新人教版高中數學教材例題課后習題必修二71復數的概念

7.1復數的概念7.1.1數系的擴充和復數的概念例1當實數m取什么值時，復數是下列數？（1）實數；（2）虛數；（3）純虛數.分析：因為，所以，都是實數.由復數是實數、虛數和純虛數的條件可以確定m的取值.解：（1）當，即時，復數z是實數.（2）當，即時，復數z是虛數.（3）當，且，即時，復數z是純虛數.練習1.說出下列復數的實部和虛部：.【答案】實部分別為；虛部分別為.【解析】【分析】根據復數的概念，復數，則為實部，為虛部，解答即可.【詳解】解：的實部分別為；虛部分別為.【點睛】本題考查復數的相關概念，屬于基礎題.2.指出下列各數中，哪些是實數，哪些是虛數，哪些是純虛數.為什么？.【答案】實數有；虛數有；純虛數有.【解析】【分析】根據復數的概念解答即可.【詳解】解：對于復數，若，則為實數；若，則為虛數；若且，則為純虛數；可知實數有：；虛數有：；純虛數有：.【點睛】本題考查復數的分類，屬于基礎題.3.求滿足下列條件的實數x，y的值：（1）；（2）【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據復數相等的充要條件為實部和實部相等，虛部和虛部相等，得到方程組，解得；（2）復數為零的充要條件為實部和虛部同時為零，得到方程組，解得；【詳解】解：（1），解得；（2），解得【點睛】本題考查復數相等和復數為零求參數的值，屬于基礎題.7.1.2復數的幾何意義例2設復數，.（1）在復平面內畫出復數，對應的點和向量；（2）求復數，的模，并比較它們的模的大小.解：（1）如圖，復數，對應點分別為，，對應的向量分別為，.（2），.所以.例3設，在復平面內z對應點為Z，那么滿足下列條件的點Z的集合是什么圖形？（1）；（2）.解：（1）由得，向量的模等于1，所以滿足條件的點Z的集合是以原點O為圓心，以1為半徑的圓.（2）不等式可化為不等式不等式的解集是圓的內部所有的點組成的集合，不等式的解集是圓外部所有的點組成的集合，這兩個集合的交集，就是上述不等式組的解集，也就是滿足條件的點Z的集合.容易看出，所求的集合是以原點O為圓心，以1及2為半徑的兩個圓所夾的圓環(huán)，但不包括圓環(huán)的邊界（圖）.練習4.說出圖中復平面內各點所表示的復數（每個小方格的邊長為1）．【答案】，，，，，，，．【解析】【分析】根據各點坐標確定對應復數.【詳解】因為，，，，，，，．所以，，，，，，，．【點睛】本題考查復數幾何意義，考查基本分析求解能力，屬基礎題.5.在復平面內，描出表示下列復數的點：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）5；（6）．【答案】（1）答案見解析（2）答案見解析（3）答案見解析（4）答案見解析（5）答案見解析（6）答案見解析【解析】【分析】（1）實部為橫坐標，虛部為縱坐標，得點，在坐標系畫出；（2）實部為橫坐標，虛部為縱坐標，得點，在坐標系畫出；（3）實部為橫坐標，虛部為縱坐標，得點，在坐標系畫出；（4）實部為橫坐標，虛部為縱坐標，得點，在坐標系畫出；（5）實部為橫坐標，虛部為縱坐標，得點，在坐標系畫出；（6）實部為橫坐標，虛部為縱坐標，得點，在坐標系畫出；【小問1詳解】對應點為，【小問2詳解】對應點為（－3,2），【小問3詳解】對應點，【小問4詳解】對應點【小問5詳解】對應點，【小問6詳解】對應點，6.已知復數．（1）在復平面內畫出這些復數對應的向量；（2）求這些復數的模．【答案】（1）見解析（2）；；2；4；．【解析】【分析】（1）根據復數幾何意義確定點坐標，再在復平面內作向量；（2）根據復數模的定義求模.【詳解】解：（1）如圖所示．（2）；；；；．【點睛】本題考查復數幾何意義以及復數的模，考查基本分析求解能力，屬基礎題.習題復習鞏固7.符合下列條件的復數一定存在嗎？若存在，請舉出例子若不存在，請說明理由.（1）實部為的虛數；（2）虛部為的虛數；（3）虛部為的純虛數.【答案】（1）存在，例如.（2）存在，例如（3）存在，只能是.【解析】【分析】根據復數的概念求解．【詳解】（1）存在，例如.（2）存在，例如（3）存在，只能是.【點睛】本題考查復數的概念，掌握復數概念是解題關鍵．8.實數m分別為何值時，復數是（1）實數；（2）虛數；（3）純虛數.【答案】（1）m=0或m=3；（2）且；（3）m=2.【解析】【分析】（1）當復數的虛部等于零,復數為實數,由此求得m的值；（2）當復數的虛部不等于零,復數為虛數,由此求得m的值；（3）當復數的實部等于零且虛部不等于零時,列方程組,即由此求得m的值.【詳解】復數.（1）要使z為實數，只需，解得：m=0或m=3；（2）要使z為虛數，只需，解得：且；（3）要使z為純虛數，只需，解得：m=2.9.求適合下列方程的實數x與y的值：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據復數相等的定義計算．（2）根據復數相等的定義計算．【小問1詳解】由題意，解得．【小問2詳解】由題意，解得．10.如果P是復平面內表示復數的點，分別指出在下列條件下點P的位置.（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）第一象限；（2）第二象限；（3）位于原點或虛軸的負半軸上；（4）位于實軸下方（不包括實軸）【解析】【分析】由復數的幾何意義解答．【詳解】（1）；點P在第一象限；（2）；點P在第二象限；（3）；點P位于原點或虛軸的負半軸上；（4）.點P位于實軸下方（不包括實軸）．【點睛】本題考查復數的幾何意義，復數對應的點為．11.求復數及的模，并比較它們的模的大小.【答案】【解析】【分析】由復數模的定義計算．并比較大?。驹斀狻拷猓?【點睛】本題考查復數模的運算，掌握模的定義是解題基礎．復數的模為．綜合運用12.實數m取什么值時，復平面內表示復數z＝(m2－8m＋15)＋(m2－5m－14)i的點．(1)位于第四象限？(2)位于第一、三象限？(3)位于直線y＝x上？【答案】（1）或；（2）或或；（3）【解析】【詳解】試題分析：（1）由題意得，復數位于第四象限，則實部大于，虛部小于，列出方程組即可求解實數的取值范圍；（2）根據復數的定義和復數的表示，列出不等式組，即可求解實數的取值范圍；（3）使得復數位于直線上，只需實部與虛部相等即可求解實數的值．試題解析：(1)由?解得－2<m<3或5<m<7，此時復數z對應的點位于第四象限．(2)由或可等價轉化為(m2－8m＋15)(m2－5m－14)>0，即(m－3)(m－5)(m＋2)(m－7)>0，利用“數軸標根法”可得：m<－2或3<m<5或m>7，此時復數z對應的點位于第一、三象限．(3)要使點Z在直線y＝x上，需m2－8m＋15＝m2－5m－14，解得m＝.此時，復數z對應的點位于直線y＝x上．點睛：復數的分類及對應點的位置問題都可以轉化為復數的實部與虛部應該滿足的條件問題，只需把復數化為代數形式，列出實部和虛部滿足的方程(不等式)組即可．復數對應復平面內的點．復數對應平面向量.13.在復平面內，O原點，向量對應的復數是.（1）如果點A關于實軸的對稱點為點B，求向量對應的復數；（2）如果（1）中點B關于虛軸的對稱點為點C，求點C對應的復數.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出點坐標，再得出點坐標后可得對應復數；（2）求出點坐標后可得對應復數．【詳解】解：由于向量是以原點為始點，故終點A的坐標為.（1）點關于實軸的對稱點B的坐標為，則向量對應的復數為.（2）點關于虛軸的對稱點C的坐標為，則點C對應的復數是.【點睛】本題考查復數的幾何意義，復數對應的點為．14.設：,在復平面內z對應的點為Z,那么滿足下列條件的點Z的集合是什么圖形？（1）；（2）.【答案】（1）以原點O為圓心，以3為半徑的圓.（2）以原點O為圓心，以2及5為半徑的兩個圓所夾的圓環(huán)，包括內邊界，但不包括外邊界【解析】【分析】根據模的幾何意義說明．【詳解】解：（1）由得，向量的模等于3,所以滿足條件的點Z的集合是以原點為圓心，以3為半徑的圓.（2）不等式可化為不等式組,不等式的是圓的內部所有的點組成的集合，不等式的解集是圓上的點及其外部所有的點組成的集合，所以，滿足條件的集合是以原點O為圓心，以2及5為半徑的兩個圓所夾的圓環(huán)，包括內邊界，但不包括外邊界（如圖所示）.【點睛】本題考查復數模的幾何意義，復數的模表示其在復平面上對應點到原點的距離．15.如果復數z的實部為正數，虛部為3,那么在復平面內，復數z對應的點應位于怎樣的圖形上？【答案】位于沒有頂點的射線上.【解析】【分析】根據復數的幾何意義求解．【詳解】設，由題意，∴點在無頂點的射線上．【點睛】本題考查復數的幾何意義，復數對應的點為．拓廣探索16.已知復數z的虛部為,在復平面內復數z對應的向量的模為2,求這個復數z.【答案】或.【解析】【分析】可設復數，由計算．【詳解】解：由題意可設復數，因為復數z對應的向量的模為2.所以,解得,所以復數或.【點睛】本題考查復數的模，屬于基礎題．解決復數問題，常常設復數，然后代入計算．17.在復平面內指出與復數對應的點,判斷這4個點是否在同一個圓上，并證明你的結論.【答案】4個點在以原點為圓心，【解析】【分析】由復數幾何意義，得出對應點的坐標，對應向量的坐標，計算它們的模，由模的幾何意義可得．【詳解】解：在復平面內與題中所給四個復數對應的點依次為，得到對應的以原點為始點的向量依次為，則，可得.同理可得，所以，這4個點在以原點為圓心，為半徑的圓上.【點睛】本題考查復數的幾何意義，由向量模的幾何意義可得結論．變式練習題18.寫出復數4，－π，2－3i，0，，，6i的實部與虛部，并指出哪些是實數，哪些是虛數，哪些是純虛數.【答案】答案見解析【解析】【分析】結合復數的類型直接辨別即可.【詳解】4，－π，2－3i，0，，，6i的實部分別是4，－π，2，0，，－2，0；虛部分別是0，0，－3，0，，，6.4，－π，0是實數；2－3i，，，6i是虛數，其中6i是純虛數.19.當實數為何值時，復數i是實數、純虛數、虛數？【答案】時，復數為實數；或時，復數為純虛數；且時，復數為虛數.【解析】【分析】由復數的概念求解即可【詳解】解：當且時，復數為實數，解得，所以當時，復數為實數；當且，且時，復數為純虛數，由，得或，由，且得且，所以當或，復數為純虛數；當且時，復數為虛數，解得且，所以當且時，復數為虛數綜上，當時，復數為實數；或時，復數為純虛數；且時，復數為虛數20.已知，，若，求實數的取值集合．【答案】【解析】【分析】先由，得到.對進行分類討論：當時，解出m，再根據和集合中元素的互異性進行排除；當，列方程組解出m.【詳解】因為，所以.因為，，所以當時，解得或；若，則有，，符合；若，則有，，不符合，應舍去；當，要使，只需：解得：，符合題意.所以實數的取值集合為.21.已知復數（），且，求k的值.【答案】2【解析】【分析】由可判定是負實數，進而得到關于的關系式即可求解.【詳解】因為，所以是負實數，則，解得.22.若是純虛數，則實數的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據純虛數的概念列式，由此求得的值.【詳解】由于復數是純虛數，故，解得，故選A.【點睛】本小題主