江蘇地區(qū)2021~2022學(xué)年高一上期中測(cè)試數(shù)學(xué)卷（解析版）

江蘇地區(qū)2021?2022學(xué)年高一上

期中測(cè)試數(shù)學(xué)卷

測(cè)試時(shí)間：120分鐘滿(mǎn)分：150分

一、單選題

1.若集合A={x|-lWxW2,xGN},集合B={2,3},則AUB等于（）

A.{-1,0,1,2,3}B.{0,1,2,3}C.{1,2,3}D.{2}

【答案】B

【考點(diǎn)】并集及其運(yùn)算

【解析】【解答】因?yàn)榧先?國(guó)-1夕02,x￡N},集合B={2,3},即集合A={0,l,2},

所以AUB={0,1,2,3}.

故答案為：B.

【分析】利用已知條件結(jié)合元素與集合的關(guān)系，從而求出集合A,再利用并集的運(yùn)算法則，從而求出集合A

和集合B的并集.

2.下列各等式中成立的是()

32

A.ct^=\a2(a>0)B.a'=3a2(a>0)

21

C.cJ=±^/a2(a>0)D.a2=-?a(a>0)

【答案】B

【考點(diǎn)】根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)'幕的互化及其化簡(jiǎn)運(yùn)算

3221]

【解析】【解答】序=、導(dǎo),/=（信，c^=\p,，只有B符合題意.

故答案為：B.

【分析】根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)嘉的定義判斷，可得答案.

3.滿(mǎn)足{1,2}c/ic{1,2,345}的集合A的個(gè)數(shù)為（）

A.8B.7C.4D.16

【答案】A

【考點(diǎn)】子集與真子集

【解析】【解答】因?yàn)榧螦滿(mǎn)足{1,2}U4U{1,2,3,4,5},

所以集合A中必有1,2,集合A還可以有元素3,4,5,

滿(mǎn)足條件的集合A有：{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},[1,2,3,4].{1,2,3,5],{1,2,4,5）

{1,2,3,4,5）共有8個(gè)，

故答案為：A.

【分析】由集合A滿(mǎn)足{1,2}UAU{1,2,3,4,5},可得集合A同時(shí)含有元素1和2,且至少含有3、4

和5中的一個(gè)元素，利用列舉法，即可得到結(jié)論.

4.設(shè)p：l<x<2,q：2x>l,則p是q成立的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷

【解析】【答案】

【解析】由題意得p：l<x<2,q：x>\,

所以pnq,q#p，

所以p是q成立的充分不必要條件.

故答案為：A

【分析】利用已知條件結(jié)合充分條件、必要條件的判斷方法，從而推出p是q成立的充分不必要條件.

5.命題“全等三角形的面積都相等”的否定是（）

A.全等三角形的面積都不相等B.不全等三角形的面積都不相等

C.存在兩個(gè)不全等三角形的面積相等D.存在兩個(gè)全等三角形的面積不相等

【答案】D

【考點(diǎn)】命題的否定

【解析】【解答】因?yàn)槊}“全等三角形的面積都相等”為全稱(chēng)命題，

所以否定為：存在兩個(gè)全等三角形的面積不相等.

故答案為：D.

【分析】因?yàn)樵}為全稱(chēng)命題，結(jié)合全稱(chēng)命題的否定為特稱(chēng)命題求解.

6.己知p:4x-m<0,q:-2<x<2,若p是q的一個(gè)必要不充分條件，則m的取值范圍為（）

A.m>8B.m>8C.m>-4D.m>-4

【答案】B

【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷

【解析】【解答】p的等價(jià)條件是%<^.

m

若p是q的一個(gè)必要不充分條件，只需滿(mǎn)足”>2,解得：m>8.

故答案為：B.

【分析】解出p不等式，根據(jù)p是q的一個(gè)必要不充分條件，即可得出答案.

7.代數(shù)式IO】+妒+(lg2)2+lg2Xlg5+lg5的值是()

A.90B.91C.101D.109

【答案】B

【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

【解析】【解答】原式=101+'§9+(lg2)2+lg2xlg5+lg5

=10x10電9+]g2(ig2+lg5)+lg5

=10x94-lg2xIglO+lg5

=904-lg24-lg5

=90+lgl0

=90+1

=91

故答案為：B.

【分析】應(yīng)用對(duì)數(shù)公式和運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，可得答案.

8.已知一元二次方程x2+mx+1=0的兩根都在(0,2)內(nèi)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()

55

A.(-2?-2]U[2,+8)B.(-2,-2)U(2,+8)

55

C.(-2?-2]D.(-2,-2)

【答案】C

【考點(diǎn)】二次函數(shù)的圖象，二次函數(shù)的性質(zhì)，一元二次方程

【解析】【解答】設(shè)/(x)=x2+mx+l,則二次函數(shù)/(x)=x2+mx+l的兩個(gè)零點(diǎn)都在區(qū)間(0,2)

內(nèi)，

4=m2-4>0

m5

由題意{0<-7<2，解得-$<7nW-2.

/(O)=1>O

/(2)=2m4-5>0

5

因此，實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-亍-2].

故答案為：C.

【分析】由二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)結(jié)合零點(diǎn)的定義即可得出關(guān)于m的不等式組，求解出m的取值范圍即可.

二、多選題

9.已知集合Z={1,2},B={x|mx=UnWR},若BUA,則實(shí)數(shù)血可能的取值為()

1

A.0B.1C.XD.2

【答案】A,B,C

【考點(diǎn)】集合關(guān)系中的參數(shù)取值問(wèn)題

【解析】【解答】當(dāng)m=O時(shí)，B=0U4成立；

當(dāng)mH0時(shí)，則B==1,771WR}={1},

111

■■B&A,：?一=1或一=2,解得m=1或m=可.

mmL

綜上所述，實(shí)數(shù)m可能的取值為0、1、1.

故答案為：ABC.

【分析】分m=0和mHO兩種情況討論，結(jié)合BU4可求得實(shí)數(shù)m的取值.

10.(2020高一上?淮安期中)對(duì)任意aCR,n^N*下列結(jié)論中不恒成立的是()

A.M=aB.(Va)n=aC.l?lD.(jrO3.14)°=0°

【答案】A,D

【考點(diǎn)】有理數(shù)指數(shù)基的運(yùn)算性質(zhì)

【解析】【解答】對(duì)于A選項(xiàng)，如J(-2)2=2A2,所以A選項(xiàng)不恒成立.

1n

1

對(duì)于B選項(xiàng)，(〈萬(wàn)廣=(屋)=a=a,所以B選項(xiàng)恒成立.

n

對(duì)于C選項(xiàng)，1|a『=|a|n=|a|i=|a|,所以C選項(xiàng)恒成立.

對(duì)于D選項(xiàng)，0的0次方?jīng)]有意義，所以D選項(xiàng)不恒成立.

故答案為：AD

【分析】根據(jù)指數(shù)基的運(yùn)算性質(zhì)逐項(xiàng)進(jìn)行判斷，可得答案.

11.卜面命題正確的是（）

A.“a>1”是“1”的充分不必要條件

B.命題“若無(wú)<1,則/<1，，的否定是“存在X<1,則X2>1".

C.設(shè)x,y&R，則“x>2且y22”是“x2+y2>4”的必要而不充分條件

D.設(shè)a,b￡R，則“a力0”是“ab0”的必要不充分條件

【答案】A,B,D

【考點(diǎn)】命題的否定，必要條件、充分條件與充要條件的判斷

【解析】【解答】A:根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可知：由a>l,能推出《<1,但是由:<1,不能推出a>l,

例如當(dāng)a<0時(shí)，符合：<1,但是不符合a>l,所以本選項(xiàng)是正確的；

B:根據(jù)命題的否定的定義可知：命題“若x<l,則/<i，，的否定是“存在,則，，.所以

本選項(xiàng)是正確的；

C:根據(jù)不等式的性質(zhì)可知：由x>2且y>2能推出x2+y2>4，本選項(xiàng)是不正確的：

D:因?yàn)閎可以等于零,所以由a4O不能推出ab^O，再判斷由ab^O能不能推出，最后判斷本

選項(xiàng)是否正確.

故答案為：ABD

11

【分析】A:先判斷由a>l,能不能推出￡<1,再判斷由,能不能推出a>l,最后判斷本選項(xiàng)是否正

確：

B:根據(jù)命題的否定的定義進(jìn)行判斷即可.

C:先判斷由X22且y22能不能推出了+y224,然后再判斷由x2+y2>4能不能推出x22且y

>2，最后判斷本選項(xiàng)是否正確；

D:先判斷由a二0能不能推出ab^O，再判斷由ab^O能不能推出a#0，最后判斷本選項(xiàng)是否正確.

12.若%>0,y>0且滿(mǎn)足x+y=xy,則（）

A.x+y的最小值為4B.x+y的最小值為2

C.-----r+一~的最小值為2+4>向D.-----T+—彳的最小值為6+4^門(mén)

x-1y-1x-1y-1

【答案】A,D

【考點(diǎn)】基本不等式

【解析】【解答】因?yàn)閤>0,y>0且滿(mǎn)足x+y=xy,

11

所以；+三=1,

xy

11yxlyx

所以X+y=(x+y)(-+-)=2+-+->2+2j---=4,

y%

當(dāng)且僅當(dāng)^=-,即x=y=2時(shí)取等號(hào)，

所以x+y的最小值為4,

2%6xy-2(%+2y)

因?yàn)閤-1+y-l_%y_(%+y)+l-4%+2y，

112y4%2y4%不

所以4久+2y=(4x+2y)q+］)=6+于+歹N2+2］于?3=6+4/

2V4x泛

當(dāng)且僅當(dāng)—=—,即x=^~+l,y=1+時(shí)取等號(hào)，

所以M+的最小值為6+第

故答案為：AD

^11_2x4y

(分析］由x>0,y>0且滿(mǎn)足x+y=xy,得：4--=1利用“乘I法”可得x+y,口+占

xy

6xy-2(x+2y)

」擊=4x+2y,的最小值.

xy-(%+y)+1/

三、填空題

33

13.已知x+x-1=3,貝ijJ+x2的值為.

【答案】2%/5

【考點(diǎn)】根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的互化及其化簡(jiǎn)運(yùn)算

11211

【解析】【解答】題意(/+%-2)=%+2+%T=5,二3+=而，

3311

/+%"=(/+%2)(%-1+%-1)=、弓(3-1)=2、后,

故答案為：2\，5.

33

【分析】利用完全平方公式和立方差公式進(jìn)行計(jì)算，即可得出/+%”的值.

14.若命題BxeR,使得%2+(a-l)x+l<0成立是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

【答案】(-oo,-l)u(3,+oo)

【考點(diǎn)】存在量詞命題，命題的真假判斷與應(yīng)用

【解析】【解答】若命題BxER,使得％2+但一1)%+1<0成立是真命題，則》2+(。一1)%+1<0

在R上有解,即4=(Q-1)2-4>0,解得Q>3或QV-1,

故答案為：(-8,一1)U(3,+00).

【分析】利用特稱(chēng)命題mx6R,使得/+(a-l)x+1<0成立是真命題，則%24-(a-1)%4-1<0在

R上有解，再利用判別式法求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.

15.已知log3[log4(logsx)]=log5[log4(log3y)]=0,則X+y=_(請(qǐng)用數(shù)字作答).

【答案】706

【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

【解析】【解答】因?yàn)閘og3[log4(log5x)]=log5[log4(log3y)]=0,

所以Iog4(log5%)=l且log4(Iog3y)=1,

所以log5x=4且log3y=4,

44

所以X=5=625,y=3=81,

所以x+y=625+81=706,

故答案為：706.

【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)直接進(jìn)行計(jì)算即可.

16.《幾何原本》中的幾何代數(shù)法(用幾何方法研究代數(shù)問(wèn)題)成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問(wèn)題的重要依據(jù)，

通過(guò)這一方法，很多代數(shù)公理、定理都能夠通過(guò)圖形實(shí)現(xiàn)證明，并稱(chēng)之為“無(wú)字證明”.設(shè)a>0,b>0

2ab

,稱(chēng)—T為a,b的調(diào)和平均數(shù).如圖，C為線(xiàn)段AB上的點(diǎn)，且AC=a,CB=b,O為AB中點(diǎn)，以AB

a+b

為直徑作半圓.過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線(xiàn)，交半圓于D,連結(jié)OD,AD,BD.過(guò)點(diǎn)C作OD的垂線(xiàn)，垂足為

a+bi—

E.則圖中線(xiàn)段OD的長(zhǎng)度是a,b的算術(shù)平均數(shù)-y-,線(xiàn)段CD的長(zhǎng)度是a,b的幾何平均數(shù)強(qiáng),線(xiàn)

2ab

段—的長(zhǎng)度是a,b的調(diào)和平均數(shù)不前,該圖形可以完美證明三者的大小關(guān)系為—.

2aba+b

【答案】DE；<?<

Q+b2

【考點(diǎn)】直角三角形的射影定理，平均值不等式

【解析】【解答】依題意三角形ABD是直角三角形，CD1AB；

在直角三角形OCD中，CCJLOC.

由射影定理得CD2=ACCB=ab^CD=ylab,

oa+b2ab

由射影定理得=DE-OD,即ab=DE?『一nDE=--r,

2a+b

所以線(xiàn)段DE的長(zhǎng)度是a,b的調(diào)和平均數(shù)—v.

a+b

,,2ab/—=-a+b

在Rt△OCD中，DE〈CD<OD,即--r<7ah<——,

a+bL

2abr—Q+b

當(dāng)a=b時(shí)，DE,CD,OD重合，即=7ab=―--,

2abra+b

所以不吃丁"三亍.

2aba+b

故答案為：DE；--^<yiab<^-

【分析】利用射影定理判斷出調(diào)和平均數(shù)對(duì)應(yīng)的線(xiàn)段，根據(jù)圖像判斷算術(shù)平均數(shù)，兒何平均數(shù)和調(diào)和平均

數(shù)的關(guān)系.

四、解答題

17.設(shè)全集U—R,已知集合={x|-2<x<5},B={x|2<%<8},C={x|x<a或x>10}

⑴.求4UB,AClCyB；

（2）.若4DC=0,求a的取值范圍.

【答案】（1）解：因?yàn)榧蟌={x|-2W%W5},B={x|2<x<8],

所以AVB=[x]-2<x<8].

C（jB=￡x|xW2或％28},

所以A0CuB={x\-2<x<2}

（2）解：因?yàn)閍nc=0,

所以aW-2,

即實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-8,-2]

【考點(diǎn)】并集及其運(yùn)算，交集及其運(yùn)算，補(bǔ)集及其運(yùn)算

【解析】【分析】（1）由A,B,求出A與B的并集，求出A補(bǔ)集與B的交集即可;

（2）由A與C的交集為空集，確定出a的范圍即可.

11

,/25831~2

18.（1）.求-（27）-（兀+e）°n+（4）的值；

X

（2）.已知lg（x+2y）+lg（x-y）=lg2+Igx4-Igy,求log8-的值.

11

[2583n1~2

【答案】（1）解：不一（蘇）-S+e）°+q）

5ZX22dX3-2x(-^)

=(3)-(3)-(7T+e)°n4-2

52

=3-3-1+2=2

(2)解：因?yàn)閘g(x+2y)+lg(x-y)=lg2+Igx+Igy

所以lg(x+2y)(x-y)=lg(2xy),

(x+2y)(x-y)=2xy

%+2y>0

所以｛x^o°，可得｛(x+2：)(Ly)n=2盯，

y>o

由(%+2y)(x-y)=2xy可得x2-xy-2y2=0,

X2xxX

所以(p-1-2=0,解得：1=2或1=-l(舍)，

x1

2

所以logs-=logs=log2s2=2

【考點(diǎn)】根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)哥的互化及其化簡(jiǎn)運(yùn)算，有理數(shù)指數(shù)嘉的運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

【解析】【分析】(1)根據(jù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可；

xX

(2)由lg(x+2y)+lg(x-y)=lg2+Igx+Igy,利用對(duì)數(shù)方程的解法求得，，進(jìn)而求出log叼的

值.

19.給定兩個(gè)命題，P:對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有a/+ax+l>0恒成立；Q:關(guān)于x的方程x2-x+a

=0有實(shí)數(shù)根；如果P與Q中有且僅有一個(gè)為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】解：對(duì)任意實(shí)數(shù)久都有aU+球+1>o恒成立

oa=0或總<0?0<a<4；

1

關(guān)于x的方程x2-x+a=0有實(shí)數(shù)根=l-4a20oa<4；

1

<a<4

如果p正確，且q不正確,4-

1

如果q正確，且p不正確，有a<0或a24,且aS彳.??a<0.

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-8,0)U(J,4)

【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用

【解析】【分析】根據(jù)題意由命題的真假判斷結(jié)合題意即可求出a的取值范圍.

20.某單位在對(duì)一個(gè)長(zhǎng)800m、寬600m的草坪進(jìn)行綠化時(shí)，是這樣想的:中間為矩形綠草坪，四周是等寬的

花壇，如圖所示，若要保證綠草坪的面積不小于總面積的二分之一，則花壇寬度的取值范圍是多少?當(dāng)花壇

寬度為多少時(shí)，綠草坪面積最?。?/p>

【答案】解：設(shè)花壇寬度為xm,則草坪的長(zhǎng)為(800-2x)m,寬為(600-2%)m,(0<%<300).

1

根據(jù)題意得(800-2x)(600-2x)22X800x600,

整理得x2-700x+60000>0,

解不等式得x>600(舍去)或x<100,

因此0cxW100.

故當(dāng)花壇的寬度在0<xW100之間取值時(shí)，綠草坪的面積不小于總面積的二分之一.

綠草坪的面積S=(800-2%)(600-2%)=4%2-2800%+480000,

-2800

對(duì)稱(chēng)軸為x=-=350,開(kāi)口向上的拋物線(xiàn)，所以在(0,100]上單調(diào)遞減，

ZX4-

所以當(dāng)久=100時(shí)，Smin=(800-2x100)(600-2x100)=600x400=240000,

所以當(dāng)花壇寬度為100小時(shí)，綠草坪面積最小.

【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇函數(shù)類(lèi)型

【解析】【分析】設(shè)花壇寬度為久m,則草坪的長(zhǎng)為(800-2x)m,寬為(600-2x)m,(0<x

1

<300),由題列不等式(800-2x)(600-2%)2]x800x600,解不等式可得x的范圍，再由二次函

數(shù)的性質(zhì)求(800-2x)(600-2%)最值即可.

11

21.設(shè)x+y=6(x>0,y>0),且%+j+1的最小值為m.

(1).求m；

(2).若關(guān)于x的不等式ax2-ax+m>0的解集為R,求a的取值范圍.

【答案】(1)解：因?yàn)閤+y=6(%>0,y>0),所以x+1+y=7,尤+1>1,y>0,

111111x+1y

所以—rr+-=?(—rr+-)^+i+y)=?(2+-------+*r)

x+1ylx+1y八77yx+1

14

>y(2+2)=y,

_5

當(dāng)且僅當(dāng)彳=乩，即｛江"?，｛">時(shí)等號(hào)成立.

y=5

4

故m=^

4

(2)解：當(dāng)。=0時(shí)，不等式ax2-ax+m>0為730,成立，貝Ia=0滿(mǎn)足題意;

ra>1A16

當(dāng)心0時(shí)，｛』=。2一學(xué)三0，解得°<a〈不?

16

綜上，a的取值范圍為[0,y]

【考點(diǎn)】其他不等式的解法，基本不等式

11111

【解析】【分析】⑴首先根據(jù)題意得到％+l+y=7,從而得到不巨+,=Xki+p(x+l+y

1x+1y

)=^(2+-y-+^y),再利用基本不等式即可得到答案；