建筑相關(guān)資料高等結(jié)構(gòu)動力學(xué)

高等結(jié)構(gòu)動力學(xué)

程偉

2009年9月

目錄

第一章結(jié)構(gòu)的物理和力學(xué)描述................................................5

1.1結(jié)構(gòu)特性.....................................................................5

1.2結(jié)構(gòu)的平衡特性..............................................................5

1.2.1單自由度系統(tǒng)..............................................................5

1.2.2弦的橫向振動方程.........................................................16

1.2.3桿的縱向振動方程.........................................................19

1.2.4梁的橫向振動方程.........................................................21

1.3結(jié)構(gòu)響應(yīng)...................................................................23

1.4結(jié)構(gòu)的能量.................................................................30

1.5固有特征...................................................................32

1.5.1離散靜態(tài)系統(tǒng).............................................................33

1.5.2離散動態(tài)系統(tǒng).............................................................35

1.5.3連續(xù)靜態(tài)系統(tǒng).............................................................36

1.5.4連續(xù)動態(tài)系統(tǒng).............................................................37

1.5.5總結(jié).....................................................................38

1.6結(jié)構(gòu)的波動和振動...........................................................39

1.6.1波傳播..................................................................39

第二章結(jié)構(gòu)的泛函描述.........................................................45

2.1概述.......................................................................45

2.3函數(shù)空間....................................................................59

2.3.1距離空間..................................................................59

2.3.2線性賦范空間.............................................................62

2.3.3希爾伯特（Hilbert）空間..................................................65

2.3.4廣義函數(shù)................................................................71

第三章分析力學(xué).................................................................82

3.1廣義坐標(biāo)、約束和自由度....................................................83

3.2靜力學(xué)原理..................................................................87

2

3.3動力學(xué)原理..................................................................92

3.3.1動力學(xué)普遍方程...........................................................92

3.3.2哈密頓(Hamilton)原理...................................................93

3.3.3拉格朗日方程.............................................................95

3.3.4拉格朗日乘子...........................................................101

第四章變分原理...............................................................112

4.1變分法的概念..............................................................112

4.2.1算子的概念.............................................................114

4.3結(jié)構(gòu)算子方程..............................................................121

4.3.1桿的軸向振動...........................................................121

4.2.2其它形式的結(jié)構(gòu).........................................................129

4.2.1.1梁.....................................................................129

4.2.1.2扭轉(zhuǎn)桿................................................................129

4.2.1.2弦.....................................................................130

4.4彈性力學(xué)變分原理.........................................................131

4.4.1線彈性理論基本方程.....................................................131

4.4.5廣義變分原理...........................................................142

第五章變分問題的近似解法.....................................................148

5.1近似法的基本概念.........................................................148

5.2有限差分法................................................................151

5.3里茲法....................................................................154

5.4瑞利-里茲法................................................................155

5.5康托羅維奇法...............................................................160

5.6伽遼金法..................................................................163

5.7最小二乘法................................................................169

第六章結(jié)構(gòu)的耦合和模態(tài).......................................................172

6.1實模態(tài).....................................................................173

6.1.1模態(tài)的正交性.............................................................174

6.1.2展開定理和模態(tài)疊加法....................................................175

6.1.3頻響函數(shù).................................................................177

3

6.2伴隨方程...................................................................178

6.2.1〃X/M階系統(tǒng).............................................................178

6.2.2伴隨方程.................................................................180

6.2.3任意"X”階方程的解....................................................185

6.3旋轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)中的陀螺效應(yīng)......................................................187

6.4流固耦合問題..............................................................193

6.5動態(tài)子結(jié)構(gòu)分析............................................................199

6.5.1固定界面法.............................................................200

第七章結(jié)構(gòu)控制.............................................................207

7.1引言.......................................................................207

7.2經(jīng)典控制方法..............................................................208

7.3最優(yōu)控制...................................................................213

7.3.1狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題..........................................................218

7.3.2定常狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題......................................................226

7.3.3輸出調(diào)節(jié)器問題..........................................................230

4

第一章結(jié)構(gòu)的物理和力學(xué)描述

1.1結(jié)構(gòu)特性

1)整體性：結(jié)構(gòu)上的整體性(各部件通過力、能量等聯(lián)系成一個整體);

2)抽象性：一個數(shù)學(xué)模型可以表示不同的結(jié)構(gòu)；

3)相對性：結(jié)構(gòu)中部件和整體是相對的：

4)多樣性：同一個結(jié)構(gòu)可以有不同的數(shù)學(xué)模型；

5)三要素：激勵(輸入)、結(jié)構(gòu)(系統(tǒng))、響應(yīng)(輸出)。

1.2結(jié)構(gòu)的平衡特性

在研究結(jié)構(gòu)動力學(xué)問題時，如果假設(shè)物體的材料是均勻的，其變形是微小的，并且服從虎克

定律，就可以把它看作是一個具有無限多自由度的彈性連續(xù)系統(tǒng)，其運動方程表現(xiàn)為偏微分

方程。下面我們根據(jù)牛頓矢量力學(xué)的基本原理，導(dǎo)出幾種一維結(jié)構(gòu)的運動微分方程，并說明

其內(nèi)在的數(shù)學(xué)物理本質(zhì)。

1.2.1單自由度系統(tǒng)

1.2.1.1粘性阻尼系統(tǒng)

參見圖121,單自由系統(tǒng)一般指無阻尼或粘性阻尼系統(tǒng)，即

mii(t)+cu(t)+ku(t)-/'(/)(1.2.1)

其中，加為質(zhì)量；c為粘性阻尼系數(shù)：左為剛度；/(7)為主動力；

“⑺、力⑺和丘(7)分別為位移、速度和加速度。式(1.1)表示了

系統(tǒng)內(nèi)慣性力F,、阻尼力F,、彈性力及和主動力F?的平衡關(guān)系,

即

圖121單自由度系

F,+F,+F-F〃=O(]22)

在式(1.2.1)中令/(f)=0,可以得到自由振動方程

mii(t)+cu(t)+ku(t)-0

(1.2.3)

方程(1.2.2)可以化為標(biāo)準(zhǔn)形式

5

而）+2Jgii?）+（y；i/?）=0（124）

其中，g=、隹,彳=—^。利用方程（1.2.2）或（1.2.3）可以分析系統(tǒng)的固有（與

Vm2ma>0

載荷無關(guān)）特性。

1.2.1.2結(jié)構(gòu)阻尼系統(tǒng)

在方程（1.2.1）中，基于粘性阻尼的特點，假設(shè)阻尼力與速度成正比且反向。但研究表明，

對于由材料內(nèi)阻產(chǎn)生的阻尼，可假設(shè)其力與位移成正比，且與速度反向，即

F,=-igx=T?小（1.2.5）

其中i=Q。式（125）定義的阻尼為結(jié)構(gòu)阻尼或遲滯阻尼，它表征了一種在某一頻段內(nèi)

與頻率無關(guān)，與振幅的平方成正比的能量耗散現(xiàn)象。根據(jù)（125）式，單自由度系統(tǒng)振動微

分方程可表示為

其中（1+切）上稱為復(fù)剛度。

1.2.1.3結(jié)構(gòu)簡諧振動時的平衡特性

簡諧振動是結(jié)構(gòu)的一種穩(wěn)態(tài)運動形式，這時主動

力可以表示為

a,

/1（Z）=foe"-f0（coscot+zsincot]（1.2.7）

其中為激振頻率。而位移可以表示為

〃=（1.2.8）

（1.2.7）和（.12.8）代入（1.2.1）可以得到

-dino

圖1.2.2單自由度穩(wěn)態(tài)運動力平衡圖""一"C\i.4.7/

其中

p=h11,g

:arctan—(1.2.10a)

kJ（l-.2，+（2#）21-Q2

其中。=啟，稱為頻率比，相應(yīng)于方程（1.2.6）,(1.2.10a)可以表示為

%

/01,1

p=-1,（b=arctan-—---(1.2.10b)

%加一。2）2+〃21-fl2

根據(jù)（1.2.8）,結(jié)構(gòu)的彈性力、阻尼力和慣性力可以分別表示為

￡=Se'"%4=ic即e'M%f,=-m（o1pe”“-M(1.2.11a)

6

針對結(jié)構(gòu)阻尼，與(1.2.11)相應(yīng)的阻尼力可表示為

(1.2.11b)

簡諧振動時,(1211)式中各力與位移和速度的關(guān)系可用圖1.2.3表示

根據(jù)(1.2.11a)式，有

￡=Re億)=-ccopsin(?/-0)

(1.2.12)

與〃的虛部的比例為-c。/?,所以在由〃

圖1.2.3力與位移的關(guān)系

與/組成的坐標(biāo)系中有

ff\2(\2

上4--=1(1.2.13)

\ca)p)\p)

TT

由于在共振時。=,,或尸=1,可得到此時系

統(tǒng)內(nèi)的平衡關(guān)系圖如圖124所示，這時彈簧力

平衡慣性力，主動力平衡阻尼力。這時阻尼力與

位移組成的橢圓的面積為萬cop?代表一個周期

內(nèi)由于阻尼引起的能量耗散。

1.2.2弦的橫向振動方程

參見圖125,研究一根長為/繃緊的弦的橫向運動。假設(shè)它是非常柔軟的，即在其橫截

面面內(nèi)不產(chǎn)生彎矩和剪力，結(jié)構(gòu)中的內(nèi)力只有一個張力旺(羽/)。另外假設(shè)弦的振動是微小

的，即有：

7

u(x,t)

圖1.2.5弦結(jié)構(gòu)中任意一微段受力圖

du(x,t)./、，、

-------=txana(xj)xsina(xj)xa(x,t)

dx

C0S6Z(X,Z)x1(1.2.14)

x+Axi「a/x+Ar

A5=jJ1+"J-dxx^dx=Ax

根據(jù)圖1.2.5所示平衡條件，可以得到：

心底)"!翠

=耳2sina2-FJ}sinax+耳(x+^Ax,/)Ax

(1.2.15)

F12COSa2-吊cos%=0

其中P為弦單位長度的質(zhì)量，而常數(shù)4.滿足OK，＜1(i=1,2,3)。取Ax-0,根據(jù)

(1.2.14)和(1.2.15),可以得到：

22

/5W(X,Z)廠5W(X,Z)廠/、z

夕(x)X——-----FT———=F(x,0(1.2.16)

dtdx-

如果夕為常數(shù)，即弦是均勻的，記：

〃2="/(xj)="隆。(1.2.17)

PP

可以得到弦受迫振動的方程為：

粵尹曾苧=/(力)(1.2.18)

dtdx

如果外力/(x,r)為零，則得到弦自由振動方程為：

8

d2u(x,t)d2u(x,t)

-------；-------a-2--------；——0(1.2.19)

dt~dx2

方程（1.2.18）和（1.2.19）又分別被稱之為非齊次方程和齊次方程。

1.2.3桿的縱向振動方程

參考圖126,考慮一個均質(zhì)的等截面的長為/的桿，研究它任意一個微段Ax的縱向運

動狀態(tài)，設(shè)其位移為“（X,。，密度為「，楊氏模量為E,橫截面積為Z,另外桿上作用有

分布縱向載荷E（x,7）。這時，桿點x處的應(yīng)力為:

,、?..w(x+AX,Z)-M(X,Z)du(x,t)

a(x,t)=Ehm---------———匕----------(1.2.20)

LOAxdx

I?_dx

r_x

X

a(x.)A"cr(x+Ar.介

u(x.t}M(%+AX")

圖L2.6桿結(jié)構(gòu)中任意一微段受力圖

平衡方程為：

.d2u(x,t)

pAA^fX----=cr(x+z\x,Z)J-a(x,t)A+F(x+^Ax,/)Ax(1.2.21)

"dt22

x+優(yōu)Ax

常數(shù)a滿足OKa4i（i=1,2）,設(shè):

E

a2=一,/(%,/)=-^2-2(1.2.22)

PP

取Axf0,可以得到桿的受迫振動方程為:

d2u(x,t)d2u(x,t)_

------?------a2--------；—=J\Xt)(1.2.23)

dt2dx29

如果外力/（xj）為零，則得到弦自由振動方程為:

9

a2M(X,7)_q2=0

(1.2.24)

drdx2

方程(1.2.23)和(1.2.24)在形式上分別與(1.2.18)和(1.2.19)完全相同!

1.2.4梁的橫向振動方程

參考圖1.2.7,考慮一個均質(zhì)的變截面的細(xì)長為/的桿，即梁的彎曲和剪切變形可以略去

不計。研究它任意一個微段At的橫向運動狀態(tài)，設(shè)其位移為w(x,。，單位長度的質(zhì)量為

制x),抗彎剛度為E/(x),另外梁上作用有分布橫向載荷尸(X,7)。

梁結(jié)構(gòu)中任意一微段平衡方程為:

d~wAv

Q(x,f)Ax+AxF-m一+=M(x,t)+AAf(x,。

(1.2.25)

Ar=0(x/)+F(x+4AxJ)Ax-[g(x,r)4-△0(x/)]

其中O和"分別為梁的剪力和彎矩，常數(shù)q滿足owqwi(i=1,2,3)o取

?rO,忽略高階小量，由方程(1.2.25)可以得到梁的受迫振動方程為:

22

dM(x,t)z.dw廠/、

(1.2.26)

u(xft)

圖1.2.7梁結(jié)構(gòu)中任意一微段受力圖

略去剪力對梁橫向變形的影響，有:

10

M(x,t)=EI(x)a(1.2.27)

ox

由方程(1.2.26)和(1.2.27)可以得到由橫向位移表示的梁受迫振動方程為:

222

d「廠”xdw(x,t)l/xdw廠/、

-EI(X)———+〃2(x)==b(xj)(1.2.28)

dx|_SxJdt

當(dāng)加(x)和E/(x)為常數(shù)時，(1.2.28)可以表示為：

d4w(x,t)52w

EI——+m--=F(x,r)(1.2.29)

ax4dt2

1.3結(jié)構(gòu)響應(yīng)

(1)單自由度動態(tài)響應(yīng)問題

a.粘性阻尼系統(tǒng)

方程(1.2.3)的解可以表示為

u=(pe"(1.3.1)

其中0和4為待定常數(shù)，(1.3.1)式代入方程(1.2.3),得到

(元+2g①0%+CDQ=0(1.3.2)

方程(1.3.2)稱為系統(tǒng)的特征方程，其非零解須滿足方程

匯+2彳G0丸+口;=0(1.3.3)

特征方程(1.3.2)的非零解4和。稱為其特征值和特征向量，即

4、2=-弧±皿，外2(1.3.4)

其中cod=g-2c

將(1.3.4)代入(1.3.1)得到系統(tǒng)的自由振動響應(yīng)(通解)為：

u=夕］/"+(pfE=Ae~^sin(%/+0)(1.3.5)

其中的常數(shù)0、2或/和夕由初始條件確定，如果M(O)=〃o，〃(O)=〃o,則

11

ua).

arctan--n----——(1.3.6)

〃o+弧"o

(2)頻響函數(shù)

設(shè)系統(tǒng)作用筒諧激勵

/⑺=2(1.3.7)

其中，尸為激勵幅值；0為激勵頻率。此時穩(wěn)態(tài)位移響應(yīng)為

u=Uei0),(1.3.8)

上面兩式代入(1.2.1)得到

U=H(co)F(1.3.9)

其中

1

H((o)=(1.3.10)

k-mar+j(oc

稱為位移頻響函數(shù),

當(dāng)然還有速度頻響函數(shù)Hv(co)和加速度頻響函數(shù)

對于結(jié)構(gòu)阻尼,位移頻響函數(shù)為

111

H(①)(1.3.11)

k-mar+jr)km-co2+jr/colA：1-Q2+777

其中Q=g,為頻率比，或無量剛頻率。

①0

相應(yīng)的極坐標(biāo)表達(dá)為

12

H(a))=I，(⑼|e，s(1.3.12)

其中

11F

|"3)|=<parctan(1.3.13)

kJ(1_Q2)2+〃2

而復(fù)數(shù)形式為

H（69）-HK（（y）+jH1（6＞）(1.3.14)

其中

11-Q2

f/R⑼=(1.3.15)

k(1-Q2)2+戶+72

對于粘性阻尼，位移頻響函數(shù)為

[]_____________]11

(1.3.16)

k-mco1+jcocmG)Q-co2+j2&G)G)O工1-。2+j20

相應(yīng)的極坐標(biāo)表達(dá)為

H(co)=|"(琲"(1.3.17)

其中

11

卜———,(p=arctan(1.3.18)

|"3)kJ(l-Q2)2+4%21-Q2

復(fù)數(shù)形式為

H(co)=HR(a))+jH'(co)(1.3.19)

其中

1-2^1

H'(co)=(1.3.20)

k(1-Q2)2+〃2

利用(1.3.13)-(1.3.20)可以得到表1.3.1。

表1.3.1單自由度結(jié)構(gòu)阻尼和粘性阻尼頻響特性

13

14

1.4結(jié)構(gòu)的能量

下面討論阻尼系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)振動時的能量平衡問題。相應(yīng)(1.2.8)式的微小位移為

du=iQpe"""dt(1.4.1a)

或

du=pcocos("—(p)dt(1.4.1b)

由(1.4.1)式可以看出力/與〃垂直，主動力/輸入結(jié)構(gòu)的能量為它對位移作功，即

"%.=；Re(l”u)(1.4.2)

其中Re表示取實部，方表示取共扼，所以主動力在一個周期內(nèi)所作的功為

叫.=：/Re(/oeTd”Qe《2,=1/psin(/)(1.4.3)

24Q2鄴,、

sin(p-1==-^7—p(1.4.4)

7(1-Q2)2+(2^)2/。

由于慣性力和彈性力均與du垂直，所以它們對系統(tǒng)外不做功，其作用效果表現(xiàn)為相應(yīng)

的動能和勢能。粘性阻尼力在一個周期內(nèi)做的功為

[2乃

匕=萬/Re(—icpQergWjpQe,g'R))力=nc^-p1(1.4.5a)

其中4為等效阻尼系數(shù)，注意/與Q有關(guān)。結(jié)構(gòu)粘性阻尼力在一個周期內(nèi)做的功為

/九/\

叫=51『Re(—i77切/(加。)jpQe'(dW))出=兀/而(1.4.5b)

注意明,與O無關(guān)。根據(jù)(1.16a)和(1.17b)可以得到

,”理或人一^(1.4.6)

Q2gQ”？

當(dāng)結(jié)構(gòu)共振時，有

7=2^(1.4.7)

根據(jù)(145)和(1.4.3)可以分別得到

%=%或％=叫(1.4.8)

即，對于穩(wěn)態(tài)振動主動力對系統(tǒng)輸入的功等于該系統(tǒng)的阻尼產(chǎn)生的能量耗散。

15

1.5固有特征

特征值問題在力學(xué)和其他學(xué)科是一個廣泛關(guān)注的基本問題，例如結(jié)構(gòu)的翹曲穩(wěn)定性，壓

桿穩(wěn)定性，力學(xué)系統(tǒng)的固有振動，以及電學(xué)中的諧振等等。它們均可以被描述成以某些臨界

參數(shù)為條件的平衡問題，下面我們將一些典型的結(jié)構(gòu)為例討論特征值問題。

1.5.1離散靜態(tài)系統(tǒng)

考慮圖151所示二自由度系統(tǒng)，它由三個剛度分別為匕、左2和質(zhì)彈簧組成，々和G

為外界載荷。設(shè)兩加載點處的位移分別為小和的，則該系統(tǒng)的平衡方程為

kU+左2(〃1-”2)=4

}x(1.5.1)

#2("2-"1)+%3〃2=P2

k、k2k3

方程(1.5.1)用矩陣可以表示為

圖151二自由度靜平衡系統(tǒng)

KU=P(1.5.2)

其中

左1+幺一公]fw,1R

K=?22,U=《卜，P=《,

J[鳥

-k2k3+k2[M2

相應(yīng)的特征值問題可以表示為

KU=2U(1.5.3)

設(shè)

(1.5.4)

k、=卜3=k,k2=2k

代入方程(1..5.3),得到其特征值和特征向量分別為

'4〕⑴「11

<}=H!<，Q=0.7071

2J[5]|_1-1

特征向量的比例圖如圖L6所示

圖152b二階特征向量

圖1.5.2a一階特征向量(4=左)(A=5k)

16

意義：

(1)矩陣K與U相乘的結(jié)果與一個常數(shù)與U相乘的結(jié)果相等，即彈性力與位移成比例;

(2)兩振型相互正交，交叉做功為零.

1.5.2離散動態(tài)系統(tǒng)

考慮左圖所示二自由度系統(tǒng)，它在圖1.4的基礎(chǔ)上

增加了兩個質(zhì)點質(zhì)量叫和加2。其平衡方程為

MU(Z)+KU(/)=P(Z)(1.5.5)

其中^wwv^wwv^wwH

k{k2m2kx

m,0

M=1

圖1.5.3二自由度動態(tài)系統(tǒng)

0m2_

其它參數(shù)參見方程(1.5.2),與方程(1.5.2)相應(yīng)的特征值問題為

(K—<y2M)U=0(1.5.6)

設(shè)

k、=k§—k,k?=2k,///j—(1.5.7)

代入方程(1.5.6),得到其特征值和特征向量分別為

意義：

(1)振型與靜態(tài)問題相同

(2)同一個振型內(nèi)彈性力和慣性力與位移成比例;

(2)兩振型相互正交，交叉能量交換為零。

1.5.3連續(xù)靜態(tài)系統(tǒng)

考慮兩端固執(zhí)的的弦，根據(jù)方程(1223),其靜態(tài)平衡方程為

斗dt/(x)+R(X)=o,“(0)="⑺=o(1.5.8)

dx

其相應(yīng)的特征值問題為

17

d2u(x)

------=Au(x),〃(0)=〃(/)=0(1.5.9)

dx

方程(1.159)的解為

rijTX

,M(X)=w?(x)—sin——,“=1,2,3,…(1.5.10)

特征向量形狀圖參見圖1m54。

圖1.5.4a一階特征向量圖1.5.4b二階特征向量

1.5.4連續(xù)動態(tài)系統(tǒng)

考慮兩端固支，長為/的弦，其自由振動方程及其邊界和初始條件為

2

M?(X,/)-tZMxv(X,Z)=0

4o=O,〃li=O(1511)

〃L=0=0(x)，"，L=o="(x)

其特征值和特征向量的解為

〃=1,2,3,…(1.5.12)

/、,、(,n7tat?n7raty.nyrx

u(x,t)=un(x,t)=Ancos--------卜B“sin------sin-----

1.5.5總結(jié)

定義：設(shè)①是數(shù)域展上線性空間X中的線性變換，如果對乙€火，存在一個非零的向量

■，使得則稱4為中的一個特征值或本征值，■稱為①的屬于4的一個

特征向量或本征向量。

結(jié)構(gòu)的固有特征表征了結(jié)構(gòu)內(nèi)部的平衡、能量在空間和時間內(nèi)的分布和穩(wěn)定性等特性

18

表1.3.1特征算子

靜態(tài)動態(tài)

離散代數(shù)方程常微分方程，時間離散為簡諧振動的疊加

①：矩陣K①：K-02M

能量：勢能能量：勢能和動能

連續(xù)常微分方程偏微分方程

12o2o2

①：J和邊界條件①：_^和邊界條件

dxdt2dx2

能量：勢能能量：勢能和動能

1.6結(jié)構(gòu)的波動和振動

1.6.1波傳播

桿的振動微分方程為：

d2u2a2“

---=C----(1.6.1)

dt2dx2

其中c波速，它與模量E和密度P的關(guān)系為

(1.6.2)

對方程(1.6.1)作變量代換：

-x-ct

(1.6.3)

r/=x+ct

因為：

d2ud'u、d2ud2u

—T=-7+2------+—7

dx222憂的d瞰

22(1.6.4)

du2f瑞cd2Hdu]

dt21a。？a盤〃時)

(1.6.4)帶入(1.6.1)有：

19

d2u

=0(1.6.5)

瑟劭

(1.6.5)式的一般解為

u(x,t)-f(x-ct)+g(x+ct)(1.6.6)

1)振動

考慮兩個振幅相等的簡諧波在直桿中沿相反的方向傳播，根據(jù)(1.21)式，兩者的合成

位移可以表示為

u(x,/)=Aexp[z(?yr-kx+(p+^+Aexp[z(a)t+kx+/_)](1.6.7)

或

=2Zexp]cos[^x—(1.6.8)

(1.6.8)式表示兩個沿相反方向傳播的簡諧波疊加的結(jié)果將不再有行波的特性，合成

的波動稱為駐波。令

則在滿足條件(L6.9)的點上，兩個行波的位移互相抵消，介質(zhì)保持靜止，這些點稱

為節(jié)點，系統(tǒng)的各個質(zhì)點在節(jié)點間作穩(wěn)態(tài)振動。通過適當(dāng)選取隊和心我們可以使駐波滿足

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