江蘇省南通市2023屆高三下學期2月第一次調研測試（一模）數(shù)學試卷及解析

南通市2023屆高三第一次調研測試

數(shù)學

本試卷共6頁，22小題，滿分150分.考試用時120分鐘.

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上，將條形碼橫貼在答題

卡“條形碼粘貼處”

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如

需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試卷上

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置

上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答

無效.

4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結束后，將試卷和答題卡一并交回

一、選擇題.本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的.

1.已知集合4={乂14%43},8={兄2<%<4},則/1(^3=()

A.(2,3]B.[l,4)C.(-4)D.[l,+8)

2.已知向量4,1滿足，=1,忖=2,(。,〃)=女,則a.(a+〃)=()

A.-2B.-lC.OD.2

3.在復平面內，復數(shù)4*2對應的點關于直線x-y=0對稱，若4=1-i,貝ij|z-Z2|=()

A.72B.2C.2V2D.4

4.2022年神舟接力騰飛，中國空間站全面建成，我們的“太空之家''遨游蒼穹.太空中飛船與空間站的對接，需要經

過多次變軌.某飛船升空后的初始運行軌道是以地球的中心為一個焦點的橢圓，其遠地點(長軸端點中離地面最遠

的點)距地而S1,近地點(長軸端點中離地面最近的點)距地而S2,地球的半徑為R,則該橢圓的短軸長為()

C..J(S1+A)(S2+R)D.2j(E+?(S2+H)

.(3(萬、

5.已知sin|a——+cosa,貝ijcos|2a+一|=()

k6；5<3；

772424

A.----B.—C.----D.—

25252525

6.已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(〃,cr2),有下列四個命題：

甲：P(X>m+l)>P(X<m-2)；

乙：/)(X>m)=0.5；

丙：P(X<m)=().5；

?。篜(m-1<X<m)<P[m+1<X<m+2)

如果只有一個假命題，則該命題為()

A.甲B.乙C.丙D.T

7.已知函數(shù)〃x)的定義域為R,且/(2x+l)為偶函數(shù)，/(x)=/(x+l)-/(x+2),若/⑴=2,則418)=

()

A.lB.2C.-lD.-2

8.若過點「(/,())可以作曲線y=(l—x)e、的兩條切線，切點分別為A(%,yJ,B(X2，M)，則X%的取值范圍是

()

A.(0,4e-3)B.(-8,0)u(0,4e-3)

C.(-e,4e")D.(-oo,0)u(0,4e*2)

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給

出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得()分.

9.在棱長為2的正方體A3C?！狝AGA中，AC與BO交于點0,則()

A.AD]//平面BOQ

B.8D_L平面COG

C.G。與平面ABC。所成的角為45

2

D.三棱錐。一8。儲的體積為]

10.函數(shù)/(x)=sin(tyx+*)(6y>0,時的部分圖象如圖所示，則()

c兀

B.(p=—

6

C"(x)的圖象關于點侑,0)對稱

5萬

Dj(x)在區(qū)間凡彳上單調遞增

11.一個袋中有大小、形狀完全相同的3個小球，顏色分別為紅、黃、藍.從袋中先后無放回地取出2個球，記“第一次

取到紅球”為事件A,“第二次取到黃球”為事件8,則()

AP（A）=gB.A,8為互斥事件

C.P（B\A）=；D.A,B相互獨立

12.已知拋物線爐=4y的焦點為F,以該拋物線上三點A,&C為切點的切線分別是Z,,/2,/3,直線<,/2相交于點

4與4,4分別相交于點RQ?記AS,。的橫坐標分別為王,々，馬，則（）

A.DA-DB=QB.X|+Z=2X3

C.|AF|-|BF|=|DF|2口.四.|。葉=用.即

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共2（）分.

13.已知函數(shù)/（x）=［；2°g*7），x<l，則八〃_2））=_______.

、乙,XN1,

14.寫出一個同時滿足下列條件①②的等比數(shù)列｛4｝的通項公式%=.

①4+1<0；②同<|〃,用|

15.已知圓。：/+/=,“>0）,設直線x+6y—B=o與兩坐標軸的交點分別為AB,若圓。上有且只有

一個點p滿足IAR=忸8，則r的值為.

16.已知正四棱錐S-A8C。的所有棱長都為1,點E在側棱SC上，過點E且垂直于SC的平面截該棱錐，得到

截面多邊形「，則「的邊數(shù)至多為,「的面積的最大值為.（第一空2分，第二空3分）

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（10分）在①5,$2,S,成等比數(shù)列，②q=2%+2,③$8=$4+S,一2這三個條件中任選兩個，補充在下

面問題中，并完成解答

已知數(shù)列｛4｝是公差不為0的等差數(shù)列，其前〃項和為S“，且滿足,.

（1）求｛〃,,｝的通項公式：

1111

（2）求----+----+----++------

%%4a34%川

注：如果選擇多個方案分別解答，按第一個方案計分

18.（12分）第二十二屆卡塔爾世界杯足球賽（F/FAWMdCwpQafar2022）決賽中，阿根廷隊通過扣人心弦的點球

大戰(zhàn)戰(zhàn)勝了法國隊.某校為了豐富學生課余生活，組建了足球社團.足球社團為了解學生喜歡足球是否與性別有關,

隨機抽取了男、女同學各100名進行調查，部分數(shù)

喜歡足球不喜歡足球合計

（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成上表，并判斷是否有99.9%的把握認為該校學生喜歡足球與性別有關？

2

（2）社團指導老師從喜歡足球的學生中抽取了2名男生和1名女生示范點球射門.已知男生進球的概率為一，女

3

生進球的概率為每人射門一次，假設各人射門相互獨立，求3人進球總次數(shù)的分布列和數(shù)學期望.

2

n{ad-be)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

2

P(K>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

19.（12分）在_.A8C中，A,的對邊分別為a,4c,acos3-2acosC=（2c-〃）cosA

（1）若c=6a，求cosB的值；

（2）若匕=1,N84C的平分線AO交8c于點。，求AO長度的取值范圍.

20.（12分）如圖，在ABC中，AO是8C邊上的高，以AD為折痕，將qACD折至.*AP￡）的位置，使得尸

（1）證明：尸3,平面ABO；

（2）若AD=PB=4,BD=2,求二面角的正弦值.

22

21.（12分）已知雙曲線C:二一4=1（。＞02〉0）的左頂點為A，過左焦點尸的直線與C交于RQ兩點.當

a~b~

軸時，|/刊=J15,AP4Q的面積為3.

(2)證明：以P。為直徑的圓經過定點.

22.(12分)已知函數(shù)/(x)=言和g(x)=一—有相同的最大值.

(1)求實數(shù)。；

(2)設直線y=b與兩條曲線y=和y=g(x)共有四個不同的交點，其橫坐標分別為

%,々,毛,%4(%</<&<七)，證明：XIX4=%2%3?

2023屆高三第一次調研測試

數(shù)學

答案與解析

一、選擇題.本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的.

1.【答案】A

【解析】AcB={x|2<xW3},選A.

2.【答案】C

【解析】a^a+h^=a2+a-b=\+=()，選C.

3.【答案】B

【解析】Z1=1-i,Z1,Z2對應的點關于X=y對稱，z2=-1+i,

Z「Z2=|2—2i=2近，選B

4.【答案】D

122=(S+7?)(5+/?),

【解析】a-\-c=Sx+R,a—c=S2+R,b=a—c12

b=+/?)(S2+R),2h=2j(&+/?)(S2+R),選D.

5.【答案】B

3V3.13

【解析】-^-sin?-—cos?+cos?=一,——sina+—cosa=—,

225225

.(乃)3(7ryOS2(Q+工=l-2sin2f6Z+—1=l-2x—=-

sina+—=-,cos2cz+—=c

I6j5I3)k6JI6J2525

選B.

6.【答案】D

【解析】乙、丙一定都正確，則〃=m,P(X>m+1)=P(X<m-i)>P(X<m-2)f

甲正確，二丁錯，選D.

7.【答案】A

)=2$山(恭+?］關于》=1對稱,

【解析】〃2x+l)為偶函數(shù)，則“X)關于x=l對稱，/(x

/(x)+/(x+2)=2sinf—x+—+2sin—(x+2)+—

V36JL36

J.(乃zr).(n5)

L(36)(36)\

\JI71717157V2冗51c1

-2sin-TTCOS—+cos—sin——I-sin—xcos--+cos——sin-TC-2cos-71X.

363636363

71TC=2cos^x,.\/(x+l)=/(x)+/(x+2),

/(x+l)=2sin—XH-----

32

即/(x)=2sin(1x+"滿足條件，f(18)=2sin(6萬+總=1.

8.【答案】D

JvA<

【解析】設切點10，(1-x())e*),V=-e+(l-x)e=一xe-Z=-xoe),

丁一。一與)e"=-與爐>(工一事)過(/1,0),一(1一與)6"=一書”9一天)，

%o—1=-%(/—%-1=Tr()+片,片一(/+1)%+1=。有兩個不相等實根%,%2，

其中不工2=1,%+%2=，+1，△=?+1)2-4>0,「">1或，<一3

y%=。一%)0—々)e"+*=口一(司+々)+玉/卜"+迎=(iT)e"",

令g(t)=(lT)e'T,f>1或￡<-3,g'(f)=TeT

/<_3時，g'(/)>O,g(。：()<g(/)<g(_3)=4e-2

1>1時，g,(/)<O,g(r).,g(O<.?(1)=0'

綜上：x%e(y，°)u(°，4e-2),選D.

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.

全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得。分.

9.【答案】ABD

[解析】ADX//BQ,ADt<z平面BOQ,BC】u平面BOCtAD]//平面BOCX,A對

BDJ_CO,BDJLCC,,CDcCC}=C,/.BD_L平面COC[,B對

2

C,c±平面ABC。,C。與平面ABC。所成角為NCQC,tan/C}OC1

???/C0CW45,C錯.

2

一,。對.選ABD

3

10.【答案】ACD

【解析】457t7127

——7T------——,1=71=------,=2,/(x)=sin(2x+^),

2632co

si噌i=1,”7t

=一二,A對，B錯.

6

c4，兀k兀］r

/（x）=sin2x---,2%---=K7T,X=---1---,KGZ

I6；6122

攵=0時，〃x)關于*,0對稱，C對

11，7

.---F2k7t<2xv—F2kjt,---Fk,7V<工<—Fkjr,左￡Z,

26263

/(x)在(k肛]乃)/，而卜,u(q；r,§；T卜./(x)在卜q萬],，。對，

選ACD.

11.【答案】AC

【解析】P(A)=；,A對.

A,8可同時發(fā)生，即“即第一次取紅球，第二次取黃球”，A,8不互斥，B錯.

在第一次取到紅球的條件下，第二次取到黃球的概率為工,。對.

2

P（5）=2X，+，X（）=」，P（A3）=1X，=L,P（AB）HP（4）P（8）,.?.A,3不獨立,

3233326

。錯，選4c.

12.【答案】BCD

/2\/2\/2\?]

【解析】：4X^~TX2^~7~，。X（）"~A~，y'=8兒玉，

r-11]

4：,一十=不當（》_&）,即"/%一1

4/乙

Brl%+X2計

即x3=J2時，

6

■4

X2中2

~4T

（王一々J不芝（％一x2）~（%一天2）

（4+X1X2）不一定為°，A錯?

41616

2、2、922

工王+1三+1二芍%?%*i

\AF[\BF\=+7+1，

474J164

2

。產=("&)x：+2Mx2+￥+x]x2x]xi+j

44162

2222

日玉+、+2+1="|明,C對

16441111

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.【答案】4

【解析】/(-2)=1+log?(2-(—2))=1+log,4=3,

/(/(-2))=/(3)=23-'=22=4

14.【答案】。,,=（一￡|

【解析】可構造等比數(shù)列，????+1<0,則公比為負數(shù)，⑷〉

15.【答案】5

2

【解析】A（G,0）,5（0,1）,PA=PB,P在AB的垂直平分線y=&-1上,

P在圓。：/+y2=/2滿足條件的戶有且僅有一個，，直線與圓相切，..，=!

2

16.【答案】5；互

3

【解析】方法一：r的邊數(shù)至多為5,延長ERCO交于點/,

延長EI,CB交于點K,連接JK分別與AD,AB交于G,H,

連接FG,”/得截面五邊形EFGHI

出SE=x,:.SF=2x,EF=￡x,CJ=2-2x,:.JD=1-2x=DG,JF=gQ-2x）,

JK=y/2（2-2x）=242（l-x）,JG=HK=y/2（l-2x）,FG=l-2x,

JG2+FG2=JF2,:.JG1GF

???SjGF=g?0(l—2x)-(l—2x)=5^"，而EJ=K(l-x)=EK,JK=2e(l-x),

SMK=g-2向17)2=夜(1—x)2,

顯然五邊形時截面面積最大，

?1'S截面五姬=枝(1__>/2(1-2x)2

=&(一3》2+26<&.三=變,x=，時取"=''，

\>-1233

面積的最大值為正.

3

應填：5;—

3

方法二：取SC中點尸,BF_LSC,DF±SC,:.SC,平面BDF.

作平面與8。/平行，如圖至多為五邊形.

s.

令殂=A,;.EP=2BF=^2,SP=2SB=A，

SF2

:.PB=]-A,BQ=1-A,PQ=\-A,NQ=MP=ABD=yf2A

-3H--3---c2?）6

cosZDFB=4時_=_LsmZDFB=-

,6633

2x----x-----

22

°_16凡2四

dFMP=-義°/t*-----=A

■22234

MN與NQ的夾角為S4與8。夾角，而S4與30垂直，

22

Sftwe=V2A（l-A）,S=V2A（l-A）+^A=-1V2/l+V2A,

%時，S取最大值注.

33

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.【解析】

（1）設｛4｝公差為d,若選①②，

則45,=￡=卜（他+6d）=（2a,+。）2nd=2%

a4=2a2+2q+3d=2（q+d）+2

7q=64+2,q=2,d=4,.*.an=2+4（〃-1）=4〃—2.

若選①?或②③同理可得〃〃=4〃-2

1111If11}

44+1（4〃一2）（4〃+2）4（2〃-1）（2〃+1）8\2n—12n+lJ

1111fl11111

4%a2a3anan+\813352n-\2n+lJ

=U1__lkn

812n+lJ4（2n+l）

18.【解析】

(1)2x2列聯(lián)表如下:

喜歡足球不喜歡足球合計

男生6040100

女生3()70100

合計90110200

2200x(60x70-40x30)2...

K-----------------------------------------?16.182>1U.6ZO,

10()x100x90x110

???有99.9%的把握認為該校學生喜歡足球與性別有關

(2)3人進球總次數(shù)彳的所有可能取值為0,1,2,3

2°)=(905

18

尸偌=2)=*.*+仔卜沁,產仁=3)=仔卜；=|

???J的分布列如下：

40123

1542

P

181899

54211

.*的數(shù)學期望:后傳)=k二+2、-+3'—=”.

18996

19.【解析】

(1)acosB-2acosC=(2c-Z?)cosA,

sinAcosB-2sinAcosC=(2sinC-sinB)cosA

nsinAcosB+cosAsinB=2sinAcosC+2cosAsinC

=^>sin(A+JB)=2sin(A+C)

瓜I

=sinC=2sinB=c=2b、c=y/3a=b=

a2+3/--a2

a2-^c2-b213G.

cosB=_________4

2a-yfia24

(2)由(1)知。=?,Z?=l,/.c=2,設/5AD=6,

--2-AE>.sin9+』.1.AD-sin0

SAsc=52sin20=

22

4（71\（41

=>AD=—COS^,^G0,—ADe\0,—

3I2；I3；

20.【解析】

（1）證明：PD上AD,AD上BD,PDcBD=D,.?.AD上平面PBD,;.AD上PB,

又A3,A￡>,45u平面A5D,A￡>cA3=平面A3。

（2）如圖建系，則5（0,2,0）,P（0,2,4）,A（4,0,0）,￡>（0,0,0）,

...8P=（0,（）,4）,E4=（4,-2,T）,ZM=（4,0,0）,

設平面BPA與平面PAD的一個法向量分別為“=（玉,y,a）,%=，為，z2），

?BP=04Z1=0

n0n勺=（l，2,0）,

niPA=014%—2yl—4Z|

、

n,PA=04x?一-2y?-4。z?一=0/

n41=-（°,2,7），

n2DA=0

設二面角5-B4—平面角為e,

?,144.A3

?匐同V5.V555

21.【解析】

（1）當PQ_Lx軸時，P0=—,PF=—

aa

h2,

2

b22-=3

(―)2+(c-?)2=10a

aa=\

=>〈c—a=1=><

2

12b,一b=M

-------1c-a)=3c2=/+/

2aV)

=1.

（2）方法一：設PQ方程為》=沖一2,尸（占方）,。（巧,力），

<3123n3（〃/）'2-4次y+4）—y2=3n（3根2—1）），2—12〃9+9=0,

以PQ為直徑的圓的方程為（x—%）（x-W）+（y—y）（y-%）=0

=/-（％+々）x+中2+V-（乂+%）y+M%=。，

由對稱性知以PQ為直徑的圓必過X軸上的定點，令y=0

0/-(N+XJX+X,%,+x%=0，而％+%2="?(y+>2)-4="^^——44

3m-13療一1

為馬=(沖］-2)(叼2-2)=m2yM-2根(M+%)+4

9m2-12m,-3m2-4

-——----2m----——+4=--------，

3/M2-13/n2-l3m2-1

“一―+^1+上=0=

>m2-l)x2-4x+5-3m2=0

3根2-13〃廣-13加2-1

=>［（3m2-l）x+3m2-5］（x-l）=0對V〃zeR恒成立，二x=l.

???以P。為直徑的圓經過定點（LO）.

方法二：設PQ方程為x=%-2,尸&,x）,。（程％），

，歿,23n（3加2—I）/_12加）‘+9=0,

由對稱性知以PQ為直徑的圓必過x軸上的定點.

設以PQ為直徑的圓過E（/,（））,

fp.EQ=0=>(X1_。(尤2_，)+,%=。=>%/V(X]+/)+/+)1%=0，

而X]%2=(加x—2)(加%-2)=加y%―26(y+%)+4

29.12m,-3m2-4

=m~—z------2m——z—+4=——z------

3m2-13療-13m2-1

/x.12m24

…=〃-4=罰-4=罰

-3