第10講預(yù)備知識(shí)十3.1.2函數(shù)的表示法(精講)

第10講預(yù)備知識(shí)十：3.1.2函數(shù)的表示法(精講） 目錄TOC\o"1-2"\h\u一、知識(shí)銜接 1二、重點(diǎn)題型剖析 3題型一：函數(shù)的三種表示法的應(yīng)用 3題型二：求函數(shù)的解析式待定系數(shù)法 6題型三：求函數(shù)的解析式換元法 9題型四：求函數(shù)的解析式湊配法 10題型五：求函數(shù)的解析式方程組法 11題型六：分段函數(shù)求值 12題型七：求分段函數(shù)解析式 14題型八：分段函數(shù)圖象 17一、知識(shí)銜接1、解析法：用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.2、列表法：列出表格來(lái)表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.3、圖象法：用圖象表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)聯(lián)系解析法①簡(jiǎn)明、全面的概括了變量之間的關(guān)系；②可以通過(guò)解析式求出在定義域內(nèi)任意自變量所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值；③便于利用解析式研究函數(shù)的性質(zhì)；①并不是所有的函數(shù)都有解析式；②不能直觀地觀察到函數(shù)的變化規(guī)律；解析法、圖象法、列表法各有各的優(yōu)缺點(diǎn)，面對(duì)實(shí)際情境時(shí)，我們要根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù)．圖象法①能直觀、形象地表示自變量的變化情況及相適應(yīng)的函數(shù)值的變化趨勢(shì)；②可以直接應(yīng)用圖象來(lái)研究函數(shù)的性質(zhì)；①并不是所有的函數(shù)都能畫(huà)出圖象；②不能精確地求出某一自變量相應(yīng)的函數(shù)值；列表法①不需要計(jì)算就可以直接看出與自變量的值對(duì)應(yīng)的函數(shù)值；①不夠全面，只能表示自變量取較少的有限值的對(duì)應(yīng)關(guān)系；②不能明顯地展示出因變量隨自變量變化的規(guī)律；知識(shí)點(diǎn)二：求函數(shù)解析式1、待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型（如一次函數(shù)、二次函數(shù)，反比例等），可用待定系數(shù)法．2、換元法：主要用于解決已知這類復(fù)合函數(shù)的解析式，求函數(shù)的解析式的問(wèn)題，在使用換元法時(shí)特別注意，換元必?fù)Q范圍.3、配湊法：由已知條件，可將改寫(xiě)成關(guān)于的表達(dá)式，4、方程組（消去）法：主要解決已知與、、……的方程，求解析式。知識(shí)點(diǎn)三：分段函數(shù)對(duì)于函數(shù)，若自變量在定義域內(nèi)的在不同范圍取值時(shí)，函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系也不相同，則稱函數(shù)叫分段函數(shù)．注：(1)分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，只是自變量在不同范圍取值時(shí)，函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系不相同；（2）在書(shū)寫(xiě)時(shí)要指明各段函數(shù)自變量的取值范圍；（3）分段函數(shù)的定義域是所以自變量取值區(qū)間的并集．知識(shí)點(diǎn)四：函數(shù)的圖象1、函數(shù)圖象的平移變換（左“+”右“-”；上“+”下“-”）①②③④注：左右平移只能單獨(dú)一個(gè)加或者減，注意當(dāng)前系數(shù)不為1,需將系數(shù)提取到外面.2、函數(shù)圖象的對(duì)稱變換①的圖象的圖象；②的圖象的圖象；③的圖象的圖象；3、函數(shù)圖象的翻折變換（絕對(duì)值變換）①的圖象的圖象；（口訣；以軸為界，保留軸上方的圖象；將軸下方的圖象翻折到軸上方）②的圖象的圖象.（口訣；以軸為界，去掉軸左側(cè)的圖象，保留軸右側(cè)的圖象；將軸右側(cè)圖象翻折到軸左側(cè)；本質(zhì)是個(gè)偶函數(shù)）二、重點(diǎn)題型剖析題型一：函數(shù)的三種表示法的應(yīng)用典型例題例題1．（多選）（2023春·高一?？奸_(kāi)學(xué)考試）下列各圖是函數(shù)圖象的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【詳解】根據(jù)函數(shù)的定義可知，定義域內(nèi)的每一個(gè)只有一個(gè)和它對(duì)應(yīng)，因此不能出現(xiàn)一對(duì)多的情況，所以B不是函數(shù)圖象，ACD是函數(shù)圖象.故選：ACD.例題2．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）一司機(jī)駕駛汽車從甲地去乙地，他以的平均速度用了到達(dá)乙地．當(dāng)他按照原路返回時(shí)，汽車的速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式是______．【答案】【詳解】因?yàn)樗缘钠骄俣扔昧说竭_(dá)乙地．所以甲乙兩地之間的路程為，則當(dāng)他按照原路返回時(shí)，（）.故答案為：.例題3．（2023春·安徽阜陽(yáng)·高一阜陽(yáng)市第三中學(xué)校考階段練習(xí)）德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克在1837年時(shí)提出：“如果對(duì)于的每一個(gè)值，總有一個(gè)完全確定的值與之對(duì)應(yīng)，則是的函數(shù)．”這個(gè)定義較清楚地說(shuō)明了函數(shù)的內(nèi)涵．只要有一個(gè)法則，使得取值范圍中的每一個(gè)值，有一個(gè)確定的y和它對(duì)應(yīng)就行了，不管這個(gè)對(duì)應(yīng)的法則是公式、圖像、表格還是其它形式．已知函數(shù)由下表給出，則的值為_(kāi)____________．123【答案】3【詳解】∵，∴，則，∴，又∵，∴．故答案為：3同類題型歸類練1．（2023春·寧夏銀川·高三銀川一中?？茧A段練習(xí)）如圖，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，點(diǎn)由點(diǎn)沿線段向點(diǎn)移動(dòng)，過(guò)點(diǎn)作的垂線，設(shè)，記位于直線左側(cè)的圖形的面積為，那么與的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】當(dāng)時(shí)，，顯然此時(shí)函數(shù)的圖象是拋物線的一部分；當(dāng)時(shí)，，顯然此時(shí)函數(shù)的圖象是拋物線的一部分，綜上所述：與的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是選項(xiàng)D，故選：D2．（2023春·四川雅安·高一雅安中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）函數(shù)的部分圖象大致是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】解：因?yàn)?，且，，故符合題意的只有A.故選：A3．（2023春·江蘇常州·高一常州市北郊高級(jí)中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)分別由下表給出：123123131321滿足的的集合是__________.【答案】【詳解】，故，滿足要求，，故，不滿足要求，，故，滿足要求，所以滿足的的集合為.故答案為：4．（2023春·上海楊浦·高一上海市楊浦高級(jí)中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知等腰三角形的周長(zhǎng)為1，把該三角形腰長(zhǎng)表示為底邊長(zhǎng)的函數(shù)，則該函數(shù)為_(kāi)_________.（要求：寫(xiě)出解析式和自變量的取值范圍）【答案】【詳解】根據(jù)題意：，，故，則函數(shù)為.故答案為：題型二：求函數(shù)的解析式待定系數(shù)法典型例題例題1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）一次函數(shù)滿足，且，則的解析式為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意，設(shè).∵，即，可得：.又∵即∴，∴的解析式為．故選：A．例題2．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知是反比例函數(shù)，且，則的解析式為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】設(shè)，∵，，∴.故選：B.例題3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知二次函數(shù)，其圖象過(guò)點(diǎn)，且滿足，則的解析式為_(kāi)_____.【答案】【詳解】根據(jù)題意可知，又恒相等，化簡(jiǎn)得到恒相等，所以，故，，，所以的解析式為.故答案為：.同類題型歸類練1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知一次函數(shù)滿足，則解折式為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】設(shè)一次函數(shù)，則，即，所以解得，所以，故選:C.2．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，其中是x的正比例函數(shù)，是x的反比例函數(shù)，且，則（

）A．3 B．8 C．9 D．16【答案】C【詳解】根據(jù)題意設(shè)，則，因?yàn)?，所以，解得，所以，所以，故選：C3．（2023秋·四川成都·高一成都七中?？计谀┮阎瘮?shù)是二次函數(shù)，，．(1)求的解析式；(2)解不等式．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由，知此二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為，又因?yàn)?，所以是的頂點(diǎn)，

所以設(shè)

因?yàn)?，?/p>

所以得

所以（2）因?yàn)樗曰癁?，即或不等式的解集為題型三：求函數(shù)的解析式換元法典型例題例題1．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知，則的解析式為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】令，即，則，由，則，故的解析式為.故選：C.例題2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，那么的表達(dá)式是___________.【答案】【詳解】，令，則，故，故，故答案為：同類題型歸類練1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，則的表達(dá)式為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】令，則且，所以，，因此，.故選：B.2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)），則_______．【答案】【詳解】令，于是有，故答案為：題型四：求函數(shù)的解析式湊配法典型例題例題1．（2023春·廣東廣州·高一廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由于，所以.故選：B例題2．（2023秋·江西鷹潭·高三貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)滿足，則的解析式為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】，所以，故選：A．同類題型歸類練1．（2023秋·湖南長(zhǎng)沙·高一?？计谀┮阎?，則（

）．A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)?，所以．故選：A2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知=，則的表達(dá)式是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由=所以故選：A題型五：求函數(shù)的解析式方程組法典型例題例題1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】令為，則，與聯(lián)立可解得，．故選：D．例題2．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若，則______．【答案】【詳解】由題意，可知．解得．故答案為：同類題型歸類練1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)滿足，則的最小值為_(kāi)_________．【答案】4【詳解】因?yàn)?，所以，①，所以②由①②可解得，，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．故答案為：42．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知f(x)＋2f(－x)＝2x＋3，則f(x)＝______．【答案】-2x+1【詳解】由f(x)＋2f(－x)＝2x＋3，得f(-x)＋2f(x)＝-2x＋3，兩式聯(lián)立解得f(x)＝-2x+1，故答案為：-2x+1題型六：分段函數(shù)求值典型例題例題1．（2023秋·湖南益陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，則（

）A．6 B．3 C．2 D．【答案】B【詳解】由題意，在中，，故選：B.例題2．（2023秋·廣東廣州·高一廣東番禺中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)，則的值為（

）A． B． C． D．1【答案】D【詳解】因?yàn)?，所以，故選:D.例題3．（2023秋·廣西防城港·高一統(tǒng)考期末）已知，則__________.【答案】7【詳解】由題知，，，，，.故答案為：7.同類題型歸類練1．（2023秋·廣東清遠(yuǎn)·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，則__________.【答案】2【詳解】由分段函數(shù)解析式可知，將代入可得，再將代入可得，即可計(jì)算出.故答案為：22．（2023春·福建莆田·高二校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，則______．【答案】2【詳解】因?yàn)?，所以?故答案為：2.3．（2023·寧夏中衛(wèi)·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，則________．【答案】7【詳解】.故答案為：4．（2023秋·上海閔行·高一統(tǒng)考期末）歷史上著名的狄利克雷函數(shù)，那么___________．【答案】1【詳解】因?yàn)?，所以?故答案為：1.題型七：求分段函數(shù)解析式典型例題例題1．（多選）（2023秋·貴州遵義·高一統(tǒng)考期末）（多選題）函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式是（

）A． B．C． D．【答案】AC【詳解】結(jié)合圖象可知，當(dāng)x≤0時(shí)，設(shè)，將代入函數(shù)，得，，同理，當(dāng)x>0時(shí)，，所以，即.故選：AC例題2．（2023·上海徐匯·高一統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的邊長(zhǎng)為，其中．用直線：（）截這個(gè)正方形，將正方形分為兩個(gè)部分，其中包含了頂點(diǎn)部分的面積記為，將表示為的函數(shù)，則其解析式為_(kāi)_______________．【答案】【詳解】由題意可知為等腰直角三角形，,當(dāng)直線在的左側(cè)時(shí)，即直線與正方形的交點(diǎn)在上時(shí)，即當(dāng)時(shí)，直線的左側(cè)為等腰直角為三角形，此時(shí)，當(dāng)直線與正方形的交點(diǎn)在上時(shí)，即，直線的左側(cè)為五邊形，則，所以S表示為t的函數(shù)解析式為，故答案為：.同類題型歸類練1．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)與的圖象拼成如圖所示的“”字形折線段，不含????五個(gè)點(diǎn)，若的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖形即為的圖象，則其中一個(gè)函數(shù)的解析式可以為_(kāi)_________.【答案】【詳解】由圖可知，線段OC與線段OB是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，線段CD與線段BA也是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，根據(jù)題意，f(x)與g(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以f(x)的圖象可以在OC或CD中選取一個(gè)，再在AB或OB中選取一個(gè)，比如其組合形式為:OC和AB，CD和OB,不妨取f(x)的圖象為OC和AB，OC的方程為:，AB的方程為:，所以，故答案為：2．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)f(x)的圖像如圖所示，在區(qū)間上是拋物線的一段.(1)求f(x)的解析式(2)解不等式.【答案】(1)(2)（2）根據(jù)函數(shù)解析式分段求解不等式即可.【詳解】（1）解：由圖可知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，設(shè)，把點(diǎn)代入得，解得，所以，當(dāng)時(shí)，設(shè)，把代入得，，解得，所以，所以；（2）解：，當(dāng)時(shí)，，解得，不符合，舍去，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，解得，所以，綜上，不等式得解集為.題型八：分段函數(shù)圖象典型例題例題1．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)．（1）求的值；（2）畫(huà)出函數(shù)的圖象．【答案】（1）；（2）圖象見(jiàn)解析.【詳解】（1），，則；（2）函數(shù)的