22
-3mt-12mt-12〃z-?+2)(4+3m)y]
加(3尸一12)+(£-2乂4+3勿2)%
-3m(t+2)2-(r+2)(4+3m2)y
3機(,+2乂/一2)+?-2乂4+3〉)%
r+2-3機(/+2)-(4+3也%
t-23m(f+2)+(4+3〃/)y
_t+2
~2^7
x+2t+24
即------=------nx=—
x—22—t--------t
4
即直線ZM與直線8N的交點Q是否落在某條定直線x=包上.
22
2.(2022?江蘇南京?高三開學考試)在平面直角坐標系xQy中,已知橢圓C:0+與=1(a>方>0)的上頂點
為AQ2),離心率e=YZ,過原點O的直線(與坐標軸不重合)與橢圓C交于P,。兩點,直線RI,0/分別
2
與x軸交于",N兩點,過點A/,N分別作直線雙,。/的垂線,設(shè)交點為幾
(1)求橢圓C的方程;
(2)證明:點7?在定直線上運動.
22
【答案】⑴一+一=1
84
(2)證明見解析
【解析】
【分析】
(1)由題意得到b=2,再由6=也,求得4=8,即可求得橢圓的標準方程;
2
QO7,2
(2)設(shè)直線PQ的方程為丫=匕,聯(lián)立方程組求得不馬二-「米,得至分別求得”和AQ
I+1+2k
9
的方程,求得M(二^\,。),N(二^,0),結(jié)合MR_LAP,NG,AQ,求得MR和M?的方程,代入即可求解.
%-2y2-2
(1)
v-2v2
解:由題意,橢圓C:3+4=l(a>b>0)的上頂點為40,2),可得b=2,
a-b~
由離心率6=立^,可得==1-4=:,解得/=8,
2cra12
22
所以橢圓的方程為二+幺=1.
84
⑵
解:由題意知,直線PQ的斜率存在,設(shè)直線PQ的方程為丫=辰,
\y=kx一c
聯(lián)立方程組3+22=8,整理得(1+2公)/-8=0,
8
設(shè)P(A,X),,必),可得h+工2=0,玉x?=-,
1?乙K
、8人2
則%+%=+々)=0,=-1+〃方,
又由4(0,2),所以直線AP的方程為y-2=比心(x-0),即y=2i二X+2,
王占
令〉=0,可得工=二^,即M(3y,0),
y-2y,-2
同理可得:直線AQ的方程為y=?二X+2,點N(二^3,0),
因為MR,AP,M?_LAQ,所以七匠=二、,心匠=二^
y-2y2-2
所以直線MR的方程為'=二、(*+/),
可得x=
X-2y,-2一百y1-2
直線NR的方程為卜=言(,+色),可得-啟,
1V.-22xy2-22x,整理得(上二7-2))_2菁2/
所以〒—yK
為,X-2y2-l
所以"用+2々、=-2x2yt+4X2+2Ky2-4玉
Xi%(y,-2)(y2-2)
4X+
所以何4-2玉-kXyX-,+2X2_-2kx2x}+22kx}x2-4x]
又因為必=乜,乂=埔,,?”(-2)
2x>-2x-4x+4X2
所以二一1?y=l
玉WMM+4
10
2中22XJX22X1X2
所以)丁|必+48旬~~~4-
--------J-4-----T
1+2/1+2公
h、j8,匚I、I—161+2Z~
因為=~~~~—y,所以y=--------------4,
-\+2k2,1+2/4
所以點R在定直線丫=-4上運動.
22/T-
3.(2022?山西?一模(理))在平面直角坐標系中,橢圓C:★■+*>匕>。)的離心率《=苧,且
,A,8分別是C的左、右頂點.
(1)求C的方程;
(2)已知過點G(l,0)的直線交C于",N兩點(異于點/,B),試證直線與直線N3的交點在定直線上.
丫2v2
【答案】⑴土+匕=1;
42
(2)證明見解析.
【解析】
【分析】
(1)將點的坐標代入橢圓方程得出關(guān)于〃、6的方程,結(jié)合離心率列出方程組,解方程組即可;
(2)設(shè)過點G的直線方程為x=my+l、)、%(馬,必),聯(lián)立橢圓方程,利用韋達定理表示出M+必、)1%,
根據(jù)直線的點斜式方程求出直線與8N的方程,兩式相除,化簡計算可得直線與8N的交點的橫坐
標為4,即可證明.
(1)
由題意知,
ca
—=--
a2
a-yplc
16?
/十方=、化簡得13
〔正+赤=1
a2=b2+c2
解得&2=4,〃=2,故橢圓的方程為£+亡=1;
42
⑵
設(shè)過點G的直線方程為工=松+1,
x—my+1
<x2y2,消去X,得(加2+2)/+2沖-3=0,
—+—=1
42
2
A=4m+14-2)>0,設(shè)/V(x2,y2),
11
—2m.—33
則X+乂必=1工,所以")'通=彳(%+%)
m+2m+22
又A(—2,0),B(2,0),得砥.=卷,須N=-^,
X]+2/—2
所以直線4M的方程為y=—%(才+2),
直線BN的方程為y=±(x-2),兩式相除,
X-,-2.
徨]=乂
&_2x+2(x,+2)y2_x+2
付1
x.+2y2x-2'(x,-2)y,x-2'
39
+
(七+2)),2=(四;+3)%緲跖+3%_5'|+萬%+3>22^i2
33=3,
二13-
。2-2)凹(m),2-1)凹my%一,-+-
22/X+/%
即一-=3,解得x=4,
x-2
即直線AM與8N的交點的橫坐標為4,
所以直線與8N的交點在定直線x=4上.
4.(2022?河南?模擬預(yù)測(理))在直角坐標系屹y中,橢圓C:±+/=l與直線/:》=叫用交于朋,N兩
4
點,P為的中點.
(1)若加<0,且N在x軸下方,求tan/OPN的最大值;
(2)設(shè)48為橢圓的左、右頂點,證明:直線ZN,8/的交點。恒在一條定直線上.
【答案】⑴一]4
(2)證明見解析
【解析】
【分析】
(1)利用三角形外角的性質(zhì),找到tanNOPN與直線"N,0P傾角的關(guān)系,從而找到斜率關(guān)系,聯(lián)立直線
MN與橢圓得到韋達定理,然后利用兩角和差公式以及均值不等式求解即可.
12
(2)利用坐標分別表示出直線/N,8M的方程,聯(lián)立方程組可發(fā)現(xiàn)其兩直線交點橫坐標為定值.
(1)
設(shè)NH,%).
(1)記/的傾斜角為a,OP的傾斜角為夕,則NOPN=a—〃.
2m
x=my+1,%+%=--
由2得(m2+4)/+2機、一3=0,貝I卜/n+4
—3
乂必二^^,
+4
、八8十口r/4根m
所以=加(乂+%)+2=1-于是尸一^-一一j~7?故ZOP=一二?
--'m2+4I"+4/n2+4J4
,+%/、
所以tanZ.OPN=tan(a—尸)=_k—跳——=~~~|,
'產(chǎn))1+3?&「I3{m4)3
4
]/??
當且僅當--=-丁,即加=-2時,取到“=”.
m4
4
所以tanNOPN的最大值為.
⑵
易知A(-2,0),B(2,0).由題意知心N=上不,原M=f,
X)+,X|-Z
所以直線/N的方程為y=*—(x+2),
直線8"的方程為〉=一卷一(》-2).
Xj-Z
令(x-2)="+2),
X.—ZX。十N
2%(%-2)+2)(9+2)4〃叫%-2俳+6)1
解之得X=
%(々+2)-%(占-2)
3yl+y2
4毆%-2(%+?)+8乂
2%+(%+必)
所以點。恒在定直線工=4上.
22
5.(2022?河南?模擬預(yù)測(文))己知桶圓C:「+:=1(a>。>0)的左、右頂點分別為A(-2,0),8(2,0),離
ab
心率為迫直線/:x=my+l和C交于M,N兩點、
2
⑴當小=0時,求網(wǎng)的值;
13
(2)設(shè)直線的交點為。,證明:點。恒在一條定直線上.
【答案】(1)|MN|=6
(2)證明見解析
【解析】
【分析】
(1)由題意可求出a,c,再由層=〃一,2,可求出從,從而可求出橢圓方程,將x=l代入橢圓方程中可求
出N兩點坐標,進而可求出|MN|的值,
(2)設(shè)加(補%),2區(qū),丫2),將直線方程代入橢圓方程中消去x,利用根與系數(shù)的關(guān)系,表示出直線AN的方
程和直線的方程,聯(lián)立求出其交點的橫坐標化簡可得答案
(1)
設(shè)橢圓的半焦距為c(c>0).根據(jù)題意,4=2,
因為£=正,所以c=6,
a2
所以y-2=4-3=】,
所以C的方程為£+丁=1,
4
當加=0時,Z:X=1,代入C的方程可得y=土孝,
所以|MN|=g.
⑵
x=my+l
x22,得(加+4)/+2緲一3=0,
二=1
12m
X+%=_24
設(shè)”(百,%),%(工2,>2),則{m+
m~+4
因為后AN=1o=.?o,
X2+2f-2
所以直線4V的方程為y=+2),
直線BM的方程為y=~^、(x-2).
七一2
令93-2)=上方(》+2),
%-2x2+2
14
2y2(%-2)+2y(%+2)=4〃5%—2*+
解之得X=
%(七+2)-%(陽-2)
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