蘇教版七年級上冊數(shù)學(xué)角(提高)知識點整理及重點題型梳理

蘇教版七年級上冊數(shù)學(xué)[角(提高)知識點整理及重點題型梳理]

【學(xué)習(xí)目標】1.掌握角的概念及表示方法，能進行角度的換算和運算；2.熟悉借助三角尺或量角器畫角的方法，并掌握角大小的比較方法；3.掌握角的和、差、倍、分關(guān)系，并能進行相關(guān)計算；4.掌握余角、補角及對頂角的概念及性質(zhì)，并能運用其性質(zhì)進行計算；5.了解方位角、鐘表上有關(guān)角，并能解決一些實際問題。【要點梳理】要點一、角的概念及表示1.角的定義：（1）定義一：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，公共端點是角的頂點，兩條射線是角的兩條邊。如圖1所示，角的頂點是點O，邊是射線OA、OB。（2）定義二：角也可以看成是一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形，射線旋轉(zhuǎn)時經(jīng)過的平面部分是角的內(nèi)部。如圖2所示，射線OA繞它的端點O旋轉(zhuǎn)到OB的位置時，形成的圖形叫做角，起始位置OA是角的始邊，終止位置OB是角的終邊。要點詮釋：（1）兩條射線有公共端點，即角的頂點；角的邊是射線；角的大小與角的兩邊的長短無關(guān)。（2）平角與周角：如圖1所示射線OA繞點O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終止位置OB和起始位置OA成一條直線時，所形成的角叫做平角，如圖2所示繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，OB和OA重合時，所形成的角叫做周角。2.角的表示法：角的幾何符號用“∠”表示，角的表示法通常有以下四種：要點詮釋：在表示角時，要在靠近角的頂點處加上弧線，再注上相應(yīng)數(shù)字或字母。3.角的畫法（1）用三角板可以畫出30°、45°、60°、90°等特殊角。（2）用量角器可以畫出任意給定度數(shù)的角。（3）利用尺規(guī)作圖可以畫一個角等于已知角。要點二、角的比較與運算1.角度制及其換算角的度量單位是度、分、秒，把一個周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的60分為1分，記作“1′”，1′的60秒為1秒，記作“1″”．這種以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度制。1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．要點詮釋：在進行有關(guān)度分秒的計算時，要按級進行，即分別按度、分、秒計算，不夠減，不夠除的要借位，從高一位借的單位要化為低位的單位后再進行運算，在相乘或相加時，當(dāng)?shù)臀坏脭?shù)大于60時要向高一位進位。比較角大小有兩種方法，一種是度量比較法，先用量角器測量角的度數(shù)，然后比較它們的大小；另一種是疊合比較法，把其中一個角移到另一個角上作比較。例如比較∠AOB和∠A′O′B′的大小，可以通過疊合比較法得出不同結(jié)果。角的和、差關(guān)系可以用公式表示，例如∠AOB是∠1與∠2的和，記作：∠AOB＝∠1＋∠2；∠1是∠AOB與∠2的差，記作：∠1＝∠AOB-∠2。測量角和畫角的一般步驟是對中、重合、讀數(shù)，而利用三角板還可以畫出其他角度的角。角平分線是從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線。例如OC是∠AOB的角平分線，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，而∠AOC＝∠BOC＝1/2∠AOB。余角與補角是兩個角的和分別等于直角或平角的情況下，其中一個角叫做另一個角的余角或補角。同角的余角和補角相等，而一個銳角的補角比它的余角大90°。對頂角是由兩條直線相交構(gòu)成的四個角中，有公共頂點沒有公共邊的兩個角，互為對頂角。對頂角滿足的條件是相等的兩個角，且有公共頂點且一角的兩邊是另一角兩邊的反向延長線。6.輪船從A點向北航行，到達B點，在途中測得燈塔C在北偏西45°方向，上午10時又測得燈塔C在北偏西60°方向。已知輪船的速度為每小時15海里，求燈塔C距離輪船的距離。解：根據(jù)題意，可以畫出如下圖形：其中，AB表示輪船從A點到B點的航行路線，C為燈塔的位置，O為輪船在8時的位置，OC表示燈塔C與輪船在8時的位置的連線。由于輪船的速度為每小時15海里，所以在兩個小時內(nèi)輪船航行的距離為2×15=30海里。又因為燈塔C在8時和10時的方向分別為北偏西45°和北偏西60°，所以∠COB=60°-45°=15°。根據(jù)三角函數(shù)中的正弦定理，可以得到：sin15°=OC/BC因此，OC=BC×sin15°。由于輪船航行的距離為30海里，所以BC=30。將其代入上式，可以得到OC=30×sin15°≈7.76海里。因此，燈塔C距離輪船的距離約為7.76海里。(2)根據(jù)圖中給出的信息，我們可以先確定燈塔C的實際位置，具體作法是從點A引南北、東西方向的兩條直線，并畫出∠DAC＝45°；然后根據(jù)輪船從8時到10時共航行了30海里，在南北方向上截取AB＝7mm(這時圖距7mm表示30海里)；接著畫∠DBC＝60°，射線AC、BC的交點C就是燈塔C的實際位置；最后在圖上作∠CDA＝90°，CD與AD交于點D．根據(jù)圖中的比例尺，我們可以依次量出BC≈22mm，BD≈11mm，CD≈19mm，那么BC的實際距離為22×94(海里)，CD的實際距離為19×47(海里)，BD的實際距離為11×30(海里)≈330(海里)．輪船航速為15海里／時，所以輪船到達D處的所需時間為11×30÷15≈3.14(小時)，即3小時8分24秒．因此，輪船到達D處的時間是13時8分24秒．7.時鐘在四點與五點之間時，時針與分針在同一條直線上的時刻是4點21分或4點54分．【思路點撥】時鐘在四點與五點之間時，時針與分針在同一條直線上，可知時針與分針可以重合或者成180°角．從而可以設(shè)四點過x分后，兩針在同一直線上，從而列出方程求解．【答案與解析】設(shè)四點過x分后，兩針在同一直線上，19x，解得x=21；若兩針成180度角，則6x=120+x+180，解得x=54．所以在4點21分或4點54分時，兩針在同一直線上．【