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文檔簡介
目錄
第一部分:專業(yè)課復習方法
第二部分:專業(yè)課復習筆記ー數(shù)學分析筆記
第三部分:復試:筆試與口試
第四部分數(shù)學分析導師講義
第一部分:專業(yè)課復習方法
華師大數(shù)學系的研究生入學考試初試有兩門數(shù)學專業(yè)課,《高等代數(shù)》與《數(shù)學分析》,
兩門課分值共300分(總分500分),可見專業(yè)課的得分情況直接關系到考研成功與否,專
業(yè)課的復習是考研復習的重中之重。下面就自己的復習經(jīng)驗提出ー些建議:
一、復習用書
1、華師大數(shù)學系教材:
《高等代數(shù)與解析幾何(上)》、《高等代數(shù)與解析幾何(下)》(陳志杰主編);
《數(shù)學分析(上冊)》、《數(shù)學分析(下冊)》(華師大數(shù)學系編)。
2、教材輔導用書:
《高等代數(shù)與解析幾何習題精解》、《數(shù)學分析習題精解(單變量部分)》、
《數(shù)學分析習題精解(多變量部分)》
我認為要考好兩門專業(yè)課,有這幾本書就足夠了。另外書中的解析幾何部分不會考,可
以不看;但看看還是有幫助的。
二、調整心態(tài)
在決定考研之后,就要調整好心態(tài)。既然選擇考數(shù)學,就要相信自己,不管數(shù)學基礎怎么樣,
只要通過精心地復習,就一定能達到預期效果。
三、復習過程
第一階段:打好基礎
1、時間安排:7月15之前的兩三個月或是更長,每天3小時左右。
2、主要任務:看四本教材至少兩遍。著重理解書中的基本概念和定理,對一些重要概念的
定義、性質和重要定理的證明過程要做到心中有數(shù),對公式做到會用,選做教材中的習
題。
3、預期效果:能想出大部分概念的定義和性質;能想出ー些重要定理的內容和寫出其證明
過程:能默寫出重要公式。
第二階段:強化訓練
1、時間安排:7月16日左右一11月15日左右,每天5小時左右。
2、主要任務:把教材和精解(指三本教材輔導用書,下同)結合起來復習,著重理解、吃
透精解中的例題,學習其中的解題思路和方法。盡量做完課本中的習題和精解中的習題,
在做題中總結解題規(guī)律,找出自己薄弱的地方。
3、預期效果:不但能記住概念、定理和公式,而且能夠知道它們的來龍去脈,能夠獨立推
導,并很清楚它們的應用范圍和基本的考察點。
第三階段:真題解答
1、時間安排:u月16日左右一12月31日左右,每天3小時左右。
2、主要任務:做至少近十年的真題,兩門共二十套,把握命題規(guī)律。建議每兩天做ー套,
做時嚴格按考試的時間限定。做完后給自己評分,不會做的要去查找相關內容,力求解
答。有條件的還可找來直升研究生考題做做,不過不要強求每道題都能解決,量力而行。
3、預期效果:看見一道題,就能知道它要考察哪些知識點,這些知識點的聯(lián)系如何,并就
此尋求解題思路,完成解答。
第四階段:查漏補缺
1、時間安排:1月1日左右一考前一天,每天3小時左右
2、主要任務:重溫教材和精解,對之前沒解決的問題想辦法解決:重溫做過的真題,對之
前沒解決的題目想辦法解決。每天找?guī)椎李}做做。
3、預期效果:心中有底,從容面對即將來的考試。
四、復習中應注意的地方
1、對基礎不好的同學而言,前期的復習可能面臨較大的困難,但定不可知難而退。解決的
辦法有很多,反復看教材或是請人指導都行。
2、不能盲目地做很多題??偨Y解題的規(guī)律,把握解題思路和技巧オ是主要的。我的建議是:
會做精解習題(個別打星號的題除外)及真題就足夠了。
3、切忌復習前緊后松。有些(尤其是學過又學得好的)同學可能花三四個月時間就能把這
兩門專業(yè)課復習好,在臨近考試的ー兩個月時間就把絕大部分時間花在政治、英語的復
習上,專業(yè)課就不怎么看了,這勢必會造成一些知識點的模糊甚至忘記,考試時就會出
現(xiàn)“這個問題好像見過,但就想不起做題的思路”的情況。臨近考試前,不但要看專業(yè)
課,而且要天天做題,哪怕是做過的題,也要動手ー做。
4、不可復習前松后緊。無論哪門數(shù)學都不是朝夕之間就能學好的。
五、送給考生的一句話
考研之路并不是想象中那么可怕,有付出就會有回報。
第二部分:專業(yè)課復習筆記
(一)數(shù)學分析筆記
第一講數(shù)列極限
概念、定義、定理
1.!im。0\/ど>0,ヨN>0,Vn>N,W.〃ーvど
{々〃}不以《為極限<=>ヨ£〇>0,VN,ヨル>NM.k〃ーaN/
2.柯西定理:liman=a<^>>〇,ヨN>〇,V〃,加〉M|a〃ー?!↗<£
n->oo
3.an<an+l,n=1,2,...,?!à疢nlim。,?=。
4.lim?!?。n3Myn\a\<M
5.lim。〃=。>0=mN,n2N,?!?gt;—>0
"T82
6.。,?>bn=>liman>limbn
H—>00/I—>00
l.an<cnくわ〃,lim?!ǘimわ〃二。nlimcn二。
0,k>m
〇,"刀"’+。ワ-()
8.lim1"+,??+a<—jn=k
ん〃"+%〃""??+%
n—>ooa
g,kくm
9.limVn=lim'y[a=l,a〉〇
10.1im(l+-)n=?
11.施篤茲定理:有X"},{先},%"單增趨于無窮
若[imy"+1ノ"'anlim2二a
ん“+1人〃
判斷
1.lim/=a〇V£〉〇,U(a,£)中有x“的無限多項
2.a=supS=>ヨ{a〃}uS』!man-a
r
3.え”>0,limxtl=0=>limdx~-0
4.{x〃}有界不收斂=>ヨ/-^a,xnTb,aキb
5.{x“}收斂》limx2n=limx2n_x
6.S無界つヨ演eS,|x,J單增趨于無窮
7.limxn-0,V{ム}u(-oo,+oo),3{x?},limbkxn=0
8.supZk”ームT|?M<+8nは“}收斂
kn=l
9.{x"}收斂〇We>0,ヨN,V”>N,氏一x2?|<£
答案:1,3錯誤,其余都正確。
典型例題
X-X
1メ〃-x_-?〇,求證:亠----->0(n'〇〇)
n2n
1〉”ーシーI=卜"一居」一瓦ー1ーZー211Kk“-x?_2|-?o
Ve>〇,mN|,〃>N”レ“-x,-i|<£;ヨ町れ〉N,—<£
2n
rハハiX~Xn-\'("ーN])£yへ
n>max{N],M},-n---—<------!—+―NiL<ど+£=2ど
nnn
2./(x)〉0,在[0,1]上連續(xù),求!imJ
“一0cmnn
解:此題利用迫斂性。
令M=max/(x),物心"丄4《M"ナ丄=M
ス40,11、占〃〃,占〃
設M=f(x0),x0¢[0,1]
Ve>0,ヨざ>0,|無ーム|<3,/(x)>M—£
口入“14MT1q.PoX
ヨN(—<b),〃>N,くー>1一£,ヨ"〇,---x()<か
NVnIn
/(,)"丄-//(與“丄=ア也)くロ>(M-6:)(1-£)
\/=1nnVnnn\n
-MsM+e2>M-E(M4-1)
3.求limsin2(>rv/22+〃ー勿?)
Zl->X
解:此題利用函數(shù)連續(xù)?生
原式=limsirr兀(イガ+〃ー〃)=limsinユ乃(/=---)
宀…Jガ十〃十〃
=limsin".(,——)=sin""一=1
J1+-+1
V〃
4.0<%<1,凡+]=ム(2ース),求lim%
n—>oo
解:4/(x)=x(2-x),xe(0,1]
f\x)=2-2x>0
m=/(0)=0,M=/?⑴=1
a,,=/(??_,)e(0,1),阻=2-a,>1n凡單增且?!?lt;1
a?
故!ima〃存在,設為A=>A=A(2-A)=>A=1
n—><x)
第二講函數(shù)極限
概念、定義、定理
1.lim/(x)=A0>0,ヨざ>0,Vx,0<|x-x0|<J,|/(x)-A|<£
2.lim,(九)存在oVe>〇,ヨざ>0,Vx,x,0<x-x<5,0<x-x<8,
.rfx(/
\f(x)~f(x)\<£
3.lim/(x)=AoWx〃—>+8,lim/(xM)=A
4.函數(shù)極限的局部有界性局部保號性、迫斂性保四則運算。
5..f(x)單調=>limf(x)與!im/(x)都存在。
判斷
1.lim/(x)=A<=>Vxn—>x0,lim/(x〃)存在
2.lim/(x)=w0,limg(u)=A=>limg(/(x))=A
3.lim/(x)=A,VxG(0,+co),/(x)=/(Vx)=>f(x)=A
4./(x)=/(x+T),T>0,lim/(x)=An/(x)=A
5.7(x)單調,ヨ相單增趨于+8,lim/(x“)=A=>lim/(x)=A
答案:2錯誤,其余都正確。
典型例題
1.求下列極限
x
,「!n(l+キ尤ー1)_r1—x~-eハ、./,,ハ、^一
A=lim-----------/,,B=lim---------------,C=lim(1+tan(x-l)),nr
arcsin2Vx3-l“°sin2x-
解:利班~sinx~arcsinx~tanx~arctanx~ln(l+x)?/一l,x?0
lim-/=lim—/コ=—
?か2WギーI―2V^2+ス+12V3
x2一e~x-2x-(-2x)e~x
B=lim-------;-----=lim-----------——--------
(2x)4い。244X3
1-x+xe~x1-1+e"
—lim--------------=—lim---------
321。ギ32I。ボ32
I
C=lim(1+tan(x-1)ド。+1)=lim(1+1-1)尸ー】
2./(0)=/'(O)=0/(0)=6,求:扁:'ズ)
石ヰ../,(sin2x)-2sinjccosx/(sin2x)
解:原式=limQ--------J-------------=hm—~-~~-(不能再用洛必達法則
ハ。4x3い。2x2
蛔ハ。)=3
3.程定義在(-8,+8)上函數(shù),滿足V/e(-8,+oo),lim/(x)存在,定義
g(Xo)=lim/(め,求證:Vx0e(-00,4-00),limg(x)=g(x0)
證:Vx0G(-00,4-00),limf(y)=g(x0)
Vf>0,3J>0,0<\y-x0|<6,|/(y)-^(x0)|<£
Vx,滿足。<,-ム|<6
lim|/(j)-g(x0)|<£
y->x'
|g(x)-g(尤〇)|?£,得證。
4.{,(幻}是定義在[0,+8]上函數(shù),lim/,(九)=〇〇,Vn,
求證:ヨ/(幻定義在[0,+8],滿足!im厶D=oo,V〃
i/"(x)
證:4/(x)=max{ガ(幻,/2?(%),…,/:(x),xe[〃-1,〃]},"=1,2,...
V〃,limfn(x)=〇〇
x—>-KO
nVG〉〇,ヨ>M,\fn(x)\>G
M*=max{M,幾},則Vx>M*
微鬻?",得證。
5ノ(め定義在m+8),Vわ>a,透勿上有界,lim(f(x+1)-/(%))=A
求證:lim“ヽ=A
證:令4=0
\/e>0,ヨM[,x>M],|/(x+1)-/(x)|<£
/S[a,l+M]上有界,|/(刈4K,Vxe[a,l+MJ
又!imエ=0nヨK
<£
x
I/ほり<|/(1)一/はー1)|+…+|/(x—〃+1)于(Xー〃)I+|/(xー〃)I
(〃二[x—MJ)
Xkl
nsK
<<£+£=2s
〃+M+w
再令g(x)=/(x)-Ax,則有!im(g(x+l)-g(x))=O
g(x)/(x)-Ax
=------=---------------->0(Xf+00)
xx
n->A(%—+oo)
x
第三講連續(xù)函數(shù)
概念、定義、定理
1J在/處連續(xù)〇lim/(x)=/(x0)
2.冰伍,封上連續(xù)0Vx〇e(a,ろ),而。處連續(xù),/(a+0)=/(a),/0-O)=/(&)
3.最大、小值定理:/£[a,句上連續(xù)=>%(e[。向,Vxe[。,刈ノ(x)4(2)f(xo)
4.介值定理:#E[a,b]上連續(xù),/(a)くス</(b)=>ヨムe(a,/>),/(x0)=A
5.一致連續(xù)性定理:ア在他わ]上連續(xù)=他口,句上一致連續(xù),即
Ve>0,3<?>O,Vx,ye[a向,若|xーサ<3,則|/(x)-/(y)|<£
6H匕,片,卜“-yj-0=レ(匕)-/(%)|?〇
0作其定義域一致連續(xù)
7.丸,),",|x“-y,J-0>|/U?)-/(%,)|>£0>0
0作其定義域不一致連續(xù)
判斷
1.推/上一致連續(xù),/(Qu/,g在ノ上一致連續(xù)ngo#E/上一致連續(xù)
2.庶(a,?一致連續(xù)0/(a+0)J3-0)存在,摩續(xù)
3J在(ス+8)一致連續(xù)0/(a+0),/(+8)存在,J連續(xù)
4.彈調且滿足介值性定理n展續(xù)
5.ガ蘭足介值性定理つ廃續(xù)
6.連調且值域由バa)JS)]中稠密つ展續(xù)
7HxeQ,f(x)=gは),/,g連續(xù)=>f=g
8.lim/(x)=8,健續(xù)=>lim/(x)=+oo或ー〇〇
9.1im/。)=+00,誰續(xù)つ茂最小值
答案:3,5,8錯誤,其余都正確。
典型例題
1..傕[0,+8)上連續(xù),箱界,Vce(-8,+oo)J(x)=c,至多有有限個解
求證:lim〃ス)存在
證:“X)連續(xù)有界nヨ芻->+8,limf(x?)=A
下證!imf(x)=A
r£>o,/(x)=A+£只有有限多個解T],…ム
/(x)=A-E只有有限多個觴i…y〃
Vx>max{項,…ム,必,…%}=M,|/(x)-A|<£
若ヨx*>A/,/(x*)>A+e,又limf(xH)=A
ヨx”,x”>MJ(x“)<A+s
.?.ヨy"在x?與x“之間,f(y")=A+s
y'>M,矛盾。
x+2
2.求證Z1(x)sin丄在(0,1)上不一致連續(xù),曲1,+00)上一致連續(xù)
x+1x
11
證:⑴令居=一,有
2〃兀2〃兀+
2
A%)=o"(y")f2
年つ”|f0,但『(親)ー〃先)2Ho
故/在(0,1)上不一致連續(xù)
-1.1x+21ヽ!
⑵|ハ小------sin—+(/——)cos—
(jc+1)xx+1x7x
Vf>0,<y=1,|x-y|<bn|/(x)-/(河<£
3掩續(xù),3厶,”。,厶<弓n/(厶)<f(r2)
求證:f是嚴格增函數(shù)
證:V。<んヨハ,弓,qe。,
s/.a<r]<r2<r3<b
ヨ龍",y”
a<xn<r{,xneQ,xnfa
r3<yn<b,yneQ,y?->b
fr9dhnlf=lim/(%?)</(r))<f(r2)<f(r3)<limf(yn)=f(b)
故Z嚴格單增。
4.脛[ス+8)上一致連續(xù),VXG[?,+oo),lim/(x4-n)=0
求證:lim/(x)=0
證:尸致連續(xù)
=>V£〉〇,ヨざ>〇,トーy|<J,|/(x)-/(j)|<e
在[0,1]中取K個點,〇=七<ちく…<ム=1,$£max|x,.-x^\<8
Vx(\limf(xj+n)=Q=>ヨN,.,n>N,.,レ(a+n)|<£
Vxe[a,+oo),x-[x]e[0,1],nヨ%い"[x-[x]-xj<8
一は])一/(七)|<£
取N=max{N”…,NJ
Vx>N+1,レ(x-[尤])-/"(須.)|<£
/.|/(x)|<|/(x)-/(x,.+[x])|+|/(x,.+[x])|
V£+£=2ど
第四講導數(shù)、微分、中值定理
概念、定義、定理
1ノ(尤)=lim“阿ー"メ。)=加”イ。+ム)ー"ち)
ヽ[./(x)-/(x0)
4(x0)=hm-----------
x->x6X-XQ
2.ザニハ/)—
y=/(x)在無〇可微=△),=AAr+o(Ar),玉)固定,Ar—>0,Ax=x-x0
3.有限增量公式:y-%=/'(Xo)Ax+o(Ar)
/(x)=/(x0)+/'(x0)Ax+6>(Ax)
4.羅爾定理:
用[a,タ連續(xù),在(a,與可導,八a)=ハかnヨ3(a1)j'C)=0
5.拉格朗日中值定理:
用[。向連續(xù),在(a,力)可導=>f(b)-f(a)=f,0(〇一a),Je(a,。)
6.柯西中值定理:
/,g在[。,わ]連續(xù),在3,の可導,g'(尤)。0つヨぜe(。,份,厶?—"")=エ粵
gS)-g(a)gゼ)
1.\/xe[a,b],/'Cx)2()n通增
.尸(尤)W()ny單減
f\x)>〇,且Vxe[a”)]u[a,b],f\x)-On/嚴格單增
8..他[a,切上可導,,他/e(a,。)上取極值二>/'(ム)=()
9.推(a力)上可導,9'(%)=05若ザ(%)>0つ/為極小值點
若/,(ム))<()=>尤〇為極大值點
10.施ッ(々)連續(xù),在び(ム)可導;
lim/'(x)=4=庶/處可導,目尸(無())=A
ll./(x)在[a,わ]上處處可導,%,<x2,fXx[)<2</(x2)
=>3x0e(七,ち),s.t.f(x0)=2
n
12./(x)=/(/)+/(尤0)(x-/)+…+-_夕(x-%)“+o((x-x0))
tv.
/(無)=f(x)+/(x)(x-x)H---F—(無一尤0)”+—(x—ム)“T
oootv.(n+1)!
13./(x)〉0n/(x)為凸函數(shù)
14.Jenso杯等式:」為凸函數(shù)
=>ボエ=K0<4<1)ノ(ナ書)く£ん/日)
i=1i=li=l
判斷
1..傕X。處可導,xn<x0<yn,xnf-〇〇)
nlim當と3ゴ(イ。)
n—>oo
2.在幾處可導,X.TxQ,ynーム(〃-?〇〇)
=>山口-----------=jUo)
"f8x?-yn
3J在(。乃)上有界n/在(a,わ)上有界
4.ブ在(”力)上有界n佟(a向上有界
5..傕(a,+8)上有界n/’在(a,+8)上有界
6/在(a,+8)上有界n度(a,+00)上有界
7.庶[a,+8)上可導,/(x)-/(a)=/'(幻(x-a)
A—>00
8./'(a+〇)存在,毗(a)存在且£(a)=/(a+0)
9,/¢%=0處有任意階導數(shù)中"')(0)=0,淀義在(-1,1)且A。)=〇
=>/(x)sO,Vxe(-l,l)
答案:1,4正確,其余都錯誤。
典型例題
1Jは)定義在(0,+8),W龍,y>O,f(xy)=/(x)+/(y),「⑴存在
求:/'(x)
解:小小—眞)73
=lim--------=lim------------(/(-)=-/*))
んf°Ax°Axxx
Ax
/(1+-)-/(I)
=lim------q----------(/(D=0)
包旬Axx
X
X
_/(I)
2.母[0,1]上連續(xù),在(0,1)上可導,/(0)=0,/(1)=l,Ki+K2+-+Kn=l,
0<Ki<1,z=1,2,...,n
求證:存在互異的ム,…,?使得一gー+一gー+…+ー匚=1
ハム)ハら)ハムI)
證:對號,ヨ再,/Ia)=&<1
Kl+K2,3X2,/(ち)=(+K2,X2>X]
K[+ム?!---卜Kj,ヨる,/(%)=&+ム---Fム,為>4]
ル=/(七)一/はハ)=/'(ら)(七ー匕_])ホ=12...,〃,ム=0,尤〃=1
-;----------H,+???+=(玉-XO)+(X2一項)+…+(%-X“T)
ハム)ハら)ハム)
=X"—*0=1
第五講積分
概念、定義、定理
l.Jf(x)dx=F(x)+c,F(x)=f(x)
,n
2ロ(スゆ=相〇と,?)¥,T:a=ム<為<…<尤"="I"=max,,一札I
3.椎[a,。]上可積oV£>0,ヨT,Z0L<£,例=sup|/(x)-/(^)|
4.庭口向上可積0Ve〉0,Vび〉〇,ヨア,s.t.co!と況K!區(qū)間長度之和〈£
5〃(xMx=ド(4
6.fj?シ⑺か=Ax),(7(x)連續(xù))
dxia
7.他必向上連續(xù)二>ヨ虞/(^)---ff(x)dx
b-aJa
8.何積n茂界;瘴續(xù)n網(wǎng)?積;律調n何積;
f,g可積つ/?土g可積;f,g可積,|g(x)|2〃2〉0=>/可積
g
判斷
1.何積,若「"⑺ホ可導,則且「,Q)力=/(x)
J"dxJa
2.任意可積函數(shù)/;存在原函數(shù)ドは),即パ(x)=,f(x)
3.河積,g連續(xù),則(g。y)(%)=g(/(x))可積
4.7(%)可積,/(X)>05ヨ%,/(x0)>0n£'/(x)ム>0
5ノ(ス)可積,Vxw[〃,/?],/(x)>On[fMdx>0
6.瘴續(xù),ヨナe[a,。],/?=/(x)ム
b-aJa
7.何積,/在有理點上為〇nj:/(X心=〇
答案:1,2,4錯誤,其余都正確。
典型例題
lj(x)在[a,切上連續(xù),
求證:,£'(/(x+た)-于(X)MXTf(b)-于(a),(hf()')
證:,f(,は+た)一ア(幻心
=:£/("+"心?)\'f(x)dx
=1f二ア(y妙-1£f(x)dx
hJa+hh%
=;『f(x)dx—;£,+/,f(x)dx
=/(バーf(り)Tf(b)~f(a)(ht0+)
e(/?,/?+A),77G(a,a+h),h—>(ドで―—Q
兀
2.求/=lim卩sin〃(x)ム
”—8JO
n7tn
解:Ve>0,1sin"(x)あ=(2sin"(x)あ+JJsin"は心
"■'2"£
/,=P£sin"(xyZ¥<j^sin"(^-£,)6Zx=ysin"(^-£,)-?0(n—>〇〇)
7T
I2=[Jsin〃(x)厶<£
J---E
2
第六講非正常積分與定積分的應用
概念、定義、定理
1.[f(x)dx=limff(x)dx
Jaft—>+00J。
efteb-£
2.ff{x}dx=lim[f{x}dx
3.「"/(x)ム收斂oVe>0,ヨA>a,VA],ん〉,A[A2f(x)dx<£
J4
4./(x)>〇,「‘"は)む收斂0f(x)dx<M,\fu>a
Ja
5./(x)<g(x),J“g(x世收斂=>『/(x)厶收斂
6./(x),j?(x)>0,lim=I
…"g(x)
l)0</<+00,「,(x)公收斂0「'g(尤)心收斂
JaJa
2)/=0,「"g(x心收斂n「/は心收斂
7.廣芻p>l,收斂;p£l,發(fā)散
川xp
「セ,q<l,收斂;”1,發(fā)散
J。プ
8.「げ(x)"收斂n1f(x)む收斂
9.阿貝爾判別法:「"/(イ)む收斂,g(x)單調有界=>「'/(x)g(x)ム收斂
10.狄利克雷判別法:
Pf(x)dx>a;g(x)單調趨于On「"(x)g(x)厶收斂
JaJa
判斷
1.「ン(x)厶收斂,/(X)非負、連續(xù)=>limy(x)=0
Jax->+8
2.「./(x)dx收斂,/(x)單調=>lim/(x)=0
3.lim/(x)=0=「/(x)厶收斂
x—>+OQJa
4.「ン(x)dx收斂=>,[ンQ)dr=-f(x)
ルdxJx
5.g(x)<f(x)<h(x)
fg(x)厶收斂,fた(x)厶收斂n[/(%)厶收斂
JaJaJa
6.「ン收斂=>「ン(庁ム收斂
JaJa
7「"(X)2厶收斂=>/イ(X)厶收斂
JaJa
8.「""(X)ム收斂,lim鯉よ)=1nVg(x)厶收斂
Jax->+ooj(X)
答案:2,5正確,其余都錯誤。
典型例題
1./(X)單調,「f(%)公收斂,則/(%)=o(-)(X->+00)
JaX
證:由題設知:/(X)單減趨于。
「'f(xg收斂n\/ど>〇,ヨA,土>A,C<£
j“2J2
又]:f3dt>Jv'/(x)t/r=^/(x)>0
222
故0<^/(X)<£/(。カ<£
22
/.lim—f(x)=0,即!imxf(x)=lim=0
X->+002X->+XX->4<OI
X
2.r/5心收斂,y。)在[4,+8)上一致連續(xù)=>lim/(x)=0
Jax->+oo
證:用反證法。
若/(X)不趨于。,則
ヨ%,ヨ怎—+8,ホも)|2%
/⑶一致連續(xù)nヨb>0沖ーホ6,『は)-/(刈<年
Vxe(ムー8,xn+8),|/(x)|>y
ム>28^--甌不趨于〇,這與『/(x)む收斂矛盾。
第七講常數(shù)項級數(shù)
概念、定義、定理
9n
1-E??=厠2ム=limS.
w-?0O*7^n->x
M=1k=\
'Xm
2.Z?!笆諗?Wド〉0,ヨN,V〃,機〉N,<E
〃=1A=〃+l
oo〃
34,NO,エ凡收斂〇Zみ
n=X攵=1
4上匕較判別法:()<a,<包,£わ“收斂=>“收斂
〃=1〃=1
5.ナ廠",卜|<1收斂;卜|>1,發(fā)散
n=\
6.f—p>l收斂;“VI發(fā)散
n=l〃
7Jは)單減趨于〇,£ハ〃)收斂0『"(尤)む收斂
n=l
8.之?!笆諗?>liman=0
9.比值判別法:ム?0,lim也=r
“TOO"
%?
r<l,£a“收斂;r〉1五?!鞍l(fā)散
w=ln=\
10.根式判別法:lim指7=r
"->00
r<l,fa“收斂;r>“發(fā)散
?=1n=\
11A,>(),ム單減趨于On£(-1)%.收斂
n=\
12*k“|收斂nfa“收斂,為絕對收斂
〃=1〃=|
收斂,發(fā)散,為條件收斂
?=1"=1
13阿貝爾判別法:£>“收斂,ク單調有界=>fa,ん收斂
14.狄利克雷判別法:
力見WM,V"れ單調趨于On£a也收斂
判斷
14>°,Z/收斂=>Hm3"=r<1
2.1im??=0=>£ム收斂
3?!?gt;0,"收斂=>a”=。(一)(〃->〇〇)
n
4.a”>0,Z(-l)"a”收斂,0〈。“〈凡nZ(T)め收斂
5さ4收斂つ收斂;WX:收斂つWX收斂
6モ氏收斂つZぐ收斂
7.1im—=1,WX收斂=>Zみ"收斂
答案:全都錯誤。
典型例題
Un
l.a?>0,Z冊收斂,e=an+宀,
求證:wx收斂
fl
證:bn=ln(e--an)-an
ln(e""-a")ln(e*-x)ex
rlim--------------=lim-------------=lim--------=0
00x
an工ー。*xXTO+e—x
.?.£ln(e"'ーム)收斂
又z%收斂,故亦收斂
第八講函數(shù)項級數(shù)與函數(shù)列
概念、定義、定理
1/(め一致收斂于/(よ)=V£>0,ヨN>o,|/?(x)-/(x)|<ど,Vx
2.力(x)一致收斂于/(x)=Ve>0,ヨN>〇,>N,\fn(x)-f(x)\<£,Vx
3./?(x)一致收斂于/(x)=sup|/?(x)-/(x)|t0(〃t〇〇)
4.Z""(x)在ハ上一致收斂〇ナム(x)一致收斂于/(x)=
5.ヨム?)在ク上一致收斂〇Ve>〇,ヨN,V〃,相〉N,セム(ス)<£,VXE£)
k=n+\
6.M判別法:ヨM”>O,V|u?(x)|<M",Vxw。,ヨ知“收斂
=>は)在。上一致收斂
7.阿貝爾判別法:エ?!?。)在。上一致收斂;2。)單調,一致有界
=>エ。.。)み"(%)在。上一致收斂
8.狄利克雷判別法:£4は)<M,\/x,n-,〃“は)單調一致收斂于0
k=\
nWX(%)""は)在。上一致收斂
9在び(ム,ざ)上,limんは)=〃”,/“は)一致收斂于z*は)
nlim/(x)=liman
10.工,は)在。上一致收斂于/(x),/“は)連續(xù),V”
=>,は)在。上連續(xù)
11./“は〇)f/は〇),/“は)一致收斂于gは)
=>/“は)一致收斂于/は),/'は)=gは)
12./“は)一致收斂于Z"は)=>lim1/:は獨=,yは)か
〃一>8JaJa
判斷
1/,は)在V(a,み)u[c,刈上一致收斂=>んは)在[c,町上一致收斂
2/は)在V[a,Z?]u(c,の上一致收斂=>/“は)在(c,の上一致收斂
3ミ"“は)在。上一致收斂=>""は)在。上一致收斂于。
4ミムは)在。上一致收斂nヨ吃,.",“は)|VM“,工M,收斂
5./“は)在。上一致收斂于I/?は),/は)在。上有界
?!ǔ浞执髸r,/“は)在。上一致有界
6./“は)在[a,切上連續(xù),/“は)一致收斂于Zは),Vx€[a,切,yは)>0
nヨざ>0,ヨN,V〃>N,fnは)>5,Vx二[a,b]
答案:1,4錯誤,其余都正確。
典型例題
1.求證:/(x)=Z(x+丄ア在(-1,1)內連續(xù)
n
證:Vx0G(-1,1),ヨq€(〇」),s£%〇G[ータ,り]u(-1,1)
u+ir<(|x|+-r<(^+-r
nnn
而X(り+丄)"收斂,(根式判別法判斷)
n
£(x+丄)"在[-q,q]u(-1,1)上一致收斂
n
又は+連續(xù),故/"(X)在[ーり,切上連續(xù),在X。(G[ーり,0)處連續(xù)
n
由與的任意性即得/"(X)在(-1,1)上連續(xù)
第九講基級數(shù)、傅立葉級數(shù)
概念、定義、定理
n
1.暴級數(shù)之凡(xーム)",一般取/=0,即ナanx
n=0n=0
收斂域:はタ;%ザ收斂}
收斂半徑:R>0
V|x|<R,ガ絕對收斂;V|x|>デ發(fā)散
n=0”=0
lim9=>R=^,(-R,R)為收斂區(qū)間
p〃一>8
2.夕>,バ在(-R,R)上內閉一致收斂,且絕對收斂
“=0
3.5(%)=モ%よ,R>0
S(x)=Z(a“x")=Z6,依”',xe(一穴,R)
〃=()M=0
4.7(x)展開為暴級數(shù),若尸">(ム)存在,V〃,R“(x)fO,Vx€[a1]
ど(%)
=>/(刀)=£U-x)"
n!0
5が=ミ-pxG(—oo,+oo)
“=0加
00
sinx=Z(T尸,xG(-oo,4-oo)
w=l(2/1-1)!
co2n
x
cosx=Z(-D"----,XG(-00,4-00)
n=Q(2〃)!
ln(l+x)=^(-l)"-'—,XG(-1,1]
n=!〃
6.傅立葉系數(shù):
1y
a——f(x)cosnxdx,n—0,1,...
n71Jーガ
1cn.
b——/(x)sintvcdx.n—1,2,...
n7Tいガ
7.收斂定理:ノ按段光滑,2カ周期
/(X4-0)4-/(X—0)。〇ぐ
----------:-------=—4-^(a”cos依+asinnx)
22w=i
第十講含參量積分
概念、定義、定理
Lg(>)=J“f(x,y)dx,yel
/(x,y)二元連續(xù)=>g在,上連續(xù)
んは,y)二元連續(xù)=>g'(y)=[厶は,y心
2?g(>)=「[/",田か
g(y)=,[ハは,y)ム+/(a(y),y)a(y)-/(夕(y),y)"(y)
3.g(y)=『fは,y)公在,上一致收斂
=VE>0,ヨA〉a.X/yGI,f(x,y)dx<s
4.g(y)=£f(.x,y)公在/上一致收斂
〇Vん單增趨于+oo,A[=。,['yは,ドS=£(:"/は,〉)ム在/上一致收斂
5./は,y)在[a,+00)x/上連續(xù),g(y)=1yは,yはx在/上一致收斂
ng(y)在/上連續(xù)
6.んは,y)在[。,+8)x/上連續(xù),「,は,y)む對りG/收斂,
『刀は,〉獨在/上一致收斂=>g'(y)=£'fyは,y心
7.yは,y)在[a,+8)xヒ刈上連續(xù),『/は,y)ム在[c,刈上一致收斂
rdr+8p+8cd
nJM/(%,y)dx=Jdx\f(x,y)dy
JcJaJaJc
8げは,y)|W用は),Vye/,廣/zは)む收斂
n["/は,y)厶在/上一致收斂
9.(は,y)<&在/上一致收斂,gは,y)關于ス單調,一一致有界
=>は,y)gは,y)む在,上一致收斂
10.j:/は,y心kM,VA>a,gは,y)關于x單調一致收斂于。
=>『/は,y)gは,y岫在,上一致收斂
典型例題:
1.求證:例り=J'arctan—e(0,+8),在(0,+8)上連續(xù)
證:Vf0e[工,27],yはイ)=arctan—在[0,1]x[丄,2%]上連續(xù)
(p(t)=[arctanシ/r在も連續(xù),再由ん的任意性即得證。
第十一講多元連續(xù)函數(shù)、多元微分學
概念、定義、定理
1.limf(x,y)=A,(x,y)eD
=V£>0,ヨb>0,0〈而ーち)2+(y-y°)2<3,\f(x,y)-A\<£
2./在(%,%)連續(xù)〇!imf(x,y)=f(x0,y0)
/(%+レ,九)-/(ム,九)
3/(%,y0)=網(wǎng)
Ax
4.り=£(%,%)ゐ+fy(x0,y0)dy,庶(%,%)處可微
z=f(x,y),Az=/(x+Ax,y+Ay)-f(x,y)=AAx+BNy+o(p),p=-JAx2+Ay2
くけ,,ゝヽ…,ゝ
5?ヌ=んは。,%,Zo)cosa+ん(X。,外,z°)cos〃+工(X。,%,Z。)cos/
dl
("Ea.yo,Zo)處可微,7=(cosa,cos〃,cosア))
6.隱函數(shù)存在定理:ド(x,y)存在連續(xù)偏導數(shù);へは〇,九)。〇:ド(x°,yo)=O
=>ヨXo的鄰域(Xo-S,x0+ざ)和定義在(Xo-瓦Xo+ざ)上的可微函數(shù)y=9(x)
s.t.F(x,(p(x))=0,(@=——^)
7.z=/(x,y)在(x。,%)處取極值nfx(x0,y0)=fy(xo,yo)=O
力.,(ム,%)ム,(%,%)ヽ
8/(%,%)=ム(%,%)=0,A=
.ん(x。,外)ム(無〇,九)ノ
A正定二>,。丿)在は0,為)取極小值;A負定=>yは,>)在は〇づ〇)取極大值
9.條件極值:目標函數(shù)/(x,y);條件函數(shù)タ](x,y)=シ2は,>)=0
令尸(x,y,4,4)=/(x,y)+4/(x,y)+A2(p2(x,y)
ェ=0
り=°
解方程組:
弓=°
F,=0
判斷
1厶刀在(x°,%)處存在n/在(x°,九)連續(xù)
2.力/在(x。,%)處存在u/在(x。,九)連續(xù)
3./&(%,レ0)處可微=>ル/在(ム,%)存在;誰(%,%)處連續(xù)
4./在(ム,%)處可微u人,刀在(ム,打)存在;,在(ム,凡)處連續(xù)
5/./在(與,%)處連續(xù)=>,/在(ムづ〇)處可微
6/,ル在(ム,凡)處連續(xù)<=y在(ム,%)處可微
7.Vx,limf(x,y)=/は〇,y);Vy,lim/(x,y)=f(x,y0)=>>/在(ム,%)處連續(xù)
8.園<M,\fy\<M=>/在(%,y°)處連續(xù)
9Jは,y)在開域。上連續(xù),有連續(xù)偏導數(shù)ん,ム
若八三。=>/(%,>)=。(>)
1Oノは,y)在開域ク上有連續(xù)偏導數(shù)人,ム,ん=人三On〃x,y)三c
1l./(x,y)在は0,九)沿每個方向的方向導數(shù)存在=>人は〇,%)存在
12J(x,y)在は〇,典)沿每個方向的方向導數(shù)存在且相等=>,/在(ム,%)處連續(xù)
答案:3,5,8,10正確,其余都錯誤。
典型例題
1Jは,y)在有界閉域。上有二階連續(xù)偏導數(shù),人イ+人,=0,人,ホ0,Vは,y)e。
求證:ノ在。上的最大、小值只能在邊界上取得
證:若最大值在血。取得,設為生則與是極大值點
九イ)+爲.4)=0つ九4)力,(4)-64)<〇
.?.玲不是極值點,矛盾。
第十二講重積分
概念、定義、定理
nn
1JJfは,y)イ諦在=Ve>0,ヨ。=|J。,Zセ厶2<£
D
2.jj/(x,y)da=エか0は,y)dy=1お。::/(るy)ム
3.JJ/(x,y)da=')/(グcosO/sin0)rdr=『か(:'/(rcos^,rsin0}rd0
〇
4.|Jj/(x,y,z)dV=jjdxdy,:[f(x,y,z)dz=fdz"yは,y,z)dxdy
QDz
?シ仇
5jjj/(x,y,)JV=JjrdrdO(rco$rsin0).
Z(f(rcos^,rsin0,z)dz
プ(rcosarsin〇)
Q
6JJJfは,y,z)dV
c
rfl「シ(の("ら(仇ゆ)...2
=dO\d(p\/(rsin69cos^,rsin69sin6.rcos69)r'sin(pdr
JaJ*(のJ/'](0,<p)
x=x(w,v)aは,y)
7.,JJ/は,y)dxdy=Jj/(x(w,v),y(u,v))dudv
y=y(〃,n)5(M,V)
.ry?バ
判斷
1ノは,y)在り=[a,b]x[c,d]可積
<=>VxG[a,切,,は)=『/は,y)の存在且『/は)ム=JJ/は,yydcy
D
2.ハ滿足は,y)e£)o(y,x)eD
nJJ/(x,yMb=JJ/(y,x)"b
DD
3../?は,y)連續(xù),V正三角形Au。,“yは,y)Jb=0nyは,y)三〇
答案:1錯誤,2,3正確。
典型例題
1.展續(xù),,ム[、か,/は)/(y)/(z)dz=土([/.は)ムジ
提示:令ド⑺=£アは)厶,則パは)=/は),ド(a)=0
可得:1時、dy[f(x)f(y)f(z)dz=!尸⑸
JaJaJaA
第十三講曲線積分與曲面積分
概念、定義、定理
1.第一型曲線積分:
J./Xx,y,z)ds=£7(xQ),y(f),z?))/(ヴ+y(ヴ+z(ザカ
=『/(r(e)cos6,r(e)sin。)屮("+r(O')2dO
2.第二型曲線積分:
し尸は,y)dx+。は,y)か=[尸は⑺,y⑺)x⑺+。は(り,>?))>⑺力
JABJa
3.第一型曲面積分:
JJ/(%,y,z)dS=JJ/、は,y,zは,y))(l+z:+z^dxdy
SriXy
4.第二型曲面積分:
jjP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy
s
=[P(x,y,z(x,y))(-z》)+Q(x,y,z(x,y))(-zv)+R(x,y,z(x
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