2017年新課標(biāo)全國卷2高考理科數(shù)學(xué)試題及標(biāo)準(zhǔn)答案

2017年新課標(biāo)全國卷2高考理科數(shù)學(xué)試題及標(biāo)準(zhǔn)答案

2017年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)注意事項：1.在答題前，考生需要填寫自己的姓名和準(zhǔn)考證號，并將條形碼準(zhǔn)確粘貼在指定區(qū)域內(nèi)。2.選擇題需要使用2B鉛筆填涂，非選擇題需要使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整，筆跡清晰。3.考生需要按照題號順序在答題卡上作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，草稿紙和試卷上的答題也無效。4.作圖可以先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.考生需要保持答題卡的清潔，不要折疊、弄破、弄皺，也不允許使用涂改液、修正帶、刮紙刀。選擇題：1.計算$\frac{3+i}{1+i}$的值。A．$1+2i$B．$1-2i$C．$2+i$D．$2-i$2.設(shè)集合$\mathbb{A}=\{1,2,4\}$，$\mathbb{B}=\{x|x^2-4x+m=\emptyset\}$。若$\mathbb{A}^2\subseteq\mathbb{B}$，則$\mathbb{B}=$A．$\{1,-3\}$B．$\{1,0\}$C．$\{1,3\}$D．$\{1,5\}$3.我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈（）A．1盞B．3盞C．5盞D．9盞4.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分所得，則該幾何體的體積為（）A．90$\pi$B．63$\pi$C．42$\pi$D．36$\pi$5.設(shè)$x$，$y$滿足約束條件$\begin{cases}2x+3y-3\leq0\\5x-2y+3\geq0\\y+3\geq0\end{cases}$，則$z=2x+y$的最小值是（）A．$-15$B．$-9$C．1D．96.安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，則不同的安排方式共有（）A．12種B．18種C．24種D．36種7.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問成語競賽的成績．老師說：你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績．看后甲對大家說：我還是不知道我的成績．根據(jù)以上信息，則（）A．乙可以知道四人的成績B．丁可以知道四人的成績C．乙、丁可以知道對方的成績D．乙、丁可以知道自己的成績8.執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的$a=-1$，則輸出的$S=$A．2B．3C．4D．59.若雙曲線$C:\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1$與直線$L:x+y=0$相交于$A$，$B$兩點，則$\overline{AB}^2=$A．$\frac{25}{3}$B．$\frac{28}{3}$C．$\frac{31}{3}$D．$\frac{34}{3}$2.2/a-2/b=1的一條漸近線被圓(x-2)^2+y^2=4所截得的弦長為2，則C的離心率為（）解：將2/a-2/b=1化簡得b=2a/(a-2)，代入圓方程得(x-2)^2+y^2=4-4a^2/(a-2)^2。設(shè)C的坐標(biāo)為(x0,y0)，則C點到圓心O(2,0)的距離為√[(x0-2)^2+y0^2]，到漸近線的距離為|(2/a)x0-(2/b)y0-1|/√(a^2+b^2)。根據(jù)弦長公式得√[(x0-2)^2+y0^2]=2√(a^2+b^2)。將C點的坐標(biāo)代入離心率公式得離心率為e=√[1-(b/a)^2]=√[1-4/(a-2)^2]。由漸近線截得的弦長為2，即C點到漸近線的距離為1，代入漸近線到點的距離公式得|(2/a)x0-(2/b)y0-1|/√(a^2+b^2)=1，化簡得2x0-1=a/b。將a=2b/(b+2)代入得x0=3/2，代入圓方程得y0=√(7/4)或y0=-√(7/4)。因為C點在第二象限，所以y0=√(7/4)。最終計算得離心率e=√[1-4/25]=3/5，選項B。箱產(chǎn)量＜50kg箱產(chǎn)量≥50kg（3）根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值（精確到0.01）根據(jù)中位數(shù)的定義，新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)滿足P(k<50)=0.5，即k≥50時，頻率累計和大于等于0.5。根據(jù)直方圖，當(dāng)k=50時，頻率累計和為0.51，當(dāng)k=49時，頻率累計和為0.41，因此中位數(shù)的估計值為50.01。19.解：（1）由題意可知，CE垂直于PD，且PAD為等比三角形，因此CE與PA垂直，即CE//平面PAB。（2）設(shè)∠ABM=θ，則∠BCM=45-θ，由余弦定理可得：cos∠MABD=cos(∠ABM+∠BCM)=cosθcos(45-θ)-sinθsin(45-θ)=cosθ(cos45sinθ-sin45cosθ)-sinθ(cos45cosθ+sin45sinθ)=-cosθsinθ=-(sin2θ)/2因此，二面角M-AB-D的余弦值為-(sin2θ)/2。20.解：（1）設(shè)點M的極坐標(biāo)為(ρ,θ)，則N的坐標(biāo)為(ρcosθ,ρsinθ)，由題意可得：(ρcosθ)^2+(ρsinθ-1)^2=4ρ^2化簡可得：ρ^2cos^2θ+ρ^2sin^2θ-2ρsinθ+1=4ρ^2化簡可得：ρ^2sin^2θ-2ρsinθ+1=3ρ^2cos^2θ因此，點P的軌跡方程為：(x^2+y^2-1)^2=12x^2（2）設(shè)點B的極坐標(biāo)為(ρ,θ)，則由題意可得：ρ^2cosθ+ρcosθ-2=0解得：ρ=2cos(θ/2)因此，點A和點B的坐標(biāo)分別為(2cos(π/3),π/3)和(2cosθcos(θ/2),θ)，由向量叉積可得：|OA×OB|=2sin(π/3)cos(θ/2)因此，當(dāng)θ=π/2時，|OA×OB|取得最大值，此時三角形OAB的面積為√3。23.解：（1）由均值不等式可得：(a+b)^2/2≥ab因此，(a+b)^3≥4ab(a+b)，即(a+b)(a+b)(a+b)≥4ab(a+b)。（2）由題意可得：f'(x)=a(1-lnx)-ax/x^2令f'(x)=0，可得x=e，由于f(x)存在唯一的極大值點，因此a=e。又因為f(x)在(0,e]和[e,∞)上單調(diào)遞減和單調(diào)遞增，因此當(dāng)x=e時，f(x)取得最大值，此時f(x)=e-e/2ln2=ln2/e>1/e^2，且當(dāng)x=1時，f(x)=e-2/e>1/e^2。因此，e^(-2/3)<f(x)<2^(-3/2)。（1）根據(jù)題設(shè)和三角函數(shù)的定義，我們有sinB=8sin(41-cosB)。將其兩邊平方并整理可得17cosB-32cosB+15=0，解得cosB=1（舍去），cosB=15/17。（2）根據(jù)cosB的定義式，我們有cosB=2/(2n+1)。由此可求得sinB為15/17。進(jìn)而根據(jù)三角形面積公式，可以得到三角形ABC的面積為acsinB=ac/2。又已知三角形ABC的面積為2，因此ac=4。根據(jù)余弦定理和a+c=6，可以求得b=2。（3）無需改寫。（1）根據(jù)題意和概率的定義，我們可得到P(A)=P(B∩C)=P(B)P(C)，其中B表示舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg，C表示新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg。通過計算可得，舊養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量低于50kg的頻率為0.62，因此P(B)的估計值為0.62；新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量不低于50kg的頻率為0.66，因此P(C)的估計值為0.66。綜合得出，事件A的概率估計值為0.62×0.66=0.4092。（2）根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，我們可以得到列聯(lián)表，進(jìn)而計算出卡方值為15.705。由于該值大于臨界值6.635，因此有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)。（3）根據(jù)箱產(chǎn)量頻率分布直方圖，我們可以得知新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量低于50kg的頻率為0.34，低于55kg的頻率為0.68。因此，新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值為50+(0.5-0.34)/0.068≈52.35（kg）。（4）無需改寫。（1）我們可以取PA中點F，并連接EF和BF。由于E為PD的中點，因此四邊形EFAD為平行四邊形，且EF=1/2AD。又因為∠BAD=∠ABC=90°，所以BC∥AD。因此，四邊形BCEF為平行四邊形，CE∥BF。又因為BF在平面PAB內(nèi)，CE不在平面PAB內(nèi)，因此CE∥平面PAB。（2）無需改寫。已知BA⊥AD，以A為坐標(biāo)原點，AB的方向為x軸正方向，AB為單位長，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則點A(0,0,0)，點B(1,1,0)，點P(0,0,0)，點C(1,3,0)，向量PC=(1,-3,0)，向量AB=(1,0,0)。設(shè)點M(x,y,z)，則向量BM=(x-1,y,z)，向量PM=(x,y-1,z-3)。因為BM與底面ABCD所成的角為45°，而向量n=(0,0,1)是底面ABCD的法向量，所以cos(BM,n)=sin45°，即(x-1)2+y2-z2=0。又因為M在棱PC上，設(shè)PM=λPC，則x=λ，y=1，z=3-3λ。代入上式得到λ=1±√2，舍去負(fù)根，所以M的坐標(biāo)為(1-√2,1,6-3√2)。設(shè)m=(x,y,z)是平面ABM的法向量，則向量AM=(1-λ,1,3-3λ)，向量AB=(1,1,0)，所以m×AM=(3λ-3,3λ-3,λ-1)，m×AB=(-z,y,-y)，所以2-2x+2y+z=0，-6x+2z=0，解得m=(-√2,-6,2)。因此cos∠MABD=m·n/|m||n|=10/√425，所以∠MABD≈10.8°。（1）設(shè)點P(x,y)，點M(x,y)，設(shè)點N(x,0)，則NP=2NM，得到x2+y2=2x，即x2-2x+y2=0，所以(x-1)2+y2=1。因為M在直線C上，所以x+y=2，代入上式得到y(tǒng)2-2y+1=0，解得y=1，所以點P的軌跡方程為(x-1)2+1=2。（2）因為點F(-1,0)，設(shè)點Q(-3,t)，點P(m,n)，則OQ=(-3,t)，PF=(-1-m,-n)，OQ·PF=3+3m-tn，OP=(m,n)，PQ=(-3-m,t-n)。因為OP·PQ=1，所以-3m-m2+tn-n2=1，又因為m2+n2=2，解得3+3m-tn=0，所以O(shè)Q·PF=0，即OQ⊥PF。又因為過點P存在唯一直線垂直于OQ，所以過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F。（3）因為f(x)的定義域為(0,+∞)，所以g(x)的定義域也為(0,+∞)。設(shè)g(x)=ax-a-lnx，則f(x)=xg(x)，f(x)≥0等價于g(x)≥0。因為g(1)=0，g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+∞)上單調(diào)遞增，所以g(x)≥0的條件是g'(1)=0且g(x)在(0,1]和[1,+∞)上非負(fù)。解得a=1，所以g(x)=x-1-lnx，所以f(x)=x2-xlnx，所以f'(x)=x(2-lnx)，所以f(x)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+∞)上單調(diào)遞減，所以f(x)在[1,+∞)上非負(fù)。綜上所述，f(x)≥0的條件是x≥1。a-b=a^2-b^2=(a+b)^2-2ab因此，a^2-b^2+2ab=(a+b)^2又因為a+b>0，所以a^2-b^2+2ab>0即a^2+2ab+b^2>4ab化簡得(a+b)^2>4ab所以a+b>2√ab（2）設(shè)a=x^2，b=y^2，c=z^2則a+b+c=x^2+y^2+z^2由柯西不等式：(x^2+y^2+z^2)(1+1+1)≥(x+y+z)^2化簡得x+y+z≤√(3(a+b+c))又因為a+b+c>0，所以√(3(a+b+c))>0所以x+y+z/√(3(a+b+c))≤1a^5+b^5=a^6+ab^5+a^5b+b^6=(a+b)(a^5-a^4b+a^3b^2-a^2b^3+ab^4+b^5)=(a+b)((a^3-b^3)ab+(a^2b^2-ab^3))=(a+b)(a^3+b^3+ab(a^2-b^2))≥(a+b)(a^3+b^3)因為a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)≥0所以a^