余弦定理教學課件

余弦定理余弦定理1、向量的數(shù)量積：2、勾股定理：AaBCbc證明：復習引入向量法幾何法坐標法例題定理小結(jié)AaBCbc余弦定理AcbAbc當時當時當時AB邊的大小與BC、AC邊的大小和角C的大小有什么關(guān)系呢？怎樣用它們表示AB呢？復習引入向量法幾何法坐標法例題定理小結(jié)復習引入向量法幾何法坐標法例題定理小結(jié)余弦定理思考題：若ABC為任意三角形，已知角C，BC=a,CA=b,求AB邊c.ABCabc解：復習引入向量法幾何法坐標法例題定理小結(jié)復習引入向量法幾何法坐標法例題定理小結(jié)余弦定理定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。余弦定理可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題：（1）已知三邊求三個角；（2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角。復習引入向量法幾何法坐標法例題定理小結(jié)復習引入向量法幾何法坐標法例題定理小結(jié)余弦定理ABCabcD當角C為銳角時證明：過A作ADCB交CB于D在Rt中在中復習引入向量法幾何法坐標法例題定理小結(jié)復習引入向量法幾何法坐標法例題定理小結(jié)余弦定理當角C為鈍角時證明：過A作ADCB交BC的延長線于D在Rt中在中bAacCBD復習引入向量法幾何法坐標法例題定理小結(jié)復習引入向量法幾何法坐標法例題定理小結(jié)余弦定理bAacCB證明：以CB所在的直線為X軸，過C點垂直于CB的直線為Y軸，建立如圖所示的坐標系，則A、B、C三點的坐標分別為：復習引入向量法幾何法坐標法例題定理小結(jié)復習引入向量法幾何法坐標法例題定理小結(jié)2023/7/1新疆奎屯市高級中學王新敞wxckt@126.com9

利用余弦定理，可以解決：（1）已知三邊，求三個角；（2）已知兩邊及夾角，求第三邊和其他兩個角.ABCabcc2=a2＋b2－2abcosC.a2＋b2－c22abcosC＝復習引入向量法幾何法坐標法例題定理小結(jié)2023/7/1新疆奎屯市高級中學王新敞wxckt@126.com10例1：在ABC中，已知a＝7，b＝10，

c＝6，求A、B和C.解：b2＋c2－a22bc∵cosA＝＝0.725，∴A≈44°a2＋b2－c22ab∵cosC＝＝0.8071，∴C≈36°,∴B＝180°－(A＋C)≈100°.∵sinC＝≈0.5954,∴C≈36°或144°(舍).csinA

a()復習引入向量法幾何法坐標法例題定理小結(jié)2023/7/1新疆奎屯市高級中學王新敞wxckt@126.com11例2：在ABC中，已知a＝2.730，b＝3.696，

C＝82°28′，解這個三角形.解：由c2=a2＋b2－2abcosC,得c≈4.297.b2＋c2－a22bc∵cosA＝≈0.7767，∴A≈39°2′,∴B＝180°－(A＋C)＝58°30′.asinC

c∵sinA＝≈0.6299，∴A=39°或141°(舍).()復習引入向量法幾何法坐標法例題定理小結(jié)2023/7/1新疆奎屯市高級中學王新敞wxckt@126.com12ABCOxy例3：ABC三個頂點坐標為(6，5)、

(－2，8)、(4，1)，求A.解法一：∵AB＝√[6-(-2)]2+(5-8)2=√73,BC＝√(-2-4)2+(8-1)2=√85,AC＝√(6-4)2+(5-1)2=2√5,cosA＝＝,2ABACAB2＋AC2－BC22√365∴∴A≈84°.復習引入向量法幾何法坐標法例題定理小結(jié)2023/7/1新疆奎屯市高級中學王新敞wxckt@126.com13ABCOxy例3：ABC三個頂點坐標為(6，5)、

(–2，8)、(4，1)，求A.解法二：∴A≈84°.∴cosA＝

＝＝.AB·ACABAC(–8)×(–2)＋3×(–4)√73·2√52√365∵AB＝(–8，3)，AC＝(–2，–4).復習引入向量法幾何法坐標法例題定理小結(jié)2023/7/1新疆奎屯市高級中學王新敞wxckt@126.com14ABCOxy例3：ABC三個頂點坐標為(6，5)、

(–2，8)、(4，1)，求A.αβ分析三：A=α+β,tanα=?tanβ=?tan(α+β)=復習引入向量法幾何法坐標法例題定理小結(jié)2023/7/1新疆奎屯市高級中學王新敞wxckt@126.com15解：在AOB中，∵|a–b|2

＝|a|2＋|b|2–2|a||b|cos120°

＝61,∴|a–b|＝√61.例4：已知向量a、b夾角為120°，且|a|＝5，|b|＝4，求|a–b|、

|a＋b|及a＋b與a的夾角.a－ba＋bBbACa120°O復習引入向量法幾何法坐標法例題定理小結(jié)2023/7/1新疆奎屯市高級中學王新敞wxckt@126.com16∴a＋b

＝√21.∴∠COA即a＋b與a的夾角約為49°.∵cos∠COA＝≈0.6546,a

2＋a＋b

2–b

22aa＋b例4：已知向量a、b夾角為120°，且|a|＝5，|b|＝4，求|a–b|、

|a＋b|及a＋b與a的夾角.a－ba＋bBbACa120°O在OAC中，∵|a+b|2

＝|a|2＋|b|2–2|a||b|cos60°

＝21,2023/7/1新疆奎屯市高級中學王新敞wxckt@126.com17例5已知四邊形ABCD的四邊長為AB=2.4,BC=CD=DA=1,A=30°,

求C.解:BD2=AB2+AD2–2AB·ADcosA≈2.60,cosC==–0.30,DC2+BC2–BD22DC·BCA30°DCBC≈107.5°.思考：若A=θ,怎樣用θ表示四邊形ABCD的面積？2023/7/1新疆奎屯市高級中學王新敞wxckt@126.com18練習ABC中,（1）a＝4，b＝3，C＝60°，則c＝_____；√1314.6°（2）a=2,

b=3,

c=4,

則C=______.104.5°（3）a＝2，b＝4，C＝135°，則A＝______.復習引入向量法幾何法坐標法例題定理小結(jié)2023/7/1新疆奎屯市高級中學王新敞wxckt@126.com19研究題

總結(jié)解三角形的方法：已知三角形邊角中哪三個量，有唯一解或多解或無解？分別用什么方法？復習引入向量法幾何法坐標法例題定理小結(jié)余弦定理課堂小結(jié)：1、定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的