運(yùn)籌學(xué)第章 單純形法的對(duì)偶問題

1第4章單純形法的對(duì)偶問題§1線性規(guī)劃的對(duì)偶問題§2對(duì)偶規(guī)劃的基本性質(zhì)§3對(duì)偶單純形法2

每一個(gè)線性規(guī)劃問題，都存在每一個(gè)與它密切相關(guān)的線性規(guī)劃的問題，我們稱其為原問題，另一個(gè)為對(duì)偶問題。例題1

某工廠在計(jì)劃期內(nèi)安排Ⅰ、Ⅱ兩種產(chǎn)品，生產(chǎn)單位產(chǎn)品所需設(shè)備A、B、c臺(tái)時(shí)如表所示

該工廠每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品可獲利50元，每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品Ⅱ可獲利100元，問工廠應(yīng)分別生產(chǎn)多少產(chǎn)品和Ⅱ產(chǎn)品，才能使工廠獲利最多？解：設(shè)為產(chǎn)品的計(jì)劃產(chǎn)量，為產(chǎn)品Ⅱ的計(jì)劃產(chǎn)量，則有目標(biāo)函數(shù)：Maxz=50+100約束條件：

§1線性規(guī)劃的對(duì)偶問題3

現(xiàn)在我們從另一個(gè)角度來考慮這個(gè)問題。假如有另外一個(gè)工廠要求租用該廠的設(shè)備A、B、c，那么該廠的廠長(zhǎng)應(yīng)該如何來確定合理的租金呢？設(shè)分別為設(shè)備A、B、c的每臺(tái)時(shí)的租金。為了敘述方便，這里把租金定義為扣除成本后的利潤(rùn)。作為出租者來說，生產(chǎn)單位產(chǎn)品所需各設(shè)備的臺(tái)時(shí)各總租金不應(yīng)低于原利潤(rùn)50元，即，否則就不出租還是用于生產(chǎn)產(chǎn)品以獲利50元；同樣生產(chǎn)一單位產(chǎn)品所需各設(shè)備的臺(tái)時(shí)的總租金也不應(yīng)當(dāng)?shù)陀谠麧?rùn)100元，即，否則這些設(shè)備臺(tái)時(shí)就不出租，還是用于生產(chǎn)產(chǎn)品以獲利100元。但對(duì)于租用者來說，他要求在滿足上述要求的前提下，也就是在出租者愿意出租的前提下盡量要求全部設(shè)備臺(tái)時(shí)的總租金越低越好，即min，這樣我們得到了該問題的數(shù)學(xué)模型：

目標(biāo)函數(shù)：約束條件：這樣從兩個(gè)不同的角度來考慮同一個(gè)工廠的最大利潤(rùn)（最小租金）的問題，所建立起來的兩個(gè)線性模型就是一對(duì)對(duì)偶問題，其中一個(gè)叫做原問題，而另外一個(gè)叫對(duì)偶問題?！?線性規(guī)劃的對(duì)偶問題4

如果我們把求目標(biāo)函數(shù)最大值的線性規(guī)劃問題看成原問題，則把求目標(biāo)函數(shù)最小值的線性規(guī)劃問題看成對(duì)偶問題。下面來研究這兩個(gè)問題在數(shù)學(xué)模型上的關(guān)系。

1求目標(biāo)函數(shù)最大值的線性規(guī)劃問題中有n個(gè)變量m個(gè)約束條件，它的約束條件都是小于等于不等式。而其對(duì)偶則是求目標(biāo)函數(shù)為最小值的線性規(guī)劃問題，有m個(gè)變量n個(gè)約束條件，其約束條件都為大于等于不等式。

2原問題的目標(biāo)函數(shù)中的變量系數(shù)為對(duì)偶問題中的約束條件的右邊常數(shù)項(xiàng)，并且原問題的目標(biāo)函數(shù)中的第i個(gè)變量的系數(shù)就等于對(duì)偶問題中的第i個(gè)約束條件的右邊常數(shù)項(xiàng)。

3原問題的約束條件的右邊常數(shù)項(xiàng)為對(duì)偶問題的目標(biāo)函數(shù)中的變量的系數(shù)。并且原問題的第i個(gè)約束條件的右邊常數(shù)項(xiàng)就等于對(duì)偶問題的目標(biāo)函數(shù)中的第i個(gè)變量的系數(shù)。

4對(duì)偶問題的約束條件的系數(shù)矩陣A是原問題約束矩陣的轉(zhuǎn)置。

設(shè)

A=則

§1線性規(guī)劃的對(duì)偶問題5如果我們用矩陣形式來表示，則有原問題：

其中A是矩陣m×n，該問題有m個(gè)約束條件n個(gè)變量，,,

對(duì)偶問題：

其中是A的轉(zhuǎn)置，是b的轉(zhuǎn)置,是c的轉(zhuǎn)置,y=現(xiàn)在我們用單純形法求對(duì)偶問題的解?！?線性規(guī)劃的對(duì)偶問題6

加上剩余變量和人工變量，把此問題化成標(biāo)準(zhǔn)型如下：把上述數(shù)據(jù)填入單純形表計(jì)算?！?線性規(guī)劃的對(duì)偶問題7迭代變量基變量b-300-400-25000-M

1-M1②0-1015050/2-2501110-10100100/1-M-250-2M-250-250M250-M-50M-25000M-502M-1500-M-25002-4001/210-1/201/225-2501/2011/2-1-1/275-325-400-25075250-75-287502500-75-250-M+753-300120-10150-2500-111-1-150-300-350-25050250-50-275000-500-50-250-M+50§1線性規(guī)劃的對(duì)偶問題8

由上表，最優(yōu)解：=50，

-f的最大值為-27500，即目標(biāo)函數(shù)f的最小值為f=27500元。從上面可知租金：A設(shè)備為50元，B設(shè)備為0元，c設(shè)備為50元。這樣把工廠的所有設(shè)備出租可共得租金27500元。對(duì)出租者來說這租金是出租者愿意出租設(shè)備的最小費(fèi)用，因?yàn)檫@是目標(biāo)函數(shù)的最小值。通過比較，我們發(fā)現(xiàn)：對(duì)偶問題的最優(yōu)解即最佳租金恰好等于原問題各種設(shè)備的對(duì)偶價(jià)格，這在道理上也能講得通。對(duì)于兩個(gè)有對(duì)偶關(guān)系的線性規(guī)劃的問題，我們只要求得了其中一個(gè)最優(yōu)解，就可以從這個(gè)問題的對(duì)偶價(jià)格而求得其對(duì)偶問題的最優(yōu)解，知道其中一個(gè)最優(yōu)值也就找到了其對(duì)偶問題的最優(yōu)值，因?yàn)檫@兩個(gè)最優(yōu)值相等。

§1線性規(guī)劃的對(duì)偶問題9

下面來闡述如何寫出一個(gè)線性規(guī)劃問題的對(duì)偶問題。為了便于闡述，我們不妨以下面的線性規(guī)劃為例，寫出它的對(duì)偶問題。

s.t.

§1線性規(guī)劃的對(duì)偶問題10這是星一個(gè)奶求最苦大值戶的線策性規(guī)覺劃問任題，馬為了活寫出們它的拆對(duì)偶收問題頁，我夸們不已妨把狐它的繁約束響條件拳都變飼換成甜取小姐于等燭于號(hào)搞的不喚等式倆。顯薦然第若一個(gè)駱約束下條件繁已符陵合要椅求，憑不要寫做任運(yùn)何變弦動(dòng)，薦而第旬二個(gè)較約束挺條件躍，我雞們只依要兩產(chǎn)邊都藍(lán)乘以-1，使隸不等龜號(hào)方澇向改傅變即臂可，怒得這樣銷第二恥個(gè)約激束條災(zāi)件也闊就符桶合要貿(mào)求。擋對(duì)于砍第三在個(gè)約綁束條乓件，快我們鏈可以治用小貝于等竟于和腿大于蓄等于蕉兩個(gè)雜約束托條件荒來替壇代它高。即系有顯然佳，這膽兩個(gè)嗓約束素條件塑與原挎來第哀三個(gè)惰約束曲條件罩是等述價(jià)的堅(jiān)，我積們?cè)僮陌哑淦壑械膬蛇厴嵌汲俗芬?1，得§1線性疫規(guī)劃訂的對(duì)此偶問科題11通過咽上面干的一窗些變注換，塑我們坐得到截了一頭個(gè)和粱原線病性規(guī)鵲劃等余價(jià)的侄線性坦規(guī)劃膚問題輸：s.插t.§1線性拌規(guī)劃貌的對(duì)笑偶問獻(xiàn)題12這個(gè)峽求最笑大值無的線夾性規(guī)歲劃問窮題的鞏約束枕?xiàng)l件大都取掉小于窯等于套號(hào)，庸我們乞馬上可秧以寫考出其批對(duì)偶啞問題哄：s.疑t.§1線性吹規(guī)劃越的對(duì)粗偶問龜題13這里絹和泰一樣釘都是測(cè)不同伸的決跑策變?cè)砹浚邽榱思Z表示修這兩林個(gè)決策廟變量語都來堆源于青原問步題的嘗第三筆個(gè)約始束條蘆件，取記為年。因?yàn)橄鹪谠撁貙?duì)偶戶問題熔中塌和效的園系數(shù)棉只相槳差一歷個(gè)符濟(jì)號(hào)，啄我們禮可以止把上面植的對(duì)浪偶問禾題化嚷為：s.雪t.§1線性豬規(guī)劃止的對(duì)生偶問飯題14進(jìn)一臣步，年我們絡(luò)可以歡令憑，這妥時(shí)當(dāng)獅時(shí)，換，脫當(dāng)時(shí)，雄。強(qiáng)這也索就是粉說，組盡管耗但慈的框取值話可以芝為正恭，可釀以為0，可以聽為負(fù)鎖，即犯沒匆有非邪負(fù)限凡制。這樣鑒我們座把原案規(guī)劃饞的對(duì)憑偶問艷題化仇為s.順t.沒有咸非負(fù)扭限制迎。對(duì)照上原線診性規(guī)嬌劃問脂題，語我們偉可以匯知道厭：當(dāng)原穗線性嗚規(guī)劃宰問題伏的第i個(gè)約仰束條踩件取絡(luò)等號(hào)客時(shí)，滔則其駁對(duì)偶照問題仔的i個(gè)決搖策變喊量沒堡有非負(fù)限埋制。如果榴當(dāng)原刑線性打規(guī)劃移問題谷中的煉第i個(gè)決萄策變輛量燈沒有仁非負(fù)安限制珠時(shí)，忠我們處也可擁以用進(jìn)行更替換鴉，這鐵里灣，芳，用危類似糞的方降法知幟道其灑對(duì)偶蘆問題畫中第i個(gè)約束娛條件季取等度號(hào)。§1線性墨規(guī)劃職的對(duì)若偶問獎(jiǎng)?lì)}15另外宅，用以大于繡等于0的兩寬個(gè)決屑策變遵量之幫差來削代替希無非瘋負(fù)限山制的痰決策希變量也癥是求欲解含辭有無選非負(fù)盜限制廊的決銳策變悶量的察線性壁規(guī)劃裳問題室的一展種方蒙法。原線犬性規(guī)籍劃問軍題為稼：s.跟t.§1線性按規(guī)劃親的對(duì)更偶問腹題16首先近在寫紐奉對(duì)偶鋸問題弱之前儉，我織們先熄把第擠二個(gè)虧約束坑條件灰兩邊客乘以-1得然后拐按照貸上面汁的規(guī)樹則，炮我們唉可以聲得到眾其對(duì)適偶問沫題為s.消t.§1線性施規(guī)劃食的對(duì)魄偶問壓題17§2對(duì)偶宴規(guī)劃鉤的基鞠本性修質(zhì)對(duì)偶王規(guī)劃蹈的基想本性答質(zhì)1．對(duì)稱仆性。即甲對(duì)偶農(nóng)問題稅的對(duì)海偶是綁原問愈題。2．弱對(duì)錦偶性。即袍對(duì)于菜原問務(wù)題和冶對(duì)偶咬問題棚的可雹行解憲，陶都因有究。由弱竹對(duì)偶舉性，律可得乳出以忙下推托論：（1）原仗問題頂任一尼可行軌解的羨目標(biāo)下函數(shù)傲值是裝其對(duì)列偶問攏題目殿標(biāo)函晨數(shù)值武的下員界；選反之斑對(duì)偶務(wù)問題煙任一謊可行南解的盈目標(biāo)幟函數(shù)永值是獄其原發(fā)問題鴨目標(biāo)弟函數(shù)沫值的情上界憲。（2）如葬原問餐題有環(huán)可行蔑解且舊目標(biāo)雙函數(shù)胡值無叢界（院或具罵有無刑界解朗），朝則其伶對(duì)偶燒問題侵無可悉行解篇；反呢之對(duì)松偶問姨題有讓可行捷解且匪目標(biāo)睛函數(shù)沒值無扇界，泉?jiǎng)t其壩原問錢題無憑可行坦解（屯注意晚：此足性質(zhì)兵的逆沾不成貸立，土當(dāng)對(duì)洗偶問邪題無顛可行桑解時(shí)面，其泛原問蔬題或罷具有架無界執(zhí)解或少無可辱行解除，反月之亦謙然）枕。（3）若亡原問卸題有救可行蒸解而晴其對(duì)唉偶問朱題無振可行遞解，園則原浪問題材目標(biāo)烏函數(shù)恒值無積界；茂反之腹對(duì)偶陣問題蘋有可讓行解緣瑞而其秤原問府題無喂可行石解，踢則對(duì)雷偶問猾題的主目標(biāo)際函數(shù)俊值無橋界。18§2對(duì)偶她規(guī)劃菜的基束本性沖質(zhì)3．最優(yōu)呢性。如宅果就是原冤問題創(chuàng)的可而行解傭，械是尤對(duì)偶養(yǎng)問題舅的可發(fā)行解芳，并取且，則或和挨分別導(dǎo)為原顧問題馬和對(duì)鉗偶問顏題的答最優(yōu)黨解。4．強(qiáng)對(duì)押偶性。即串若原蘇問題臟及其充對(duì)偶參問題趟都有拉可行駁解，渣則兩嚷者都宏有最諷優(yōu)解織，且頃它們懶的最噴優(yōu)解校的目螞標(biāo)函梢數(shù)都蟻相等豪。5．互補(bǔ)醒松弛摘性。在約線性淹規(guī)劃誕問題施的最掩優(yōu)解別中，深如果被對(duì)應(yīng)味某一晴約束抖條件更的對(duì)已偶變害量值嚴(yán)為非星零，安則該葛約束罩條件其取嚴(yán)救格等學(xué)式；暗反之善，如荷果約釋束條趁件取鮮嚴(yán)格值不等昨式，荒則其烈對(duì)應(yīng)憑的對(duì)康偶變澆量一班定為謝零，暴也即若yi*>信0,則有若醉，則投有yi*=宇019§3對(duì)偶糖單純巧形法對(duì)偶溉單純?cè)Ｐ畏ńK也是簽解決籮線性防規(guī)劃龍問題臥的一躺種方憲法。有對(duì)偶烈單純揚(yáng)形法踏是在益保持尸原有問決題的神所有凡檢驗(yàn)喬數(shù)都竟小于跟等于隔零的端情況峽下，煙通過邁迭代薪使得貫所有粘約束商條件肆的常數(shù)都察大于裁等于賀零，遵最后敬求得姑最優(yōu)良解。簡(jiǎn)化消計(jì)算茄是對(duì)筋偶單筐純形鳥法的并優(yōu)點(diǎn)輸，但斥是它綱在使芹用上道有很財(cái)大的駁局限歡，這鴉主要鴨是大多癢數(shù)線蒜性規(guī)安劃問翠題很哪難找廚到初核始解記使得色其所救有檢辮驗(yàn)數(shù)侄都小螞于等際于零番。但慢是在玻靈敏籮度分姥析中房誠(chéng)，有耍時(shí)需擱要對(duì)解偶單蚊純形攜法，段這樣也可以層簡(jiǎn)化善處理席。下萍面以唉第二持節(jié)例派一為指例。薪上歡節(jié)分毒析中炊已知敢當(dāng)25千0≤b’1≤32健5時(shí)第嚼一個(gè)居約束娃條件扣的對(duì)佩偶價(jià)裙格不場(chǎng)變，酒現(xiàn)在b1=3腔00變成b’1=3膛50，請(qǐng)途問這有時(shí)第此一個(gè)皆約束捆方程亮的對(duì)角偶價(jià)緣瑞格應(yīng)混為多簡(jiǎn)少呢戰(zhàn)？解：揚(yáng)求出征在第濃二次蛋迭代雪表上盜的常桐數(shù)列20§3對(duì)偶納單純甘形法迭代次數(shù)基變量cBx1x2S1S2S3b501000002x1501010-1100S