上海八年級下期末精選（易錯60題27個考點(diǎn)專練）【好題精選精練】 數(shù)學(xué)八年級 下冊重難點(diǎn)突破（含答案解析）

上海八年級下期末精選（易錯60題27個考點(diǎn)專練）一．高次方程（共3小題）1．（2022春?閔行區(qū)校級期末）解方程組：．【分析】由x﹣y＝4得：x＝4+y①，把①代入x2﹣6y2＝xy中可得y的值，代入①中可求出解．【解答】解：由x﹣y＝4得：x＝4+y①，把①代入x2﹣6y2＝xy中得：（4+y）2﹣6y2＝y(tǒng)（4+y），解得：y1＝2，y2＝﹣，當(dāng)y＝2時，x＝6，當(dāng)y＝﹣時，x＝，∴方程組的解為：，．【點(diǎn)評】本題考查了解二元二次方程組，降次消元是解本題的關(guān)鍵．2．（2022春?浦東新區(qū)校級期末）解方程組：．【分析】先降次，再消元．【解答】解：，①﹣②×2得：x+2y＝1，∴2y＝1﹣x③．將③代入①得：2x2+x（1﹣x）+（1﹣x）2+x＝19，∴x2＝9，∴x＝±3，∴或．【點(diǎn)評】本題考查二元二次方程組的解法，選擇合理的消元方法是求解本題的關(guān)鍵．3．（2016春?松江區(qū)期末）解方程組：．【分析】先將①中的x2﹣6xy+9y2分解因式為：（x﹣3y）2，則x﹣3y＝±2，與②組合成兩個方程組，解出即可．【解答】解：由①得x﹣3y＝2，x﹣3y＝﹣2，∴原方程組可化為二個方程組，解這兩個方程組得原方程組的解是．【點(diǎn)評】本題考查了解高次方程，通過適當(dāng)?shù)姆椒?，把高次方程化為次?shù)較低的方程求解；所以解高次方程一般思路是降次，即把它轉(zhuǎn)化成二次方程或一次方程．也有的通過因式分解來解；本題就是通過因式分解將方程①降次，化成二元一次方程組．二．無理方程（共6小題）4．（2020春?浦東新區(qū)校級期末）下列方程中，有實(shí)數(shù)根的是（）A．+5＝0 B．＝0 C．x3+1＝0 D．2x4+3＝0【分析】根據(jù)二次根式的有意義的條件可以判斷A；根據(jù)解分式方程的方法和分式方程有意義的條件可以判斷B；根據(jù)立方根的定義可以判定C；根據(jù)實(shí)數(shù)的偶次方為正數(shù)可以判斷D．【解答】解：A、∵≥0，∴+5≥5，∴方程+5沒有實(shí)數(shù)根，故A錯誤；B、去分母得，x＝﹣2，檢驗(yàn)當(dāng)x＝﹣2時，x2﹣4＝0，∴原方程無解，∴方程＝0沒有實(shí)數(shù)根，故B錯誤；C、∵x3+1＝0，∴x3＝﹣1，∴x＝﹣1，∴方程x3+1＝0的解為：x＝﹣1，故C正確；D、∵2x4+3＝0，∴2x4＝﹣3，∴方程2x4+3＝0無實(shí)數(shù)根，故D錯誤．故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查解方程，關(guān)鍵是掌握分式方程，無理方程，高次方程的解法．5．（2022春?浦東新區(qū)校級期末）若關(guān)于x的方程無實(shí)根，則m的取值范圍是m＜2．【分析】先將無理方程轉(zhuǎn)化為有理方程，再求解．【解答】解：∵x2﹣4x+8＝（x﹣2）2+4＞0，∴無論x取什么數(shù)，方程始終有意義．原方程化為：（x﹣2）2+4＝m2，∴（x﹣2）2＝m2﹣4，∵（x﹣2）2≥0，∴當(dāng)m2﹣4＜0時，方程無解．∴﹣2＜m＜2．∵≥0，∴當(dāng)m＜0時方程無解．∴m＜2．故答案為：m＜2．【點(diǎn)評】本題考查無理方程的解，將無理方程轉(zhuǎn)化為有理方程是求解本題的關(guān)鍵．6．（2015秋?靜安區(qū)期末）方程＝x﹣1的根為4．【分析】首先根據(jù)二次根式的基本性質(zhì)得出x的取值范圍，將無理方程兩邊平方取消二次根號，整理得一元二次方程，解一元二次方程，將解代回x的取值范圍驗(yàn)算即可得出答案．【解答】解：由二次根式性質(zhì)得：x+5≥0且x﹣1≥0，∴x≥1．將＝x﹣1兩邊平方得：x+5＝x2﹣2x+1，整理得：x2﹣3x﹣4＝0，分解因式：（x﹣4）（x+1）＝0，得：x1＝4，x2＝﹣1，∵x≥1，∴x＝4．故答案為：4．【點(diǎn)評】題目考查了無理方程的求解和二次根式的性質(zhì)，求解無理方程常用的方法是平方法，不過求出的解一定要帶回?zé)o理方程進(jìn)行驗(yàn)算，看是否符合二次根式的性質(zhì)．7．（2021春?徐匯區(qū)校級期中）方程的根是x1＝﹣3，x2＝1．【分析】將無理方程轉(zhuǎn)化為有理方程求解．【解答】解：∵?＝0．∴＝0或＝0，∴x+3＝0或x﹣1＝0，∴x1＝﹣3或x2＝1．故答案為：x1＝﹣3，x2＝1．【點(diǎn)評】本題考查無理方程的解法，將無理方程轉(zhuǎn)化為有理方程是求解本題的關(guān)鍵．8．（2022春?楊浦區(qū)校級期中）方程的根為x＝﹣2．【分析】根據(jù)已知得出x+3＝0，＝0，求出方程的解，最后進(jìn)行檢驗(yàn)即可．【解答】解：∵，∴x+3＝0，＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝﹣2，經(jīng)檢驗(yàn)x＝﹣3代入原方程，無意義，舍去；經(jīng)檢驗(yàn)x＝﹣2代入原方程，是原方程的解，故答案為：x＝﹣2．【點(diǎn)評】本題考查了無理方程的解法，注意：解無理方程一定要進(jìn)行檢驗(yàn)．9．（2022春?浦東新區(qū)校級期末）解方程：．【分析】先根據(jù)方程有意義，求出x范圍，再解方程．【解答】解：要使方程有意義，需滿足：，∴，∵該不等式組無解，∴原方程無解．【點(diǎn)評】本題考查無理方程，保證無理方程有意義是求解本題的關(guān)鍵．三．分式方程的增根（共2小題）10．（2018秋?浦東新區(qū)期末）若y＝1是方程+＝的增根，則m＝﹣1．【分析】增根是化為整式方程后產(chǎn)生的不適合分式方程的根．先去分母，然后把y＝1代入代入整式方程，即可算出m的值．【解答】解：去分母，可得m（y﹣2）+3（y﹣1）＝1，把y＝1代入，可得m（1﹣2）+3（1﹣1）＝1，解得m＝﹣1，故答案為：﹣1．【點(diǎn)評】本題主要考查了分式方程的增根，在分式方程變形時，有可能產(chǎn)生不適合原方程的根，即代入分式方程后分母的值為0或是轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值的根，叫做原方程的增根．11．（2022春?楊浦區(qū)校級期中）在去分母解關(guān)于x的分式方程＝2﹣的過程中產(chǎn)生增根，則a＝﹣4．【分析】根據(jù)題意可得x＝4，然后把x的值代入整式方程中進(jìn)行計算即可解答．【解答】解：＝2﹣，x＝2（x﹣4）﹣a，解得：x＝8+a，∵分式方程產(chǎn)生增根，∴x＝4，把x＝4代入x＝8+a中，4＝8+a，∴a＝﹣4，故答案為：﹣4．【點(diǎn)評】本題考查了分式方程的增根，根據(jù)題意求出x的值后代入整式方程中進(jìn)行計算是解題的關(guān)鍵．四．分式方程的應(yīng)用（共1小題）12．（2015春?上海校級期末）“5.12”汶川地震牽動著每一位中國人的心．某中學(xué)的八年級（1）班所有學(xué)生準(zhǔn)備捐款3600元幫助災(zāi)區(qū)的學(xué)生，在實(shí)際捐款時又有4名搞衛(wèi)生的阿姨參加，如總的捐款數(shù)不變，則參加捐款的每人平均少捐了10元，求這個班的人數(shù)．【分析】設(shè)這個班級的人數(shù)為x人，依據(jù)每人平均少捐了10元，列方程求解即可得到結(jié)論．【解答】解：設(shè)這個班級的人數(shù)為x人，根據(jù)題意，得：，整理，得：x2+4x﹣1440＝0，解此方程，得：x1＝36，x2＝﹣40（不符合題意，舍去），經(jīng)檢驗(yàn)，x＝36是原方程的根，答：這個班級的人數(shù)為36人．【點(diǎn)評】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用，列分式方程解應(yīng)用題一定要審清題意，找相等關(guān)系是著眼點(diǎn)，要學(xué)會分析題意，提高理解能力．五．一次函數(shù)的定義（共6小題）13．（2021春?金山區(qū)期末）下列函數(shù)中，是一次函數(shù)的是（）A．y＝1﹣x B．y＝ C．y＝kx+1 D．y＝x2+1【分析】根據(jù)一次函數(shù)的定義條件進(jìn)行逐一分析即可．【解答】解：A、y＝1﹣x是一次函數(shù)，故此選項符合題意；B、y＝是反比例函數(shù)，故此選項不符合題意；C、當(dāng)k＝0時不是一次函數(shù)，故此選項不符合題意；D、y＝x2+1是二次函數(shù)，故此選項不符合題意．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了一次函數(shù)．解題的關(guān)鍵是掌握一次函數(shù)的定義，一次函數(shù)y＝kx+b的定義條件是：k、b為常數(shù)，k≠0，自變量次數(shù)為1．14．（2021春?閔行區(qū)期末）下列函數(shù)中，是一次函數(shù)的是（）A．y＝+1 B．x+3y＝1 C．y＝x2﹣1 D．y＝2【分析】根據(jù)一次函數(shù)的定義條件進(jìn)行逐一分析即可．【解答】解：A．，自變量x的指數(shù)是﹣1，不符合一次函數(shù)的定義，故此選項不符合題意；B．有x+3y＝1可得y＝，符合一次函數(shù)的定義，故此選項符合題意；C．y＝x2﹣1，自變量x的指數(shù)是2，不符合一次函數(shù)的定義，故此選項不符合題意；D．y＝2是常數(shù)函數(shù)，不符合一次函數(shù)的定義，故此選項不符合題意；故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了一次函數(shù)的定義．解題關(guān)鍵是掌握一次函數(shù)的定義條件：一次函數(shù)y＝kx+b的定義條件是：k、b為常數(shù)，k≠0，自變量次數(shù)為1．15．（2021春?虹口區(qū)期末）下列函數(shù)中，一次函數(shù)是（）A．y＝x2﹣2 B．y＝﹣2 C．y＝3x﹣2 D．y＝﹣2【分析】根據(jù)一次函數(shù)的定義條件進(jìn)行逐一分析即可．【解答】解：A．y＝x2﹣2，自變量x的次數(shù)是2，不符合一次函數(shù)的定義，故此選項不符合題意；B.，自變量x的次數(shù)是﹣1，不符合一次函數(shù)的定義，故此選項不符合題意；C．y＝3x﹣2，是一次函數(shù)，因?yàn)榉弦淮魏瘮?shù)的定義，故此選項符合題意；D．y＝﹣2，是常數(shù)函數(shù)，不是一次函數(shù)，故此選項不符合題意．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了一次函數(shù)的定義．解題關(guān)鍵是掌握一次函數(shù)的定義條件：一次函數(shù)y＝kx+b的定義條件是：k、b為常數(shù)，k≠0，自變量次數(shù)為1．16．（2020春?虹口區(qū)期末）下列函數(shù)中，一次函數(shù)是（）A．y＝3 B．y＝x+3 C．y＝3x2 D．y＝【分析】根據(jù)一次函數(shù)的定義條件進(jìn)行逐一分析即可．【解答】解：A、y＝3不是一次函數(shù)，因?yàn)椴环弦淮魏瘮?shù)的定義，故此選項不符合題意；B、y＝x+3是一次函數(shù)，因?yàn)榉弦淮魏瘮?shù)的定義，故此選項符合題意；C、y＝3x2是二次函數(shù)，不是一次函數(shù)，故此選項不符合題意；D、y＝反比例函數(shù)，不是一次函數(shù)，故此選項不符合題意．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了一次函數(shù)的定義．解題關(guān)鍵是掌握一次函數(shù)的定義條件：一次函數(shù)y＝kx+b的定義條件是：k、b為常數(shù)，k≠0，自變量次數(shù)為1．17．（2021春?虹口區(qū)校級期末）已知y＝m+1是一次函數(shù)，則m＝2．【分析】利用一次函數(shù)定義可得m2﹣2m+1＝1，且m≠0，進(jìn)而可得m的值．【解答】解：由題意得：m2﹣2m+1＝1，且m≠0，解得：m＝2，故答案為：2．【點(diǎn)評】此題主要考查了一次函數(shù)定義，解題的關(guān)鍵是掌握一次函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征：k≠0；自變量的次數(shù)為1；常數(shù)項b可以為任意實(shí)數(shù)．18．（2020春?長寧區(qū)期末）已知函數(shù)y＝（m﹣1）+1是一次函數(shù)，則m＝﹣1．【分析】根據(jù)一次函數(shù)的定義，令m2＝1，m﹣1≠0即可解答．【解答】若兩個變量x和y間的關(guān)系式可以表示成y＝kx+b（k，b為常數(shù)，k≠0）的形式，則稱y是x的一次函數(shù)（x為自變量，y為因變量）．因而有m2＝1，解得：m＝±1，又m﹣1≠0，∴m＝﹣1．【點(diǎn)評】本題主要考查了一次函數(shù)的定義，一次函數(shù)y＝kx+b的定義條件是：k、b為常數(shù)，k≠0，自變量次數(shù)為1．六．一次函數(shù)的性質(zhì)（共1小題）19．（2019春?松江區(qū)期末）已知函數(shù)y＝﹣3x+7，當(dāng)x＞2時，函數(shù)值y的取值范圍是y＜1．【分析】依據(jù)k的值得到一次函數(shù)的增減性，然后結(jié)合自變量的取值范圍，得到函數(shù)值的取值范圍即可．【解答】解：∵函數(shù)y＝﹣3x+7中，k＝﹣3＜0，∴y隨著x的增大而減小，當(dāng)x＝2時，y＝﹣3×2+7＝1，∴當(dāng)x＞2時，y＜1，故答案為：y＜1．【點(diǎn)評】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系：從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)y＝ax+b的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍；從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線y＝kx+b在x軸上（或下）方部分所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)所構(gòu)成的集合．七．一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系（共1小題）20．（2018春?靜安區(qū)期末）如果一次函數(shù)y＝kx+2的函數(shù)值y隨著x的值增大而減小，那么k的取值范圍是k＜0．【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，如果y隨x的增大而減小，則一次項的系數(shù)小于0，據(jù)此求出k的取值范圍．【解答】解：∵一次函數(shù)y＝kx+2，函數(shù)值y隨x的值增大而減小，∴k＜0．故答案為：k＜0．【點(diǎn)評】本題考查的是一次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題要注意：在一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）中，當(dāng)k＜0時y隨x的增大而減小．八．一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征（共1小題）21．（2021秋?靜安區(qū)期末）我們知道：當(dāng)x＝2時，不論k取何實(shí)數(shù)，函數(shù)y＝k（x﹣2）+3的值為3，所以直線y＝k（x﹣2）+3一定經(jīng)過定點(diǎn)（2，3）；同樣，直線y＝（k﹣2）x+3k一定經(jīng)過的定點(diǎn)為（﹣3，6）．【分析】先將y＝（k﹣2）x+3k化為：y＝（x+3）k﹣2x，可得當(dāng)x＝﹣3時，不論k取何實(shí)數(shù)，函數(shù)y＝（x+3）k﹣2x的值為6，即可得到直線y＝（k﹣2）x+3k一定經(jīng)過的定點(diǎn)為（﹣3，6）．【解答】解：根據(jù)題意，y＝（k﹣2）x+3k可化為：y＝（x+3）k﹣2x，∴當(dāng)x＝﹣3時，不論k取何實(shí)數(shù)，函數(shù)y＝（x+3）k﹣2x的值為6，∴直線y＝（k﹣2）x+3k一定經(jīng)過的定點(diǎn)為（﹣3，6），故答案為：（﹣3，6）．【點(diǎn)評】本題主要考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，直線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝kx+b．九．一次函數(shù)圖象與幾何變換（共2小題）22．（2021秋?靜安區(qū)期末）把直線y＝x+1向右平移4個單位可得到直線y＝x﹣2．【分析】根據(jù)“左加右減”的原則進(jìn)行解答即可．【解答】解：由“左加右減”的原則可知：直線y＝x+1向右平移n個單位，得到直線的解析式為：y＝（x﹣n）+1，又∵平移后的直線為y＝x﹣2，∴（x﹣n）+1＝x﹣2，解得n＝4，故答案為：4．【點(diǎn)評】本題考查的是一次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知“左加右減”的原則是解答此題的關(guān)鍵．23．（2015春?黃浦區(qū)期末）直線y＝2x﹣3向下平移4個單位可得直線y＝2x﹣7．【分析】原常數(shù)項為﹣3，上下平移直線解析式只改變常數(shù)項，讓常數(shù)項減4即可得到平移后的常數(shù)項，也就得到平移后的直線解析式．【解答】解：∵向下平移4個單位，∴新函數(shù)的k＝2，b＝﹣3﹣4＝﹣7，∴得到的直線所對應(yīng)的函數(shù)解析式是：y＝2x﹣7．【點(diǎn)評】考查的知識點(diǎn)為：上下平移直線解析式只改變常數(shù)項，上加，下減．一十．一次函數(shù)的應(yīng)用（共2小題）24．（2022春?黃浦區(qū)期中）貨車在公路A處加滿油后，以每小時60千米的速度勻速行駛，前往與A處相距360千米的B處．下表記錄的是貨車一次加滿油后油箱剩余油量y（升）與行駛時間x（時）之間的關(guān)系：行駛時間x（時）01234余油量y（升）150120906030（1）如果y關(guān)于x的函數(shù)是一次函數(shù)，求這個函數(shù)解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）（2）在（1）的條件下，如果貨車的行駛速度和每小時的耗油量都不變，貨車行駛4小時后到達(dá)C處，C的前方12千米的D處有一加油站，那么在D處至少加多少升油，才能使貨車到達(dá)B處卸貨后能順利返回會D處加油？（根據(jù)駕駛經(jīng)驗(yàn)，為保險起見，油箱內(nèi)剩余油量應(yīng)隨時不少于10升）【分析】（1）設(shè)x與y之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b，將點(diǎn)（0，150）和（1，120）代入求k和b值；（2）利用路程關(guān)系建立在D處加油的一元一次不等式，求在D處至少加油量．【解答】解：（1）把5組數(shù)據(jù)在直角坐標(biāo)系中描出來，這5個點(diǎn)在一條直線上，所以y與x滿足一次函數(shù)關(guān)系，設(shè)y＝kx+b，（k≠0）則，解得：，∴y＝﹣30x+150．（2）設(shè)在D處至少加W升油，根據(jù)題意得：150﹣4×30﹣×30+W≥×30×2+10（3分）即：150﹣120﹣6+W≥118解得W≥94，答：D處至少加94升油，才能使貨車到達(dá)災(zāi)區(qū)B地卸物后能順利返回D處加油．【點(diǎn)評】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，要注意自變量的取值范圍還必須使實(shí)際問題有意義．25．（2017秋?嘉定區(qū)期中）已知A城與B城相距200千米，一列火車以每小時60千米的速度從A城駛向B城．（1）求火車與B城的距離S（千米）與行駛的時間t（時）的函數(shù)關(guān)系式及t（時）的取值范圍；（2）畫出函數(shù)圖象．【分析】（1）依據(jù)A城與B城相距200千米，一列火車以每小時60千米的速度從A城駛向B城，即可得到火車與B城的距離S（千米）與行駛的時間（時）的函數(shù)關(guān)系式及t（時）的取值范圍；（2）根據(jù)當(dāng)t＝0時，S＝200；當(dāng)t＝時，S＝0；即可得到函數(shù)圖象．【解答】解：（1）由題可得，S＝200﹣60t，∵火車以每小時60千米的速度從A城駛向B城需要的時間為200÷60＝小時，∴t的取值范圍是0≤t≤．（2）當(dāng)t＝0時，S＝200；當(dāng)t＝時，S＝0；函數(shù)圖象如圖所示：【點(diǎn)評】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，解決該題型題目時，根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出函數(shù)關(guān)系式是關(guān)鍵．解題時注意：所得函數(shù)的圖象為線段．一十一．三角形中位線定理（共2小題）26．（2010春?長寧區(qū)校級期末）如圖所示，有一張一個角為60°的直角三角形紙片，沿其一條中位線剪開后，不能拼成的四邊形是（）A．鄰邊不等的矩形 B．等腰梯形 C．有一個角是銳角的菱形 D．正方形【分析】可畫出圖形，令相等的線段重合，拼出可能出現(xiàn)的圖形，然后再根據(jù)已知三角形的性質(zhì)，對拼成的圖形進(jìn)行具體的判定．【解答】解：如圖：此三角形可拼成如圖三種形狀，（1）為矩形，∵有一個角為60°，則另一個角為30°，∴此矩形為鄰邊不等的矩形；（2）為菱形，有兩個角為60°；（3）為等腰梯形．故選：D．【點(diǎn)評】這是一道生活聯(lián)系實(shí)際的問題，不僅要用到三角形中位線的性質(zhì)、菱形、等腰梯形、矩形的性質(zhì)，還鍛煉了學(xué)生的動手能力．解答此類題目時應(yīng)先畫出圖形，再根據(jù)已知條件判斷各邊的關(guān)系．27．（2008秋?青浦區(qū)期末）如圖，若D、E、F分別是△ABC的三邊的中點(diǎn)，則△DEF與△ABC的周長之比＝1：2．【分析】根據(jù)三角形中位線定理易得所求的三角形的各邊長為原三角形各邊長的一半，那么所求的三角形的周長就等于原三角形周長的一半．【解答】解：∵點(diǎn)D、E、F分別是AB、BC、AC的中點(diǎn)，∴DE，EF，DF分別是原三角形三邊的一半，∴△DEF與△ABC的周長之比＝1：2．故答案為1：2．【點(diǎn)評】此題考查的是三角形中位線的性質(zhì)，即三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半．一十二．多邊形的對角線（共2小題）28．（2022春?徐匯區(qū)期末）定義：如果一個凸四邊形的一條對角線把四邊形分成兩個等腰三角形，那么稱這個凸四邊形為“等腰四邊形”，把這條對角線稱為“界線”，已知在“等腰四邊形”ABCD中，AB＝BC＝AD，∠BAD＝90°，且AC為界線，則∠BCD的度數(shù)為135°或90°或45°．【分析】由AC是四邊形ABCD的等腰線，可以得出△ACD是等腰三角形，從圖1，圖2，圖3三種情況運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)和判定，正方形的性質(zhì)和判定和30°的直角三角形性質(zhì)就可以求出∠BCD的度數(shù)．【解答】解：∵AC是四邊形ABCD的界線，∴△ACD是等腰三角形．∵AB＝AD＝BC，如圖1，當(dāng)AD＝AC時，∴AB＝AC＝BC，∠ACD＝∠ADC∴△ABC是正三角形，∴∠BAC＝∠BCA＝60°．∵∠BAD＝90°，∴∠CAD＝30°，∴∠ACD＝∠ADC＝75°∴∠BCD＝60°+75°＝135°．如圖2，當(dāng)AD＝CD時，∴AB＝AD＝BC＝CD．∵∠BAD＝90°，∴四邊形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°如圖3，當(dāng)AC＝CD時，過點(diǎn)C作CE⊥AD于E，過點(diǎn)B作BF⊥CE于F，∵AC＝CD．CE⊥AD，∴AE＝AD，∠ACE＝∠DCE．∵∠BAD＝∠AEF＝∠BFE＝90°，∴四邊形ABFE是矩形．∴BF＝AE．∵AB＝AD＝BC，∴BF＝BC，∴∠BCF＝30°．∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠BAC．∵AB∥CE，∴∠BAC＝∠ACE，∴∠ACB＝∠ACE＝∠BCF＝15°，∴∠BCD＝15°×3＝45°．綜上，∠BCD的度數(shù)為135°或90°或45°．故答案為：135°或90°或45°．【點(diǎn)評】本題考查了“等腰四邊形”的定義和性質(zhì)的運(yùn)用，“等腰四邊形”的判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定的運(yùn)用，正方形的性質(zhì)和判定的運(yùn)用，30°的直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用．解答如圖3這種情況容易忽略，解答時合理運(yùn)用分類討論思想是關(guān)鍵．29．（2020春?普陀區(qū)期末）如果一個四邊形的一條對角線把它分成兩個等腰三角形，那么我們就稱這條對角線是四邊形的“美麗線”．已知AC是四邊形ABCD的“美麗線”，如果AB＝BC＝AC，∠BAD＝90°，那么∠BCD＝135或90或45°．【分析】由AC是四邊形ABCD的美麗線，可以得出△ACD是等腰三角形，從圖1，圖2，圖3三種情況運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)和判定，正方形的性質(zhì)和判定和30°角的直角三角形的性質(zhì)就可以求出∠BCD的度數(shù)．【解答】解：∵AC是四邊形ABCD的美麗線，∴△ACD是等腰三角形．∵AB＝AD＝BC，如圖1，當(dāng)AD＝AC時，∴AB＝AC＝BC，∠ACD＝∠ADC，∴△ABC是正三角形，∴∠BAC＝∠BCA＝60°．∵∠BAD＝90°，∴∠CAD＝30°，∴∠ACD＝∠ADC＝75°，∴∠BCD＝60°+75°＝135°．如圖2，當(dāng)AD＝CD時，∴AB＝AD＝BC＝CD．∵∠BAD＝90°，∴四邊形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°如圖3，當(dāng)AC＝CD時，過點(diǎn)C作CE⊥AD于E，過點(diǎn)B作BF⊥CE于F，∵AC＝CD．CE⊥AD，∴AE＝AD，∠ACE＝∠DCE．∵∠BAD＝∠AEF＝∠BFE＝90°，∴四邊形ABFE是矩形．∴BF＝AE．∵AB＝AD＝BC，∴BF＝BC，∴∠BCF＝30°．∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠BAC．∵AB∥CE，∴∠BAC＝∠ACE，∴∠ACB＝∠ACE＝∠BCF＝15°，∴∠BCD＝15°×3＝45°．綜上，∠BCD的度數(shù)為135°或90°或45°．故答案為：135或90或45．【點(diǎn)評】本題考查了四邊形的“美麗線”的定義和性質(zhì)的運(yùn)用，“美麗線”的判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定的運(yùn)用，正方形的性質(zhì)和判定的運(yùn)用，30°角的直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用．解答如圖3這種情況容易忽略，解答時合理運(yùn)用分類討論思想是關(guān)鍵．一十三．多邊形內(nèi)角與外角（共5小題）30．（2020春?南崗區(qū)期末）若一個多邊形的內(nèi)角和是900°，則這個多邊形的邊數(shù)是（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式（n﹣2）?180°，列式求解即可．【解答】解：設(shè)這個多邊形是n邊形，根據(jù)題意得，（n﹣2）?180°＝900°，解得n＝7．故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和公式，熟記公式是解題的關(guān)鍵．31．（2021春?普陀區(qū)期末）內(nèi)角為140°的正多邊形的邊數(shù)為9．【分析】首先根據(jù)內(nèi)角為140°，求出外角度數(shù)，再利用外角和定理求出邊數(shù)．【解答】解：∵正多邊形的一個內(nèi)角是140°，∴它的外角是：180°﹣140°＝40°，∴正多邊形的邊數(shù)為：360°÷40°＝9．故答案為：9．【點(diǎn)評】此題主要考查了多邊形的外角與內(nèi)角，首先求出正多邊形的外角度數(shù)，再利用外角和定理求出求邊數(shù)．32．（2015春?上海校級期末）一個多邊形的每個外角都等于72°，則這個多邊形的邊數(shù)為5．【分析】利用多邊形的外角和360°，除以外角的度數(shù)，即可求得邊數(shù)．【解答】解：多邊形的邊數(shù)是：360÷72＝5．故答案為：5．【點(diǎn)評】本題考查了多邊形的外角和定理，理解任何多邊形的外角和都是360度是關(guān)鍵．33．（2020秋?虹口區(qū)期末）如圖，把△ABC紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落在四邊形BCDE的外部．已知∠A＝30°，∠1＝100°，則∠2的度數(shù)是40度．【分析】先根據(jù)圖形翻折變換的性質(zhì)得出∠A′＝∠A，再根據(jù)三角形外角和三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行解答即可．【解答】解：如圖∵∠1＝100°，∴∠ADF＝80°，∵△A′ED是△AED翻折變換而成，∴∠A′＝∠A＝30°，∵∠A′FE是△ADF的外角，∴∠A′FE＝∠A+∠ADF＝30°+80°＝110°，∵∠A′FE+∠2+∠A′＝180°，∴110°+∠2+30°＝180°，∴∠2＝40°．故答案為：40．【點(diǎn)評】此題考查了折疊的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握折疊的性質(zhì)，注意折疊前后圖形是全等的，注意折疊中的對應(yīng)關(guān)系．34．（2019春?長寧區(qū)期末）如圖，平面內(nèi)五點(diǎn)A、B、C、D、E連接成“五角星型”，那么∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180度．【分析】根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出∠A+∠D＝∠1，∠B+∠E＝∠2，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°求解即可．【解答】解：如圖，∠A+∠D＝∠1，∠B+∠E＝∠2，∵∠1+∠2+∠C＝180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．故答案為：180．【點(diǎn)評】本題主要考查了三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理，把五個角轉(zhuǎn)換為一個三角形的三個內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵．一十四．平行四邊形的性質(zhì)（共3小題）35．（2017秋?奉賢區(qū)期末）下列說法正確的是（）A．面積一定的平行四邊形的一邊和這邊上的高成正比例 B．面積一定的平行四邊形的一邊和這邊上的高成反比例 C．周長一定的等腰三角形的腰長與它底邊的長成正比例 D．周長一定的等腰三角形的腰長與它底邊的長成反比例【分析】根據(jù)正比例函數(shù)及反比例函數(shù)的定義對各選項進(jìn)行逐一分析即可．【解答】解：A、面積一定的平行四邊形的一邊和這邊上的高成反比例，故本選項錯誤；B、面積一定的平行四邊形的一邊和這邊上的高成反比例，故本選項正確；C、周長一定的等腰三角形的腰長與它底邊的長成一次函數(shù)，故本選項錯誤；D、周長一定的等腰三角形的腰長與它底邊的長成一次函數(shù)，故本選項錯誤．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，正比例函數(shù)的定義，解決此題的關(guān)鍵掌握平行四邊形的性質(zhì)．36．（2010春?上海期末）如圖，在?ABCD的面積是12，點(diǎn)E，F(xiàn)在AC上，且AE＝EF＝FC，則△BEF的面積為（）A．2 B．3 C．4 D．6【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知△ABC的面積是平行四邊形面積的一半，再進(jìn)一步確定△BER和△ABC的面積關(guān)系即可．【解答】解：∵S?ABCD＝12∴S△ABC＝S?ABCD＝6，∴S△ABC＝×AC×高＝×3EF×高＝6，得到：×EF×高＝2，∵△BEF的面積＝×EF×高＝2．∴△BEF的面積為2．故選：A．【點(diǎn)評】平行四邊形的對角線將平行四邊形分成面積相等的兩個三角形，本題解題關(guān)鍵是利用三角形的面積計算公式找出所求三角形與已知三角形的面積關(guān)系．37．（2021春?靜安區(qū)期末）過平行四邊形ABCD的對角線交點(diǎn)O作直線l，分別交直線AB、CD于點(diǎn)E、F，AE＝3AB，如果AB＝a，那么DF的長是4a或2a．（用含有a的代數(shù)式表示）【分析】根據(jù)直線l分別交直線AB、CD于點(diǎn)E、F，AE＝3AB，可知點(diǎn)E可能在BA的延長線上或點(diǎn)E在AB的延長線上．因此，需要方兩種情況討論．再依據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等，即可得到DF的長．【解答】解：分兩種情況：①如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)E在BA的延長線上時，AE＝3AB＝3a，∴BE＝AB+AE＝4a，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BO＝DO，AB∥CD，∴∠E＝∠F，在△BOE和△DOF中，，∴△BOE≌△DOF（AAS），∴DF＝BE＝4a；②如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)E在AB的延長線上時，AE＝3AB＝3a，∴BE＝AE﹣AB＝2a，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BO＝DO，AB∥CD，∴∠E＝∠F，在△BOE和△DOF中，，∴△BOE≌△DOF（AAS），∴DF＝BE＝2a；綜上所述，DF的長為4a或2a．故答案為：4a或2a．【點(diǎn)評】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．一十五．平行四邊形的判定（共1小題）38．（2022春?冷水灘區(qū)校級期中）如圖，四邊形ABCD中，AB＝DC，將對角線AC向兩端分別延長至點(diǎn)E，F(xiàn)，使AE＝CF．連接BE，DF，若BE＝DF．證明：四邊形ABCD是平行四邊形．【分析】先根據(jù)SSS證出△BEA≌△DFC，從而得到∠EAB＝∠FCD，根據(jù)等角的補(bǔ)角相等可得∠BAC＝∠DCA，從而得到AB∥DC，再根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，即可求證四邊形ABCD是平行四邊形．【解答】證明：在△BEA和△DFC中，∴△BEA≌△DFC（SSS），∴∠EAB＝∠FCD，∴∠BAC＝∠DCA，∴AB∥DC，∵AB＝DC，∴四邊形ABCD是平行四邊形．【點(diǎn)評】本題主要考查平行四邊形的判定，解題的關(guān)鍵在于先通過全等三角形證出AB∥CD．一十六．矩形的性質(zhì)（共1小題）39．（2018春?青浦區(qū)期末）如圖，矩形ABCD中，BC＝6，AB＝3，R在CD邊上，且CR＝1，P為BC上一動點(diǎn)，E、F分別是AP、RP的中點(diǎn)，當(dāng)P從B向C移動時，線段EF的長度為．【分析】連接AR．在Rt△ADR中，利用勾股定理求出AR，再利用三角形的中位線定理即可求出EF．【解答】解：如圖，連接AR．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，∵BC＝6，AB＝3，CR＝1，∴AD＝6，DR＝2，∴AR＝＝2，∵AE＝EP，PF＝FR，∴EF＝AR＝×2＝，故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查矩形的性質(zhì)、勾股定理、三角形的中位線定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．一十七．矩形的判定（共1小題）40．（2020春?靜安區(qū)校級期末）如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，AD∥BC，AC＝BD，那么下列條件中不能判定四邊形ABCD是矩形的是（）A．AD＝BC B．AB＝CD C．∠DAB＝∠ABC D．∠DAB＝∠DCB【分析】有一個角是直角的平行四邊形是矩形；有三個角是直角的四邊形是矩形；對角線相等的平行四邊形是矩形，依據(jù)矩形的判定進(jìn)行判斷即可．【解答】解：A．當(dāng)AD＝BC，AD∥BC時，四邊形ABCD是平行四邊形，再依據(jù)AC＝BD，可得四邊形ABCD是矩形；B．當(dāng)AB＝CD，AD∥BC時，四邊形ABCD不一定是平行四邊形，也可能是等腰梯形；C．當(dāng)∠DAB＝∠ABC，AD∥BC時，∠DAB＝∠CBA＝90°，再根據(jù)AC＝BD，可得△ABD≌△BAC，進(jìn)而得到AD＝BC，即可得到四邊形ABCD是矩形；D．當(dāng)∠DAB＝∠DCB，AD∥BC時，∠ABC+∠BCD＝180°，即可得出四邊形ABCD是平行四邊形，再依據(jù)AC＝BD，可得四邊形ABCD是矩形；故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查了矩形的判定，證明一個四邊形是矩形，若題設(shè)條件與這個四邊形的對角線有關(guān)，通常證這個四邊形的對角線相等．題設(shè)中出現(xiàn)多個直角或垂直時，常采用“三個角是直角的四邊形是矩形”來判定矩形．一十八．正方形的性質(zhì)（共8小題）41．（2015春?楊浦區(qū)期末）如圖，已知正方形ABCD中，G、P分別是DC、BC上的點(diǎn)，E、F分別是AP、GP的中點(diǎn)，當(dāng)P在BC上從B向C移動而G不動時，下列結(jié)論成立的是（）A．線段EF的長逐漸增大 B．線段EF的長逐漸減小 C．線段EF的長不改變 D．線段EF的長不能確定【分析】因?yàn)镚不動，所以AG不變．根據(jù)三角形中位線定理可得EF＝AG，因此線段EF的長不變．【解答】解：如圖，連接AG．∵E、F分別是AP、GP的中點(diǎn)，∴EF為△APG的中位線，∴EF＝AG，AG為定值．∴線段EF的長不改變．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了三角形的中位線定理，只要三角形的邊AG不變，則對應(yīng)的中位線的長度就不變．42．（2021春?黃浦區(qū)期末）如圖，E為正方形ABCD外一點(diǎn)，AE＝AD，BE交AD于點(diǎn)F，∠ADE＝75°，則∠AFB＝60°．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠AED＝∠ADE＝75°，由三角形內(nèi)角和求出頂角∠DAE的度數(shù)，根據(jù)正方形的性質(zhì)得△ABE為等腰三角形，再由直角三角形的兩銳角互余得答案．【解答】解：∵AE＝AD，∴∠AED＝∠ADE＝75°，∴∠DAE＝180°﹣75°﹣75°＝30°，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∴AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∵∠BAE＝90°+30°＝120°，∴∠ABE＝，∴∠AFB＝90°﹣30°＝60°．故答案為：60．【點(diǎn)評】此題考查了正方形的性質(zhì)，正方形的四個角都是直角，且各邊都相等；在幾何證明中常運(yùn)用等邊對等角和等角對等邊來證明邊相等或角相等；在三角形中，要熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理和直角三角形的兩個銳角互余．43．（2022春?浦東新區(qū)校級期末）如圖，在正方形ABCD中，AB＝3，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于點(diǎn)G．若圖中陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為2：3，則△BCG的周長為+3．【分析】根據(jù)陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為2：3，得出陰影部分的面積為6，空白部分的面積為3，進(jìn)而依據(jù)△BCG的面積以及勾股定理，得出BG+CG的長，進(jìn)而得出其周長．【解答】解：∵陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為2：3，∴陰影部分的面積為×9＝6，∴空白部分的面積為9﹣6＝3，由CE＝DF，BC＝CD，∠BCE＝∠CDF＝90°，可得△BCE≌△CDF，∴△BCG的面積與四邊形DEGF的面積相等，均為×3＝，∠CBE＝∠DCF，∵∠DCF+∠BCG＝90°，∴∠CBG+∠BCG＝90°，即∠BGC＝90°，設(shè)BG＝a，CG＝b，則ab＝，又∵a2+b2＝32，∴a2+2ab+b2＝9+6＝15，即（a+b）2＝15，∴a+b＝，即BG+CG＝，∴△BCG的周長＝+3，故答案為：+3．【點(diǎn)評】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及三角形面積問題．解題時注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．44．（2022春?靜安區(qū)期中）如圖，正方形ABCD中，延長BC到E，使CE＝CA，AE交CD于F，那么∠AFD＝67.5°．【分析】根據(jù)正方形性質(zhì)得∠BCD＝90°，AC平分∠BCD，得到∠ACB＝45°，再根據(jù)外角的性質(zhì)和等腰三角形性質(zhì)得∠E＝22.5°，從而進(jìn)一步得出∠AFD＝∠CFE＝67.5°．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，AC平分∠BCD，∴∠ACB＝45°，∵CE＝CA，∴∠E＝∠CAE，∴∠E＝22.5°，∵∠DCE＝90°，∴∠CFE＝67.5°，∵∠AFD＝∠CFE＝67.5°，故答案為：67.5°．【點(diǎn)評】本題主要考查了正方形性質(zhì)，掌握正方形的性質(zhì)的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．45．（2022春?青浦區(qū)校級期中）四邊形ABCD是正方形，在直線AB上取一點(diǎn)E，使得AE＝AC，則∠CEB的度數(shù)是22.5或67.5度．【分析】分兩種情況畫圖，根據(jù)正方形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)即可解決問題．【解答】解：如圖，分兩種情況畫圖：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠CAB＝45°，①∵AE＝AC，∴∠CEB＝∠ACE＝×45°＝22.5°；②∵AE′＝AC，∴∠CE′B＝∠ACE＝（180°﹣45°）＝67.5°．則∠CEB的度數(shù)是22.5或67.5度．故答案為：22.5或67.5．【點(diǎn)評】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握正方形的性質(zhì)．46．（2021春?楊浦區(qū)校級期中）在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的邊AD在y軸正半軸上，邊BC在第一象限，且點(diǎn)A（0，3）、B（5，3），將正方形ABCD繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜180°），若點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B′恰好落在坐標(biāo)軸上，則點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)C′的坐標(biāo)為（7，4）或（5，﹣2）或（﹣1，﹣4）．【分析】根據(jù)題意畫出圖形，分3種情況進(jìn)行討論：①點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B′恰好落在x軸正半軸上時，②點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B′恰好落在y軸負(fù)半軸上時，③點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B′恰好落在x軸負(fù)半軸上時，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，利用全等三角形的判定與性質(zhì)可得點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)C′的坐標(biāo)．【解答】解：因?yàn)檎叫蜛BCD的邊AD在y軸正半軸上，邊BC在第一象限，且點(diǎn)A（0，3）、B（5，3），所以畫圖如下：當(dāng)正方形ABCD繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜180°），①點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B′恰好落在x軸正半軸上時，如圖，∵AB′＝AB＝5，OA＝3，∴OB′＝＝4，∵∠AB′O+∠OAB′＝90°，∠AB′O+∠C′B′E＝90°，∴∠OAB′＝∠C′B′E，在△AB′O和△EB′C′中，，∴△AB′O≌△EB′C′（AAS），∴B′E＝OA＝3，EC′＝OB′＝4，∴OE＝OB′+B′E＝4+3＝7，∴點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)C′的坐標(biāo)為（7，4）；②點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B′恰好落在y軸負(fù)半軸上時，如圖，B′C′＝AB＝BC′＝5，∴點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)C′的坐標(biāo)為（5，﹣2）；③點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B′恰好落在x軸負(fù)半軸上時，如圖，同①可知：△AB′O≌△EB′C′（AAS），∴B′E＝OA＝3，EC′＝OB′＝4，∴OE＝OB′﹣B′E＝4﹣3＝1，∴點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)C′的坐標(biāo)為（﹣1，﹣4）；綜上所述：點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)C′的坐標(biāo)為（7，4）或（5，﹣2）或（﹣1，﹣4）．故答案為：（7，4）或（5，﹣2）或（﹣1，﹣4）．【點(diǎn)評】本題屬于四邊形的綜合題，考查了正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形的變化、全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用以上知識．是中考填空壓軸題．47．（2021春?浦東新區(qū)期末）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)G是CD邊上的一點(diǎn)（點(diǎn)G不與點(diǎn)C，點(diǎn)D重合），以CG為一邊向正方形ABCD外做正方形GCEF，聯(lián)結(jié)DE交BG的延長線于點(diǎn)H．（1）求證：BH⊥DE；（2）若正方形ABCD的邊長為1，當(dāng)點(diǎn)H為DE中點(diǎn)時，求CG的長．【分析】（1）先由四邊形ABCD和CGFE是正方形求證△DCE≌△BCG，再得出BG⊥DE．（2）連接BD，解題關(guān)鍵是利用垂直平分線的性質(zhì)得出BD＝BE，從而找到BD＝，CE＝BE﹣BC＝﹣1，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求解即可．【解答】（1）證明：∵正方形ABCD，∴∠BCD＝90°，BC＝CD，同理：CG＝CE，∠GCE＝90°，∴∠BCD＝∠GCE＝90°，，∴△BCG≌△DCE（SAS），∴∠GBC＝∠CDE，在Rt△DCE中∠CDE+∠CED＝90°，∴∠GBC+∠BEH＝90°，∴∠BHE＝180°﹣（∠GBC+∠BEH）＝90°，∴BH⊥DE；（2）連接BD，∵點(diǎn)H為DE中點(diǎn)，BH⊥DE，∴BH為DE的垂直平分線，∴BE＝BD，∵BC＝CD＝1，∴BD＝＝，∴BE＝BD＝，∵CE＝BE﹣BC＝﹣1，∴CG＝CE＝﹣1．【點(diǎn)評】此題主要考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和線段的垂直平分線的性質(zhì)等幾何知識．線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個端點(diǎn)的距離相等．特殊圖形的特殊性質(zhì)要熟練掌握．48．（2022春?浦東新區(qū)校級期中）如圖，已知正方形ABCD，邊長AB＝6，E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊BC上，且BF＝2FC，點(diǎn)P在線段CD上，連接PE、EF、PF．（1）若△PEF為等腰三角形，求PC的長度；（2）若EF平分∠BEP，求PC的長度．【分析】（1）根據(jù)矩形性質(zhì)可得EF＝5，設(shè)PC＝x，所以PF＝，過點(diǎn)P作PG⊥AB于點(diǎn)G，得矩形ADPG，若△PEF為等腰三角形分3種情況：①EF＝PF，②EF＝PE，③PE＝PF，然后利用勾股定理即可解決問題；（2）過點(diǎn)F作FH⊥PE于點(diǎn)H，證明Rt△BEF≌Rt△HEF（HL），可得BF＝HF＝4，設(shè)PC＝x，然后利用勾股定理即可解決問題．【解答】解：（1）正方形ABCD中，∵AB＝6，E是AB的中點(diǎn)，∴AE＝BE＝3，∵BF＝2FC，∴BF＝4，F(xiàn)C＝2，∴EF＝＝5，設(shè)PC＝x，∴PF＝＝，如圖，過點(diǎn)P作PG⊥AB于點(diǎn)G，得矩形ADPG，∴AG＝DP＝DC﹣PC＝6﹣x，∴GE＝AE﹣AG＝3﹣（6﹣x）＝x﹣3，∴PE＝＝，∵△PEF為等腰三角形，∴分3種情況：①EF＝PF，∴5＝，解得x＝（負(fù)值舍去）；②EF＝PE，∴5＝，解得此方程無解；③PE＝PF，∴＝，解得x＝，＞6，點(diǎn)P在線段CD的延長線上，不符合題意，舍去．綜上所述：PC的長度為；（2）如圖，過點(diǎn)F作FH⊥PE于點(diǎn)H，∵EF平分∠BEP，∴EH＝BE＝3，在Rt△BEF和Rt△HEF中，∴Rt△BEF≌Rt△HEF（HL），∴BF＝HF＝4，設(shè)PC＝x，∴PF＝＝，∵AG＝DP＝DC﹣PC＝6﹣x，∴GE＝AE﹣AG＝3﹣（6﹣x）＝x﹣3，∴PE＝＝，∴HP＝PE﹣EH＝﹣3，在Rt△HPF中，根據(jù)勾股定理得：HP2+FH2＝PF2，∴（﹣3）2+42＝（）2，解得x＝．∴PC的長度為．【點(diǎn)評】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是分類討論思想的靈活運(yùn)用．一十九．直角梯形（共1小題）49．（2021春?浦東新區(qū)期末）直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，E點(diǎn)是CD邊上的中點(diǎn)，且滿足AB＝AD+BC，BE＝3，則梯形的面積為9．【分析】連結(jié)AE，過E作EF∥BC交AB于點(diǎn)F，求出AB的值，然后求出梯形的面積．【解答】解：如圖，連結(jié)AE，過E作EF∥BC交AB于點(diǎn)F，∵E為CD的中點(diǎn)，∴EF平分AB，EF是梯形ABCD的中位線，故EF＝（AD+BC），又∵BC⊥AB，∴EF是AB的垂直平分線，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得：AE＝BE＝3，∵AB＝AD+BC，EF＝（AD+BC）＝AB，∴△ABE是等腰直角三角形．由勾股定理得：AB＝＝＝3，即AD+BC＝3，S梯形ABCD＝（AD+BC）?AB＝（AD+BC）?（AD+BC）＝×3×3＝9，故答案為：9．【點(diǎn)評】本題主要考查了直角梯形，解答此題的關(guān)鍵是連結(jié)AE，過E作EF∥BC，利用梯形的中位線定理，垂直平分線證明△ABE是等腰直角三角形，再利用梯形的面積公式求解．二十．等腰梯形的性質(zhì)（共1小題）50．（2009春?上海期末）已知：如圖，梯形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，AD＝BC，AC⊥BC，BE⊥AB交AC的延長線于E，EF⊥AD交AD的延長線于F，下列結(jié)論：①BD∥EF；②∠AEF＝2∠BAC；③AD＝DF；④AC＝CE+EF．其中正確的結(jié)論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)已知利用等腰梯形的性質(zhì)對各個結(jié)論進(jìn)行分析從而得出最后的答案．【解答】解：根據(jù)四邊形ABCD是等腰梯形，可得出的條件有：AC＝BD，∠OAB＝∠OBA＝∠ODC＝∠OCD（可通過全等三角形ABD和BAC得出），OA＝OB，OC＝OD，∠ACB＝∠ADB＝90°（三角形ACB和BDA全等）．①要證BD∥EF就要得出∠ADB＝∠EFD，而∠ADB＝90°，∠EFD＝90°，因此∠ADB＝∠EFD，此結(jié)論成立；②由于BD∥EF，∠AEF＝∠AOD，而∠AOD＝∠OAB+∠OBA＝2∠OAB，因此∠AEF＝2∠OAB，此結(jié)論成立．③在直角三角形ABE中，∠OAB＝∠OBA，∠OAB+∠OEB＝∠OBA+∠OBE＝90°，因此可得出∠OEB＝∠OBE，因此OA＝OB＝OE，那么O就是直角三角形ABE斜邊AE的中點(diǎn)，由于OD∥EF，因此OD就是三角形AEF的中位線，那么D就是AF的中點(diǎn)，因此此結(jié)論也成立．④由③可知EF＝2OD＝2OC，而OA＝OE＝OC+CE．那么AC＝OA+OC＝OC+OC+CE＝2OC+CE＝EF+CE，因此此結(jié)論也成立．故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查了等腰梯形的性質(zhì)．根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)得出的角和邊相等是解題的基礎(chǔ)．二十一．等腰梯形的判定（共1小題）51．（2010春?靜安區(qū)期末）一組對邊平行，且對角線相等的四邊形是（）A．等腰梯形 B．矩形 C．正方形 D．等腰梯形或矩形【分析】畫出圖形，得出兩種情況：①當(dāng)AD＝BC時，②當(dāng)AD≠BC時，再根據(jù)等腰梯形和矩形的判定判斷即可．【解答】解：分為兩種情況：如圖，當(dāng)AD∥BC，AC＝BD，①當(dāng)AD＝BC時，四邊形ABCD是矩形；②當(dāng)AD≠BC時，四邊形ABCD是等腰梯形．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了對等腰梯形和矩形的判定的理解和運(yùn)用，注意：對角線相等的梯形是等腰梯形，對角線相等的平行四邊形是矩形，題型較好，但是一道比較容易出錯的題目．二十二．*平面向量（共1小題）52．（2013春?長寧區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（2，0）、（﹣1，3）、（﹣2，﹣2）．（1）在圖中作向量；（2）在圖中作向量；（3）填空：＝．【分析】（1）根據(jù)平行四邊形法則，即可畫出向量；（2）根據(jù)平行四邊形法則，即可畫出向量；（3）根據(jù)平行四邊形法則，首先求得與的和，然后求得結(jié)果．【解答】解：（1）如圖：（2）如圖：（3）＝+＝．故答案為：．【點(diǎn)評】此題考查了平面向量的知識．解題的關(guān)鍵是注意平行四邊形法則的應(yīng)用．二十三．隨機(jī)事件（共3小題）53．（2022春?奉賢區(qū)校級期末）在圓、等腰三角形、平行四邊形、正方形中任選兩個圖形，那么下列事件中為不可能事件的是（）A．這兩個圖形都是中心對稱圖形 B．這兩個圖形都不是中心對稱圖形 C．這兩個圖形都是軸對稱圖形 D．這兩個圖形都是既為軸對稱圖形又為中心對稱圖形【分析】根據(jù)等腰三角形，正方形，平行四邊形的性質(zhì)，隨機(jī)事件，必然事件，不可能事件的特點(diǎn)，逐一判斷即可解答．【解答】解：圓和正方形既為軸對稱圖形又為中心對稱圖形，等腰三角形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，平行四邊形是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，A、這兩個圖形都是中心對稱圖形，是隨機(jī)事件，故A不符合題意；B、這兩個圖形都不是中心對稱圖形，是不可能事件，故B符合題意；C、這兩個圖形都是軸對稱圖形，是隨機(jī)事件，故C不符合題意；D、這兩個圖形都是既為軸對稱圖形又為中心對稱圖形，是隨機(jī)事件，故D不符合題意；故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了隨機(jī)事件，等腰三角形，正方形，平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握隨機(jī)事件，必然事件，不可能事件的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．54．（2022春?浦東新區(qū)校級期末）在下列事件中，確定事件共有（）①買一張體育彩票，中大獎；②拋擲一枚硬幣，落地后正面朝上；③在共裝有2只紅球、3只黃球的袋子里，摸出一只白球；④初二（3）班共有