高中物理解題方法11之5：極值法（原卷版）

高中物理解題方法之5：極值法（解析版）江蘇省特級教師戴儒京高中物理中的極值問題，是物理教學研究中的活躍話題。本文通過例題歸納綜合出極值問題的四種主要解法。二次函數求極值二次函數，當時，y有極值，若a>0，為極小值，若a<0，為極大值。例1試證明在非彈性碰撞中，完全非彈性碰撞(碰撞后兩物體粘合在一起)動能損失最大。由公式得當時，有極小值，若，此時極小值為2。同理，的極大值為。求彈性正碰中m1所傳遞給m2的動能最大或最小的條件。設一個質量為m1，動能為Ek的物體與一個質量為m2的不動的物體正碰，假定發(fā)生的是彈性碰撞，試討論m1傳遞給m2動能最大或最小的條件。三角函數求極值：三角函數，當時，取最小值0，當時，取最大值1，（在0到范圍內），同理，時，取最大值1，時，取最小值0。例3在傾角=300的斜面上，放置一個重量為200牛頓的物體，物體與斜面間的滑動摩擦系數為，要使物體沿斜面勻速向上移動，所加的力至少要多大？方向如何？設所加的外力F與斜面夾角為，物體受力情況如圖所示。NFfG四、導數法求極值：一般的函數，求一階導數，令其為零時的值，即為取極值的條件；再求二階導數，當時，若，則上述極值為極小值；若，則為極大值。在用滑線式電橋測電阻的實驗中，觸頭在滑線中點附近平衡時，實驗誤差較小。RIgRxGG除了上述四種基本方法以外，還可以用不等式求極值，也可以根據物理中的臨界條件求極值，等等。從上述例題可以看出：用求極值方法解決物理問題的關鍵在于：把物理問題轉化為數學問題，首先要正確地分析物理過程，建立正確的物理模型或物理圖景，恰當地運用物理規(guī)律和物理公式，正確地把物理問題轉化為數學問題，然后才能用極值方法去解。五、平拋運動中的極值問題例1．一探險隊員在探險時遇到一山溝，山溝的一側豎直，另一側的坡面呈拋物線形狀。此隊員從山溝的豎直一側，以速度v0沿水平方向跳向另一側坡面。如圖所示，以溝底的O點為原點建立坐標系Oxy。已知：山溝豎直一側的高度為2h，坡面的拋物線方程為y=，探險隊員的質量為m。人視為質點，忽略空氣阻力，重力加速度為g。求此人落到坡面時的動能；此人水平跳出的速度為多大時，他落在坡面時的動能最??？動能的最小值為多少？例2.在游樂節(jié)目中，選手需要借助懸掛在高處的繩飛越到水面的浮臺上，小明和小陽觀看后對此進行了討論。如圖所示，他們將選手簡化為質量m=60kg的質點，選手抓住繩由靜止開始擺動，此時繩與豎直方向夾角=，繩的懸掛點O距水面的高度為H=3m.不考慮空氣阻力和繩的質量，浮臺露出水面的高度不計，水足夠深。取重力加速度，，求選手擺到最低點時對繩拉力的大小F；若繩長=2m,選手擺到最高點時松手落入手中。設水對選手的平均浮力，平均阻力，求選手落入水中的深度；若選手擺到最低點時松手，小明認為繩越長，在浮臺上的落點距岸邊越遠；小陽認為繩越短，落點距岸邊越遠，請通過推算說明你的觀點。例3.如圖所示，長為L、內壁光滑的直管與水平地面成30°角固定放置。將一質量為m的小球固定在管底，用一輕質光滑細線將小球與質量為M=km的小物塊相連，小物塊懸掛于管口。現將小球釋放，一段時間后，小物塊落地靜止不動，小球繼續(xù)向上運動，通過管口的轉向裝置后做平拋運動，小球在轉向過程中速率不變。（重力加速度為g）

（1）求小物塊下落過程中的加速度大??；

（2）求小球從管口拋出時的速度大小；

（3）試證明小球平拋運動的水平位移總小于

例4.水上滑梯可簡化成如圖所示的模型：傾角為θ=37°斜滑道AB和水平滑道BC平滑連接（設經過B點前后速度大小不變），起點A距水面的高度H=7.0m，BC長d=2.0m，端點C距水面的高度h=1.0m．一質量m=50kg的運動員從滑道起點A無初速地自由滑下，運動員與AB、BC間的動摩擦因數均為μ=0.1．（取重力加速度g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，運動員在運動過程中可視為質點）（1）求運動員沿AB下滑時加速度的大小a；（2）求運動員從A滑到C的過程中克服摩擦力所做的功W和到達C點時速度的大??；（3）保持水平滑道端點在同一豎直線上，調節(jié)水平滑道高度h和長度d到圖中B′C′位置時，運動員從滑梯平拋到水