超洋數(shù)學(xué)-新高考高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題5之2（解析版）

高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題5之2一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.可表示為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)槭沁B續(xù)9個(gè)數(shù)和相乘，所以，故選：A2.從1~7這七個(gè)數(shù)字中選3個(gè)數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A.210 B.120 C.90 D.45【答案】C【解析】先從2，4，6中選1個(gè)排在個(gè)位，有種情況，再從剩下的6個(gè)數(shù)選2個(gè)排在十位和百位，有種，則根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得偶數(shù)的個(gè)數(shù)為個(gè).故選：C.3.的展開式的第6項(xiàng)的系數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】通項(xiàng)，令，解得，所以展開式的第6項(xiàng)的系數(shù)為.故選：D.4.日常生活中的飲用水是經(jīng)過凈化的，隨著水的純凈度的提高，所需凈化費(fèi)用不斷增加．已知將1t水凈化到純凈度為x%時(shí)所需費(fèi)用（單位：元）為，則凈化到純凈度為98%左右時(shí)凈化費(fèi)用的變化率，大約是凈化到純凈度為90%左右時(shí)凈化費(fèi)用變化率的（）A.30倍 B.25倍 C.20倍 D.15倍【答案】B【解析】由題意，可知凈化所需費(fèi)用的瞬時(shí)變化率為，所以，，所以，所以凈化到純凈度為時(shí)所需費(fèi)用的瞬時(shí)變化率是凈化到純凈度為時(shí)所需費(fèi)用的瞬時(shí)變化率的倍；故選：B5.根據(jù)分類變量與的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算得到.依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，結(jié)論為（）A.變量與不獨(dú)立B.變量與不獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過C.變量與獨(dú)立D.變量與獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過【答案】C【解析】按照獨(dú)立性檢驗(yàn)的知識(shí)及比對(duì)的參數(shù)值，當(dāng)，我們可以下結(jié)論變量與獨(dú)立.故排除選項(xiàng)A,B;依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，6.147<6.635,所以我們不能得到“變量與獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過”這個(gè)結(jié)論.故C正確，D錯(cuò)誤.故選：C6.已知6件產(chǎn)品中有2件次品，4件正品，檢驗(yàn)員從中隨機(jī)抽取3件進(jìn)行檢測，記取到的正品數(shù)為X，則（）A.2 B.1 C. D.【答案】A【解析】X可能取1，2，3，其對(duì)應(yīng)的概率為，，，∴．故選：A7.某人在11次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)為X，若，若最大，則k＝（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】C【解析】因?yàn)椋糇畲?，則，化簡得：，.代入已知數(shù)值得：，所以時(shí)最大故選：C.8.已知函數(shù)，過點(diǎn)M（1，t）可作3條與曲線相切的直線，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)切點(diǎn)為，由，得，所以切線的斜率為，所以切線方程為，因?yàn)辄c(diǎn)M（1，t）在切線上，所以，化簡整理得，令，則，所以當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在和上遞減，在上遞增，所以的極小值為，極大值為，當(dāng)時(shí)，，所以的圖象如圖所示，因?yàn)檫^點(diǎn)M（1，t）可作3條與曲線相切的直線，所以的圖象與直線有三個(gè)不同的交點(diǎn)，所以由圖象可得，故選：D二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.對(duì)經(jīng)驗(yàn)回歸方程，下列正確的有（）A.決定系數(shù)越小，模型的擬合效果越好B.經(jīng)驗(yàn)回歸方程只適用于所研究的樣本的總體C.不能期望經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的預(yù)報(bào)值就是響應(yīng)變量的精確值D.殘差平方和越小，模型的擬合效果越好【答案】BCD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，決定系數(shù)越小，模型的擬合效果越差，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，經(jīng)驗(yàn)回歸方程只適用于所研究的樣本的總體，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的是響應(yīng)變量的預(yù)報(bào)值，不是響應(yīng)變量的精確值，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，殘差平方和越小，模型的擬合效果越好，D對(duì).故選：BCD.10.甲、乙兩地舉行數(shù)學(xué)聯(lián)考，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)：甲地學(xué)生的成績，乙地學(xué)生的成績．下圖分別是其正態(tài)分布的密度曲線，則（）（附：若隨機(jī)變量，則，，）A.甲地?cái)?shù)學(xué)的平均成績比乙地的低 B.甲地?cái)?shù)學(xué)成績的離散程度比乙地的小C. D.若，則【答案】AD【解析】觀察圖像可以看出，甲的平均分為，小于乙的平均分，A選項(xiàng)正確；圖像中還可以看出乙地?cái)?shù)據(jù)更加集中，故乙地方差更小，B錯(cuò)誤；根據(jù)對(duì)稱性，，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；時(shí)，根據(jù)題干數(shù)據(jù)，，根據(jù)對(duì)稱性，，另有，根據(jù)對(duì)稱性，，于是，D選項(xiàng)正確.故選：AD.11.下列命題正確的有（）A.現(xiàn)有1、3、7、13四個(gè)數(shù)，從中任取兩個(gè)相加得到個(gè)不相等的和；從中任取兩個(gè)相減得到不相等的差，則B.在的展開式中，含的項(xiàng)的系數(shù)為65C.若（，為有理數(shù)），則D.【答案】BC【解析】對(duì)于A：因?yàn)閭€(gè)數(shù)各不相同，且不存在兩個(gè)數(shù)之和與另外兩數(shù)之和相等，所以從中任取兩個(gè)相加可得到個(gè)不相等的和，即，因?yàn)?，，所以從中任取兩個(gè)相減得到不相等的差，即，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：展開式中含項(xiàng)為，即項(xiàng)的系數(shù)為，故B正確；對(duì)于C：因?yàn)檎归_式通項(xiàng)為，所以，即，故C正確；對(duì)于D：，故D錯(cuò)誤；故選：BC12.已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，則（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】由題意知，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，則的兩根為，由，得，設(shè)，則，令，令，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，作出函數(shù)與函數(shù)的圖像，如圖，由圖可知，解得，故A錯(cuò)誤；令則，令，令，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由，得，所以，又，所以，故函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，有，故C錯(cuò)誤；，故D正確；設(shè)，則，即函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，，令，則，當(dāng)時(shí)，，，所以在上，，函數(shù)單調(diào)遞減，且，則在上，即，函數(shù)單調(diào)遞增，又關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，所以，有，又，所以，由，得，又函數(shù)在單調(diào)遞減，所以，即，故B正確.故選：BD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線的方程為______．【答案】【解析】，則，所以曲線在點(diǎn)處切線的方程為，即.故答案為：.14.將4名博士分配到3個(gè)不同的實(shí)驗(yàn)室，每名博士只分配到一個(gè)實(shí)驗(yàn)室，每個(gè)實(shí)驗(yàn)室至少分配一名博士，則不同的分配方案有______種．【答案】36【解析】必有2名博士分配到同一個(gè)實(shí)驗(yàn)室，所以不同的分配方案有種.故答案為：36.15.某小微企業(yè)制造并出售球形瓶裝的某種飲料，瓶子的制造成本是分，其中r（單位：cm）是瓶子的半徑，已知每出售1mL的飲料，可獲利0.4分，且能制作的瓶子的最大半徑為6cm，當(dāng)每瓶飲料的利潤最大時(shí)，瓶子的半徑為______cm．【答案】【解析】設(shè)每瓶飲料獲得的利潤為，依題意得，，，于是，遞減；，遞增，是極小值點(diǎn)，于是在，只可能使得最大.故答案為：16.已知離散型隨機(jī)變量X的取值為有限個(gè)，，，則______．【答案】【解析】因?yàn)?，由，?故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.兩批同種規(guī)格的產(chǎn)品，第一批占，次品率為；第二批占，次品率為．將兩批產(chǎn)品混合，從混合產(chǎn)品中任取一件．（1）求這件產(chǎn)品是次品的概率；（2）已知取到的是次品，求它取自第一批產(chǎn)品的概率．【答案】（1）（2）【解析】【1】設(shè)事件為“取到的產(chǎn)品是次品”，為“取到的產(chǎn)品來自第批”．則，，，，由全概率公式，所求概率為．【2】所求概率為.18.若的展開式中只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，且展開式中的常數(shù)項(xiàng)為．（1）求n，a的值；（2）若，求．【答案】（1），（2）【解析】【1】由題意，n＝6，展開式的通項(xiàng)，k＝0，1，…，6，令6－2k＝0，得k＝3，由題意，得，即．解得a＝1．【2】由（1），知，令，得，即，上式兩邊同乘以，得，由，令，得，所以．19.某校組織數(shù)學(xué)知識(shí)競賽活動(dòng)，比賽共4道必答題，答對(duì)一題得4分，答錯(cuò)一題扣2分．學(xué)生甲參加了這次活動(dòng)，假設(shè)每道題甲能答對(duì)的概率都是，且各題答對(duì)與否互不影響．設(shè)甲答對(duì)的題數(shù)為，甲做完4道題后的總得分為．（1）試建立關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并求；（2）求的分布列及．【答案】（1），（2）分布列見解析，【解析】【1】由題意，由，得．所以，而，所以．【2】由題意，知．的對(duì)應(yīng)值表為：01234－8－241016于是，；；；；．20.已知函數(shù)．（1）若在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）求證：時(shí)，．【答案】（1）;（2）證明見解析【解析】【1】因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，所以在恒成立，即，所以．令，顯然在上單調(diào)遞減，所以在上的最大值為．因此，．【2】證明：當(dāng)時(shí)，．只需證明．令，則函數(shù)的定義域?yàn)椋驗(yàn)槭窃龊瘮?shù)，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增．又因?yàn)?，，由零點(diǎn)存在性定理，存在唯一的，使得．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．所以，．由，得，．于是．所以，．證法2：要證，即證．設(shè)，則．；，所以在（0，2）上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．所以．設(shè)，則．；，所以在（0，1）上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．所以．可見，．所以原結(jié)論成立．證法3：要證明，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．所以，即．21.某公司對(duì)其產(chǎn)品研發(fā)的年投資額x（單位：百萬元）與其年銷售量y（單位：千件）的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，整理后得到如下統(tǒng)計(jì)表：x12345y1.523.5815（1）求變量x和y的樣本相關(guān)系數(shù)r（精確到0.01），并推斷變量x和y的線性相關(guān)程度（參考：若，則線性相關(guān)程度很強(qiáng)；若，則線性相關(guān)程度一般；如果，則線性相關(guān)程度較弱）；（2）求年銷售量y關(guān)于年投資額x的線性回歸方程；（3）當(dāng)公司對(duì)其產(chǎn)品研發(fā)的年投資額為600萬元時(shí)，估計(jì)產(chǎn)品的年銷售量．參考公式：對(duì)于變量x和變量y，設(shè)經(jīng)過隨機(jī)抽樣獲得的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)為，，…，，其中，，…，和，，…，的均值分別為和；稱為變量x和y的樣本相關(guān)系數(shù)；線性回歸方程中，，；參考數(shù)據(jù)：．【答案】（1），變量x和y的線性相關(guān)程度很強(qiáng)（2）（3）15.9千件【解析】【1】由題意，，，，，所以，因?yàn)?，所以變量x和y的線性相關(guān)程度很強(qiáng)．【2】，．所以年銷售量y關(guān)于年投資額x的線性回歸方程為．【3】當(dāng)x＝6時(shí)，由（2）．所以研發(fā)的年投資額為600萬元時(shí)，產(chǎn)品的年銷售量約為15.9千件．22.已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在極值點(diǎn)．（1）求a的取值范圍；（2）判斷關(guān)于x的方程在內(nèi)實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)，并說明理由．【答案】（1）（2）實(shí)數(shù)解有三個(gè)，理由見解析【解析】【1】．①當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以．所以在（?，0）上單調(diào)遞減，所以在（－1，0）上無極值點(diǎn)．故不符合題意．②當(dāng)a>1時(shí)，因?yàn)樵冢ǎ?，0）上單調(diào)遞增