江蘇省南京鹽城市2023屆高三第一次模擬考試數(shù)學試卷、答案

南京市、鹽城市2022—2023學年度第一次調(diào)研測試

高三數(shù)學2023.03

注意事項：

1.本試卷考試時間為120分鐘，試卷滿分150分，考試形式閉卷.

2.本試卷中所有試題必須作答在答題卡上規(guī)定的位置，否則不給分.

3.答題前，務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在試卷及答

題卡上.

第I卷(選擇題共60分)

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的，請把答案填涂在答題卡相應位置上.

k1

1.設加={可/=],%WZ},N={Xx=%+],kez},則

A.蚱NB.N號MC.M=ND.MnN=0

2.若_/U)=x(x+l)(x+a)(aeR)為奇函數(shù)，則a的值為

A.-1B.0C.1D.—1或1

3.某種品牌手機的電池使用壽命X(單位：年)服從正態(tài)分布M4,。玉心。)，且使用壽命

不少于2年的概率為0.9,則該品牌手機電池至少使用6年的概率為

A.0.9B.0.7C.0.3D.0.1

4.若函數(shù)於)=sin(2x+°)(0<9<7t)的圖象關于直線1=季對稱，則°的值為

n兀兀兀

A?五B-6C-4D-3

5.三星堆古遺址作為“長江文明之源”，被譽為人類最偉大的考古發(fā)現(xiàn)之一.3號坑發(fā)現(xiàn)的

神樹紋玉琮，為今人研究古蜀社會中神樹的意義提供了重要依據(jù).玉琮是古人用于祭祀的

禮器，有學者認為其外方內(nèi)圓的構(gòu)造，契合了古代“天圓地方”觀念，是天地合一的體現(xiàn).如

圖，假定某玉琮形狀對稱，由一個空心圓柱及正方體構(gòu)成，且圓柱的外側(cè)面內(nèi)切于正方體

的側(cè)面，圓柱的高為12cm,圓柱底面外圓周和正方體的各個頂點均在球。上，則球。

的表面積為

A.72ncm2B.162ncm2

C.216ncm2D.288ncm2

(第5題圖)

6.設等比數(shù)列｛〃”｝的前〃項和為S〃.已知S〃+i=2S“+g,〃￡N‘，則S6=

31,63

A.-yB.16C.30D.工

7.已知橢圓E：a+%=13>6>0）的兩條弦AB,CD相交于點P（點P在第一象限），且

A8_Lx軸，C￡>_Ly軸.若見：P8：PC：PD=1：3：1：5,則橢圓E的離心率為

正返2^5△叵

A.5B.5C.5D-5

8.設a,b^R,#=6"-2",5a=6b~2b,則

A.l<a<bB.0<b<aC.b<0<aD.b<a<1

二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多

項符合題目要求，請把答案填涂在答題卡相應位置上.全部選對得5分，部分選對得2

分，不選或有錯選的得0分.

9.新能源汽車包括純電動汽車、增程式電動汽車、混合動力汽車、燃料電池電動汽車、氫

發(fā)動機汽車等.我國的新能源汽車發(fā)展開始于21世紀初，近年來發(fā)展迅速，連續(xù)8年產(chǎn)

銷量位居世界第一.下面兩圖分別是2017年至2022年我國新能源汽車年產(chǎn)量和占比（占

我國汽車年總產(chǎn)量的比例）情況，則

A.2017?2022年我國新能源汽車年產(chǎn)量逐年增加

B.2017-2022年我國新能源汽車年產(chǎn)量的極差為626.4萬輛

C.2022年我國汽車年總產(chǎn)量超過2700萬輛

D.2019年我國汽車年總產(chǎn)量低于2018年我國汽車年總產(chǎn)量

10.已知z為復數(shù)，設z,3,iz在復平面上對應的點分別為A,B,C,其中O為坐標原點,

貝IJ

A.西|=|砌B.oALOtC.庶|=|居D.O^//A^

11.己知點4(一1,0),8(1,0),點尸為圓C：/+y2—6苫-8)，+17=0上的動點，則

A.△物8面積的最小值為8-46

B.AP的最小值為26

C.NP4B的最大值琉

D.君?節(jié)的最大值為8+4小

12.已知犬6)=cos48+cos3。，且仇，仇,仇是犬，)在(0,兀)內(nèi)的三個不同零點，則

JT

A.｛0\f仇｝B.。1+優(yōu)+仇=兀

C.COS。]COS。2cos優(yōu)=_4D.COS0]+cos02+cos03=^

oZ

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.請把答案填寫在答題卡相應位置上.

13.編號為1,2,3,4的四位同學，分別就座于編號為1,2,3,4的四個座位上，每個座

位恰好坐一位同學，則恰有兩位同學編號和座位編號一致的坐法種數(shù)為▲.

14.已知向量a,b滿足|a|=2,|b|=3,ab=0.設c=b—2a,則cos<a,c>=▲.

15.已知拋物線產(chǎn)=敘的焦點為尸，點尸是其準線上一點，過點尸作PF的垂線，交y軸于

點A,線段AF交拋物線于點&若尸8平行于x軸，則4F的長度為▲.

16.直線x=f與曲線Ci：>=-6A+ax(aeR)及曲線C2：y=e-*+ax分別交于點A,B.曲

線G在A處的切線為八，曲線C2在B處的切線為自若b相交于點C,則4ABC

面積的最小值為▲.

四、解答題：本大題共6小題，共70分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出必要

的文字說明，證明過程或演算步驟.

17.(本小題滿分10分)

在數(shù)列｛&｝中，若7+1—aia2a3…斯=d(〃=N*),則稱數(shù)列｛斯｝為“泛等差數(shù)列“，常數(shù)d稱

為“泛差”.已

知數(shù)列｛?。且粋€“泛等差數(shù)列”，數(shù)列出"｝滿足“『+①2+…+斯2=0皿3…小一廂

(1)若數(shù)列｛斯｝的“泛差”=1,且⑶，“2,43成等差數(shù)列，求0；

(2)若數(shù)列｛〃"｝的“泛差”d=-1,且0=3，求數(shù)列｛d｝的通項仇.

18.(本小題滿分12分)

在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,2c=b(sinA-cosA).

(1)若sinB=lOsinC,求sinA的值;

(2)在下列條件中選擇一個，判斷AABC是否存在.如果存在，求b的最小值；如果

不存在，說明理由.

①△4BC的面積5=也+1；②歷=4吸；③屋+〃=/.

19.(本小題滿分12分)

如圖，在多面體ABCDE中，平面ACZ)_L平面ABC,BE_L平面ABC,zXABC和△AC。

均為正三角形，AC=4,BE=木.

(I)在線段AC上是否存在點凡使得BF〃平面4DE?說明理由；

(2)求平面CDE與平面ABC所成的銳二面角的正切值.

20.（本小題滿分12分）

人工智能是研究用于模擬和延伸人類智能的技術科學，被認為是21世紀最重要的尖端

科技之一，其理論和技術正在日益成熟，應用領域也在不斷擴大.人工智能背后的一個

基本原理：首先確定先驗概率，然后通過計算得到后驗概率，使先驗概率得到修正和校

對，再根據(jù)后驗概率做出推理和決策.

基于這一基本原理，我們可以設計如下試驗模型：有完全相同的甲、乙兩個袋子，袋

子里有形狀和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9個紅球和1個白球；乙袋中有2

個紅球和8個白球.從這兩個袋子中選擇一個袋子，再從該袋子中等可能摸出一個球,

稱為一次試驗.若多次試驗直到摸出紅球，則試驗結(jié)束.假設首次試驗選到甲袋或乙袋

的概率均為;（先驗概率）.

（1）求首次試驗結(jié)束的概率；

（2）在首次試驗摸出白球的條件下，我們對選到甲袋或乙袋的概率（先驗概率）進行

調(diào)整.

①求選到的袋子為甲袋的概率；

②將首次試驗摸出的白球放回原來袋子，繼續(xù)進行第二次試驗時有如下兩種方案:

方案一，從原來袋子中摸球；方案二，從另外一個袋子中摸球.

請通過計算，說明選擇哪個方案第二次試驗結(jié)束的概率更大.

21.（本小題滿分12分）

已知雙曲線C：心0）的離心率為卷直線東y=2x+4小與雙曲線C僅

有一個公共點.

（1）求雙曲線C的方程；

（2）設雙曲線C的左頂點為A,直線b平行于小且交雙曲線C于M,N兩點，求證：

的垂心在雙曲線C上.

22.(本小題滿分12分)

已知&GR,函數(shù)/(x)=31n(x+l)+(sinT+日，xG(—1,2).

(1)若k=3求證：/(X)僅有1個零點；

(2)若/(x)有兩個零點，求實數(shù)k的取值范圍.

南京市、鹽城市2022—2023學年度第一次調(diào)研測試

高三數(shù)學參考答案2023.03

一'選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的，請把答案填涂在答題卡相應位置上.

1.B2,A3.D4.B5.C6.D7.B8.A

二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多

項符合題目要求，請把答案填涂在答題卡相應位置上.全部選對得5分，部分選對得2

分，不選或有錯選的得0分.

9.BCD10.AB11.BCD12.ACD

三.填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.請把答案填寫在答題卡相應位置上.

4

13.614.一§15.316.2

四、解答題：本大題共6小題，共70分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出必要

的文字說明，證明過程或演算步驟.

17.（本小題滿分10分）

解：⑴因為。=1,所以④+1一勾。2。3???斯=1（人WN）

所以〃=2〃l+l，〃3=〃Q+1+1）+1?................................2分

因為0,。2,的成等差數(shù)列,

所以2（。]++1）+1,..........................................3分

所以〃F=1,所以4=1或的=-1.......................................4分

（2）因為。12+。22+,?,+?！?=0〃2〃3，一?！币粸?，①

所以。12+。22+?.?+。〃2+?！?]2=〃同2〃3???〃,?冊+1一九+1，②

②—①得，斯+/=〃142a3…斯斯+1一。心2。3—S〃+l—小）.....................6分

=-2。3????！ǎ?+1-1）一（小+1一「）.

又因為-2a3…%=-1，所以〃1〃2的…1+19

2

即a,i+i=（an+i+l）—）,

所以bn+\—bn=-1......................................................8分

又加=內(nèi)一.......................................................9分

所以兒=—〃+（........................................................]0分

18.(本小題滿分12分)

解：(1)因為2c=b(sinA-cosA),

由正弦定理得2sinC=sin3(siiVl-cosA).....................................................................2分

又因為sinB=10sinC,所以sinA—cosA=^...............................................................3分

因為sin為+cos2A=1,所以sin2A+(sinA—1)2=1,

所以25sin2A—5siii4-12=0,

43

解得sinA=§或一；.

因為OVAV兀，所以sin4>0,

4

所以sinA=§?...................................................................................................................6分

(2)選①

因為S=；Z?csinA=Vi+l,..............................................................................................7分

所以&csinA=2(72+1).

因為2c=^(sinA—cosA),所以b\sinA—cosA)sinA=2bcsinA=4(y[2+1),

4($+1)

所以加=9分

(sinA-cosA)sinA

8(小+1)

2sin2A_2sinAcosA

8(5+1)8(也+1)

1—cos24—sin2A1—誨sin(2A+/

因為2c=b(sinA—cosA)>0,所以兀，

所以當2A+j=當，即A=]鉗,(&2)min=8,即bmin=2

此時A=",b=2&,c=2sin普，所以△ABC存在......................12分

選②

因為2c=Z?(sinA-cosA),bc=4y「,所以抉(sinA-cosA)=2bc=8，L

所以按==:&~7.........................................................................................................9分

sinA-cosA

8小

也in(4一3

因為2c=b(sinA-cosA)>0,所以:<4<兀，

所以當A—孑=5,即4=,時，02)min=8,即6min=20.

此時A=,，b=2\[2,c=2,所以△ABC存在..........................12分

選③

a2+h2=c2,即sinC=l.......................................................................................8分

因為OVsinBWl,sinA—cosA=〈isin(A—；)e(O,y[2],

所以sinB(sinA-cosA)<也<2=2sinC,..................................................................10分

即/;(sinA—cosA)<2c,這與2c=b(sinA-cosA)相矛盾，

所以aABC不存在....................................................12分

19.(本小題滿分12分)

解：方法1

(1)當F為靠近A的四等分點時，〃平面AOE......................................................1分

證明：如圖，取AC,A。的中點O,G,連接O。，BF,FG,GE.

因為△ACO是正三角形，所以OOLAC.

又因為平面ACO_L平面A8C,平面AC￡>n平面ABC

=4C,OOu平面ACC,

所以OO_L平面ABC................................3分

又因為平面ABC,所以8E〃OO,

在正三角形AC。中，0。=坐4c=2小.

因為F,G分別為OA,A。的中點，

所以FG〃O￡>,S.FG=^OD=^3.

又因為BE=S，所以BE4FG,

所以四邊形8EGF為平行四邊形，所以BF〃EG.....................................................5分

又因為BRZ平面AOE,EGu平面AQE,所以BF〃平面AQE.6分

(2)如圖，連接OB并延長交DE的延長線于P,

連接CP,過。作垂足為H,連接DH.

由(1)知，平面ABC,CPu平面48C,所以

DOA.CP.

因為OH,ODu平面0。”，OHHOD=O,

所以CP,平面。?！?，故CPLQH,

故NDHO為平面CQE與平面A8C的所成銳二面角

的平面角......9分

因為8E〃0￡>,BE=^OD,所以。2=2。8=4小,

在RtZXCOP中，0C=2,CP=NOP?+oj=2回,故0HJ.gJ?=霜

在RtZ^OOH中，0D=2小,故tan/ZWO=^=^=乎，

V13

所以平面C0E與平面ABC所成銳二面角的正切值為好..................12分

方法2

如圖，取AC中點0,連接08,0D.

因為△AC。，△ABC是正三角形，所以OOJ_AC,OBA.AC.

又因為平面AC。_L平面ABC,平面ACDCI平面A8C=AC,0￡>u平面AC。,

所以0￡>_L平面ABC..........................................................................................................2分

又因為OBu平面ACD,所以OD_LOB.

以｛310C,3｝為正交基底建立空間直角坐標系.

假設在線段AC上存在點F,使得BF〃平面ADE.

設筋:=2/，平面AOE的一個法向量/n=(x,y,z).

因為BRs平面AOE,所以BF〃平面ADE等價于豆元_Lm........................................3分

因為BE=小，00=2小，AC=4,

所以。(0,0,0),4(0,-2,0),B(2小,0,0),C(0,2,0),0(0,0,2小),

EQ小,0,?。?，

因為3=（2小，2,0）,*=（0,4,0）,AD=（0,2,2?。瑱z=（2小，2,4），

故儲=2/=（0,42,0）,至=*一瓶=（一2#,42—2,0）.

因為平面AQE的一個法向量m=（x,y,z）,

所以憚"°，則[^+2V3z=0：

^-m=0,[2y[3x+2y+yl3z=0.

令x=l,則y=—2小，z—2,所以m=（l,—2小，2）.....................5分

由加加=一2小一（4力一2>26=0,解得

故當F為靠近A的四等分點時，B/〃平面C￡E..........................6分

(2)因為C￡)=(0,-2,2小)，CE=(2小,-2,小),

設平面CQE的一個法向量”=（x,y,z）,

所以厚E即[了+2,：0,

.在."=0,l2y[3x-2y+yJ3z=0.

令x=l,則>=2小，z=2,所以"=（1,2小，2）.

.....................................8分

平面A8C的一個法向量/=（0,0,1）,…9分

設平面CDE與平面ABC的所成銳二面角為a,

所以cosa=鬻=扁’................II分

Vl3singV13

所以s\na=yl1—cos2a=，得tana=

cosa2

即平面a>E與平面ABC所成銳二面角的正切值為華....................12分

20.（本小題滿分12分）

解：設“選到甲袋”為事件4,“選到乙袋”為事件4,“摸到紅球”為事件8,“摸到白

球”為事件&,

191211

（1）P（5）=P（A|）P（囪4）+尸（42）尸（囪以2）=5*而+]><正=旃.

答：首次試驗結(jié)束的概率為義..........................................3分

(2)①因為Bi,B2是對立事件,

9

所以尸(生)=1一2(囪)=詬.-4分

11

X

2-

P(4|Ai尸(4)10

所以P(4|@)=筆段=B99

20

答：選到的袋子為甲袋的概率%..............................

?7分

1Q

②若選擇方案一，則原來袋子是甲袋的概率為5是乙袋的概率為最

所以方案一中取到紅球的概率

1QQ25

P|=P(A|)P(B||A1)+P(A2)尸(Bi|A2)=gX而+§*而=芯............?9分

Q1

若選擇方案二，則另一個袋子是甲袋的概率就，是乙袋的概率為《，

所以方案二中取到紅球的概率

891237

P2=P(4)P(BI|AI)+P(A2)P(Bih42)=gX—+-X—=—.................1..1.分

因礁，所以選擇方案二第二次試驗結(jié)束的概率更大.......

12分

21.(本小題滿分12分)

解：(1)因為雙曲線C的離心率為吸，

所以41+提=巾，得a=b,..................................

-1分

故雙曲線C的方程為/一尸=〃.

得3/+l&\/5x+48+a2=0.

因為直線hy=2x+45與雙曲線C僅有一個公共點，

所以△=(16\/§)2-12X(48+a2)=0,.....................................................,,3分

解得屋=16,

,?4分

(2)因為直線6平行于心所以設&y=2x+m(m^4yf3).

設M(xi,yi),Ngy2)，

1-1,,

由v1616消去y,得3/+4必+加2+16=0,

y=2x+mf

匚匚?4m/n2+16

加以X］十X2=-―§一，X\X2=6分

由題意知△=16W2—12(M+16)>0,解得機<一4小或機>4小.

過點A與/2垂直的直線4y=~x-2,設，3與雙曲線C交于另一點H.

y=一/_2,

/,2消去y,得3X2—8元-80=0,

{16-16=1,

解得x=與或》=一4(舍去)，所以，岸—y)...........................8分

下證：MH.LAN.

因為冠育?京=(專一即，一號一yi>(X2+4,72)

20,80,16

=yx2+y—xix2—4x1-^y2-y\y2

=^X2+與一XI%2-4工［一號(2尤2+m)—(2xi+"0(2X2+〃7)

=—5X1X2-(4+2A?0(X1+及)+.一號7〃一"於....................10分

_/+164m,8016、

=(-5)x---—(4+2〃?)?(一7)+可__^7%一加2

22

5m80,16/7?,8m,8016o

=一『不+亍+亍+丁一”f2=0，

所以Ma_LAM

又因為AH1.MN,所以“為的垂心.

因為“在雙曲線C上，所以的垂心在雙曲線C上..................12分

22.(本小題滿分12分)

2TIX

解：(1)由2=0,得/(x)=31na+l)+*sin*y,

3TTY

則/'(x)=^rf+cosE，..................................................1分

方法1

37LX

因為xG(—1,2),所以#y>l，cos-y>—1,

因此/。)>0,..........................................................3分

所以/(x)單調(diào)遞增.

又因為f(0)=0,所以/(X)僅有1個零點.4分

方法2

，，，/、3兀.心

f⑴一一記五一尹吁

當x￡(—1,0)時，1:2<-3,—?sin^￥<?,

(九十I)