量子力學(xué)基礎(chǔ)知識

第一章量子力學(xué)基礎(chǔ)知識

（課堂講授8學(xué)時）

1.微觀粒子的運(yùn)動特征

2.量子力學(xué)基本假設(shè)

3.算符、本征方程及其解

4.勢箱中自由粒子的方程及其解量子力學(xué)基礎(chǔ)知識

十九世紀(jì)末，經(jīng)典物理學(xué)已經(jīng)形成一個相當(dāng)完善的體系，機(jī)械力學(xué)方面建立了牛頓三大定律，熱力學(xué)方面有吉布斯理論，電磁學(xué)方面用麥克斯韋方程統(tǒng)一解釋電、磁、光等現(xiàn)象，而統(tǒng)計(jì)方面有玻耳茲曼的統(tǒng)計(jì)力學(xué)。當(dāng)時物理學(xué)家很自豪地說，物理學(xué)的問題基本解決了，一般的物理都可以從以上某一學(xué)說獲得解釋。唯獨(dú)有幾個物理實(shí)驗(yàn)還沒找到解釋的途徑，而恰恰是這幾個實(shí)驗(yàn)為我們打開了一扇通向微觀世界的大門。

十九世紀(jì)末的物理學(xué)量子力學(xué)基礎(chǔ)知識

電子、原子、分子和光子等微觀粒子，具有波粒二象性的運(yùn)動特征。這一特征體現(xiàn)在以下的現(xiàn)象中，而這些現(xiàn)象均不能用經(jīng)典物理理論來解釋，由此人們提出了量子力學(xué)理論，這一理論就是本課程的一個重要基礎(chǔ)。1.1.1黑體輻射和能量量子化黑體是一種能全部吸收照射到它上面的各種波長輻射的物體。帶有一微孔的空心金屬球，非常接近于黑體，進(jìn)入金屬球小孔的輻射，經(jīng)過多次吸收、反射、使射入的輻射實(shí)際上全部被吸收。當(dāng)空腔受熱時，空腔壁會發(fā)出輻射，極小部分通過小孔逸出。黑體是理想的吸收體，也是理想的發(fā)射體。第一節(jié).微觀粒子的運(yùn)動特征量子力學(xué)基礎(chǔ)知識

一個吸收全部入射線的表面稱為黑體表面。一個帶小孔的空腔可視為黑體表面。它幾乎完全吸收入射幅射。通過小孔進(jìn)去的光線碰到內(nèi)表面時部分吸收，部分漫反射，反射光線再次被部分吸收和部分漫反射……，只有很小部分入射光有機(jī)會再從小孔中出來。如圖1－1所示量子力學(xué)基礎(chǔ)知識

圖1－2表示在四種不同的溫度下，黑體單位面積單位波長間隔上發(fā)射的功率曲線。十九世紀(jì)末，科學(xué)家們對黑體輻射實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了仔細(xì)測量，發(fā)現(xiàn)輻射強(qiáng)度對腔壁溫度

T的依賴關(guān)系。

量子力學(xué)基礎(chǔ)知識為了解釋黑體輻射現(xiàn)象，他提出粒子能量永遠(yuǎn)是h

的整數(shù)倍，=nh

，其中是輻射頻率，h為新的物理常數(shù)，后人稱為普朗克常數(shù)(h=6.626×10-34J·s)，這一創(chuàng)造性的工作使他成為量子理論的奠基者，在物理學(xué)發(fā)展史上具有劃時代的意義。他第一次提出輻射能量的不連續(xù)性，著名科學(xué)家愛因斯坦接受并補(bǔ)充了這一理論，以此發(fā)展自己的相對論，波爾也曾用這一理論解釋原子結(jié)構(gòu)。量子假說使普朗克獲得1918年諾貝爾物理獎。

黑體是理想的吸收體，也是理想的發(fā)射體。當(dāng)把幾種物體加熱到同一溫度，黑體放出的能量最多。由圖中不同溫度的曲線可見，隨溫度增加，Eν增大，且其極大值向高頻移動。為了對以上現(xiàn)象進(jìn)行合理解釋，1900年P(guān)lank提出了黑體輻射的能量量子化公式:量子力學(xué)基礎(chǔ)知識

Plank量子力學(xué)基礎(chǔ)知識TheNobelPrizeinPhysics1918

"fortheirtheories,developedindependently,concerningthecourseofchemicalreactions"

MaxKarlErnstLudwig

Planck

Germany

BerlinUniversity

Berlin,Germany

1858-1947普朗克量子力學(xué)基礎(chǔ)知識

根據(jù)光波的經(jīng)典圖像，波的能量與它的強(qiáng)度成正比，而與頻率無關(guān)，因此只要有足夠的強(qiáng)度，任何頻率的光都能產(chǎn)生光電效應(yīng)，而電子的能動將隨光強(qiáng)的增加而增加，與光的頻率無關(guān)，這些經(jīng)典物理學(xué)的推測與實(shí)驗(yàn)事實(shí)不符。光電效應(yīng)和光子學(xué)說

光電效應(yīng)是光照在金屬表面上，金屬發(fā)射出電子的現(xiàn)象。1.只有當(dāng)照射光的頻率超過某個最小頻率（即臨閾頻率）時，金屬才能發(fā)射光電子，不同金屬的臨閾頻率不同。2.隨著光強(qiáng)的增加，發(fā)射的電子數(shù)也增加，但不影響光電子的動能。3.增加光的頻率，光電子的動能也隨之增加。1.1.2量子力學(xué)基礎(chǔ)知識圖1-3光電效應(yīng)示意圖

(光源打開后,電流表指針偏轉(zhuǎn))量子力學(xué)基礎(chǔ)知識光電效應(yīng)和光子學(xué)說

(2).光子不但有能量，還有質(zhì)量(m)，但光子的靜止質(zhì)量為零。按相對論的質(zhì)能聯(lián)系定律,ε=mc2,光子的質(zhì)量為m=h／c2所以不同頻率的光子有不同的質(zhì)量。1905年，Einstein提出光子學(xué)說，圓滿地解釋了光電效應(yīng)。光子學(xué)說的內(nèi)容如下：(1).光是一束光子流，每一種頻率的光的能量都有一個最小單位，稱為光子，光子的能量與光子的頻率成正比，即式中h為Planck常數(shù)，ν為光子的頻率。量子力學(xué)基礎(chǔ)知識

將頻率為的光照射到金屬上，當(dāng)金屬中的一個電子受到一個光子撞擊時，產(chǎn)生光電效應(yīng)，光子消失，并把它的能量h轉(zhuǎn)移給電子。電子吸收的能量，一部分用于克服金屬對它的束縛力，其余部分則表現(xiàn)為光電子的動能。(3).光子具有一定的動量(p)P=mc=h/c=h／λ光子有動量在光壓實(shí)驗(yàn)中得到了證實(shí)。(4).光的強(qiáng)度取決于單位體積內(nèi)光子的數(shù)目，即光子密度。Ek=h－W量子力學(xué)基礎(chǔ)知識

當(dāng)h>W時，從金屬中發(fā)射的電子具有一定的動能，它隨的增加而增加，與光強(qiáng)無關(guān)。式中W是電子逸出金屬所需要的最低能量，稱為脫出功，它等于h0；Ek是光電子的動能，它等于mv2／2

，上式能解釋全部實(shí)驗(yàn)觀測結(jié)果：

當(dāng)h<W時，光子沒有足夠的能量使電子逸出金屬，不發(fā)生光電效應(yīng)。

當(dāng)h=W時，這時的頻率是產(chǎn)生光電效應(yīng)的臨閾頻率。Ek=h－W“光子說”表明——光不僅有波動性，且有微粒性，這就是光的波粒二象性思想。量子力學(xué)基礎(chǔ)知識Einstein量子力學(xué)基礎(chǔ)知識TheNobelPrizeinPhysics1921"fortheirtheories,developedindependently,concerningthecourseofchemicalreactions"AlbertEinstein

GermanyandSwitzerland

Kaiser-Wilhelm-Institut

(nowMax-Planck-Institut)

fürPhysik

Berlin-Dahlem,Germany

1879-1955愛因斯坦量子力學(xué)基礎(chǔ)知識

氫原子光譜與Bohr理論

氫原子激發(fā)后會發(fā)出光來，測其波長，得到氫原子原子光譜。巴耳麥公式可寫為：656.3486.1434.1nm410.2n2>n1,n1、n2為正整數(shù)該公式可推廣到氫原子光譜的其它譜系量子力學(xué)基礎(chǔ)知識21（3）各態(tài)能量一定，角動量也一定(M=nh/2π)

并且是量子化的，大小為h/2π

的整數(shù)倍。（1）原子中有一些確定能量的穩(wěn)定態(tài)，原子處于定態(tài)

不輻射能量。（2）原子從一定態(tài)過渡到另一定態(tài)，才發(fā)射或吸收能量。

為了解釋以上結(jié)果，玻爾綜合了普朗克的量子論，愛因斯坦的光子說以及盧瑟福的原子有核模型，提出著名的玻爾理論：量子力學(xué)基礎(chǔ)知識+e-er庫侖引力離心力角動量總能量動能勢能量子力學(xué)基礎(chǔ)知識

Bohr模型對于單電子原子在多方面應(yīng)用得很有成效，對堿金屬原子也近似適用.但它竟不能解釋He原子的光譜，更不必說較復(fù)雜的原子；也不能計(jì)算譜線強(qiáng)度。后來，Bohr模型又被.Sommerfeld等人進(jìn)一步改進(jìn)，增加了橢圓軌道和軌道平面取向量子化(即空間量子化).這些改進(jìn)并沒有從根本上解決問題,促使更多物理學(xué)家認(rèn)識到,必須對物理學(xué)進(jìn)行一場深刻變革.法國物理學(xué)家德布羅意(L.V.deBroglie)勇敢地邁出一大步.1924年,他提出了物質(zhì)波可能存在的主要論點(diǎn).量子力學(xué)基礎(chǔ)知識Bohr玻爾他獲得了1922年的諾貝爾物理學(xué)獎。量子力學(xué)基礎(chǔ)知識Bohr(older)玻爾量子力學(xué)基礎(chǔ)知識實(shí)物微粒的波粒二象性

Einstein為了解釋光電效應(yīng)提出了光子說，即光子是具有波粒二象性的微粒，這一觀點(diǎn)在科學(xué)界引起很大震動。1924年，年輕的法國物理學(xué)家德布羅意（deBroglie）從這種思想出發(fā),提出了實(shí)物微粒也有波性,他認(rèn)為：“在光學(xué)上,比起波動的研究方法，是過于忽略了粒子的研究方法；在實(shí)物微粒上，是否發(fā)生了相反的錯誤？是不是把粒子的圖像想得太多，而過于忽略了波的圖像？”

---德布羅意物質(zhì)波

1.1.3他提出實(shí)物微粒也有波性，即德布羅意波。

E=hv,p=h/λ量子力學(xué)基礎(chǔ)知識

1927年，戴維遜（Davisson）與革末（Germer）利用單晶體電子衍射實(shí)驗(yàn)，湯姆遜（Thomson）利用多晶體電子衍射實(shí)驗(yàn)證實(shí)了德布羅意的假設(shè)。光（各種波長的電磁輻射）和微觀實(shí)物粒子（靜止質(zhì)量不為0的電子、原子和分子等）都有波動性（波性）和微粒性（粒性）的兩重性質(zhì)，稱為波粒二象性。戴維遜(Davisson)等估算了電子的運(yùn)動速度，若將電子加壓到1000V,電子波長應(yīng)為幾十個pm，這樣波長一般光柵無法檢驗(yàn)出它的波動性。他們聯(lián)想到這一尺寸恰是晶體中原子間距，所以選擇了金屬的單晶為衍射光柵。量子力學(xué)基礎(chǔ)知識

將電子束加速到一定速度去撞擊金屬Ni的單晶，觀察到完全類似Ｘ射線的衍射圖象，證實(shí)了電子確實(shí)具有波動性。圖1-5為電子射線通過

CsI薄膜時的衍射圖象，一系列的同心圓稱為衍射環(huán)紋。該實(shí)驗(yàn)首次證實(shí)了德布羅意物質(zhì)波的存在。后來采用中子、質(zhì)子、氫原子等各種粒子流，都觀察到了衍射現(xiàn)象。證明了不僅光子具有波粒二象性，微觀世界里的所有微粒都有具有波粒二象性，波粒二象性是微觀粒子的一種基本屬性。量子力學(xué)基礎(chǔ)知識量子力學(xué)基礎(chǔ)知識

微觀粒子因?yàn)闆]有明確的外形和確定的軌道，我們得不到一個粒子一個粒子的衍射圖象，我們只能用大量的微粒流做衍射實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)開始時，只能觀察到照象底片上一個個點(diǎn)，未形成衍射圖象，待到足夠長時間，通過粒子數(shù)目足夠多時，照片才能顯出衍射圖象，顯示出波動性來?？梢娢⒂^粒子的波動性是一種統(tǒng)計(jì)行為。微粒的物質(zhì)波與宏觀的機(jī)械波（水波，聲波）不同，機(jī)械波是介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)的振動產(chǎn)生的；與電磁波也不同，電磁波是電場與磁場的振動在空間的傳播。微粒物質(zhì)波，能反映微粒出現(xiàn)幾率，故也稱為幾率波。

空間任意一點(diǎn)處微粒物質(zhì)波的強(qiáng)度與粒子出現(xiàn)在此處的幾率成正比,此即物質(zhì)波的統(tǒng)計(jì)解釋.

量子力學(xué)基礎(chǔ)知識

德布羅意（LouisVictordeBroglie，1892-1987）法國物理學(xué)家。德布羅意提出的物質(zhì)波假設(shè)。為人類研究微觀領(lǐng)域內(nèi)物體運(yùn)動的基本規(guī)律指明了方向。為了表彰德布羅意，他被授予1929年諾貝爾物理學(xué)獎。量子力學(xué)基礎(chǔ)知識具有波動性的粒子不能同時有精確坐標(biāo)和動量.當(dāng)粒子的某個坐標(biāo)被確定得愈精確,則其相應(yīng)的動量則愈不精確;反之亦然.但是，其位置偏差(△x)和動量偏差(△p)的積恒定.即有以下關(guān)系:通過電子的單縫衍射可以說明這種“不確定”的確存在。1.1.4不確定度關(guān)系---測不準(zhǔn)原理量子力學(xué)基礎(chǔ)知識△x=b量子力學(xué)基礎(chǔ)知識在同一瞬時，由于衍射的緣故，電子動量的大小雖未變化，但動量的方向有了改變。由圖可以看到，如果只考慮一級(即)衍射圖樣，則電子絕大多數(shù)落在一級衍射角范圍內(nèi)，電子動量沿軸方向分量的不確定范圍為由德布羅意公式和單縫衍射公式

和

上式可寫為又因?yàn)椤鱴=b，因此量子力學(xué)基礎(chǔ)知識

宏觀世界與微觀世界的力學(xué)量之間有很大區(qū)別，前者在取值上沒有限制，變化是連續(xù)的，而微觀世界的力學(xué)量變化是量子化的，變化是不連續(xù)的，在不同狀態(tài)去測定微觀粒子，可能得到不同的結(jié)果，對于能得到確定值的狀態(tài)稱為“本征態(tài)”，而有些狀態(tài)只能測到一些不同的值（稱為平均值），稱為“非本征態(tài)”。例如，當(dāng)電子處在坐標(biāo)的本征態(tài)時，測定坐標(biāo)有確定值，而測定其它一些物理量如動量，就得不到確定值，相反若電子處在動量的本征態(tài)時，動量可以測到準(zhǔn)確值，坐標(biāo)就測不到確定值，而是平均值。海森伯（Heisenberg）稱兩個物理量的這種關(guān)系為“測不準(zhǔn)”關(guān)系。

量子力學(xué)基礎(chǔ)知識

海森伯(W.K.Heisenberg，1901-1976)德國理論物理學(xué)家，他于1925年為量子力學(xué)的創(chuàng)立作出了最早的貢獻(xiàn)，而于26歲時提出的不確定關(guān)系則與物質(zhì)波的概率解釋一起，奠定了量子力學(xué)的基礎(chǔ)，為此，他于1932年獲諾貝爾物理學(xué)獎。海森伯量子力學(xué)基礎(chǔ)知識所以，子彈位置的不確定范圍是微不足道的?？梢娮訌椀膭恿亢臀恢枚寄芫_地確定，不確定關(guān)系對宏觀物體來說沒有實(shí)際意義。

例1.一顆質(zhì)量為10g的子彈，具有200m·s-1的速率，若其動量的不確定范圍為動量的0.01%(這在宏觀范圍已十分精確)，則該子彈位置的不確定量范圍為多大?解:

子彈的動量動量的不確定范圍由不確定關(guān)系式，得子彈位置的不確定范圍量子力學(xué)基礎(chǔ)知識

我們知道原子大小的數(shù)量級為10-10m，電子則更小。在這種情況下，電子位置的不確定范圍比原子的大小還要大幾億倍，可見企圖精確地確定電子的位置和動量已沒有實(shí)際意義。

例2

.

一電子具有200的速率，動量的不確定范圍為動量的0.01%(這已經(jīng)足夠精確了)，則該電子的位置不確定范圍有多大?解

:

電子的動量為動量的不確定范圍由不確定關(guān)系式，得電子位置的不確定范圍量子力學(xué)基礎(chǔ)知識

宏觀物體微觀粒子具有確定的坐標(biāo)和動量沒有確定的坐標(biāo)和動量可用牛頓力學(xué)描述。需用量子力學(xué)描述。

有連續(xù)可測的運(yùn)動軌道，可有概率分布特性，不可能分辨

追蹤各個物體的運(yùn)動軌跡。

出各個粒子的軌跡。體系能量可以為任意的、連能量量子化

。續(xù)變化的數(shù)值。不確定度關(guān)系無實(shí)際意義遵循不確定度關(guān)系微觀粒子和宏觀物體的特性對比

量子力學(xué)基礎(chǔ)知識

量子力學(xué)的基本假設(shè)，象幾何學(xué)中的公理一樣，是不能被證明的。公元前三百年歐幾里德按照公理方法寫出《幾何原本》一書，奠定了幾何學(xué)的基礎(chǔ)。二十世紀(jì)二十年代，狄拉克，海森伯，薛定鍔等在量子力學(xué)假設(shè)的基礎(chǔ)上構(gòu)建了這個量子力學(xué)大廈。假設(shè)雖然不能直接證明，但也不是憑科學(xué)家主觀想象出來的，它來源于實(shí)驗(yàn)，并不斷被實(shí)驗(yàn)所證實(shí)。

第二節(jié).量子力學(xué)基本假設(shè)量子力學(xué)基礎(chǔ)知識

假設(shè)1：對于一個微觀體系，它的狀態(tài)和有關(guān)情況可以用波函數(shù)ψ(x,y,z,t)來表示。ψ是體系的狀態(tài)函數(shù)，是體系中所有粒子的坐標(biāo)函數(shù)，也是時間函數(shù)。不含時間的波函數(shù)ψ（x,y,z)稱為定態(tài)波函數(shù)。本課程只討論定態(tài)波函數(shù)。

量子力學(xué)是描述微觀體系運(yùn)動規(guī)律的科學(xué).

例如：對一個兩粒子體系,Ψ=Ψ(x1,y1,z1,x2,y2,z2,t)，其中x1,y1,z1為粒子1的坐標(biāo)；x2,y2,z2為粒子2的坐標(biāo)；t是時間。1.2.1波函數(shù)ψ和微觀粒子的狀態(tài)量子力學(xué)基礎(chǔ)知識ψ*ψ=(f-ig)(f+ig)=f2+g2因此ψ*ψ是實(shí)數(shù)，而且是正值。為了書寫方便，有時也用ψ2代替ψ*ψ。

Ψ的形式可由光波推演而得，根據(jù)平面單色光的波動方程：Ψ=Aexp[i2π(x/λ-t)]將波粒二象性關(guān)系E=hν，p=h/λ

代入，得單粒子一維運(yùn)動的波函數(shù)Ψ=Aexp[（i2π/h）(xpx-Et)]ψ一般是復(fù)數(shù)形式：ψ=f+ig,f和g是坐標(biāo)的實(shí)函數(shù)，ψ的共軛復(fù)數(shù)為ψ*,其定義為ψ*=f-ig。為了求ψ*，只需在ψ中出現(xiàn)i的地方都用–i代替即可。由于量子力學(xué)基礎(chǔ)知識在原子、分子等體系中，將ψ稱為原子軌道或分子軌道；將ψ*ψ稱為概率密度，它就是通常所說的電子云；ψ*ψdτ為空間某點(diǎn)附近體積元dτ(≡dxdydz)中電子出現(xiàn)的概率。

ψ(x,y,z)在空間某點(diǎn)的數(shù)值，可能是正值，也可能是負(fù)值。微粒的波性通過ψ的+、-號反映出來，這和光波是相似的。+、-號涉及狀態(tài)函數(shù)(如原子軌道等)的重疊。

ψ的性質(zhì)與它是奇函數(shù)還是偶函數(shù)有關(guān)偶函數(shù)：ψ(x,y,z)=ψ(-x,-y,-z)

奇函數(shù)：ψ(x,y,z)=-ψ(-x,-y,-z)波函數(shù)的奇偶性涉及微粒從一個狀態(tài)躍遷至另一個狀態(tài)的幾率性質(zhì)（選率）。量子力學(xué)基礎(chǔ)知識平方可積：即在整個空間的積分∫*d應(yīng)為一有限數(shù)，通常要求波函數(shù)歸一化，即∫*d＝1。

合格波函數(shù)的條件

由于波函數(shù)描述的波是幾率波，所以波函數(shù)ψ必須滿足下列三個條件：單值：即在空間每一點(diǎn)ψ只能有一個值；連續(xù)：即ψ的值不會出現(xiàn)突躍，而且ψ對x，y，z的一級微商也是連續(xù)函數(shù)；符合這三個條件的波函數(shù)稱為合格波函數(shù)或品優(yōu)波函數(shù)。量子力學(xué)基礎(chǔ)知識波函數(shù)量子力學(xué)基礎(chǔ)知識

1.2.2物理量和算符假設(shè)2：對一個微觀體系的每個可觀測的物理量，都對應(yīng)著一個線性自軛算符。算符：對某一函數(shù)進(jìn)行運(yùn)算,規(guī)定運(yùn)算操作性質(zhì)的符號。如：sin，log等。線性算符：?(1＋2)＝?1＋?2自軛算符：∫1*?1d＝∫1(?1)*d或∫1*?2d＝∫2(?1)*d例如，?＝id/dx，1＝exp[ix]，1*＝exp[-ix]，則，∫exp[-ix](id/dx)exp[ix]dx

＝∫exp[-ix](-exp[ix])dx＝-x.∫exp[ix](id/dx)exp[ix]*dx

＝∫exp[ix](-exp[ix])*dx＝-x.·量子力學(xué)需用線性自軛算符，目的是使算符對應(yīng)的本征值為實(shí)數(shù)。量子力學(xué)基礎(chǔ)知識

物理量

算符

位置x

動量的x軸分量px

角動量的z軸分量

MZ=xpy－ypx動能T=p2/2m

勢能V總能E=T+V=xPx=－(ih/2π)(?/?x）

MZ=－（ih/2π)[x（?/?y）－y（?/?x)]

T=－（h2/8π2m)(?2/?x2+?2/?y2+

?2/?z2）

=－（h2/8π2m）▽2

V=VH=－（h2/8π2m）▽2

+V若干物理量及其算符

量子力學(xué)基礎(chǔ)知識Ψ=Aexp[(i2π/h)(xpx－Et)]?Ψ/?x=Aexp[(i2π/h)(xpx－Et)]d/dx[(i2π/h)(xpx－Et)]

=(i2π/h)(pxΨ)PxΨ=－(ih/2π)(?Ψ/?x)

算符Px

算符Px=－(ih/2π)(?/?x)推演：∴Px=－(ih/2π)(?/?x)量子力學(xué)基礎(chǔ)知識假設(shè)3：若某一力學(xué)量A的算符A作用于某一狀態(tài)函數(shù)ψ后，等于某一常數(shù)a乘以ψ，即Aψ=aψ

那么對ψ所描述的這個微觀體系的狀態(tài)，其力學(xué)量A具有確定的數(shù)值a，

a

稱為力學(xué)量算符A的本征值，

ψ

稱為A的本征態(tài)或本征波函數(shù)，上式稱為A的本征方程。1.2.3本征態(tài)、本征值和Schr?dinger方程量子力學(xué)基礎(chǔ)知識dψ/dx=d[aexp(-ax)]/dx=-a2exp(-ax)=(-a)aexp(-ax)=(-a)ψ∴本征值為–a例題1：ψ=aexp(-ax)是算符d/dx的本征函數(shù)，求本征值。例題2：ψ=aexp(-ax)是算符d2/dx2的本征函數(shù),

求本征值。d2ψ/dx2=d2[aexp(-ax)]/dx2

=-a2d[exp(-ax)]/dx=a3exp(-ax)=a2aexp(-ax)=a2ψ∴本征值為a2量子力學(xué)基礎(chǔ)知識自軛算符的本征值一定為實(shí)數(shù)：

?＝a，兩邊取復(fù)共軛，得，?**＝a**，由此二式可得：∫*(?)d＝a∫*d，∫(?**)d＝a*∫*d由自軛算符的定義式知，∫*?

d＝∫(?**)d

故，a∫*d＝a*∫*d，即a＝a*，所以，a為實(shí)數(shù)。量子力學(xué)基礎(chǔ)知識

Schr?dinger方程是決定體系能量算符的本征值和本征函數(shù)的方程，是量子力學(xué)中一個基本方程。薛定諤方程的由來：自由粒子波函數(shù)：為滿足歸一化

分別對x、y、z進(jìn)行兩次偏導(dǎo)，得：量子力學(xué)基礎(chǔ)知識三式相加，并除以2m

考慮到能量除動能外，還有勢能V(x、y、z)（哈密頓算符）量子力學(xué)基礎(chǔ)知識證明：?ψi=aiψi

，?

﹡ψj=ajψj，(

ai≠aj)

(?ψi

)

﹡=ai﹡

ψi﹡=aiψi﹡∫ψi﹡?ψjdτ=aj∫ψi﹡ψjdτ∫(?ψi

)

﹡ψjdτ=ai∫ψi﹡ψjdτ(ai

－aj)∫ψi﹡ψjdτ=0ai≠aj∴∫ψi﹡ψjdτ=0本征函數(shù)組的正交，歸一的關(guān)系∫ψi﹡ψjdτ=∫ψj﹡ψidτ=δij1,i=j

0,i≠j本征函數(shù)組的正交，歸一的關(guān)系對一個微觀體系，自軛算符?給出的本征函數(shù)組Ψ1，Ψ2，Ψ3，…形成一個正交，歸一的函數(shù)組。(1).歸一：∫ψi﹡ψidτ=1(2).正交：∫ψi﹡ψjdτ=0(i≠j)量子力學(xué)基礎(chǔ)知識

假設(shè)4：若1，2…n為某一微觀體系的可能狀態(tài)，由它們線性組合所得的也是該體系可能的狀態(tài)。1.2.4態(tài)疊加原理組合系數(shù)ci的大小反映i貢獻(xiàn)的多少。為適應(yīng)原子周圍勢場的變化，原子軌道通過線性組合，所得的雜化軌道（sp，sp2，sp3等）也是該原子中電子可能存在的狀態(tài)。可由ci值求出和力學(xué)量A對應(yīng)的平均值〈a〉量子力學(xué)基礎(chǔ)知識本征態(tài)的力學(xué)量的平均值設(shè)與1，2…n對應(yīng)的本征值分別為a1，a2，…，an，當(dāng)體系處于狀態(tài)并且已歸一化時，可由下式計(jì)算力學(xué)量的平均值〈a〉（對應(yīng)于力學(xué)量A的實(shí)驗(yàn)測定值）：非本征態(tài)的力學(xué)量的平均值若狀態(tài)函數(shù)不是力學(xué)量A的算符?的本征態(tài),當(dāng)體系處于這個狀態(tài)時,?a,但這時可用積分計(jì)算力學(xué)量的平均值：〈a〉＝∫*?d例如，氫原子基態(tài)波函數(shù)為1s，其半徑和勢能等均無確定值，但可由上式求平均半徑和平均勢能。量子力學(xué)基礎(chǔ)知識1.2.5Pauli(泡利)原理假設(shè)Ⅴ：在同一原子軌道或分子軌道上，至多只能容納兩個自旋相反的電子?；蛘哒f，兩個自旋相同的電子不能占據(jù)相同的軌道。Pauli原理的另一種表述：描述多電子體系軌道運(yùn)動和自旋運(yùn)動的全波函數(shù)，交換任兩個電子的全部坐標(biāo)（空間坐標(biāo)和自旋坐標(biāo)），必然得出反對稱的波函數(shù)。電子具有不依賴軌道運(yùn)動的自旋運(yùn)動,具有固有的角動量和相應(yīng)的磁矩,光譜的Zeeman效應(yīng)(光譜線在磁場中發(fā)生分裂)、精細(xì)結(jié)構(gòu)等都是證據(jù)。微觀粒子具有波性，等同微粒是不可分辨的。(q1,q2)=(q2,q1)量子力學(xué)基礎(chǔ)知識費(fèi)米子：自旋量子數(shù)為半整數(shù)的粒子。如，電子、質(zhì)子、中子等。(q1,q2,…qn)＝－(q2,q1,…,qn)

倘若q1＝q2，即(q1,q1,q3,…qn)＝－(q1,q1,q3,…,qn)則，(q1,q1,q3,…qn)＝0，處在三維空間同一坐標(biāo)位置上，兩個自旋相同的電子，其存在的幾率為零。據(jù)此可引伸出以下兩個常用規(guī)則：①Pauli不相容原理：多電子體系中，兩自旋相同的電子不能占據(jù)同一軌道，即，同一原子中，兩電子的量子數(shù)不能完全相同；②Pauli排斥原理：多電子體系中，自旋相同的電子盡可能分開、遠(yuǎn)離。玻色子：自旋量子數(shù)為整數(shù)的粒子。如，光子、介子、氘、粒子等。不受Pauli不相容原理的制約。(q1,q2,…qn)＝(q2,q1,…,qn)量子力學(xué)基礎(chǔ)知識泡利Pauli獲1945年諾貝爾物理學(xué)獎。量子力學(xué)基礎(chǔ)知識一個質(zhì)量為m的粒子，在一維x方向上運(yùn)動。

0，0﹤x﹤l

V=∞，x≤0和x≥l

V=∞V=0V=∞0xl

此二階齊次方程的通解為：ψ=c1cos(8π2mE/h2)1/2x+c2sin(8π2mE/h2)1/2x1.3箱中粒子的Schr?dinger方程及其解Schr?dinger方程：量子力學(xué)基礎(chǔ)知識n≠0∴E=n2h2

/8ml2

Ψ（x）=c2sin(nπx/l）=(2/l)1/2sin(nπx/l）

c2=(2/l)1/2

根據(jù)品優(yōu)波函數(shù)的連續(xù)性和單值條件，當(dāng)x=0和x=l

時，ψ=0即x=0時ψ（0）=c1cos(0)

+c2sin(0)=0則：c1=0x=l

時Ψ（l）=c2sin(8π2mE/h2)1/2l=0c2不能為0故必須是:(8π2mE/h2)1/2l=nπn=1，2，3，…量子力學(xué)基礎(chǔ)知識C2可由歸一化條件求出令量子力學(xué)基礎(chǔ)知識討論：1、n稱為量子數(shù)，只可能取正整數(shù)。2、畫出ψn(x)及Ψn2(x)3、零點(diǎn)能、節(jié)點(diǎn)及節(jié)點(diǎn)數(shù)++--n=4n=3n=2n=1n=3n=2n=1++++--E1E2E3E4ψ1(x)ψ2(x)ψ32(x)ψ4(x)ψ42(x)ψ22(x)ψ12(x)ψ3(x)一維勢箱中粒子的波函數(shù)、能級和幾率密度n=4量子力學(xué)基礎(chǔ)知識體系的波函數(shù)與能量：當(dāng)n=1時，體系處于基態(tài)。

當(dāng)n=2時，體系處于第一激發(fā)態(tài)。當(dāng)n=3時，體系處于第二激發(fā)態(tài)