湖南省岳陽市時(shí)豐中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理月考試卷含解析

湖南省岳陽市時(shí)豐中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.函數(shù)（其中）的圖象如下圖所示，為了得到的圖象，則只需將的圖象（A）右移個(gè)長(zhǎng)度單位（B）右移個(gè)長(zhǎng)度單位（C）左移個(gè)長(zhǎng)度單位（D）左移個(gè)長(zhǎng)度單位

參考答案：A2.若集合是函數(shù)的定義域，是函數(shù)的定義域，則等于(

)A．

B．

C．

D．

參考答案：A3.已知集合,,則（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D因?yàn)?，．所以，故答案選D．4.已知f（x）=3sin2x+acos2x，其中a為常數(shù)．f（x）的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則f（x）在以下區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)的是（）A．[﹣π，﹣π] B．[﹣π，﹣π] C．[﹣π，π] D．[0，π]參考答案：B【考點(diǎn)】?jī)山呛团c差的正弦函數(shù)．【專題】三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】先將函數(shù)y=sin2x+acos2x利用輔角公式化簡(jiǎn)，然后根據(jù)正弦函數(shù)在對(duì)稱軸上取最值可得f（x）=2sin（2x+），根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解．【解答】解：由題意知：y=3sin2x+acos2x=sin（2x+φ），當(dāng)x=時(shí)函數(shù)y=3sin2x+acos2x取到最值±，將x=代入可得：3sin（2×）+acos（2×）==±，解得：a=，故f（x）=3sin2x+cos2x=2sin（2x+），由于[﹣π，﹣π]∈[﹣，﹣]，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象可知函數(shù)在[﹣π，﹣π]上是單調(diào)遞減的，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角函數(shù)的輔角公式和正弦函數(shù)的對(duì)稱性問題，考查了三角函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．5.已知遞增的等比數(shù)列{an}中，，、、成等差數(shù)列，則該數(shù)列的前項(xiàng)和（

）A．

B．

C.

D．參考答案：B設(shè)數(shù)列的公比為q，由題意可知：，且：，即：，整理可得：，則，(舍去).則：，該數(shù)列的前項(xiàng)和.本題選擇B選項(xiàng).

6.函數(shù)的定義域?yàn)?，圖象如圖3所示；函數(shù)的定義域?yàn)?，圖象如圖4所示，方程有個(gè)實(shí)數(shù)根，方程有個(gè)實(shí)數(shù)根，則A.14

B.12

C.10

D.8參考答案：A由方程可知，此時(shí)有7個(gè)實(shí)根，即；由方程可知，所以，故選A.7.直線x+my+1=0與不等式組表示的平面區(qū)域有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(

)A．[，] B．[﹣，﹣] C．[，3] D．[﹣3，﹣]參考答案：D【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【專題】不等式的解法及應(yīng)用．【分析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識(shí)即可得到結(jié)論．【解答】解：即直線x+my+1=0過定點(diǎn)D（﹣1，0）作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：當(dāng)m=0時(shí)，直線為x=﹣1，此時(shí)直線和平面區(qū)域沒有公共點(diǎn)，故m≠0，x+my+1=0的斜截式方程為y=x，斜率k=，要使直線和平面區(qū)域有公共點(diǎn)，則直線x+my+1=0的斜率k＞0，即k=＞0，即m＜0，滿足kCD≤k＜kAB，此時(shí)AB的斜率kAB=2，由解得，即C（2，1），CD的斜率kCD==，由，解得，即A（2，4），AD的斜率kAD==，即≤k≤，則≤≤，解得﹣3≤m≤﹣，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線性規(guī)劃以及斜率的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．8.下列命題中的假命題是（

）A．

B．

C.

D．參考答案：B9.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是，正三角形的一邊與雙曲線左支交于點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率的值是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B試題分析：由已知可知：點(diǎn)在軸上，設(shè)，∵，∴，即，在中，，由余弦定理有，由定義有:，即，∴.考點(diǎn)：1.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；2.余弦定理.

10.已知五個(gè)數(shù)，，，，構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，則圓錐曲線的離心率為（

）A． B．

C．或

D．或參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知直線l：與x軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)P在直線l上，圓：上有且僅有一個(gè)點(diǎn)B滿足，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值集合為

．參考答案：以AP為直徑的圓與圓C相切，設(shè)，所以以AP為直徑的圓圓心為，半徑為，因此外切時(shí)：，內(nèi)切時(shí)：，即點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值集合為

12.定義在R上的偶函數(shù)滿足：上是增函數(shù)，給出下列判斷：

①是周期函數(shù)；

②的圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱；

③在[0，1]上是增函數(shù)；④在[1，2]上是減函數(shù)；

⑤

其中正確的命題是

。參考答案：①②⑤略13.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等．問各得幾何．”其意思為“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢，甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列．問五人各得多少錢？”（“錢”是古代的一種重量單位）．這個(gè)問題中，乙所得為_______錢.參考答案：由題意,設(shè)這五人所得錢分別為，則，且，所以，所以乙所得為錢.

14.已知正三棱錐，點(diǎn)都在半徑為的球面上，若兩兩互相垂直，則球心到截面的距離為________.參考答案：因?yàn)樵谡忮FABC中，PA，PB，PC兩兩互相垂直，所以可以把該正三棱錐看作為一個(gè)正方體的一部分，（如圖所示），此正方體內(nèi)接于球，正方體的體對(duì)角線為球的直徑，球心為正方體對(duì)角線的中點(diǎn).球心到截面ABC的距離為球的半徑減去正三棱錐ABC在面ABC上的高.已知球的半徑為，所以正方體的棱長(zhǎng)為2，可求得正三棱錐ABC在面ABC上的高為，所以球心到截面ABC的距離為.15.記數(shù)列的前和為，若是公差為的等差數(shù)列，則為等差數(shù)列時(shí),的值為________________.參考答案：1或略16.若函數(shù)的部分圖象如圖所示，則該函數(shù)解析式是

.參考答案：17.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為，過拋物線上一過拋物線上一點(diǎn)P作PE于E，若直線EF的傾斜角為，則____________.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠ABC=60°，PB=PC=PD．（1）證明：PA⊥平面ABCD；（2）若PA=2，求二面角A﹣PD﹣B的余弦值．參考答案：【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的判定．【分析】（1）連接AC，取BC中點(diǎn)E，連接AE，PE，推導(dǎo)出BC⊥AE，BC⊥PE，從而BC⊥PA．同理CD⊥PA，由此能證明PA⊥平面ABCD．（2）以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz，利用向量法能求出二面角A﹣PD﹣B的余弦值．【解答】證明：（1）連接AC，則△ABC和△ACD都是正三角形．取BC中點(diǎn)E，連接AE，PE，因?yàn)镋為BC的中點(diǎn)，所以在△ABC中，BC⊥AE，因?yàn)镻B=PC，所以BC⊥PE，又因?yàn)镻E∩AE=E，所以BC⊥平面PAE，又PA?平面PAE，所以BC⊥PA．同理CD⊥PA，又因?yàn)锽C∩CD=C，所以PA⊥平面ABCD．…6解：（2）如圖，以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz，則B（，﹣1，0），D（0，2，0），P（0，0，2），=（0，2，﹣2），=（﹣，3，0），設(shè)平面PBD的法向量為=（x，y，z），則，取x=，得=（），取平面PAD的法向量=（1，0，0），則cos＜＞==，所以二面角A﹣PD﹣B的余弦值是．…19.已知A（﹣2，0），B（2，0），點(diǎn)C、D依次滿足．（1）求點(diǎn)D的軌跡；（2）過點(diǎn)A作直線l交以A、B為焦點(diǎn)的橢圓于M、N兩點(diǎn)，線段MN的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為，且直線l與點(diǎn)D的軌跡相切，求該橢圓的方程；（3）在（2）的條件下，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，0），是否存在橢圓上的點(diǎn)P及以Q為圓心的一個(gè)圓，使得該圓與直線PA，PB都相切，如存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)及圓的方程，如不存在，請(qǐng)說明理由．參考答案：考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題；圓錐曲線的軌跡問題．專題：綜合題；圓錐曲線中的最值與范圍問題．分析：（1）設(shè)C（x0，y0），D（x，y），由可得C、D兩點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系①，由||=2可得②，由①②消掉x0，y0即得所求軌跡方程，進(jìn)而得其軌跡；（2）設(shè)直線l的方程為y=k（x+2）橢圓的方程，由l與圓相切可得k2值，聯(lián)立直線方程與橢圓方程消掉y并代入k2值，可用a表示出由中點(diǎn)坐標(biāo)公式及MN的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為可得a的方程，解出即可；（3）假設(shè)存在橢圓上的一點(diǎn)P（x0，y0），使得直線PA，PB與以Q為圓心的圓相切，易知點(diǎn)Q到直線PA，PB的距離相等，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得一方程，再由點(diǎn)P在橢圓上得一方程聯(lián)立可解得點(diǎn)P，進(jìn)而得到圓的半徑；解答：解：（1）設(shè)．=（x+2，y），則，．所以，點(diǎn)D的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓．

（2）設(shè)直線l的方程為y=k（x+2）．①橢圓的方程；②由l與圓相切得：．將①代入②得：（a2k2+a2﹣4）x2+4a2k2x+4a2k2﹣a4+4a2=0，又，可得，有，∴，解得a2=8．∴．（3）假設(shè)存在橢圓上的一點(diǎn)P（x0，y0），使得直線PA，PB與以Q為圓心的圓相切，則Q到直線PA，PB的距離相等，A（﹣2，0），B（2，0），PA：（x0+2）y﹣y0x﹣2y0，PB：（x0﹣2）y﹣y0x+2y0=0，==d2，化簡(jiǎn)整理得：，∵點(diǎn)P在橢圓上，∴，解得：x0=2或x0=8（舍）x0=2時(shí)，，r=1，∴橢圓上存在點(diǎn)P，其坐標(biāo)為（2，）或（2，﹣），使得直線PA，PB與以Q為圓心的圓（x﹣1）2+y2=1相切．點(diǎn)評(píng)：本題考查直線方程、圓的方程、橢圓方程及其位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，綜合性強(qiáng)，能力要求較高．20.已知.（1）已知是導(dǎo)函數(shù)，求的極值；（2）設(shè)，若有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.參考答案：(1)極小值為(2)【分析】（1）先求出，再利用導(dǎo)數(shù)求的極值；（2）先求出,再對(duì)a分a＞0，a=0，a＜0三種情況，根據(jù)函數(shù)g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)求出a的取值范圍.【詳解】解：（1）①若，顯然所以在R上遞增，所以沒有極值.②若，則，所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)。所以在處取極小值，極小值（2）.函數(shù)定義域?yàn)镽，且.①若，則所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)。所以令，則.顯然，所以在上是減函數(shù).又函數(shù)在上是減函數(shù)，取實(shí)數(shù)，則又在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)。由零點(diǎn)存在性定理，在，上各有一個(gè)唯一的零點(diǎn)。所以符合題意。②若，則，顯然僅有一個(gè)零點(diǎn)1，所以不符合題意.③若，則.（i）若，則，此時(shí)，即在R上遞增，至多只有一個(gè)零點(diǎn)，所以不符合題意，（ii）若，則，函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以在處取得極大值，且極大值，所以最多有一個(gè)零點(diǎn)，所以不符合題意。（iii）若，則，函數(shù)在和上遞增，在上遞減，所以在處取得極大值，且極大值為，所以最多有一個(gè)零點(diǎn)，所以不符合題意.綜上所述，a的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值和研究函數(shù)的零點(diǎn)問題，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.21.已知橢圓＞b＞的離心率為且橢圓上一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為.斜率為的直線過橢圓的上焦點(diǎn)且與橢圓相交于P，Q兩點(diǎn)，線段PQ的垂直平分線與y軸相交于點(diǎn)M（0，m）.(1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2）求m的取值范圍.(3）試用m表示△MPQ的面積S，并求面積S的最大值.參考答案：（1）依題意可得解得

從而所求橢圓方程為(2）直線的方程為由可得該方程的判別式△=＞0恒成立.設(shè)則可得設(shè)線段PQ中點(diǎn)為N，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為線段PQ的垂直平分線方程為

令，由題意

又，所以0＜＜

(3）點(diǎn)M到直線的距離