五一特訓(xùn)突破解三角形課件

解三角形專題一．解答題（共50小題）1．（2022秋?麗水月考）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知sin（A+C）＝2﹣2cosB．（1）求tanB的值；（2）若△ABC的面積為2，求△ABC周長L的最小值．2．（2022秋?紹興月考）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知．（1）求；（2）若邊上的中線，求△ABC的面積．3．（2022?鎮(zhèn)海區(qū)校級(jí)模擬）設(shè)△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，函數(shù)f（x）＝2sin（x﹣A）cosx+sinA．（1）若f（0）＝﹣，a＝3，b＝1，求△ABC的面積；（2）當(dāng)x＝時(shí)，f（x）取最大值，求f（x）在上的值域．4．（2022秋?寧波月考）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，．（1）求的值；（2）若，求cosA．5．（2022秋?杭州期中）銳角△ABC中，已知．（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）若a＝2，求△ABC的面積S的取值范圍．6．（2022?溫州開學(xué)）銳角△ABC中，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，c＝a（2cosB+1）．（Ⅰ）求證：B＝2A；（Ⅱ）求的取值范圍．7．（2022秋?大理市校級(jí)期中）在△ABC中a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊．．（1）求角B的大??；（2）若，b＝2，求△ABC的面積．8．（2022秋?溫州月考）記銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．（1）求證：B＝C；（2）若asinC＝1，求的最大值．9．（2022?江蘇三模）在△ABC中，已知．（1）求sinA的值；（2）若AD是∠BAC的角平分線，求AD的長．10．（2022秋?朝陽區(qū)校級(jí)期中）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c．已知．（1）求A；（2）若，求b+c的取值范圍．11．（2022秋?湖南月考）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C滿足2a2+b2＝2c2且B≠90°．（1）求證：tanC＝3tanA；（2）求的最小值．12．（2021秋?駐馬店月考）已知在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是：a，b，c，b2+c2﹣a2＝c（acosC+ccosA）．（1）求角A；（2）若△ABC為銳角三角形，且a＝3，求△ABC的周長的取值范圍．13．（2022秋?浙江月考）如圖，在△ABC中，D為AC的中點(diǎn)，且∠ABC+∠DBC＝π．（1）證明：BA＝2BD；（2）若AC＝3BC＝3，求sin∠BDC．14．（2022?棗莊模擬）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．求：（1）A；（2）的取值范圍．15．（2022春?荔灣區(qū)校級(jí)期中）銳角△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊，分別為a，b，c，且．（1）求角C的大??；（2）若邊c＝2，邊AB的中點(diǎn)為D，求中線CD長的取值范圍．16．（2022春?山西月考）已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且c（1﹣cosA）＝acosC+2bcosA．（1）證明：A＝2B；（2）若c＝4，且△ABC為銳角三角形，求△ABC周長的取值范圍．17．（2022春?溫嶺市校級(jí)月考）在銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，面積為S，且滿足4cS＝（2a﹣c）（a2+c2﹣b2）tanC．（1）求B；（2）求cos2A+cos2B+cos2C的取值范圍．18．（2022?浙江開學(xué)）已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，a＝1，且（1+b）（sinA﹣sinB）＝（c﹣b）sinC．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）求△ABC面積的最大值．19．（2022秋?浙江月考）已知△ABC的內(nèi)的A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．（1）求B；（2）在①重心，②內(nèi)心，③外心這三個(gè)條件中選擇一個(gè)補(bǔ)充在下面問題中，并解決問題．若a＝5，c＝3，O為△ABC的_____，求△OAC的面積．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．20．（2022?嵊州市模擬）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且．（Ⅰ）求角C的大??；（Ⅱ）若D是AB邊上一點(diǎn)，且AD＝2DB，若CD＝2，求△ABC面積的最大值．21．（2019秋?武昌區(qū)校級(jí)期中）在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別是a，b，c，已知，且sinA＝，角C為銳角．（1）求角C的大小；（2）若c＝，且△ABC的面積為，求a2+b2．22．（2022秋?常德月考）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足ab+a2＝c2．（1）求證：C＝2A；（2）求的取值范圍．23．（2022秋?湖北月考）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sin2B﹣cosA＝cos（A+2B）．（1）若A＝，求C；（2）若b2≠a2+c2，求的最小值．24．（2022秋?嶗山區(qū)校級(jí)月考）如圖，在四邊形ABCD中，CD＝6，BC＝2，cos∠CBD＝﹣．（1）求∠BDC；（2）若∠A＝，S△ABD＝16，求△ABD的周長．25．（2022秋?岳陽月考）已知△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且＝b﹣a．（1）求C；（2）若△ABC為銳角三角形，且a＝4，求△ABC面積S的取值范圍．26．（2022秋?棲霞市校級(jí)月考）在銳角△ABC三角形中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且A，B，C成等差數(shù)列．（1）若a＝2，b＝3，求sinC；（2）若A為△ABC的最大內(nèi)角，求sinA+sinC的取值范圍．27．（2022秋?璧山區(qū)校級(jí)月考）已知銳角△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，sinA＝cosC（sinB+cosB）．（1）求C的值；（2）若c＝，求△ABC面積S的最大值．28．（2022秋?廣州月考）在△ABC中，記角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知．（1）求角B；（2）已知點(diǎn)D在AC邊上，且AD＝2DC，BC＝6，，求△ABC的面積．29．（2022秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）在銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知asin＝bsinA，b＝2．（1）求角B的大??；（2）求2a﹣c的取值范圍．30．（2022秋?普寧市校級(jí)月考）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．（1）求角B；（2）若△ABC為銳角三角形，且a＝2c，，求△ABC的面積．31．（2022秋?襄州區(qū)月考）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且a2+2c2＝2b2．（1）證明：sinBcosC＝3sinCcosB；（2）求B﹣C最大值．32．（2022?淮北一模）在△ABC中，已知sinAsinB+cos2A＝sin2B+cos2C，D是AB的中點(diǎn)．（Ⅰ）求角C的大?。唬á颍┤鬉B＝2，CD＝，求△ABC的面積．33．（2022?蒸湘區(qū)校級(jí)開學(xué)）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，點(diǎn)D是AC上一點(diǎn)．（1）若BD為∠ABC的角平分線，求CD的長；（2）若，求sin∠DBC的值．34．（2022春?大祥區(qū)校級(jí)期末）△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)邊的長分別為a、b、c，已知a＝ccosB+bsinC．（1）求C的大??；（2）若△ABC為銳角三角形且c＝，求a2+b2的取值范圍．35．（2022春?沈陽月考）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．（1）求A角的值；（2）若△ABC為銳角三角形，利用（1）所求的A角值求的取值范圍．36．（2022春?鄂州期末）在△ABC中，已知角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且2ccosA+2acosC＝b+2asinB．（1）求角A；（2）若△ABC的面積為，求a的最小值．37．（2022春?鐵西區(qū)校級(jí)期末）請?jiān)冖伲╞sinC+csinB）＝4asinCsinB，②bsinA﹣acosAcosC＝ccos2A，③sinC+cosC＝這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中的橫線上，并求解該問題．已知銳角△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，c＝4，且______．（1）求角A的大??；（2）求邊b的取值范圍．38．（2022?鞍山開學(xué)）△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且bc＝a2﹣c2．（1）若，且，求△ABC的面積；（2）求cosA+sinC的最大值．39．（2022春?公安縣校級(jí)月考）已知銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足.（1）求角C的大小；（2）若邊長，求△ABC的周長取值范圍．40．（2022春?開福區(qū)校級(jí)月考）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知a≠b，且．（1）求角C的大??；（2）若b＝3，點(diǎn)D為AB邊的中點(diǎn)，CD＝，求sinA的值．41．（2022春?蘇州期末）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，滿足．（1）求角C；（2）CD是∠ACB的角平分線，若的面積為，求c的值．42．（2022春?襄陽月考）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a2﹣c2＝2b（bcosB+acosC）．（1）求角B；（2）若，求△ABC的面積．43．（2022?新高考Ⅰ）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知＝．（1）若C＝，求B；（2）求的最小值．44．（2022春?岳麓區(qū)校級(jí)月考）在△ABC中，已知sin2A﹣sin2B＝sinC（sinB+sinC）．（1）求角A的值；（2）設(shè)∠BAC的平分線交BC邊于D，若AD＝1，BC＝，求△ABC的面積．45．（2022春?宜昌期中）在銳角△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且且b＝5．（1）求角B的大??；（2）求的取值范圍．46．（2022春?湖北期中）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且sinAsin2A＝（1﹣cosA）（1﹣cos2A）．（1）求角A；（2）若△ABC的面積，求cosC．47．（2022?淄博模擬）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，滿足（tanA﹣sinC）（tanB﹣sinC）＝sin2C．（1）求證：c2＝ab；（2）若a+b＝3，求的最小值．48．（2022春?湖北期中）已知△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，且（2a﹣b）cosC＝ccosB．（1）求角C；（2）若a＝2，b＝3，CD為角C的平分線，求CD的長；（3）若acosB+bcosA＝4，求銳角△ABC面積的取值范圍．49．（2022?武漢模擬）如圖，△ABC內(nèi)一點(diǎn)P滿足PB⊥PC，AC＝BP＝2．（1）若AB＝，PC＝，求sin∠ACP的值；（2）若AB＝，sin∠ACP＝，求AP的長．50．（2022?南京開學(xué)）在①bsin＝csinB，②（ccosA﹣b）＝﹣asinC，③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并解答問題．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足_______．（1）求角C的大小；（2）若△ABC的面積為4，BC的中點(diǎn)為D，求AD長的最小值．

解三角形專題參考答案與試題解析一．解答題（共50小題）1．（2022秋?麗水月考）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知sin（A+C）＝2﹣2cosB．（1）求tanB的值；（2）若△ABC的面積為2，求△ABC周長L的最小值．【答案】（1）；（2）．【解答】解：（1）由sin（A+C）＝2﹣2cosB得，，因?yàn)椋獾茫裕?）由，可知，．由△ABC的面積為2，得，故ac＝5．所以，即．（等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)a＝c）又（等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)a＝c），所以．故△ABC周長（等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)）．因此△ABC周長L的最小值為．2．（2022秋?紹興月考）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知．（1）求；（2）若邊上的中線，求△ABC的面積．【答案】（1）；（2）．【解答】解：（1）由得，故sin（B+C）＝2sinB，所以，由正弦定理可得；（2）在△BCE中由余弦定理得BE2＝BC2+CE2﹣2BC?CE?cosC，即，因?yàn)閍＝2b，解得b＝2，a＝4，又C∈（0，π），所以，所以△ABC的面積．3．（2022?鎮(zhèn)海區(qū)校級(jí)模擬）設(shè)△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，函數(shù)f（x）＝2sin（x﹣A）cosx+sinA．（1）若f（0）＝﹣，a＝3，b＝1，求△ABC的面積；（2）當(dāng)x＝時(shí)，f（x）取最大值，求f（x）在上的值域．【答案】（1）或；（2）（﹣，1]．【解答】解：（1）因?yàn)閒（x）＝2sin（x﹣A）cosx+sinA，所以f（0）＝﹣2sinA+sinA＝﹣sinA＝﹣，所以sinA＝，由A為三角形內(nèi)角可得A＝或，當(dāng)A＝時(shí)，由正弦定理可得sinB＝＝＝，所以cosB＝，所以sinC＝sin（A+B）＝sinBcosA+sinAcosB＝＝×，此時(shí)△ABC的面積S＝absinC＝×＝；當(dāng)A＝時(shí)，由正弦定理可得sinB＝＝＝，所以cosB＝，所以sinC＝sin（A+B）＝sinBcosA+sinAcosB＝此時(shí)△ABC的面積S＝absinC＝＝；（2）因?yàn)閒（x）＝2sin（x﹣A）cosx+sinA＝2sin（x﹣A）cosx+sin[x﹣（x﹣A）]＝2sin（x﹣A）cosx+sinxcos（x﹣A）﹣sin（x﹣A）cosx＝sin（x﹣A）cosx+sinxcos（x﹣A）＝sin（2x﹣A），當(dāng)x＝時(shí)，f（x）取最大值，所以2×﹣A＝，k∈Z，所以A＝﹣2k，k∈Z，由A為三角形內(nèi)角得A＝，f（x）＝sin（2x﹣），由x∈可得，所以，即函數(shù)的值域?yàn)椋ī仯?]．4．（2022秋?寧波月考）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，．（1）求的值；（2）若，求cosA．【答案】（1）2．（2）．【解答】解：（1）△ABC中，因?yàn)椋Y(jié)合余弦定理，得＝4×，化簡可得a2+b2＝2c2，所以．（2）由＝，可得，即，即a2+c2＝3b2，又a2+b2＝2c2，所以，，所以．5．（2022秋?杭州期中）銳角△ABC中，已知．（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）若a＝2，求△ABC的面積S的取值范圍．【答案】（I）．（Ⅱ）．【解答】解：（Ⅰ）∵＝＝＝，又∵B∈（0，π），∴．（Ⅱ）＝＝＝＝＝，∵△ABC為銳角三角形，∴，解得，∴，∴．6．（2022?溫州開學(xué)）銳角△ABC中，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，c＝a（2cosB+1）．（Ⅰ）求證：B＝2A；（Ⅱ）求的取值范圍．【答案】（I）證明詳見解析．（II）（，）．【解答】證明：（I）∵c＝a（2cosB+1），∴由正弦定理可得，sinC＝sinA（2cosB+1），∴sinC＝sin（A+B）＝2sinAcosB+sinA，即sin（B﹣A）＝sinA，解得B＝2A或B＝π（舍去），∴B＝2A．（II）在銳角△ABC中，B，∵，又∵，∴，即A＞，∴，由正弦定理可得，＝，∴，即，綜上所述，的取值范圍為（，）．7．（2022秋?大理市校級(jí)期中）在△ABC中a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊．．（1）求角B的大??；（2）若，b＝2，求△ABC的面積．【答案】（1）．（2）．【解答】解：（1）∵，∴由正弦定理可得，，∵B，C∈（0，π），則sinC＞0且，∴，即，∴，即，∴．（2）∵，，∴sinAsinC＝sin2B，∴ac＝b2＝4，故．8．（2022秋?溫州月考）記銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．（1）求證：B＝C；（2）若asinC＝1，求的最大值．【答案】（1）詳見解答過程；（2）．【解答】（1）證明：因?yàn)?，所以sinAcosBcosC﹣sinBcosAcosC＝sinAcosCcosB﹣sinCcosAcosB，整理得sinBcosAcosC＝sinCcosAcosB，因?yàn)锳為銳角，cosA＞0，故sinBcosC﹣sinCcosB＝sin（B﹣C）＝0，由B，C為銳角可得B＝C；（2）解：由（1）得b＝c，因?yàn)閍sinC＝1，且asinC＝csinA＝bsinA＝asinB＝1，所以a＝，b＝，＝sin2A+sin2B＝sin2B+sin2（B+C）＝sin2B+sin22B＝+sin22B＝﹣cos22B﹣cos2B+（*），因?yàn)椋裕?＜cos2B＜0，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)cos2B＝﹣時(shí)，（*）取得最大值．9．（2022?江蘇三模）在△ABC中，已知．（1）求sinA的值；（2）若AD是∠BAC的角平分線，求AD的長．【答案】（1）；（2）．【解答】解：（1）△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2+BC2﹣2AB?BCcosB，即25＝16+BC2﹣2×，整理得7BC2﹣40BC﹣63＝0，解得BC＝7（舍負(fù)），由B為三角形內(nèi)角得sinB＝＝＝，由正弦定理得sinA＝＝＝；（2）設(shè)∠BAD＝θ，AD＝x，則S△ABC＝S△ABD+S△ADC，所以＝，整理得x＝＝，△ABC中，由余弦定理得cosA＝＝，由于cosA＝cos2θ＝2cos2θ﹣1，所以cosθ＝，則AD＝．10．（2022秋?朝陽區(qū)校級(jí)期中）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c．已知．（1）求A；（2）若，求b+c的取值范圍．【答案】（1）（2）．【解答】解：（1）在△ABC中，已知，整理得：2acosA＝ccosB+bcosC；利用正弦定理整理得：2sinAcosA＝sinCcosB+sinBcosC＝sin（B+C）＝sinA，由于0＜A＜π，所以sinA≠0，故cosA＝，解得A＝．（2）由（1）的2R＝，所以b+c＝2sinB+2sinC＝＝＝＝，由于，所以，故，所以．故b+c的取值范圍為．11．（2022秋?湖南月考）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C滿足2a2+b2＝2c2且B≠90°．（1）求證：tanC＝3tanA；（2）求的最小值．【答案】（1）詳見解答過程；（2）．【解答】（1）證明：因?yàn)?a2+b2＝2c2且B≠90°，所以2（c﹣a）（c+a）＝b2，由正弦定理可得2（sinC﹣sinA）（sinC+sinA）＝sin2B＝sin2（A+C），所以8（sin?cos）（cos?sin）＝sin2（A+C），即2sin（C﹣A）sin（C+A）＝sin2（A+C），因?yàn)閟in（A+C）＞0，故2sin（C﹣A）＝sin（C+A），所以2sinCcosA﹣2sinAcosC＝sinCcosA+sinAcosC，整理得tanC＝3tanA；（2）解：設(shè)tanA＝t，則tanC＝3t，由（1）得tanB＝﹣tan（A+C）＝＝，＝＝（t），當(dāng)且僅當(dāng)t＝時(shí)取等號(hào)，所求最小值為．12．（2021秋?駐馬店月考）已知在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是：a，b，c，b2+c2﹣a2＝c（acosC+ccosA）．（1）求角A；（2）若△ABC為銳角三角形，且a＝3，求△ABC的周長的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【解答】解：（1）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是：a，b，c，b2+c2﹣a2＝c（acosC+ccosA），由余弦定理得：b2+c2﹣a2＝2bccosA，所以2bccosA＝accosC+c2cosA，由于c＞0，所以2bcosA＝acosC+ccosA，由正弦定理得：2sinBcosA＝sinAcosC+sinCcosA＝sin（A+C）＝sinB，由于sinB＞0，所以cosA＝，由于A∈（0，π），故A＝．（2）由正弦定理，整理得b＝，c＝2，則b+c＝＝6．由于△ABC為銳角三角形，故，整理得，所以，故．所以a+b+c＝3+6sin（B+）；故△ABC的周長的取值范圍為．13．（2022秋?浙江月考）如圖，在△ABC中，D為AC的中點(diǎn)，且∠ABC+∠DBC＝π．（1）證明：BA＝2BD；（2）若AC＝3BC＝3，求sin∠BDC．【答案】（1）詳見解答過程；（2）．【解答】（1）證明：△ABC中，D為AC的中點(diǎn)，所以S△ABC＝2S△BDC，則＝BD?BCsin∠DBC，所以AB?sin∠ABC＝2BD?sin∠DBC，又因?yàn)椤螦BC+∠DBC＝π，所以∠ABC＝∠DBC，則BA＝2BD；（2）設(shè)BD＝x，則AB＝2x，因?yàn)锳C＝3BC＝3，△BCD中，由余弦定理得x2＝BC2+CD2﹣2BC?CDcos∠BCD，則，△ABC中，由余弦定理得4x2＝BC2+AC2﹣2BC?ACcos∠BCA，即4x2＝10﹣6cos∠BCD，解得cos∠BCD＝，BD＝x＝，又因?yàn)椋?，即＝，所以sin∠BDC＝．14．（2022?棗莊模擬）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．求：（1）A；（2）的取值范圍．【答案】（1）A＝；（2）（﹣，1）．【解答】解：（1）因?yàn)椋詓inBcos＝sinAsinB，因?yàn)閟inB＞0，所以cos＝sinA＝2sincos，由A為三角形內(nèi)角得cos＞0，所以sin＝，由A為三角形內(nèi)角得A＝；（2）由題意得0＜B＜，所以0＜，0＜tan＜，正弦定理得＝＝＝＝×﹣＝﹣＝．故的取值范圍為（﹣，1）．15．（2022春?荔灣區(qū)校級(jí)期中）銳角△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊，分別為a，b，c，且．（1）求角C的大小；（2）若邊c＝2，邊AB的中點(diǎn)為D，求中線CD長的取值范圍．【答案】（1）C＝45°；（2）（，1+]．【解答】解：（1）因?yàn)?，因正弦定理得，＝＝＝＝，因?yàn)锳，B為銳角，所以sinA＞0，cosB＞0，所以sinC＝cosC，即tanC＝1，由C為三角形內(nèi)角，得C＝45°；（2）由余弦定理得，c2＝＝4，又＝（+），兩邊同時(shí)平方得，＝（++2?）＝（a2+b2+）＝（4+2）＝1+ab，由正弦定理得，＝＝＝＝2，所以ab＝8sinAsinB＝8sinBsin（）＝8sinB（）＝4sinBcosB+4sin2B＝2sin2B+4＝4sin（2B﹣）+2，由題意得，，解得，所以＜2B﹣，sin（2B﹣）∈（，1]，所以ab∈（4，4+2]，||2∈（5，3+2]，所以CD的取值范圍（，1+]．16．（2022春?山西月考）已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且c（1﹣cosA）＝acosC+2bcosA．（1）證明：A＝2B；（2）若c＝4，且△ABC為銳角三角形，求△ABC周長的取值范圍．【答案】（1）詳見解答過程；（2）（6+2，8+4）．【解答】（1）證明：因?yàn)閏（1﹣cosA）＝acosC+2bcosA，由正弦定理得，sinC（1﹣cosA）＝sinAcosC+2sinBcosA，即sinC＝sin（A+C）+2sinBcosA＝sin（A+B）＝sinAcosB+sinBcosA，所以sinB＝sinAcosB﹣sinBcosA＝sin（A﹣B），所以B＝A﹣B，所以A＝2B；（2）解：由（1）得C＝180°﹣A﹣B＝180°﹣3B，由題意得，，所以30°＜B＜45°，所以，由正弦定理得，b＝＝＝＝＝，a＝＝＝2bcosB，所以a+b＝2bcosB+b＝?（1+2cosB）＝∈（2+2，4+4），所以a+b+c∈（6+2，8+4）．17．（2022春?溫嶺市校級(jí)月考）在銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，面積為S，且滿足4cS＝（2a﹣c）（a2+c2﹣b2）tanC．（1）求B；（2）求cos2A+cos2B+cos2C的取值范圍．【答案】（1）；（2）[，1）．【解答】解：（1）因?yàn)?cS＝（2a﹣c）（a2+c2﹣b2）tanC，所以4c×＝（2a﹣c）?2accosB?，因?yàn)閟inC＞0，所以bcosC＝（2a﹣c）cosB，即bcosC+ccosB＝2acosB，由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB＝2sinAcosB，所以sin（B+C）＝2sinAcosB＝sinA，由sinA＞0得cosB＝，由B為三角形內(nèi)角得B＝；（2）cos2A+cos2B+cos2C＝＝+cos2A+cos（）＝（）＝，由題意得，解得，所以2A，所以．故cos2A+cos2B+cos2C的取值范圍為[，1）．18．（2022?浙江開學(xué)）已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，a＝1，且（1+b）（sinA﹣sinB）＝（c﹣b）sinC．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）求△ABC面積的最大值．【答案】（I）．（II）．【解答】解：（I）∵a＝1，且（1+b）（sinA﹣sinB）＝（c﹣b）sinC，∴由正弦定理可得，（a+b）（a﹣b）＝（c﹣b）c，化簡整理可得，a2＝b2+c2﹣bc，∴，∵A∈（0，π），∴．（II）由（I）可知，b2+c2﹣bc＝1，則1＝b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc＝bc，即bc≤1，當(dāng)且僅當(dāng)b＝c＝1時(shí)，等號(hào)成立，故＝．19．（2022秋?浙江月考）已知△ABC的內(nèi)的A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．（1）求B；（2）在①重心，②內(nèi)心，③外心這三個(gè)條件中選擇一個(gè)補(bǔ)充在下面問題中，并解決問題．若a＝5，c＝3，O為△ABC的_____，求△OAC的面積．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】（1），（2）若選①，；若選②，；若選③，．【解答】解：（1）∵，∴，則，即，∵sinA≠0，∴，即有，∵，∴．（2）若選①O為△ABC的重心，連接BO并延長AC邊于點(diǎn)D，因?yàn)镺為△ABC的重心，所以，D為AC的中點(diǎn)，且OD＝BD，所以點(diǎn)O到AC的距離等于點(diǎn)B到AC的距離的，所以，S△OAC＝S△ABC＝acsinB＝；若選②O為△ABC的內(nèi)心，設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，則有，則有，此時(shí)S△OAC＝＝；若選③O為△ABC的外心，∵b2＝a2+c2﹣2accosB＝49，∴b＝7，設(shè)外接圓半徑為R，則，解得，如圖，，此時(shí)，．20．（2022?嵊州市模擬）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且．（Ⅰ）求角C的大??；（Ⅱ）若D是AB邊上一點(diǎn)，且AD＝2DB，若CD＝2，求△ABC面積的最大值．【答案】（I）；（II）．【解答】解：（I）因?yàn)?，所以，又因?yàn)閟inA＝sin（B+C）＝sinBcosC+cosBsinC，所以，而B∈（0，π）sinB≠0，所以，即，又因?yàn)?＜C＜π，所以，故，解得；（II）延長CD至E，使得，因?yàn)锳D＝2DB，所以AE|CB，且AE＝2CB＝2a，，由于CE2＝AC2+AE2﹣2AC?AE?cos∠CAE，所以b2+4a2+2ab＝36，因?yàn)閎2+4a2≥4ab，所以6ab≤b2+4a2+2ab＝36，解得ab≤6，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“＝”，所以△ABC的面積為，當(dāng)且僅當(dāng)b＝2a時(shí)，△ABC的面積有最大值為．21．（2019秋?武昌區(qū)校級(jí)期中）在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別是a，b，c，已知，且sinA＝，角C為銳角．（1）求角C的大??；（2）若c＝，且△ABC的面積為，求a2+b2．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）由，由正弦定理可得：＝，化為sinBcosA﹣2cosCsinB＝2sinCcosB﹣sinAcosB．∴sinC＝sin（A+B）＝2sin（B+C）＝2sinA＝．∵角C為銳角．∴．（2）∵△ABC的面積為，∴，∴ab＝6．∵c＝，∴7＝c2＝a2+b2﹣2abcosC＝a2+b2﹣6，∴a2+b2＝13．22．（2022秋?常德月考）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足ab+a2＝c2．（1）求證：C＝2A；（2）求的取值范圍．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解答】（1）證明：在△ABC中，由余弦定理得到：ab+a2＝c2＝a2+b2﹣2abcosC，又b＞0，所以a＝b﹣2acosC．由正弦定理得到sinA＝sinB﹣2sinAcosC，又B＝π﹣（A+C），則sinB＝sinAcosC+cosAsinC，故sinA＝sin（A+C）﹣2sinAcosC＝sinAcosC+cosAsinC﹣2sinAcosC＝cosAsinC﹣sinAcosC＝sin（C﹣A），因?yàn)锳，C∈（0，π），則C﹣A∈（﹣π，π），所以C﹣A＝A或C﹣A＝π﹣A（舍去），所以C＝2A；（2）由（1）C＝2A得A+C＝3A∈（0，π），所以，，由（1）b＝a（1+2cosC），C＝2A，得＝，令cosA＝t，，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，g'（t）＜0，g（t）單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，g'（t）＞0，g（t）單調(diào)遞增，則，當(dāng)時(shí)，g（t）＝8，當(dāng)t＝1時(shí)，g（t）＝7，所以取值范圍是．23．（2022秋?湖北月考）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sin2B﹣cosA＝cos（A+2B）．（1）若A＝，求C；（2）若b2≠a2+c2，求的最小值．【答案】（1）或．（2）．【解答】解：（1）因?yàn)锳＝，sin2B﹣cosA＝cos（A+2B），所以，整理得，可得，因?yàn)?，所以或，解得或，可得或．?）由sin2B﹣cosA＝cos（A+2B），得sin2B+cos（B+C）＝cos（π﹣C+B）＝﹣cos（B﹣C），可得sin2B+cosBcosC﹣sinBsinC＝﹣cosBcosC﹣sinBsinC，則2sinBcosB＝﹣2cosBcosC，又因?yàn)閎2≠a2+c2，所以，則sinB＝﹣cosC＞0，因此，且sinC＝cosB，可得sinA＝sin（B+C）＝﹣sin2B+cos2B＝cos2B，可得＝，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最小值．24．（2022秋?嶗山區(qū)校級(jí)月考）如圖，在四邊形ABCD中，CD＝6，BC＝2，cos∠CBD＝﹣．（1）求∠BDC；（2）若∠A＝，S△ABD＝16，求△ABD的周長．【答案】（1）．（2）24．【解答】解：（1）cos∠CBD＝﹣，則sin∠CBD＝＝，∵，∴＝，∵∠CBD為鈍角，∴∠BDC為銳角，∴．（2）由余弦定理可知，CD2＝BC2+BD2﹣2BC?BD?cos∠CBD，則，化簡整理可得，BD2+2BD﹣80＝0，解得BD＝8，∵∠A＝，S△ABD＝16，∴，解得AB?AD＝64，∵＝，化簡整理可得，AB2+AD2＝128，∴（AB+AD）2＝AB2+AD2+2AB?AD＝256，即AB+AD＝16，∴△ABD的周長AB+AD+BD＝8+16＝24．25．（2022秋?岳陽月考）已知△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且＝b﹣a．（1）求C；（2）若△ABC為銳角三角形，且a＝4，求△ABC面積S的取值范圍．【答案】（1）C＝．（2）（2，8）．【解答】解：（1）由＝b﹣a．結(jié)合正弦定理得﹣＝b﹣a，得b2﹣c2＝ab﹣a2，整理得b2+a2﹣c2＝ab，所以cosC＝＝，又C∈（0，π），可得C＝．（2）因?yàn)椋剑剑桑?）知，S△ABC＝×absinC＝×4b×＝b，由正弦定理可得b＝＝＝＝+2，由△ABC為銳角三角形可知，得＜A＜，故tanA＞，可得2＜b＜8，故△ABC面積的取值范圍為（2，8）．26．（2022秋?棲霞市校級(jí)月考）在銳角△ABC三角形中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且A，B，C成等差數(shù)列．（1）若a＝2，b＝3，求sinC；（2）若A為△ABC的最大內(nèi)角，求sinA+sinC的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【解答】解：（1）A，B，C成等差數(shù)列，所以2B＝A+C，∴，∵，∴，；（2）∵，∴，∴令，∵，∴，∴，∴，∴．27．（2022秋?璧山區(qū)校級(jí)月考）已知銳角△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，sinA＝cosC（sinB+cosB）．（1）求C的值；（2）若c＝，求△ABC面積S的最大值．【答案】（1）C＝；（2）（，]．【解答】解：（1）由sinA＝cosC（sinB+cosB），得sin（B+C）＝cosCsinB+cosCcosB），即sinCcosB＝cosBcosC，因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，cosB≠0，所以tanC＝，∵0＜C＜π，C＝；（2）由c＝，C＝得＝＝＝2，得a＝2sinA，b＝2sinB，所以△ABC面積S＝absinC＝sinAsinB＝+sin（2A﹣），因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形且C＝，所以＜A＜，所以2A﹣∈（，），sin（2A﹣）∈（，1]，所以S∈（，]，∴△ABC面積S的取值范圍為（，]．28．（2022秋?廣州月考）在△ABC中，記角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知．（1）求角B；（2）已知點(diǎn)D在AC邊上，且AD＝2DC，BC＝6，，求△ABC的面積．【答案】（1），（2）9．【解答】解：（1）∵，∴由正弦定理得sinBcosC+sinBsinC﹣sinA﹣sinC＝0，∵sinA＝sin（B+C）＝sinBcosC+cosBsinC，∴sinBsinC＝sinC+cosBsinC，∵sinC≠0，∴sinB＝1+cosB，∴2sin（B﹣）＝1，∴0＜B＜π，B＝，（2）△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，點(diǎn)D在邊AC上，且AD＝2DC，∴AD＝b，CD＝b，∵∠ADB+∠CDB＝π，所以cos∠ADB+cos∠CDB＝0，在△ABD中，AD＝b，BD＝2，cos∠ADB＝＝，在△BDC中，CD＝b，BD＝2，cos∠CDB＝＝＝，所以+＝0，∴2b2﹣3c2+36＝0，又∵b2＝36+c2﹣6c，∴c2+12c﹣108＝0，解得c＝6或c＝﹣18（舍去），∴S△ABC＝×6×6×＝9，∴△ABC面積為9．29．（2022秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）在銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知asin＝bsinA，b＝2．（1）求角B的大?。唬?）求2a﹣c的取值范圍．【答案】（1），（2）（0，6）．【解答】解：（1）∵A+C＝π﹣B，asin＝bsinA，∴asin＝bsinA，∴acos＝bsinA，∴sinAcos＝sinBsinA，∴cos＝sinB＝2sincos，∴sin＝，∴B＝，（2）由正弦定理得＝＝＝＝4，∴2a﹣c＝8sinA﹣4sinC＝8sinA﹣4in（﹣A）＝8sinA﹣4（cosA+sinA）＝6sinA﹣2cosA＝4（sinA﹣cosA）＝4sin（A﹣），當(dāng)且僅當(dāng)＜A＜，sin（A﹣）∈（0，），∴2a﹣c∈（0，6）．30．（2022秋?普寧市校級(jí)月考）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．（1）求角B；（2）若△ABC為銳角三角形，且a＝2c，，求△ABC的面積．【答案】（1）或．（2）．【解答】解：（1）由已知及正弦定理得，∵0＜A＜π，∴sinA≠0，∴．又∵0＜B＜π，∴或．（2）∵△ABC為銳角三角形，∴．由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，得27＝4c2+c2﹣2c2，解得c＝3，∴a＝6．∴．31．（2022秋?襄州區(qū)月考）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且a2+2c2＝2b2．（1）證明：sinBcosC＝3sinCcosB；（2）求B﹣C最大值．【答案】（1）見證明過程．（2）．【解答】解：（1）證明：因?yàn)樵凇鰽BC中，由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2accosB，所以a2+2c2＝2（a2+c2﹣2accosB），所以a＝4ccosB，所以sinA＝4sinCcosB，所以sin（B+C）＝4sinCcosB，所以sinBcosC+sinCcosB＝4sinCcosB，所以sinBcosC＝3sinCcosB；（2）由（1）可知sinBcosC＝3sinCcosB，則tanB＝3tanC，故可得tanC＞0，tanB＞0，所以tan（B﹣C）＝＝＝，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，即B﹣C的最大值為．32．（2022?淮北一模）在△ABC中，已知sinAsinB+cos2A＝sin2B+cos2C，D是AB的中點(diǎn)．（Ⅰ）求角C的大?。唬á颍┤鬉B＝2，CD＝，求△ABC的面積．【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）2．【解答】解：（Ⅰ）因?yàn)閟inAsinB+cos2A＝sin2B+cos2C，所以sinAsinB+1﹣sin2A＝sin2B+1﹣sin2C，可得sinAsinB＝sin2B+sin2A﹣sin2C，由正弦定理可得ab＝b2+a2﹣c2，由余弦定理可得cosC＝＝＝，又C∈（0，π），所以C＝．（Ⅱ）因?yàn)閏＝AB＝2，CD＝，C＝，因?yàn)锳B2＝a2+b2﹣2abcosC，所以12＝（a+b）2﹣3ab，①又＝（+），兩邊平方，可得||2＝（||2+||2+2），所以28＝a2+b2+2abcosC＝a2+b2+ab＝（a+b）2﹣ab，②由②﹣①可得ab＝8，所以S△ABC＝absinC＝2．33．（2022?蒸湘區(qū)校級(jí)開學(xué)）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，點(diǎn)D是AC上一點(diǎn)．（1）若BD為∠ABC的角平分線，求CD的長；（2）若，求sin∠DBC的值．【答案】（1）．（2）．【解答】解：（1）過點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H，∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°，∵DH⊥AB，∴AH＝DH，設(shè)AH＝x，則DH＝x，∴，∵BD為∠ABC的角平分線，∴CD＝DH＝x，∴AD+CD＝+x＝4，解得，∴．（2）同（1）過點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H，由（1）可知AH＝DH，設(shè)AH＝a，則DH＝a，∵，∴BH＝5a，∴AB＝AH+BH＝6a，由勾股定理可知，AB＝，∴a＝，即AH＝DH＝，∴AD＝＝，∴CD＝ACAD＝，∵BD2＝BC2+CD2，∴BD＝，∴sin∠DBC＝＝．34．（2022春?大祥區(qū)校級(jí)期末）△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)邊的長分別為a、b、c，已知a＝ccosB+bsinC．（1）求C的大??；（2）若△ABC為銳角三角形且c＝，求a2+b2的取值范圍．【答案】（1）．（2）（5，6]．【解答】解：（1）由正弦定理及a＝ccosB+bsinC，得sinA＝sinCcosB+sinBsinC，因?yàn)閟inA＝sin（B+C）＝sinBcosC+cosBsinC，所以sinBcosC＝sinBsinC，又sinB≠0，所以tanC＝＝，因?yàn)镃∈（0，π），所以C＝．（2）∵A與B為銳角，且A+B＝π﹣C＝，即B＝﹣A，∴＜A＜，＜2A﹣＜，∵c＝，sinC＝，∴由正弦定理＝＝2，得：a＝2sinA，b＝2sinB，∴a2+b2＝4（sin2A+sin2B）＝4[sin2A+sin2（﹣A）]＝4+sin2A﹣cos2A＝4+2sin（2A﹣），∵＜2A﹣＜，∴＜sin（2A﹣）≤1，即5＜4+2sin（2A﹣）≤6，則a2+b2的范圍為（5，6]．35．（2022春?沈陽月考）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．（1）求A角的值；（2）若△ABC為銳角三角形，利用（1）所求的A角值求的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【解答】解：（1）由于，整理得，故，由于0＜A＜π；所以A＝；（2）△ABC為銳角三角形，故；利用正弦定理＝＝；所以；即．36．（2022春?鄂州期末）在△ABC中，已知角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且2ccosA+2acosC＝b+2asinB．（1）求角A；（2）若△ABC的面積為，求a的最小值．【答案】（1）或．（2）．【解答】解：（1）∵2ccosA+2acosC＝b+2asinB，∴由正弦定理得2（sinCcosA+cosCsinA）＝sinB+2sinAsinB，∴2sin（C+A）＝sinB+2sinAsinB，∵A+B+C＝π，∴sin（C+A）＝sinB，∴sinB＝2sinAsinB．在△ABC中，sinB≠0，∴，又∵0＜A＜π，∴或．（2）∵△ABC的面積為，∴，∴bc＝2，由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA＝b2+c2﹣4cosA≥2bc﹣4cosA＝4﹣4cosA（當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時(shí)取等號(hào)），①若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），②若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），綜上所述，a的最小值為．37．（2022春?鐵西區(qū)校級(jí)期末）請?jiān)冖伲╞sinC+csinB）＝4asinCsinB，②bsinA﹣acosAcosC＝ccos2A，③sinC+cosC＝這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中的橫線上，并求解該問題．已知銳角△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，c＝4，且______．（1）求角A的大??；（2）求邊b的取值范圍．【答案】（1）選條件①②③時(shí)，；（2）b∈（2，8）．【解答】解：若選條件①：（1）由正弦定理得，，即，故，因?yàn)锳為銳角，所以；若選條件②：（1）由正弦定理得，，即，因?yàn)椋詓inB＞0，則，因?yàn)锳為銳角，所以；若選條件③：（1）由題知，，，即，因?yàn)椋詓inC＞0，則，即，，則，所以；（2）由（1）知，，即，在銳角△ABC中，，由正弦定理得：，由，得b∈（2，8）．38．（2022?鞍山開學(xué)）△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且bc＝a2﹣c2．（1）若，且，求△ABC的面積；（2）求cosA+sinC的最大值．【答案】（1）；（2）．【解答】解：（1）∵，∴，∴b2+c2﹣a2＝bc，又bc＝a2﹣c2，且，∴，，兩式相加得b＝，又，，∴△ABC的面積為＝＝；（2）∵bc＝a2﹣c2，∴cosA＝，由正弦定理可得：cosA＝，∴2cosAsinC＝sinB﹣sinC，又sinB＝sin（A+C），∴2cosAsinC＝sinAcosC+cosAsinC﹣sinC，∴cosAsinC＝sinAcosC﹣sinC，∴sinC＝sin（A﹣C），又A，C∈（0，π），∴C＝A﹣C，∴A＝2C，∴cosA+sinC＝cos2C+sinC＝1﹣2sin2C+sinC＝≤，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得等號(hào)，∴cosA+sinC的最大值為．39．（2022春?公安縣校級(jí)月考）已知銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足.（1）求角C的大??；（2）若邊長，求△ABC的周長取值范圍．【答案】（1）．（2（3+，3]．【解答】解：（1）因?yàn)?，由正弦定理得：（a+b+c）（a+b﹣c）＝3ab，整理得a2+b2﹣c2＝ab，由余弦定理得：cosC＝＝＝，因?yàn)镃∈（0，π），所以C＝．（2）因?yàn)閏＝，C＝，所以由正弦定理得a+b+c＝2sinA+2sinB+＝2（sinA+sinB）+＝2[sinA+sin（﹣A）]+2＝2sin（A+）+，因?yàn)椋糀＜，所以＜A+＜，所以＜sin（A+）≤1，3＜2sin（A+）≤2，即3+＜a+b+c≤3，所以△ABC周長的取值范圍是（4，6]．故△ABC的周長取值范圍（3+，3]．40．（2022春?開福區(qū)校級(jí)月考）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知a≠b，且．（1）求角C的大小；（2）若b＝3，點(diǎn)D為AB邊的中點(diǎn)，CD＝，求sinA的值．【答案】（1）；（2）．【解答】解：（1）∵在△ABC中cos2A﹣cos2B＝sinAcosA﹣sinBcosB，∴﹣＝sin2A﹣sin2B，∴sin2A﹣cos2A＝sin2B﹣cos2B，∴sin（2A﹣）＝sin（2B﹣），由a≠b得A≠B，又A+B∈（0，π），∴2A﹣+2B﹣＝π，即A+B＝，∴C＝π﹣（A+B）＝；（2）b＝3，點(diǎn)D為AB邊的中點(diǎn)，CD＝，∴＝（+），所以2＝（2+2?+2），∴＝（9+3a+a2），解得a＝1，由余弦定理得c2＝a2+b2﹣ab，∴c2＝a2+9﹣3a，∴c＝，在△ABC中，由正弦定理得＝，所以sinA＝＝＝．41．（2022春?蘇州期末）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，滿足．（1）求角C；（2）CD是∠ACB的角平分線，若的面積為，求c的值．【答案】（1）；（2）2．【解答】解：（1）由正弦定理及，知+＝1，化簡得，a2+b2﹣c2＝ab，由余弦定理知，cosC＝＝＝，因?yàn)镃∈（0，π），所以C＝．（2）因?yàn)椤鰽BC的面積S＝absinC＝ab×＝2，所以ab＝8，由角分線定理知，，因?yàn)锳，D，B三點(diǎn)共線，所以＝+，所以2＝（）2+（）2+2??，即＝++2??ab?，化簡得，＝＝，解得a+b＝6，所以a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝36﹣2×8＝20，由（1）知，c2＝a2+b2﹣ab＝20﹣8＝12，所以c＝2．42．（2022春?襄陽月考）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a2﹣c2＝2b（bcosB+acosC）．（1）求角B；（2）若，求△ABC的面積．【答案】（1）；（2）．【解答】解：（1）∵a2﹣c2＝2b（bcosB+acosC），∴a2﹣c2＝2b2cosB+2abcosC，由余弦定理可知，a2﹣c2＝2b2cosB+a2+b2﹣c2，∴2b2cosB＝﹣b2，∴，又0＜B＜π，∴；（2）由得，∴，由正弦定理可知，，又，∴a+c＝4，則a2+c2+2ac＝16…………①由余弦定理得：b2＝a2+c2﹣2accosB，∴12＝a2+c2+ac…………②，∴由①②可得ac＝4，∴．43．（2022?新高考Ⅰ）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知＝．（1）若C＝，求B；（2）求的最小值．【答案】（1）B＝．（2）4﹣5．【解答】解：（1）∵＝，1+cos2B＝2cos2B≠0，cosB≠0．∴＝＝，化為：cosAcosB＝sinAsinB+sinB，∴cos（B+A）＝sinB，∴﹣cosC＝sinB，C＝，∴sinB＝，∵0＜B＜，∴B＝．（2）由（1）可得：﹣cosC＝sinB＞0，∴cosC＜0，C∈（，π），∴C為鈍角，B，A都為銳角，B＝C﹣．sinA＝sin（B+C）＝sin（2C﹣）＝﹣cos2C，＝＝＝＝＝+4sin2C﹣5≥2﹣5＝4﹣5，當(dāng)且僅當(dāng)sinC＝時(shí)取等號(hào)．∴的最小值為4﹣5．44．（2022春?岳麓區(qū)校級(jí)月考）在△ABC中，已知sin2A﹣sin2B＝sinC（sinB+sinC）．（1）求角A的值；（2）設(shè)∠BAC的平分線交BC邊于D，若AD＝1，BC＝，求△ABC的面積．【答案】（1）；（2）．【解答】解：（1）由sin2A﹣sin2B＝sinC（sinB+sinC，結(jié)合正弦定理可得，a2﹣b2＝bc+c2，即b2+c2﹣a2＝﹣bc，∴cosA＝，∵0＜A＜π，∴A＝；（2）由正弦定理可得S△ABC＝bcsinA＝，又S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝?1?c?sin+?1?b?sin＝（b+c）＝bc，即bc＝b+c，由余弦定理可得＝＝，解得bc＝9（負(fù)值舍去），∴S△ABC＝．45．（2022春?宜昌期中）在銳角△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且且b＝5．（1）求角B的大小；（2）求的取值范圍．【答案】（1）；（2）[2，）．【解答】解：（1）因?yàn)閎cosC+c＝a．由正弦定理得sinBcosC+sinC＝sinA，所以sinBcosC+sinC＝sin（B+C）＝（sinBcosC+cosBsinC），即sinC（cosB﹣1）＝0．因?yàn)閟inC≠0，所以cosB＝，又B∈（0，π）．所以B＝；（2）由正弦定理可得2R＝5；＝＝＝+2cosB＝+＝+＝+，∵＜A＜，∵＜2A﹣＜，∴＜sin（2A﹣）≤1，∴+∈[2，