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近世代數(shù)第二章群論§2元素的階

7/3/2023

01:56元素的指數(shù)在群中，由于結(jié)合律成立，有意義，據(jù)此,可定義群的元素的指數(shù):

設(shè)為正整數(shù),則規(guī)定:顯然有，，其中為任意整數(shù).

7/3/2023

01:56定義1設(shè)為群的一個(gè)元素，使的最小正整數(shù)叫做元素的階，記作；若不存在這樣的，則稱的階顯然，群中單位元的階為1，其他元的階為無限.都大于1，

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01:56例1關(guān)于數(shù)的普通乘法做成4次單位根群.

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01:56例2正有理數(shù)乘群?jiǎn)挝辉碾A是1，其他元的階均為無限.例3非零有理數(shù)乘群1的階是1，-1的階是2，其余元的階均為無限.

7/3/2023

01:56定理1有限群中每個(gè)元素的階均有限.，在中必有相等的.設(shè)則，從而階有限.證明：設(shè)

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01:56注：無限群中元素的階可能無限，也可能有限，，其中是次單位根群關(guān)于普通乘法作成無限交換群，甚至可能都有限.例4，則其中每個(gè)元素的階都有限.

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01:56定理2若群中，則證明：令，，則.證明中，只需證.（2）若

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01:56定理3若群中，則，其中為任意的整數(shù).設(shè)，則證明：

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01:56兩個(gè)姑推論銳：推論1在群秧中，吩若,則，其縱中s，t均為煌正整裙數(shù).推論2在群末中，聞若，則6/蟻27潮/2障02蓬311渴:1戒4定理4在群中，若，，則當(dāng)且時(shí)，證明嘴：，，，于插是若同理，6/事27攏/2業(yè)02者311求:1粘4例5抽|ab|一定盤等于|a|抓|b|嗎？是有丟理數(shù)橋域Q上的導(dǎo)全體堪二階笨滿秩方陣冶關(guān)于邪矩陣產(chǎn)乘法畫做成稻的群.6/列27泡/2盞02腐311島:1莊4例5紛|ab|一定逃等于|a|救|b|嗎？是有寬理數(shù)裁域Q上的冷全體蝦二階兄滿秩方陣癥關(guān)于旋矩陣委乘法樣做成猛的群.6/夫27海/2販02靜311木:1帶4思考襪題：設(shè)G是群意，且|G專|>溜1.證明映：若G中除e外其余元費(fèi)素的兆階都合相同使，則默這個(gè)

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