直線與平面垂直課件-高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版2

直線與平面垂直第八章立體幾何初步問題引入觀察旗桿與地面的關(guān)系，給我們以線面垂直的形象.在陽光下觀察直立于地面的旗桿AB及它在地面的影子BC.隨著時間的變化，影子BC的位置在不斷地變化，旗桿所在的直線AB與其影子所在直線是否保持垂直？與地面內(nèi)其它的直線能否垂直？CAB新知探索直線與平垂直的概念定義如果直線l與平面α內(nèi)的

直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直記法有關(guān)概念直線l叫做平面α的

，平面α叫做直線l的

，它們惟一的公共點P叫做_____圖示

畫法畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直任意一條l⊥α垂線垂面垂足垂線段過一點垂直于已知平面的直線有且只有一條.POPO為垂線段，其長度為點P到面α的距離.α新知探索直線與平面垂直的判定定理線面垂直?直線與平面內(nèi)所有直線都垂直如何判定直線和平面垂直呢？翻折三角形紙片試一試.αABCDABCDCABDD文字語言一條直線與一個平面內(nèi)的

都垂直，則該直線與此平面垂直符號語言l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，

＝P?l⊥α圖形語言

a∩b兩條相交直線定理體現(xiàn)了“線線垂直”與“線面垂直”的相互轉(zhuǎn)化典例精析題型一：直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用例1如圖，三棱錐D-ABC中，已知AC⊥BC，AC⊥DC，BC=DC，E為BD的中點.求證：BD⊥平面ACE.證明

因為AC⊥BC，AC⊥DC，BC∩DC=C，所以AC⊥平面BCD，又BD?平面BCD，所以BD⊥AC，又BC=DC，E為BD的中點.所以BD⊥CE，又AC∩CE=C，所以BD⊥平面ACE.例2如圖，AB為⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，M為圓周上任意一點，AN⊥PM，N為垂足.(1)求證：AN⊥平面PBM.

(2)若AQ⊥PB，垂足為Q，求證：NQ⊥PB.證明

(1)∵AB為⊙O的直徑，∴AM⊥BM.又PA⊥平面ABM，∴PA⊥BM.又∵PA∩AM＝A，∴BM⊥平面PAM.又AN?平面PAM，∴BM⊥AN.又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，∴AN⊥平面PBM.(2)由(1)知AN⊥平面PBM，PB?平面PBM，∴AN⊥PB.又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，∴PB⊥平面ANQ.又NQ?平面ANQ，∴PB⊥NQ.新知探索直線與平面所成的角有關(guān)概念對應(yīng)圖形斜線與平面α

，但不和平面α

，圖中_______

斜足斜線和平面的

，圖中_____射影過斜線上斜足以外的一點向平面引

，過

和

_____的直線叫做斜線在這個平面上的射影，圖中斜線PA在平面α上的射影為_________直線與平面所成的角定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，圖中________規(guī)定：一條直線垂直于平面，它們所成的角是

；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，它們所成的角是____取值范圍設(shè)直線與平面所成的角為θ，____________相交垂直直線PA交點點A垂線垂足斜足直線AO∠PAO90°0°0°≤θ≤90°典例精析題型二：求直線與平面所成的角例3如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，(1)求A1B與平面AA1D1D所成的角；解∵AB⊥平面AA1D1D，∴∠AA1B就是A1B與平面AA1D1D所成的角，在Rt△AA1B中，∠BAA1＝90°，AB＝AA1，∴∠AA1B＝45°，∴A1B與平面AA1D1D所成的角是45°.(2)求A1B與平面BB1D1D所成的角.解連接A1C1交B1D1于點O，連接BO.∵A1O⊥B1D1，BB1⊥A1O，BB1∩B1D1＝B1，BB1，B1D1?平面BB1D1D，∴A1O⊥平面BB1D1D，∴∠A1BO就是A1B與平面BB1D1D所成的角.又∵∠A1OB＝90°，∴∠A1BO＝30°，∴A1B與平面BB1D1D所成的角是30°.例4如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D為AC的中點，若AB=BC=BB1，∠ABC

=90°，求CC1與面BC1D所成角的正弦值.解

過點C作CH⊥C1D交C1D于點H，由于三棱柱ABC-A1B1C1為直三棱柱.CC1⊥平面ABC，BD?平面ABC，故CC1⊥BD，又AB=BC，D為AC的中點，所以BD⊥AC.所以BD⊥平面ACC1A1，CH?平面ACC1A1，故BD⊥CH.又CH⊥C1D，所以CH⊥平面BC1D.所以C1H為CC1在平面BC1D內(nèi)的射影，∠CC1D為CC1與平面BC1D所成的角，

典例精析題型三：直線與平面垂直關(guān)系的應(yīng)用例5在三棱錐S-ABC中，SA=SB=SC，則點S在平面ABC的射影一定在A.BC邊的中線上 B.BC邊的高線上C.BC邊的中垂線上

D.∠BAC的平分線上解

設(shè)點S在平面ABC上的射影為O，連接OA，OB，OC，因為SA=SB=SC，所以O(shè)A=OB=OC，所以O(shè)是△ABC的外心，所以點S在平面ABC的射影一定在BC邊的中垂線上.例6如圖所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是∠ABC為直角的等腰直角三角形，AC=2a，BB1=3a，D是A1C1的中點，點F在線段AA1上，當(dāng)AF=________時，CF⊥平面B1DF.

解

由已知得B1D⊥平面ACC1A1，又CF?平面ACC1A1，所以B1D⊥CF，故若CF⊥平面B1DF，則必有CF⊥DF.設(shè)AF=x(0<x<3a)，則CF2=x2+4a2，DF2=a2+(3a-x)2，又CD2=a2+9a2=10a2，所以10a2=x2+4a2+a2+(3a-x)2，解得x=a或2a.新知探索直線與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言垂直于同一個平面的兩條直線______符號語言圖形語言

平行揭示了“平行”與“垂直”的關(guān)系.新知探索直線與平面垂直的性質(zhì)定理若a⊥

α，

b⊥α，

求證：a//b．

abα證明如圖，假設(shè)a與b不平行，設(shè)b與α交于點O，設(shè)b′是經(jīng)過點O與a平行的直線.設(shè)相交直線b與b′確定的平面為β，設(shè)α∩β=c，則O∈c.因為a⊥α，b⊥α，所以a⊥c，b⊥c.又因為b′//a，所以b′⊥c.這樣在平面β內(nèi)，經(jīng)過直線c上同一點O就有兩條直線b，

b′均與c垂直，顯然不可能，因此b//a.Ob′cβ典例精析題型四：直線與平面垂直性質(zhì)定理的應(yīng)用例7如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1.(1)求證：A1C⊥B1D1.證明

連接A1C1.因為CC1⊥平面A1B1C1D1，B1D1?平面A1B1C1D1，所以CC1⊥B1D1.因為四邊形A1B1C1D1是正方形，所以A1C1⊥B1D1.又因為CC1∩A1C1=C1，所以B1D1⊥平面A1C1C.又因為A1C?平面A1C1C，所以B1D1⊥A1C.D1ABCDA1B1C1證明

連接B1A，AD1.因為B1C1∥AD，且B1C1=AD所以四邊形ADC1B1為平行四邊形，所以C1D∥AB1.因為MN⊥C1D，所以MN⊥AB1.又因為MN⊥B1D1，AB1∩B1D1=B1所以MN⊥平面AB1D1.由(1)知A1C⊥B1D1.同理可得A1C⊥AB1.又因為AB1∩B1D1=B1，所以A1C⊥平面AB1D1.所以A1C∥MN.(2)M，N分別為B1D1與C1D上的點，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求證：MN∥A1C.D1ABCDA1B1C1NM例8如圖，α∩β＝l，PA⊥α，PB⊥β，垂足分別為A，B，a?α，a⊥AB.求證：a∥l.證明∵PA⊥α，l?α，∴PA⊥l.同理PB⊥l.∵PA∩PB＝P，PA，PB?平面PAB，∴l(xiāng)⊥平面PAB.又∵PA⊥α，a?α，∴PA⊥a.∵a⊥AB，PA∩AB＝A，PA，AB?平面PAB，∴a⊥平面PAB.∴a∥l.新知探索線面距離與面面距離平面與平面的距離：兩個平面平行時，其中一個平面內(nèi)任意一點到另一個平面的距離.直線與平面的距離：一條直線與一個平面平行時，這條直線上任意一點到這個平面的距離.典例精析題型五：空間中的距離問題例9如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點E在棱AA1上，BE⊥EC1.若AE=A1E，AB=3，求四棱錐E-BB1C1C的體積.解

由長方體ABCD-A1B1C1D1，可知B1C1⊥平面ABB1A1，BE?平面ABB1A1，所以B1C1⊥BE，因為BE⊥EC1，B1C1∩EC1=C1，所以BE⊥平面EB1C1，所以∠BEB1=90°，由題設(shè)可知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以∠AEB=∠A1EB1=45°，所以AE=AB=3，AA1=2AE=6，

1.如圖，設(shè)平面α∩平面β=PQ，EG⊥平面α，F(xiàn)H⊥平面α，垂足分別為G，H.為使PQ⊥GH，則需增加的一個條件是 A.EF⊥平面α

B.EF⊥平面βC.PQ⊥GE

D.PQ⊥FH跟蹤練習(xí)解

因為EG⊥平面α，PQ?平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，則由PQ?平面β，得EF⊥PQ.又EG與EF為相交直線，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH.故選B.2.如圖，ABCD是矩形，沿對角線BD將△ABD折起到△A′BD，且A′在平面BCD上的射影O恰好在CD上，則下面結(jié)論錯誤的是A.A′C⊥BD

B.A′D⊥BCC.A′C⊥BC

D.A′D⊥A′B解

B中，因為ABCD是矩形，沿對角線BD將△ABD折起到△A′BD，且A′在平面BCD上的射影O恰好在CD上，所以A′O⊥平面BCD，又因為B