高中數(shù)學(xué)-等差數(shù)列的前n項(xiàng)和教學(xué)設(shè)計(jì)學(xué)情分析教材分析課后反思

教學(xué)設(shè)計(jì)【教學(xué)目標(biāo)】一、知識(shí)與技能1.掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式；2.體會(huì)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過(guò)程;3.會(huì)簡(jiǎn)單運(yùn)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式。二、過(guò)程與方法1．通過(guò)對(duì)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo),體會(huì)倒序相加求和的思想方法；2.通過(guò)公式的運(yùn)用體會(huì)方程的思想。三、情感態(tài)度與價(jià)值觀結(jié)合具體模型,將教材知識(shí)和實(shí)際生活聯(lián)系起來(lái),使學(xué)生感受數(shù)學(xué)的實(shí)用性,有效激發(fā)學(xué)習(xí)興趣,并通過(guò)對(duì)等差數(shù)列求和歷史的了解,滲透數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)和應(yīng)用?！窘虒W(xué)難點(diǎn)】在等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過(guò)程中體會(huì)倒序相加的思想方法?！局攸c(diǎn)、難點(diǎn)解決策略】本課在設(shè)計(jì)上采用了由特殊到一般、從具體到抽象的教學(xué)策略。利用數(shù)形結(jié)合、類(lèi)比歸納的思想，層層深入，通過(guò)學(xué)生自主探究、分析、整理出推導(dǎo)公式的思路，同時(shí)，借助多媒體的直觀演示，幫助學(xué)生理解，師生互動(dòng)、講練結(jié)合，從而突出重點(diǎn)、突破教學(xué)難點(diǎn)。【教學(xué)用具】多媒體軟件，電腦【教學(xué)過(guò)程】一、明確數(shù)列前n項(xiàng)和的定義，確定本節(jié)課中心任務(wù):本節(jié)課我們來(lái)學(xué)習(xí)《等差數(shù)列的前n項(xiàng)和》，那么什么叫數(shù)列的前n項(xiàng)和呢，對(duì)于數(shù)列{an}：a1，a2，a3，…，an，…我們稱a1+a2+a3+…+an為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，用Sn表示，記Sn=a1+a2+a3+…+an，如S1=a1，S7=a1+a2+a3+……+a7，下面我們來(lái)共同探究如何求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和。二、問(wèn)題牽引，探究發(fā)現(xiàn)問(wèn)題1：（播放媒體資料情景引入）印度泰姬陵世界七大奇跡之一。傳說(shuō)陵寢中有一個(gè)三角形圖案，以相同大小的圓寶石鑲飾而成，共有100層（見(jiàn)圖），奢靡之程度，可見(jiàn)一斑。你知道這個(gè)圖案一共花了多少圓寶石嗎？即:S100=1+2+3+······+100=？著名數(shù)學(xué)家高斯小時(shí)候就會(huì)算，聞名于世;那么小高斯是如何快速地得出答案的呢？請(qǐng)同學(xué)們思考高斯方法的特點(diǎn)，適合類(lèi)型和方法本質(zhì)。特點(diǎn)：首項(xiàng)與末項(xiàng)的和：1＋100＝101，第2項(xiàng)與倒數(shù)第2項(xiàng)的和：2＋99＝101，第3項(xiàng)與倒數(shù)第3項(xiàng)的和：3＋98＝101，······第50項(xiàng)與倒數(shù)第50項(xiàng)的和：50＋51＝101，于是所求的和是：101×50＝5050。1+2+3+······+100=101×50=5050同學(xué)們討論后總結(jié)發(fā)言：等差數(shù)列項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)相加時(shí)首尾配對(duì)，變不同數(shù)的加法運(yùn)算為相同數(shù)的乘法運(yùn)算大大提高效率。高斯的方法很妙，如果等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)怎么辦呢？探索與發(fā)現(xiàn)1：假如讓你計(jì)算從第一層到第21層的珠寶數(shù)，高斯的首尾配對(duì)法行嗎？即計(jì)算S21=1+2+3+······+21的值，在這個(gè)過(guò)程中讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，首尾配對(duì)出現(xiàn)了問(wèn)題，通過(guò)動(dòng)畫(huà)演示引導(dǎo)幫助學(xué)生思考解決問(wèn)題的辦法，為引出倒序相加法做鋪墊。把“全等三角形”倒置，與原圖構(gòu)成平行四邊形。平行四邊形中的每行寶石的個(gè)數(shù)均為21個(gè)，共21行。有什么啟發(fā)？+2+3+……+20+2121+20+19+……+2+1S21=1+2+3+…+21=（21+1）×21÷2=231這個(gè)方法也很好，那么項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)這個(gè)方法還行嗎？探索與發(fā)現(xiàn)2：第5層到12層一共有多少顆圓寶石？學(xué)生探究的同時(shí)通過(guò)動(dòng)畫(huà)演示幫助學(xué)生思考剛才的方法是否同樣可行？請(qǐng)同學(xué)們自主探究一下（老師演示動(dòng)畫(huà)幫助學(xué)生）S8=5+6+7+8+9+10+11+12=【設(shè)計(jì)意圖】進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生探究項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的等差數(shù)列求和時(shí)倒序相加是否可行。從而得出倒序相加法適合任意項(xiàng)數(shù)的等差數(shù)列求和，最終確立倒序相加的思想和方法！好，這樣我們就找到了一個(gè)好方法——倒序相加法！現(xiàn)在來(lái)試一試如何求下面這個(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和？問(wèn)題2：等差數(shù)列1,2,3,…,n,…的前n項(xiàng)和怎么求呢？解:（根據(jù)前面的學(xué)習(xí)，請(qǐng)學(xué)生自主思考獨(dú)立完成）【設(shè)計(jì)意圖】強(qiáng)化倒序相加法的理解和運(yùn)用，為更一般的等差數(shù)列求和打下基礎(chǔ)。至此同學(xué)們已經(jīng)掌握了倒序相加法，相信大家可以推導(dǎo)更一般的等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式了。問(wèn)題3：對(duì)于一般的等差數(shù)列{an}首項(xiàng)為a1，公差為d，如何推導(dǎo)它的前n項(xiàng)和sn公式呢？即求=a1+a2+a3+……+an=∴（1）+（2）可得：2∴公式變形：將代入可得：【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生在前面的探究基礎(chǔ)上水到渠成順理成章很快就可以推導(dǎo)出一般等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，從而完成本節(jié)課的中心任務(wù)。在這個(gè)過(guò)程中放手讓學(xué)生自主推導(dǎo)，同時(shí)也復(fù)習(xí)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和基本性質(zhì)。三、公式的認(rèn)識(shí)與理解：1、根據(jù)前面的推導(dǎo)可知等差數(shù)列求和的兩個(gè)公式為：（公式一）（公式二）探究：1、（1）相同點(diǎn)：都需知道a1與n;（2）不同點(diǎn)：第一個(gè)還需知道an，第二個(gè)還需知道d;（3）明確若a1,d,n,an中已知三個(gè)量就可求Sn。2、兩個(gè)公式共涉及a1,d,n,an，Sn五個(gè)量，“知三”可“求二”。2、探索與發(fā)現(xiàn)3：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式與梯形面積公式有什么聯(lián)系？用梯形面積公式記憶等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，這里對(duì)圖形進(jìn)行了割、補(bǔ)兩種處理，對(duì)應(yīng)著等差數(shù)列n項(xiàng)和的兩個(gè)公式.，請(qǐng)學(xué)生聯(lián)想思考總結(jié)來(lái)有助于記憶?！驹O(shè)計(jì)意圖】幫助學(xué)生類(lèi)比聯(lián)想，拓展思維，增加興趣，強(qiáng)化記憶四、公式應(yīng)用、講練結(jié)合1、練一練：有了兩個(gè)公式，請(qǐng)同學(xué)們來(lái)練一練，看誰(shuí)做的快做的對(duì)！根據(jù)下列各題中的條件，求相應(yīng)的等差數(shù)列｛an｝的Sn：a1=5，an=95，n=10解：500a1=100，d=－2，n=50解：【設(shè)計(jì)意圖】熟悉并強(qiáng)化公式的理解和應(yīng)用，進(jìn)一步鞏固“知三求二”。下面我們來(lái)看兩個(gè)例題：2、例題1：例1.根據(jù)下列各題中的條件，求相應(yīng)的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生體會(huì)數(shù)列知識(shí)在生活中的應(yīng)用及簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)建模思想方法。3、例題2：已知一個(gè)等差數(shù)列{an}的前10項(xiàng)的和是310，前20項(xiàng)的和是1220，由這些條件可以確定這個(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式嗎？解：法1：由題意知,代入公式QUOTEQUOTEsn=na1+n(n+1)2dsnQUOTEQUOTE10a1+45d=31020a1+190d=1220解得,法2：由題意知,代入公式QUOTEQUOTEsn=na1+n(n+1)2dsn，即，②①得，，故由得故【設(shè)計(jì)意圖】掌握并能靈活應(yīng)用公式并體會(huì)方程的思想方法。4、反饋達(dá)標(biāo):練習(xí)一：在等差數(shù)列{an}中，a1=20，an=54，sn=999,求n.解：由解n=27練習(xí)2：已知{an}為等差數(shù)列，QUOTE,求公差。解：由公式得即d=2【設(shè)計(jì)意圖】進(jìn)一強(qiáng)化求和公式的靈活應(yīng)用及化歸的思想（化歸到首項(xiàng)和公差這兩個(gè)基本元）。五、歸納總結(jié)分享收獲：(活躍課堂氣氛，鼓勵(lì)學(xué)生大膽發(fā)言，培養(yǎng)總結(jié)和表達(dá)能力)1、倒序相加法求和的思想及應(yīng)用；2、等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過(guò)程；3、掌握等差數(shù)列的兩個(gè)求和公式,;4、前n項(xiàng)和公式的靈活應(yīng)用及方程的思想?！?、作業(yè)布置：（一）書(shū)面作業(yè)：1.已知等差數(shù)列{an},其中d=2,n=15,an=-10,求a1及sn。2.在a，b之間插入10個(gè)數(shù)，使它們同這兩個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,求這10個(gè)數(shù)的和。（二）課后思考：思考：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法除了倒序相加法還有沒(méi)有其它方法呢?【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)布置書(shū)面作業(yè)鞏固所學(xué)知識(shí)及方法，同時(shí)通過(guò)布置課后思考題來(lái)延伸知識(shí)拓展思維。附：板書(shū)設(shè)計(jì)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和數(shù)列前n項(xiàng)和的定義：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)：公式的認(rèn)識(shí)與理解：公式一：公式二：四：例題及解答：議練活動(dòng)：學(xué)情分析

根據(jù)皮亞杰的認(rèn)知水平階段，高一學(xué)生處于形式運(yùn)算階段，他們思維比較活躍，具有了敏銳的觀察能力以及歸納和類(lèi)比能力，所以本節(jié)課將從分析高斯計(jì)算的小故事的算法入手，結(jié)合數(shù)學(xué)史的特點(diǎn)，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生由特殊到一般，探究等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式．

教材分析選自人教A版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)?數(shù)學(xué)?必修5》的第二章第三節(jié),共有兩個(gè)課時(shí)，本節(jié)課為第一課時(shí)：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)及其簡(jiǎn)單應(yīng)用．

等差數(shù)列前n項(xiàng)和是本章的重要內(nèi)容，它與前面學(xué)過(guò)的等差數(shù)列的通項(xiàng)公式﹑性質(zhì)有著密切聯(lián)系，同時(shí)又為今后的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和﹑數(shù)列求和等內(nèi)容做好知識(shí)準(zhǔn)備，在整個(gè)章節(jié)中起著承上啟下的作用．同時(shí)它也是高考命題的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，是以后繼續(xù)高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)知識(shí)，所以本節(jié)課在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中占有重要地位．

評(píng)測(cè)練習(xí):1.數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，它的前20項(xiàng)的和則下列等式中正確的是（）A.B.C.D.2.在等差數(shù)列中，，，則為（）A.27B.28C.29D.303.等差數(shù)列的第5項(xiàng)等于10，前三項(xiàng)的和等于3，那么（）A.它的首項(xiàng)是-2，公差是3B.它的首項(xiàng)是2，公差是-3C.它的首項(xiàng)是-3，公差是2D.它的首項(xiàng)是3，公差是-24..等差數(shù)列共有項(xiàng)，所有奇數(shù)項(xiàng)之和為132，所有偶數(shù)項(xiàng)之和為120，則（）A.9B.10C.11D.125.等差數(shù)列{}中，公差，前項(xiàng)和，當(dāng)時(shí)一定有（）ABCD6．一個(gè)凸多邊形的內(nèi)角成等差數(shù)列，其中最小的內(nèi)角為120°，公差為5°，那么這個(gè)多邊形的邊數(shù)n等于()A．8 B．9C．10 D．167．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3n2－n(n∈N＋)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝________.8．設(shè){an}是公差為－2的等差數(shù)列，如果a1＋a4＋…＋a97＝50，那么a3＋a6＋…＋a99＝________.9．在等差數(shù)列{an}中，已知Sn＝30，S2n＝100，則S4n＝________.10．在項(xiàng)數(shù)為2n＋1的等差數(shù)列中，所有奇數(shù)項(xiàng)的和為165，所有偶數(shù)項(xiàng)的和為150，則n的值為_(kāi)_______．課后反思設(shè)計(jì)本節(jié)課時(shí)有一個(gè)指導(dǎo)思想：就是要在課堂上讓學(xué)生能充分展開(kāi)思維活動(dòng),不能只講重視"結(jié)果"的教學(xué),而忽視"過(guò)程"的教學(xué),錯(cuò)失對(duì)學(xué)生進(jìn)行思維訓(xùn)練的極好機(jī)會(huì).數(shù)學(xué)教學(xué)必須注重在課堂教學(xué)中暴露數(shù)學(xué)思維活動(dòng)過(guò)程,把教科書(shū)中看不到的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)、數(shù)學(xué)創(chuàng)造、數(shù)學(xué)真實(shí)應(yīng)用的思維活動(dòng)再現(xiàn)給學(xué)生.華羅庚教授說(shuō)得好:不要只給學(xué)生看做好的飯，還要看怎樣做。講課中學(xué)生間的互動(dòng)還有待提高。課標(biāo)分析根據(jù)教材特點(diǎn)、教學(xué)大綱、新課標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)，從提高學(xué)生