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梅涅勞斯定理

梅涅勞斯定理是一個關于三角形內部點和三角形三邊的定理。具體來說，如果一條直線與三角形的三邊或其延長線相交于三個點F、D、E，那么這三個點共線的充要條件是AFBDCE/FBDCEA=1。這條直線被稱為三角形的梅氏線。梅涅勞斯定理是古希臘數(shù)學家梅涅勞斯首先證明的。梅涅勞斯定理有兩種證法。第一種證法是利用平行線分線段成比例的性質，第二種證法是利用正弦定理。利用梅涅勞斯定理的逆定理，可以判定三個點是否共線。梅涅勞斯定理的應用定理1是關于三角形內部點和三角形外角平分線的定理，如果三角形的A角外角平分線交BC延長線于P，B角外角平分線交AC于Q，C角外角平分線交AB于R，則P、Q、R三點共線。這可以通過利用三角形內、外角平分線定理和梅涅勞斯定理來證明。梅涅勞斯定理的應用定理2是關于三角形內部點和三角形外接圓的定理。如果三角形ABC的外接圓交BC、CA、AB的延長線于D、E、F，則AD、BE、CF三線共點。這可以通過利用三角形外心的性質和梅涅勞斯定理來證明。通過任意三角形ABC的三個頂點A、B、C作其外接圓的切線，分別和BC、CA、AB的延長線交于點P、Q、R，則P、Q、R三點共線。證明：因為CR是外接圓O的切線，所以三角形RAC和RCB相似，即RA/RC=RC/RB。同理，BP/BA=CA/CQ，AQ/AC=BC/BR。將三個式子相乘，得到(RA/RC)×(BP/BA)×(AQ/AC)=1，即(RA/RC)×(BP/BA)×(AC/AQ)=1。因此，P、Q、R三點共線。中學數(shù)學中的著名定理2：例1：已知：過三角形ABC頂點C的直線與邊AB及中線AD分別交于點F和E。求證：AE2/AF2=ED/FB。證明：直線CEF截三角形ABD，由梅涅勞斯定理得AF/FB×CE/ED×BD/CA=1。因為AD是中線，所以BD=DC，因此CE/ED=AC/AE。代入上式，得到AF/FB×AC/AE×BD/CA=1，即AE2/AF2=ED/FB。例2：已知：過三角形ABC重心G的直線分別交邊AB、AC及CB延長線于點E、F、D。求證：BE/CF=1/AG。證明：連接AG并延長交BC于M，因為G是重心，所以BM=CM。因為DEG截三角形ABM，所以根據(jù)梅涅勞斯定理得到AE/EB×BD/DM×MG/GA=1。同理，根

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