平面向量及其應(yīng)用（二）

平面向量及其應(yīng)用（二）一．選擇題（共8小題）1．已知a→，b→為單位向量，向量c→滿足2b→+cA．6 B．7 C．22 2．已知向量a→=(3，1)，b→=(1，?A．±1 B．±12 C．﹣1 3．在平行四邊形ABCD中，BE→=12EC→，DF→=2A．67a→+37b→ 4．已知向量a→=（2，m），b→=（4，﹣1），且（a→A．2 B．12 C．8 D．5．邊長為2的正△ABC中，G為重心，P為線段BC上一動點(diǎn)，則AG→A．1 B．2 C．(BG→?6．如圖，在同一平面內(nèi)以平行四邊形ABCD兩邊AB，AD為斜邊向外作等腰直角△ABE，△ADF，若AB＝2，AD＝1，∠BAD=π4，則A．32 B．?32 C．37．八角星紋是大汶口文化中期彩陶紋樣中具有鮮明特色的花紋．八角星紋常繪于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈紅色底襯，然后在上面繪并列的八角星形的單獨(dú)紋樣．八角星紋以白彩的成，黑線勾邊，中為方形或圓形，且有向四面八方擴(kuò)張的感覺．八角星紋延續(xù)的時間較長，傳播范圍亦廣，在長江以南的時間稍晚的崧澤文化的陶豆座上也屢見刻有八角大汶口文化八角星紋．圖2是圖1抽象出來的圖形，在圖2中，圓中各個三角形（如△ACD）為等腰直角三角形，點(diǎn)O為圓心，中間部分是正方形且邊長為2，定點(diǎn)A，B所在位置如圖所示，則AB→A．10 B．12 C．14 D．168．我國古代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》一書時介紹了“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的大正方形如圖所示，記直角三角形較小的銳角為α，大正方形的面積為S1，小正方形的面積為S2，若S1S2=5，則sinA．355 B．255 C．二．多選題（共4小題）（多選）9．下列判斷錯誤的是（）A．方程組y=x?1y=3?x的解集為{2，1}B．若向量a→，b→共線，則存在實(shí)數(shù)x，使得a→C．x+1xD．如果a＜b＜0，那么1（多選）10．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則下列關(guān)系式中正確的是（）A．（b+c）（b﹣c）＝2absinC﹣a2 B．（b+c）（b﹣c）＝2abcosC﹣a2 C．sin（A+B）sin（A﹣B）＝sin2A﹣sin2B D．cos（A+B）cos（A﹣B）＝cos2A﹣cos2B（多選）11．費(fèi)馬點(diǎn)是法國著名數(shù)學(xué)家費(fèi)馬在1643年提出的，根據(jù)費(fèi)馬的結(jié)論可得：當(dāng)△ABC的三個內(nèi)角都小120°時，在△ABC內(nèi)部存在唯一的點(diǎn)P，使P到三角形三個頂點(diǎn)距離之和最小，且點(diǎn)P滿足：∠APB＝∠BPC＝∠APC＝120°．在直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，A（2，0），B（1，2），△AOB的費(fèi)馬點(diǎn)為P，點(diǎn)B到直線PA的距離為d，則（）A．直線PA的方程為x?3y+2＝0B．直線PA的方程為x+3y﹣2＝0C．d＞3D．d=（多選）12．如圖，已知四面體ABCD的所有棱長都等于2，E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，DC的中點(diǎn)，則（）A．AB→?AC→=2 B．GF→三．填空題（共4小題）13．已知單位向量a→，b→，且a→⊥(14．已知向量m→=(2，1)和向量n→=(?3，4)，則m→15．如圖，已知P，Q分別為∠AOB兩邊上的點(diǎn)，∠AOB=π6，PQ＝3，過點(diǎn)P，Q作圓弧，R為PQ的中點(diǎn)，且∠PQR=π6，則線段16．已知△ABC中，BC＝3，且ABAC=2，則tan∠ABC的最大值為四．解答題（共6小題）17．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，滿足a＝2cosB（bcosC+ccosB）．（1）求B；（2）若b＝2，a+c＝4，求△ABC的面積．18．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，2b?ca（1）求A；（2）若b+c=42，△ABC的面積為33219．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且2bsinA+acosB＝c．（1）求sinA的值；（2）若點(diǎn)M在邊AC上，且△BCM是邊長為23的等邊三角形，求△ABC的面積．20．記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知b+c=2asin(C+π（1）求A；（2）設(shè)AB的中點(diǎn)為D，若CD＝a，且b﹣c＝1，求△ABC的面積．21．①（a+b）（sinA﹣sinB）+（c﹣a）sinC＝0，②（2a﹣c）cosB＝bcosC．請從①②兩個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答該題．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c且_____．（1）求角B；（2）若點(diǎn)D在BC的延長線上且滿足BC＝CD，AD＝2，求2a+c的取值范圍．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計(jì)分．22．如圖，△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，（b+c+a）（b+c﹣a）＝3bc．（1）求A的大??；（2）若△ABC內(nèi)點(diǎn)P滿足∠PAB＝∠PBC＝∠PCA＝∠PAC，求∠BPC的大?。?/p>

平面向量及其應(yīng)用（二）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）1．已知a→，b→為單位向量，向量c→滿足2b→+cA．6 B．7 C．22 【解答】解：已知a→，b又a→與b則a→又2b則c→所以c→所以|c故選：B．2．已知向量a→=(3，1)，b→=(1，?A．±1 B．±12 C．﹣1 【解答】解：向量a→則a→?c→=∵c→在a∴|c→?a故選：B．3．在平行四邊形ABCD中，BE→=12EC→，DF→=2A．67a→+37b→ 【解答】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AC→=AB→+∵BE→=12EC∴BE→=1∴AE→AF→∵AE→=a∴AB→+1∴AC→故選：B．4．已知向量a→=（2，m），b→=（4，﹣1），且（a→A．2 B．12 C．8 D．【解答】解：（a→?b則(a→?∵a→=（2，m），∴22+m2＝42+（﹣1）2，解得m=±13故選：D．5．邊長為2的正△ABC中，G為重心，P為線段BC上一動點(diǎn)，則AG→A．1 B．2 C．(BG→?【解答】解：因?yàn)檫呴L為2的正△ABC中，G為重心，由向量數(shù)量積的性質(zhì)可得，AG→?AP→=|AG→|×32|AG故選：B．6．如圖，在同一平面內(nèi)以平行四邊形ABCD兩邊AB，AD為斜邊向外作等腰直角△ABE，△ADF，若AB＝2，AD＝1，∠BAD=π4，則A．32 B．?32 C．3【解答】解：由已知可得AC=AB=AD=AF=1=?3故選：B．7．八角星紋是大汶口文化中期彩陶紋樣中具有鮮明特色的花紋．八角星紋常繪于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈紅色底襯，然后在上面繪并列的八角星形的單獨(dú)紋樣．八角星紋以白彩的成，黑線勾邊，中為方形或圓形，且有向四面八方擴(kuò)張的感覺．八角星紋延續(xù)的時間較長，傳播范圍亦廣，在長江以南的時間稍晚的崧澤文化的陶豆座上也屢見刻有八角大汶口文化八角星紋．圖2是圖1抽象出來的圖形，在圖2中，圓中各個三角形（如△ACD）為等腰直角三角形，點(diǎn)O為圓心，中間部分是正方形且邊長為2，定點(diǎn)A，B所在位置如圖所示，則AB→A．10 B．12 C．14 D．16【解答】解：連接OD，因?yàn)橹虚g陰影部分是正方形且邊長為2，由題意可得圖中各個三角形都為等腰直角三角形，所以∠ADO=∠ODB=π4，|OD→|=則AB=AD=4故選：C．8．我國古代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》一書時介紹了“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的大正方形如圖所示，記直角三角形較小的銳角為α，大正方形的面積為S1，小正方形的面積為S2，若S1S2=5，則sinA．355 B．255 C．【解答】解：設(shè)直角三角形的短直角邊為x，則長直角邊為x+S因?yàn)榇笳叫蔚拿娣e為S1，小正方形的面積為S2，所以由勾股定理可得（S1）2＝x2+（x+S2又S1所以解得x=S2或x＝﹣2又直角三角形較小的銳角為α，所以sinα=xS1=所以sinα+cosα=5故選：A．二．多選題（共4小題）（多選）9．下列判斷錯誤的是（）A．方程組y=x?1y=3?x的解集為{2，1}B．若向量a→，b→共線，則存在實(shí)數(shù)x，使得a→C．x+1xD．如果a＜b＜0，那么1【解答】解：A．該方程組的解集是點(diǎn)集，A錯誤；B．需限制b→≠0C．x＜0時，x+1x無最小值，D．a(chǎn)＜b＜0時，﹣a＞﹣b＞0，∴a2＞b2＞0，1a2＜故選：ABC．（多選）10．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則下列關(guān)系式中正確的是（）A．（b+c）（b﹣c）＝2absinC﹣a2 B．（b+c）（b﹣c）＝2abcosC﹣a2 C．sin（A+B）sin（A﹣B）＝sin2A﹣sin2B D．cos（A+B）cos（A﹣B）＝cos2A﹣cos2B【解答】解：對于A，若C＝90°，則b2+a2＝c2，又由已知（b+c）（b﹣c）＝2absinC﹣a2，可得b2﹣c2＝2absinC﹣a2，所以b2+a2﹣c2＝2absinC，所以2ab＝0，故錯誤；對于B，由已知可得b2+a2﹣c2＝2abcosC，由余弦定理可得正確；對于C，左邊＝（sinAcosB+cosAsinB）（sinAcosB﹣cosAsinB）＝sin2Acos2B﹣cos2Asin2B＝sin2A（1﹣sin2B）﹣sin2B（1﹣sin2A）＝sin2A﹣sin2Asin2B﹣sin2B+sin2Bsin2A＝sin2A﹣sin2B＝右邊，故正確；對于D，若A＝30°，B＝60°，則C＝90°，則左邊＝0≠（32）2﹣（12）2故選：BC．（多選）11．費(fèi)馬點(diǎn)是法國著名數(shù)學(xué)家費(fèi)馬在1643年提出的，根據(jù)費(fèi)馬的結(jié)論可得：當(dāng)△ABC的三個內(nèi)角都小120°時，在△ABC內(nèi)部存在唯一的點(diǎn)P，使P到三角形三個頂點(diǎn)距離之和最小，且點(diǎn)P滿足：∠APB＝∠BPC＝∠APC＝120°．在直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，A（2，0），B（1，2），△AOB的費(fèi)馬點(diǎn)為P，點(diǎn)B到直線PA的距離為d，則（）A．直線PA的方程為x?3y+2＝0B．直線PA的方程為x+3y﹣2＝0C．d＞3D．d=【解答】解：在直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，A（2，0），B（1，2），△AOB的費(fèi)馬點(diǎn)為P，由題意可知：∠APB＝∠BPO＝∠APO＝120°．所以P在OA的中垂線上，yP=1tan60°=33所以直線AP的方程：y﹣0=33?01?2（x﹣2），即d=|1+2所以BD正確．故選：BD．（多選）12．如圖，已知四面體ABCD的所有棱長都等于2，E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，DC的中點(diǎn)，則（）A．AB→?AC→=2 B．GF→【解答】解：由題意得：四面體ABCD為正四面體，故∠BAC＝∠CBD＝60°，故AB→?AC因?yàn)镋，F(xiàn)，G分別是AB，AD，DC的中點(diǎn)，所以FG∥AC，EF∥BD，且FG=12AC=1故GF→?AC∵BC→?EF取BD的中點(diǎn)H，連接AH，CH，因?yàn)椤鰽BD，△BCD均為等邊三角形，所以AH⊥BD，且CH⊥BD，因?yàn)锳H∩CH＝H，且AH，CH?平面ACH，所以BD⊥平面ACH，又AC?平面ACH，所以BD⊥AC，所以EF⊥FG，故GF→?EF故選：ACD．三．填空題（共4小題）13．已知單位向量a→，b→，且a→⊥(a→【解答】解：已知單位向量a→，b又a→⊥(a→+2b→則|a故答案為：3．14．已知向量m→=(2，1)和向量n→=(?3，4)，則m→在n【解答】解：向量m→=(2，1)，則m→在n→上的投影向量的坐標(biāo)為故答案為：(615．如圖，已知P，Q分別為∠AOB兩邊上的點(diǎn)，∠AOB=π6，PQ＝3，過點(diǎn)P，Q作圓弧，R為PQ的中點(diǎn)，且∠PQR=π6，則線段OR長度的最大值為【解答】解：設(shè)∠PQO＝θ，則0＜θ＜5π6，在△OPQ中，由正弦定理知所以O(shè)P＝6sinθ，因?yàn)镽為PQ的中點(diǎn)，所以∠QPR=∠PQR=π則PR＝QR，在△RPQ中由余弦定理PQ2＝PR2+QR2﹣2PR?QRcos∠PRQ，解得PR=QR=3在△ORP中，∠OPR=∠OPQ+∠QPR=5π由余弦定理可得O=18(1?cos2θ)+3+63所以當(dāng)θ=5π12時，OR2取得最大值即OR的得最大值3+23故答案為：3+2316．已知△ABC中，BC＝3，且ABAC=2，則tan∠ABC的最大值為3【解答】解：設(shè)AC＝x，則AB＝2x，BC＝3，由余弦定理可得，cos∠ABC=A當(dāng)且僅當(dāng)x=3x，即x故(cos∠ABC)min=所以tan∠ABC的最大值為12故答案為：33四．解答題（共6小題）17．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，滿足a＝2cosB（bcosC+ccosB）．（1）求B；（2）若b＝2，a+c＝4，求△ABC的面積．【解答】解：（1）在△ABC中，已知a＝2cosB（bcosC+ccosB），由正弦定理可得sinA＝2cosB（sinBcosC+sinCcosB）＝2cosBsinA，又sinA≠0，則cosB=1又B∈（0，π），即B=π（2）由（1）可知B=π在△ABC中，根據(jù)余弦定理cosB=a2+即a2+c2＝ac+4，即（a+c）2＝3ac+4，又a+c＝4，則16＝3ac+4，即ac＝4，即△ABC的面積S△ABC18．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，2b?ca（1）求A；（2）若b+c=42，△ABC的面積為332【解答】解：（1）∵2b?ca∴在△ABC中，由正弦定理得2sinB?sinCsinA=cosCcosA，即2sinBcosA＝sinCcosA+cos∴2sinBcosA＝sinB，∵B∈（0，π），∴sinB≠0，∴cosA=1又A∈（0，π），則A=π（2）由（1）得A=π∵△ABC的面積為332，∴12bcsinA=∵b+c=42，∴b2+c2＝（b+c）2﹣2bc在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA＝20﹣2×6×12=14，故19．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且2bsinA+acosB＝c．（1）求sinA的值；（2）若點(diǎn)M在邊AC上，且△BCM是邊長為23的等邊三角形，求△ABC的面積．【解答】解：（1）因?yàn)?bsinA+acosB＝c，所以結(jié)合正弦定理得2sinBsinA+sinAcosB＝sinC，因?yàn)锳+B+C＝π，所以sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，所以2sinBsinA＝cosAsinB，因?yàn)?＜B＜π，所以sinB≠0，所以2sinA＝cosA，所以tanA=sinA因?yàn)閟in2A+cos2A＝1，且0＜A＜π，所以cosA=2（2）因?yàn)椤鰾CM是邊長為23的等邊三角形，所以BC=2在△ABC中，由正弦定理可得asinA=c因?yàn)锳+C+∠ABC＝π，所以sin∠ABC=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=5則△ABC的面積為1220．記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知b+c=2asin(C+π（1）求A；（2）設(shè)AB的中點(diǎn)為D，若CD＝a，且b﹣c＝1，求△ABC的面積．【解答】解：（1）∵b+c=2asin(C+π∴sinB+sinC＝2sinAsin（C+π∴sinB+sinC＝2sinA（32sinC+12∴sinB+sinC=3sinAsinc+sinAcosC又∵B＝π﹣（A+C），∴sinB＝sin（A+C），∴sin（A+C）+sinC=3sinAsinc+sinAcosC∴sinAcosC+cosAsinC+sinC=3sinAsinC+sinAcosC∴cosAsinC+sinC=3sinAsinC又∵C∈（0，π），∴sinC≠0，∴cosA+1=3sinA∴3sinA?cosA＝1，∴2sin（A?∴sin（A?π6）∵0＜A＜π，∴?π∴A?π∴A=π（2）在△ABC中，由余弦定理可得cosA=b∴cosπ∴b2+c2﹣a2＝bc，∴（b﹣c）2+2bc﹣a2＝bc，又∵b﹣c＝1，∴a2＝bc+1，在△ACD中，由余弦定理可得cosA=(∴cosπ3∴14∴（b+c2）2﹣bc﹣a2=又∵a2＝bc+1，∴(b+c2又∵b﹣c＝1，∴b＝c+1，∴（c+1+c2）2?52（解得c＝2，∴b＝3，∴S△ABC=121．①（a+b）（sinA﹣sinB）+（c﹣a）sinC＝0，②（2a﹣c）cosB＝bcosC．請從①②兩個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答該題．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c且_____．（1）求角B；（2）若點(diǎn)D在BC的延長線上且滿足BC＝CD，AD＝2，求2a+c的取值范圍．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計(jì)分．【解答】解：（