計算物理方法Sec

第三部分MonteCarlo方法第一節(jié)用MonteCarlo方法模擬凝聚態(tài)物理系統(tǒng)的基本思想

凝聚態(tài)系統(tǒng)的隨機特性：

1.粒子系統(tǒng)量子態(tài)的量子隨機性

2.大量粒子的熱統(tǒng)計隨機性

----適合用計算機模擬第二節(jié)隨機游動及應(yīng)用

隨機游動是一種基于運用[0，1]區(qū)間的均勻分布隨機數(shù)序列來進行的計算。早在1906年P(guān)earson就提了“隨機游動”的問題。以后隨著其理論的逐步完善，隨機游動模型在物理學(xué)、生物學(xué)和社會科學(xué)中都得到廣泛的應(yīng)用。許多教科書中都可以找到它在諸如氣體分子擴散、液體中懸浮物的布朗運動、量子力學(xué)中薛定鍔方程的求解、高分子長鏈的特件研究、求解偏微分方程和數(shù)學(xué)積分的近似計算等中的成功應(yīng)用。我們在介紹它的應(yīng)用之前，有必要首先介紹一下隨機游動模型。

醉漢的一維行走問題初始：電桿位置x=0，步長l，每一步的取向是隨機的，右行幾率為p，左行幾率為q=1-p。問題：醉漢在行走N步以后，離電桿的距離為x的概率。有了后，可以計算：

可用概率理論解析地分析

雖然這里用了很簡單的解析方法得到上式，但是一般情況下，能精確求解游動問題的技術(shù)卻不是這樣簡單。有兩種重要的方法可以用于游動問題，它們是查點法和蒙特卡洛方法。查點法：對給定的行走總步數(shù)N及總位移x，要求把游動時可能的每一步的坐標和幾率都確定下來。

從上面的分析可以看出：查點法只有在總步數(shù)較小時才可以應(yīng)用，N比較大時用起來就比較困難了。對比查點法，蒙特卡洛方法就可以克服在游動中的這個困難，具有可操作性。蒙特卡洛方法可以對許多步的游動過程進行抽樣。我們以隨機游動的蒙特卡洛方法在求解泊松型微分方程中的應(yīng)用作為例子。若該泊松方程及其邊界條件為

為求解區(qū)域D的邊界，s為邊界上的點。這里我們采用等步長h的正方形格點劃分的差分法。在區(qū)域D內(nèi)的任意正則內(nèi)點o(其相鄰的節(jié)點都在區(qū)域D內(nèi))的函數(shù)值可以用周圍四個鄰近點1，2，3，4上的函數(shù)值來表示。這個表達式有如下差分方程表示前面雷所述倆類型薯的隨行機游湯動或跑鏈具沿有如撇下特魚征；導(dǎo)它在資游走今中任舞一階財段的死行為卸都不周被先趁前游額動過攔程的鉤歷史霧所限承制，暮即區(qū)子域內(nèi)批的點胡可以讀被多倘次訪盜問，規(guī)這種窯隨機風(fēng)游動晝過程懂叫做喬馬爾超科夫購過程兄。又榨因為厚游動柄最終至?xí)K圓止在需邊界蓋上，茅故而寇上述訓(xùn)的這您類游性動也砍稱為往馬爾辰科夫澤鏈。霸馬爾石科夫戶漣正豈是這嘴樣生頃成相清繼各證狀態(tài)浩的，蛾它使簡得后壤一個迫狀態(tài)悶在前燃一個偶狀態(tài)木的鄰授近。六由此蒸可以止知道獵相繼堡各狀蹲態(tài)之凍間的蜂確存盛在著壘關(guān)聯(lián)慈。馬垃爾科肆夫鏈迫是分稅子動邁力學(xué)慰中由只運動鏟方程貢生成司的軌捏道在偶概率伙方面鐘的對領(lǐng)應(yīng)物內(nèi)。對淹統(tǒng)計影力學(xué)削系統(tǒng)芒進行士蒙特周卡洛葛模擬招計算佩將在徑本章肝第4節(jié)中蘆介紹腐。另爐外還喘有一削種非敏馬爾兇科夫臘過程港。自垃規(guī)避旁隨機使游動偉過程躺就是送屬于勻這一你類。足在這嚴個過慕程中獲任何裙一步族的游韻動概籌率都爹要考盟慮前會面游否動的陷歷史鴿，因袖而游短動將狀有可廣能在租碰到寇邊界慌前就唐被強賺行終圍止掉蜓。隨捆機游透動對機一些補更抽抓象的丈問題堡也是倆非常杯有用悲的。兩個幸重要駐的概顛念隨機坊行走忍的概泰念--柴--行走鞠方向資的幾期率--飽--按該墾幾率塞實現(xiàn)挺行走路徑釣平均管、路趙徑求施和、位路徑佩積分爸的概西念--書--某一疏路徑滾給出襖所求朝物理會量的握一個幫值--騾--不同須路徑巷給出質(zhì)不同嘗值--訴--跑-對所嘴有路還徑給帶出的荒值求帖平均第三蹲節(jié)姑量子Mo肆nt休e憤Ca門rl賭o方法量子刪力學(xué)虛中的倦波函丟數(shù)是強直接掠與幾研率密壞度相熊關(guān)的撇量、溫我們體有分侵布密賓度函割數(shù)的臨關(guān)系嘩式其中究，遇為燭歸一哪化常你數(shù)，皇因此魂波函碧數(shù)也茫被稱舍為幾而率幅值度。脹人們伍很自孟然地騙想到問可以律利用鞋蒙特佩卡洛促方法繞來求層解量湊子力皮學(xué)問困題。禮用于罷求解秘量子幫系統(tǒng)點的薛辯定諤聯(lián)方程驚的蒙告特卡閘洛模涉擬方闖法通愿稱為丸量子繳蒙持洲卡洛漠方法乓。在飽實際揪應(yīng)用匹中主壺要有政變分子蒙特原卡洛蔑方法(V娛MC右)，路多徑積詠分蒙移特卡抗洛方姿法(P市IM沸C)和格攜林函撓數(shù)蒙草特卡客洛方優(yōu)法(G窮FM良C)等。咸在本界節(jié)我倒們將融介紹久路徑松積分暮量子顆蒙特劣卡洛錫方法販和變叮分量疑子蒙獲特卡忍洛方河法，珠并對振格林士函數(shù)Mo競nt斬eCa濾rl釀o方法候作入套門的欺了解順。一、乳量子隙力學(xué)殃回顧量子價力學(xué)紡的基脖本方歡程是桐薛定赤鍔方隸程：為微謙觀體躁系的玩哈密爛頓算吵符。衫對微趕觀粒永子，射其哈徐密頓醋算符俯可以逆寫為為勢喊函數(shù)征算符術(shù)。求歐解哈翠密頓聚算符健所對乘應(yīng)的當能量死本征坦態(tài)的誘波函葛數(shù)和側(cè)能量碌本征爐值是止量子頂力學(xué)功的基星本內(nèi)增容。乳若知生道初扒始態(tài)鏈的波錘函數(shù)拿為籌，各波動腫方程范則有拼唯一翅的波友函數(shù)匙解及哭以后脅時刻點的幾減率密范度經(jīng)。探從費腥曼的斬觀點悉來看肚，一篇個粒醋子在某辨?zhèn)€時編刻t，某摧空間梨位置x的波鑰函數(shù)芽應(yīng)當啦是來兔自所隸有的沃初始禁態(tài)位幣置“峰傳播獻”到闊該時購空點隆的幅偏度。魄即上式膊中的方稱督為“司傳播魚子”掃。它也表示陣在初纏姑時瞇刻朋，伴空間岸位置辨點夾的波頑函數(shù)軟值對行下一拼時刻鐘，在x點上裝的波造函數(shù)辮值的族貢獻跡強度撤。該洲傳播綠子可垂以表犬示為如果吐為與把時間煎無關(guān)知的哈秘密頓做算符穿的本禮征態(tài)殃波函危數(shù)，竹它滿腦足的蹲薛定案鍔方旅程為于是瓶：其中豪：于是姑：假定螞該等朋式在叮延拓龍到t為虛乏值時姥仍成播立，扁令毒，則桂有當雄足夠孟大時森，特殃別是昆在份時(是基拴態(tài)能宿量，嚇為離第一秀激發(fā)征態(tài)的叨能量)，上夜式的折右邊濫主要亂是來體自能拋量最違小的聚基態(tài)懂能量態(tài)的貢糕獻。牙如果抵我們犁取塞并惠忽略毛其他匠的貢態(tài)獻項魄，則批有于是蜘：利用說歸一規(guī)化的省要求賴，基縱態(tài)波形函數(shù)未絕對蜻值的懂平方蕩可用填傳播爹子表瞇示為我們煌現(xiàn)在蒙必須捧計算版?zhèn)鞑∽?。著將烏時碼間間蹈隔分陸為絮個捐等時悶間間鞭隔重的小斃區(qū)間沾，則豆此間越隔為待，罪并且鼻，(功)。根皆據(jù)完裝備座桿標表校象的淚關(guān)系征式有：取連昨續(xù)極隱限得晶到其中怕常數(shù)揚，撈為掩沿路冠徑的蓮經(jīng)典僑作用踢量。上式鳥表示峰傳播回子是估由連小接初昂態(tài)勁和末海態(tài)尿的那所有獲路徑閱，通識過相告因子齡所做市的貢喘獻。醒其中醫(yī)是檢系統(tǒng)興的拉階氏量反。上慎式中提是殃所有可各種總可能戒的分段直透線段銹構(gòu)成煎的路歇徑(垮)之和滲的總礙作用語量。怕同樣辯，如找果我療們假據(jù)定將味延拓冊到虛姑數(shù)范豪圍時惹，上接述等怖式仍豈然成陜立。晴令士，翠則上狐式中侮的作傘用量可以吧推出救為于是晌：類似凝前面查的推絹導(dǎo)，東上式拒中指輩數(shù)中全有一柿個路紙徑積絕分，滑它的烏積分皆是沿依路徑質(zhì)，即歌我們爽把路允徑積始分的巖空間枕起終士點鞠和黎分別羅放在歸上，慨則該遍積分點為因而著對于足每一規(guī)條路徐徑，柴就有彈一個項能量事。上淚式于穗是有逆如下陣形式梁；由于拍，并遠對撈進揪行積蠢分，屈此時釀須加言進一燥個函數(shù)剖在被牽積函斗數(shù)中釘，則努上式記可等魄價寫瞞為上面哈的公施式顯素示出瀉量子無力學(xué)床中的毯費曼精路徑蘿積分攻在歐搬氏時誤空的假表示腰，揭上示出地量子精理論饑與統(tǒng)伶計力煮學(xué)之豪間的叮深刻贏聯(lián)系敬。這塑時的仇路徑撐積分還與配析分函惱數(shù)兩論者在般數(shù)學(xué)紫上是猜相同臟的，忙因而迷我們貢可以浴用計倡算經(jīng)夕典統(tǒng)報計力霉學(xué)配窩分函起數(shù)的同做法病來計幅算路扭徑積頓分問聯(lián)題。二、池路徑柔積分蒸量子狗蒙特隔卡洛裝方法下面蚊我們造就用斷路徑晚積分賄蒙特奧卡洛然方法塌求解橡薛定肝鍔方似程的凳基態(tài)匆能量寧和基罪態(tài)波績函數(shù)潑的數(shù)額值。怨從上扔面兩們個公狹式可呈以使塵我們見聯(lián)想景到玻極爾茲應(yīng)曼分倆布。槽變量引的野位形刻分布奧密度橋函數(shù)趣正好扣是將推玻爾助茲曼千分布侮中的輔換電成新。菊可以東被視能為函郵數(shù)拾在坡位形(每個箱位形餃對應(yīng)尼一條政路徑)在此伶分布招下的賤平均肆位。甘其分便布的命數(shù)學(xué)睛表示童為這里禮存在豆的一青個關(guān)幟鍵問熔題是況：上篇面公礦式中股給出匙的民具體按形式稱計算允起來別并不婦方便賠。在禍計算性歸一襖化常鄰數(shù)命時遙，包杏含了秋一個代積分歐。這掙個計絡(luò)算實負際上裳是一斧個高猛維的脫多重飯積分癥的計將算。講費曼參路徑廳積分棕量子趴化的編歐氏繭積分乞表示銜中的獄積分尤計算太也仍俘然主到要是鋤個蒙隊特卡雅洛計俗算問欲題，奇對它史們的雷積分登計算饅可以庭離散落化為壩對路辜徑的象求和笨。但愁是采棉用一秩般隨推機抽透取位撥形點肥的辦隆法，悲效率剃是很政低的報。尤揭其是挨在此揀高級詢空間幻玉中做臘均勻?qū)Τ闃觿輹r，漫由于指數(shù)老項的益緣故趁，大右量的濁點會避落到節(jié)對求誓和貢掩獻非澇常小滾的區(qū)迎域。購此時截如果烏我們估采用家馬爾籌科夫螺隨機熄游動北的重很要抽趟樣方薪法——跟Me男tr值op襲ol量is方法孤，將廟是十腹分有堡效的由。利澇用Me決tr溉op推ol嘴is方法嶺，按庭照類提似玻岸爾茲遇曼分項布的落分布奸函數(shù)它來抽喂取若怖干位虎形灘，券便可醉以計抹算出紐奉基態(tài)恒波函害數(shù)的估姻計值筆，然損后對抵該估燒計值樓求平肌均便龍得到的值盤。這種識方法閱在求繡解一荷維基樸態(tài)波忍函數(shù)起時優(yōu)騙越性財并不爐明顯誕。但副是在蜓更復(fù)商雜的朝量子們力學(xué)霞計算亞中，盆采用鍬路徑計職分候方法舒就顯勞示出山極大擦的優(yōu)旅越性涌。這皮半要慚是由境于在澆傳統(tǒng)施的場京論計辱算中突，勢惠函數(shù)風(fēng)的作者用是獅用在舌真空蹤蝶上的靈微擾強方法敵來處什理的瞞；而銳在路鑄徑積最分中偏，是桿將勢倘函數(shù)愈插入元到作通用量循積分帶中去損求數(shù)光值解窄，事截實上族是在俊做精怎確計簡算的慶嘗試泡。前嗎一種步方法陳對電精弱作鋪用的躁計算煮很有犯效，抵但對鏡于有值強相顏互作牙用的溫問題魂，其擔(dān)使用友價值推不大截。在腦強相供互作摔用中偷，矩杰陣元趴不能齊夠以疏強耦呈合常坊數(shù)展最開為易收斂盒的級楚數(shù)。誘另一賓個優(yōu)蠶點是種該方棵法將孟時空臭離散動化為鍬格點果，這謙將帶焰來數(shù)錢值計加算上裝的方勸便。錄此外映，采鏈用Me計tr繁op溫ol豆is游走朝方法棟來選碌擇具殿有代葵表性需的態(tài)歡是非次常有斜用的傲。該沿方法會不僅待可以永以簡晉潔的憂數(shù)組鳥方式脈給出他場的盒描述貢，還晌能夠需對積輔分加刊上截動斷，肆以保飾證在宗將格提點上蠻的離待散時存空延熱拓到態(tài)連續(xù)驅(qū)時空歸時微摩擾理直論的嚇重整睛化。三、Me結(jié)tr依op并ol閣is隨機語抽樣纏方法在隨勺機游脈動的Mo冤nt僑e嗓Ca循rl男o方法惕中，鍋有一禁種最該常用售方法斥稱為Me塵tr愈op泰ol僵is方法燦，它竟是重軋要抽奪樣法長的一叛個特瓦殊情嗎況；比采用碗此方營法可借以產(chǎn)績生任饅意分允布的鑼隨機去數(shù)，盾包拈腫無法旱歸一喜化的照分布爸密度雹函數(shù)摟。Me沿tr暢op約ol岸is方法坡是通犧過某什種方候式的劣”隨戚機游估動”雪來實款現(xiàn)的鳴。只露要這姐個隨燭機游錯動過昏程拉憑照一咬定規(guī)餅則來懶進行納，那樓么在奸進行令大量疲的游生動，剖并達仆到平誘衡之往后所兼產(chǎn)生巡壽的點篇的分早布就獎滿足懇所要桌求的僅分布殃。Me言tr俘op以ol袍is方法挖所采夾用的做游動差規(guī)則窩是選兆擇一煙個從x點游茫動到x’點的讓“過日渡幾利率”妥，使盾得它脊在游您動中呀所走布過的雀點償?shù)囊矸植贾諗侩[到系薪統(tǒng)達寬到平預(yù)衡時眉的分遵布末。要舞達到藥這樣厲的重礎(chǔ)要抽傘樣的秘目的歷，就催需要穿對過譯渡幾蜂率靠的選透擇加尼上適呢當?shù)那∠拗菩校簩τ诰叵嗫諣N間中轟點集瞇的一足切互嶄補的略對偶恐集侵，存鴨在著糠和捧，善使得皂。定這是鍛相空援間區(qū)臟域的跡連通悼性和伴遍歷壘性的貝陳述蓬。由于骨概率臣正定況性的飯要求者，對精于一數(shù)切朗，。概率鞭歸一賺化要填求，袋對所委有的釀，冊。由于蜂要求活極限落分布萍為平耽衡分伶布，愚所以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