高等數(shù)學(xué)PPT（工科類(lèi)）完整全套教學(xué)課件

第一章極限與連續(xù)

函數(shù)第一節(jié)極限的概念

第二節(jié)無(wú)窮小量與無(wú)窮大量

第三節(jié)

極限的運(yùn)算法則第四節(jié)

兩個(gè)重要極限第五節(jié)

函數(shù)的連續(xù)性第六節(jié)

復(fù)習(xí)題一小結(jié)第一節(jié)

函數(shù)一、函數(shù)的概念函數(shù)的定義定義1

設(shè)D是由數(shù)組成的集合.如果對(duì)于每個(gè)數(shù)x∈D，變量y按照一定的對(duì)應(yīng)法則f總有確定的數(shù)值和它對(duì)應(yīng)，那么將對(duì)應(yīng)法則f稱(chēng)為在D上x(chóng)到y(tǒng)的一個(gè)函數(shù)，記作y=f(x)，x稱(chēng)為自變量,y稱(chēng)為因變量，D稱(chēng)為函數(shù)的定義域.

當(dāng)x取x0∈D時(shí)，與x0對(duì)應(yīng)的y的數(shù)值稱(chēng)為函數(shù)在點(diǎn)x0處的函數(shù)值，記作f(x0).當(dāng)x取遍D中的一切數(shù)時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值集合M={y|y=f(x)，x∈D}稱(chēng)為函數(shù)的值域.

在函數(shù)的定義中，如果對(duì)于每一個(gè)x∈D，都有唯一的y與它對(duì)應(yīng)，那么這種函數(shù)稱(chēng)為單值函數(shù)，否則稱(chēng)為多值函數(shù).例如由方程x2+y2=9所確定的以x為自變量的函數(shù)y=±9-x2是一個(gè)多值函數(shù)，而它的每一個(gè)“分支”y=9-x2或y=-9-x2都是單值函數(shù).以后如果沒(méi)有特別說(shuō)明，所說(shuō)的函數(shù)都是指單值函數(shù).2.函數(shù)的表示法

（1）表格法

將自變量的值與對(duì)應(yīng)的函數(shù)值列成表格表示兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系的方法.如三角函數(shù)表、常用對(duì)數(shù)表以及經(jīng)濟(jì)分析中的各種統(tǒng)計(jì)報(bào)表等.

（2）圖像法

用圖像表示兩個(gè)變量函數(shù)關(guān)系的方法，如圖1

圖1

（3）解析法

用一個(gè)等式表示兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系的方法.例如y=x+3，y=lg(x+2)等.

在實(shí)際問(wèn)題中，函數(shù)的定義域要根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義確定．當(dāng)不考慮函數(shù)的實(shí)際意義，而僅就抽象的解析式來(lái)研究函數(shù)時(shí)，這時(shí)定義域就取使解析式有意義的自變量的全體.要使解析式有意義，我們通常考慮以下幾點(diǎn)：(1)分式的分母不能為零；(2)偶次根式的被開(kāi)方數(shù)必須為非負(fù)數(shù)；(3)對(duì)數(shù)式中的真數(shù)必須大于零；(4)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)考慮各自的定義域；(5)若函數(shù)表達(dá)式是由幾個(gè)數(shù)學(xué)式子組成，則其定義域應(yīng)取各部分定義域的交集；(6)分段函數(shù)的定義域是各個(gè)定義區(qū)間的并集．3.函數(shù)的定義域【例1】

設(shè)f（x）={

求f（-3）,f(),f(1+h).f(-3)=f()=3,f(1+h)=

=【例2】求下列函數(shù)的定義域：

(1)(2)【解】(1)若使函數(shù)有意義，則x^2+2x+1≠0，即(x+1)^2≠0.即x≠-1.所以函數(shù)的定義域?yàn)?-∞，-1)∪(-1，+∞).(2)若使函數(shù)有意義，則4-x^2≥0x^2-1＞0.即-2≤x≤2x＞1或x＜-1，解得1＜x≤2或-2≤x＜-1.所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?2，-1)∪(1，2］.

2．函數(shù)的幾種特性

1.奇偶性

定義2設(shè)函數(shù)的定義域D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).如果對(duì)于任意的x∈D,f(-x)=-f(x)，那么f(x)為奇函數(shù)；如果對(duì)于任意的x∈D，f(-x)=f(x)，那么f(x)為偶函數(shù).否則f(x)為非奇非偶函數(shù).

奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，如圖1-2所示;偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，如圖1-3所示.

圖1-2

圖1-3

在判斷函數(shù)的奇偶性時(shí)，一定要先考慮函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。如果定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則直接可以判斷該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)?！纠?】判斷下列函數(shù)的奇偶性.

(1)f(x)=x^2；(2)f(x)=2sin2x；(3)f(x)=1/x-1；【解】(1)因?yàn)閒(x)的定義域D=(-∞，+∞)是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間，又因?yàn)閷?duì)于任意的x∈(-∞，+∞)，都有f(-x)=(-x)2=x2=f(x)，所以f(x)=x2是偶函數(shù).(2)因?yàn)閒(x)的定義域D=(-∞，+∞)是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間，又因?yàn)閷?duì)于任意的x∈(-∞，+∞)，都有f(-x)=2sin(-2x)=-2sin2x=-f(x)，所以f(x)=2sin2x是奇函數(shù).(3)因?yàn)閒(x)的定義域是D=(-∞，1)∪(1，+∞)，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以f(x)=1x-1是非奇非偶函數(shù).2.單調(diào)性

定義3若對(duì)于區(qū)間D內(nèi)任意的兩點(diǎn)x1，x2，當(dāng)x1＜x2時(shí)，恒有f(x1)＜f(x2)，那么f(x)在區(qū)間D上單調(diào)增加，區(qū)間D稱(chēng)為單調(diào)增區(qū)間；如果恒有f(x1)＞f(x2)，那么f(x)在區(qū)間D上單調(diào)減少，區(qū)間D稱(chēng)為單調(diào)減區(qū)間.單調(diào)增函數(shù)圖像沿x軸正向上升，如圖1-4所示；單調(diào)減函數(shù)圖像沿x軸正向下降，如圖1-5所示.

圖1-4圖1-5【例4】證明f(x)=x2在區(qū)間［0，+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù).【證明】

設(shè)x1、x2∈［0，+∞)，且x1＜x2，則f(x1)-f(x2)=x12-x22=(x1+x2)(x1-x2)

因?yàn)閤1、x2∈［0，+∞)，x1＜x2，所

以x1+x2＞0，x1-x2＜0

所以f(x1)-f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以f(x)=x2在區(qū)間［0，+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù).3.有界性定義4設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，數(shù)集X∈D.如果存在數(shù)K1，使得f(x)≤K1對(duì)任意x∈X都成立，則稱(chēng)函數(shù)f(x)在X上有上界，而K1稱(chēng)為函數(shù)f(x)在X上的一個(gè)上界，如果存在數(shù)K2，使得f(x)≥K2對(duì)任意x∈X都成立，則稱(chēng)函數(shù)f(x)在X上有下界，而K2稱(chēng)為函數(shù)f(x)在X上的一個(gè)下界，如果存在正數(shù)M，使得|f(x)|≤M對(duì)任意x∈X都成立，則稱(chēng)函數(shù)f(x)在X上有界，如果這樣的M不存在，就稱(chēng)函數(shù)f(x)在X上無(wú)界；這就是說(shuō)，如果對(duì)于任何正數(shù)M,總存在x1∈X，使|f(x1)|＞M，那么函數(shù)f(x)在X上無(wú)界.【例5】

就函數(shù)f(x)=sinx在(-∞，+∞)內(nèi)來(lái)說(shuō)，數(shù)1是它的一個(gè)上界，數(shù)-1是它的一個(gè)下界(當(dāng)然，大于1的任何數(shù)也是它的上界，小于-1的任何數(shù)也是它的下界).又|sinx|≤1

對(duì)任一實(shí)數(shù)x都成立，故函數(shù)f(x)=sinx在(-∞，+∞)上是有界的.這里M=1(當(dāng)然也可取大于1的任何數(shù)作為M而使|f(x)|≤M成立).4.周期性定義5設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈.對(duì)于任意的x∈D，存在不為零的數(shù)T，使f(x+T)=f(x)，那么f(x)為D上的周期函數(shù).T稱(chēng)為函數(shù)的一個(gè)周期，并且nT(n為非零整數(shù))也是它的周期.平時(shí)，我們把函數(shù)的最小正周期稱(chēng)為函數(shù)的周期.【例6】函數(shù)y=sinx和y=cosx都是以2π為周期的周期函數(shù).y=sinx和y=cosx的圖像我們?cè)诟咧须A段學(xué)習(xí)三角函數(shù)的時(shí)候已經(jīng)有所接觸。3．初等函數(shù)1.基本初等函數(shù)

我們把常數(shù)函數(shù)y=c(c為常數(shù))、冪函數(shù)y=xα(α為實(shí)數(shù))、指數(shù)函數(shù)y=ax(a＞0，a≠1，a為常數(shù))、對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a＞0，a≠1，a為常數(shù))、三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為基本初等函數(shù).2.復(fù)合函數(shù)定義6若函數(shù)y=f(u),u=g(x),且u=g(x)的值域或部分值域包含在f(u)的定義域中,則變量y通過(guò)變量u與變量x建立了對(duì)應(yīng)關(guān)系,這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系稱(chēng)為y是x的復(fù)合函數(shù),u是中間變量,x是自變量,通常將y=f(u),u=g(x)合并寫(xiě)成y=f［g(x)］.注意：不是任何兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù)的；復(fù)合函數(shù)也可以由兩個(gè)以上的函數(shù)復(fù)合而成.3.初等函數(shù)定義7基本初等函數(shù)(常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù))經(jīng)過(guò)有限次的加、減、乘、除(分母不為零)的四則運(yùn)算，以及有限次的復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示的函數(shù)，叫做注意：如果一個(gè)函數(shù)必須用幾個(gè)式子表示，那么它就不是初等函數(shù)，例如函數(shù)就不是初等函數(shù)，我們將這樣的函數(shù)，叫做非初等函數(shù).第二節(jié)

極限的概念一、數(shù)列的極限

以前我們已經(jīng)學(xué)過(guò)數(shù)列的概念，現(xiàn)在我們來(lái)考察當(dāng)項(xiàng)數(shù)n無(wú)限增大時(shí)，無(wú)窮數(shù)列{an}的變化趨勢(shì).我們先看一個(gè)實(shí)例：一個(gè)籃球從距地面1米高處自由下落，受地心引力及空氣阻力作用，每次觸地后籃球又反彈到前一次高度的1/2處(見(jiàn)圖1-8).于是，可得到表示籃球高度的一個(gè)數(shù)列1，1/2，1/2^2，1/2^3，…，1/2^（n-1），…

我們知道，籃球最終會(huì)停在地面上，即反彈高度h=0，這說(shuō)明，隨著反彈次數(shù)n的無(wú)限增大，數(shù)列通項(xiàng)hn=1/2^(n-1)的值將趨向于0.

現(xiàn)在，我們?cè)賮?lái)看兩個(gè)無(wú)窮數(shù)列：1，1/2，1/3，1/4，…，1/n，…(1-2)0，3/2，2/3，5/4，…，(n+(-1)^n)/n，…(1-3)

為便于觀察，我們?cè)谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中作出數(shù)列(1-2)和(1-3)的圖形.從圖1-9中可看出，當(dāng)n增大時(shí)，點(diǎn)(n，an)從橫軸上方無(wú)限接近于直線(xiàn)an=0.這表明，當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，數(shù)列通項(xiàng)an=1n的值無(wú)限趨近于零.同樣，從圖1-10中可看出，當(dāng)n增大時(shí)，點(diǎn)(n，an)從上下兩側(cè)無(wú)限接近于直線(xiàn)an=1.這表明，當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，數(shù)列通項(xiàng)an=（n+(-1)^n)/n的值無(wú)限趨近于常數(shù)1.

圖1-9圖1-10

上述數(shù)列的變化趨勢(shì)具有相同的特點(diǎn)：當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，數(shù)列的項(xiàng)an無(wú)限地趨近于某個(gè)常數(shù)A.定義1如果無(wú)窮數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)n無(wú)限增大時(shí)，an無(wú)限趨近于一個(gè)確定的常數(shù)A,那么A就叫做數(shù)列{an}的極限(limit)記作：limn→∞an=A或an→A(當(dāng)n→∞時(shí)).讀作“當(dāng)n趨向于無(wú)窮大時(shí)，數(shù)列{an}的極限等于A”.根據(jù)定義，上面三個(gè)數(shù)列的極限分別記作limn→∞1/（2n-1）=0；limn→∞1/n=0；limn→∞(n+(-1)^n)/n=1.

不是任何無(wú)窮數(shù)列都有極限.如數(shù)列{2n}，當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，2n也無(wú)限增大，不能無(wú)限地趨近于一個(gè)確定的常數(shù)，因此這個(gè)數(shù)列沒(méi)有極限.又如數(shù)列{(-1)n}，當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，(-1)^n在1與-1兩個(gè)數(shù)上來(lái)回跳動(dòng)，不能無(wú)限地趨近于一個(gè)確定的常數(shù)，因此這個(gè)數(shù)列也沒(méi)有極限.二、函數(shù)的極限1.當(dāng)x→∞時(shí)函數(shù)f(x)的極限定義2如果當(dāng)x→∞時(shí),函數(shù)f(x)無(wú)限趨近于確定的常數(shù)A,那么A就叫做函數(shù)f(x)當(dāng)x→∞時(shí)的極限,記作limn→∞f(x)=A或當(dāng)x→∞時(shí),f(x)→A.

注意：這里“x→∞”表示x既取正值而無(wú)限增大(記作x→+∞)，同時(shí)也取負(fù)值而絕對(duì)值無(wú)限增大(記作x→-∞).但有的時(shí)候x的變化趨勢(shì)只能取這兩種變化中的一種情況.

下面給出當(dāng)x→+∞或x→-∞時(shí)函數(shù)極限的定義.定義3如果當(dāng)x→+∞(或x→-∞)時(shí)，函數(shù)f(x)的值無(wú)限趨近于一個(gè)確定的常數(shù)A,那么A就稱(chēng)為函數(shù)f(x)當(dāng)x→+∞(或x→-∞)時(shí)的極限，記作limn→+∞f(x)=A，或當(dāng)x→+∞時(shí)，f(x)→A.(limn→-∞f(x)=A，或當(dāng)x→-∞時(shí)，f(x)→A)【例2】

如圖1-11所示,利用圖像考察當(dāng)x→∞時(shí)，函數(shù)f(x)=1x的變化趨勢(shì).【解】

從圖1-11中可以看出：當(dāng)x的絕對(duì)值無(wú)限增大時(shí)，函數(shù)f(x)的值無(wú)限趨近于常數(shù)0.所以limx→∞1/x=0.顯然地，limx→+∞1/x=0，limx→-∞1/x=0.圖1-112.當(dāng)x→x0時(shí)函數(shù)f(x)的極限定義4設(shè)函數(shù)y=f(x)在x0的某空心鄰域（鄰域就是在數(shù)軸上滿(mǎn)足{x||x-x0|＜δ}，其中δ＞0的點(diǎn)的集合.即區(qū)間(x0-δ，x0+δ)內(nèi)的一切實(shí)數(shù).x0稱(chēng)鄰域的中心，δ為半徑.如果這個(gè)區(qū)間不含x0點(diǎn)，則稱(chēng)x0的空心δ鄰域.）內(nèi)有定義，如果當(dāng)x無(wú)限趨近于x0時(shí)，函數(shù)f(x)無(wú)限趨近于常數(shù)A，那么A就叫做函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0時(shí)的極限，記作limx→x0f(x)=A，或當(dāng)x→x0時(shí)，f(x)→A.

【例3】如圖1-12所示,根據(jù)圖像求limx→3(x/3+1)的值.【解】

如圖1-12所示，當(dāng)x從3的左側(cè)無(wú)限趨近于3時(shí)，即x取2.9，2.99，2.999，…→3時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)f(x)的值從1.97，1.997，1.9997，…→2.當(dāng)x從3的右側(cè)無(wú)限趨近于3時(shí)，即x取3.1，3.01，3.001，…→3時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)f(x)的值從2.03，2.003，2.0003，…→2.

圖1-12由此可知，當(dāng)x→3時(shí)，f(x)=x3+1的值無(wú)限趨近于2.即limx→3(x3+1)=2.

【例4】考察極限limx→x0C(C為常數(shù)).【解】

把C看作常數(shù)函數(shù)f(x)=C，則當(dāng)x→x0時(shí)，f(x)的值恒等于C.因此有l(wèi)imx→x0C=C.

即常數(shù)的極限是它本身.

前面我們提到的x→x0，是指x以任意方式趨近于x0，但有的時(shí)候我們只需討論，從x0的左側(cè)趨近于x0(x→x-0)或從x0的右側(cè)趨近于x0(x→x+0)時(shí)的極限.

下面給出當(dāng)x→x-0(x→x+0)時(shí)，函數(shù)f(x)的極限.定義5如果當(dāng)x→x-0時(shí)，函數(shù)f(x)的值無(wú)限趨近于一個(gè)確定的常數(shù)A，那么A就稱(chēng)為函數(shù)f(x)在x0處的左極限(leftlimit)，記作limx→x-0f(x)=A，f(x-0)=A或f(x)→A(x→x-0).如果當(dāng)x→x+0時(shí)，函數(shù)f(x)的值無(wú)限趨近于一個(gè)確定的常數(shù)A，那么A就稱(chēng)為函數(shù)f(x)在x0處的右極限(rightlimit)，記作limx→x+0f(x)=A，f(x+0)=A或f(x)→A(x→x+0).根據(jù)x→x0時(shí)函數(shù)f(x)的極限的定義和左右極限的定義,容易得到如下結(jié)論:limx→x0f(x)=Alimx→x-0f(x)=A且limx→x+0f(x)=A【例5】若函數(shù)試求【解】

作出這個(gè)分段函數(shù)的圖像，如圖1-13所示，可見(jiàn)函數(shù)f(x)當(dāng)x→0時(shí)的左極限為limx→0-f(x)=limx→0-(x-1)=-1.右極限為limx→0+f(x)=limx→0+(x+1)=1.因?yàn)楫?dāng)x→0時(shí)，函數(shù)f(x)的左、右極限雖各自存在但不相等，所以limx→0f(x)不存在.

圖1-13第三節(jié)無(wú)窮小量與無(wú)窮大量

在研究函數(shù)的變化趨勢(shì)時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)某些函數(shù)的絕對(duì)值趨于無(wú)窮：一是函數(shù)的絕對(duì)值“無(wú)限變小”，二是函數(shù)的絕對(duì)值“無(wú)限變大”.下面我們來(lái)研究這兩種情形.一、無(wú)窮小量定義1如果當(dāng)x→x0(或x→∞)時(shí)，函數(shù)f(x)的極限為零，那么稱(chēng)函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0(或x→∞)時(shí)為無(wú)窮小量，簡(jiǎn)稱(chēng)無(wú)窮小.例如，當(dāng)x→0時(shí)，sinx是無(wú)窮小；當(dāng)x→∞時(shí)，1/x是無(wú)窮小.(1)無(wú)窮小和絕對(duì)值很小的數(shù)是截然不同的，例如10-10，10-100都是很小的數(shù)，但不是無(wú)窮小.只有零是可以作為無(wú)窮小的唯一的常數(shù)，因?yàn)閘imx→x0(x→∞)0=0.(2)無(wú)窮小和自變量的變化趨勢(shì)是密切相關(guān)的.例如函數(shù)f(x)=1/x，當(dāng)x→∞時(shí)，1/x為無(wú)窮??；當(dāng)x→1時(shí)，1x就不是無(wú)窮小.二、無(wú)窮大量定義2如果當(dāng)x→x0(或x→∞)時(shí)，函數(shù)f(x)的絕對(duì)值無(wú)限增大，那么稱(chēng)函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0(或x→∞)時(shí)為無(wú)窮大量，簡(jiǎn)稱(chēng)無(wú)窮大.

如果按函數(shù)極限的定義來(lái)看，f(x)的極限不存在，但是為了便于敘述，我們稱(chēng)“函數(shù)的極限是無(wú)窮大”，并記作limx→x0(x→∞)f(x)=∞.

如果在無(wú)窮大的定義中，對(duì)于x0鄰域內(nèi)的x(或?qū)τ诮^對(duì)值相當(dāng)大的x)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都是正的或都是負(fù)的，則這兩種情形分別記作

limx→x0(x→∞)f(x)=+∞，limx→x0(x→∞)f(x)=-∞.

例如limx→+∞epx=+∞，limx→0+lnx=-∞.(1)無(wú)窮大和絕對(duì)值很大的數(shù)是完全不同的，例如10^10，-10^100等都是絕對(duì)值很大的數(shù)，但不是無(wú)窮大.(2)無(wú)窮大和自變量的變化趨勢(shì)密切相關(guān).例如，函數(shù)f(x)=1/x，當(dāng)x→0時(shí)，1/x為無(wú)窮大；當(dāng)x→∞時(shí)，1/x為無(wú)窮小.三、無(wú)窮小量與無(wú)窮大量

定理

在自變量的同一變化過(guò)程中，如果f(x)為無(wú)窮大，那么1/f(x)為無(wú)窮??；反之，如果f(x)為無(wú)窮小，且f(x)≠0，那么1f/(x)為無(wú)窮大.

例如，因?yàn)閘imx→∞x^3=∞，所以limx→∞1/x^3=0；因?yàn)閘imx→0sinx=0，所以limx→01/sinx=∞.四、無(wú)窮小量的性質(zhì)

在自變量的同一變化過(guò)程中，無(wú)窮小具有以下三個(gè)性質(zhì)：性質(zhì)1有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和為無(wú)窮小.

性質(zhì)2有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積為無(wú)窮小.

性質(zhì)3有限個(gè)無(wú)窮小的乘積為無(wú)窮小.第四節(jié)極限的運(yùn)算法則

利用極限的定義只能計(jì)算一些很簡(jiǎn)單的函數(shù)的極限，對(duì)于比較復(fù)雜的函數(shù)極限，我們需要用到極限的運(yùn)算法則來(lái)進(jìn)行計(jì)算.下面給出函數(shù)極限的運(yùn)算法則：法則

設(shè)limx→x0f(x)=A，limx→x0g(x)=B，則有(1)limx→x0［f(x)±g(x)］=limx→x0f(x)±limx→x0g(x)=A±B；(2)limx→x0［f(x)·g(x)］=limx→x0f(x)·limx→x0g(x)=A·B；(3)limx→x0［Cf(x)］=C·limx→x0f(x)=C·A(C為常數(shù))；

(4)【例1】求【解】原式==4+6-2=8【例2】求【解】原式===3【例3】求

【解】當(dāng)x→2時(shí)，分母的極限為0，這時(shí)不能用法則（4），由于x→2而x≠2即x-2≠0，因而分式中可約去不為0的公因子，得原式====1/4【例4】求【解】令則當(dāng)x→0+時(shí)，t→+∞，這時(shí)所以原式===1第五節(jié)兩個(gè)重要極限一、判定極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則為了得出兩個(gè)重要極限公式，先給出兩個(gè)判定極限存在的準(zhǔn)則.準(zhǔn)則1如果函數(shù)f(x),g(x),h(x)在同一變化過(guò)程中滿(mǎn)足g(x)≤f(x)≤h(x)且limg(x)=limh(x)=A，那么limf(x)存在且等于A.準(zhǔn)則2如果數(shù)列{xn}單調(diào)有界，則limn→∞xn一定存在.二、兩個(gè)重要極限公式1.【例1】求【解】原式==令t=x/2，則當(dāng)x→0時(shí)，t→0，因此原式==1/2【例2】求【解】原式==2.【例3】求【解】原式=第六節(jié)函數(shù)的連續(xù)性

在許多實(shí)際問(wèn)題中，數(shù)量的變化往往是連續(xù)的.例如，氣溫隨時(shí)間的變化而變化著，當(dāng)時(shí)間的變化極為微小時(shí)，氣溫的變化也極為微小，這就是說(shuō)，氣溫是連續(xù)變化的.下面我們來(lái)研究函數(shù)的連續(xù)性.一、函數(shù)連續(xù)的概念1.函數(shù)的增量定義1設(shè)函數(shù)y=f(x)，當(dāng)自變量由初值x0變到終值x1時(shí)，我們把差值x1-x0叫做自變量的增量(或改變量)，記作Δx，即Δx=x1-x0，因此x1=x0+Δx.這時(shí)可以說(shuō)，自變量由初值x0變化到x0+Δx.相應(yīng)地，函數(shù)值由f(x0)變化到f(x0+Δx)，我們把差值f(x0+Δx)-f(x0)叫做函數(shù)的增量(或改變量)，記作Δy，即Δy=f(x0+Δx)-f(x0).2.函數(shù)的連續(xù)定義2設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0某鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量x在x0處的增量Δx趨近于零時(shí)，函數(shù)y=f(x)的相應(yīng)增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)也趨近于零，也就是說(shuō)，有l(wèi)imΔx→0Δ=0或liymΔx→0［f(x0+Δx)-f(x0)］=0，

那么稱(chēng)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)，x0稱(chēng)為函數(shù)f(x)的連續(xù)點(diǎn).由于x=x0+Δx，因此Δx→0就是x→x0；Δy→0就是f(x)→f(x0)；limΔx→0Δy=0,limx→x0f(x)=f(x0).

因此，函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)的定義也可敘述如下.定義3如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0及其近旁有定義，limx→x0f(x)存在并且limx→x0f(x)=f(x0)，那么稱(chēng)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)，x0稱(chēng)為函數(shù)f(x)的連續(xù)點(diǎn).

據(jù)此，函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0連續(xù)必須滿(mǎn)足以下三個(gè)條件：（1）函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處有定義；（2）limx→x0f(x)存在；（3）limx→x0f(x)=f(x0).

如果函數(shù)y=f(x)在x0處不連續(xù)，那么稱(chēng)函數(shù)f(x)在x0處是間斷的，點(diǎn)x0稱(chēng)作函數(shù)y=f(x)的間斷點(diǎn)或不連續(xù)點(diǎn).定義4設(shè)函數(shù)y=f(x)在x0處及其左(或右)近旁有定義，如果limx→x-0f(x)=f(x0)(或limx→x+0f(x)=f(x0))，那么稱(chēng)函數(shù)f(x)在x0處左連續(xù)(或右連續(xù)).定義5如果函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)，那么稱(chēng)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)連續(xù)，或稱(chēng)函數(shù)f(x)為區(qū)間(a，b)內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，區(qū)間(a，b)稱(chēng)為函數(shù)f(x)的連續(xù)區(qū)間.

如果f(x)在閉區(qū)間［a，b］上有定義，在區(qū)間(a，b)內(nèi)連續(xù)，且在右端點(diǎn)b處左連續(xù)，在左端點(diǎn)a處右連續(xù)，即limx→b-f(x)=f(b)，limx→a+f(x)=f(a).那么稱(chēng)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù).在幾何上，連續(xù)函數(shù)的圖像是一條連續(xù)不間斷的曲線(xiàn).【例2】適當(dāng)選取a的值，使函數(shù)

在x=0處連續(xù)?！窘狻?/p>

因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)?-∞，+∞)，所以f(x)在x=0處及其近旁有定義.所以要使f（x）在x=0處連續(xù)，必須=

=f（0），即

可以滿(mǎn)足函數(shù)在x=0處的連續(xù)性要求.二、初等函數(shù)的連續(xù)性1連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性性質(zhì)1如果函數(shù)f(x)與g(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)，那么它們的和、差、積、商(分母在x0處不等于零)也都在x0處連續(xù).即

limx→x0［f(x)±g(x)］=f(x0)±g(x0)

limx→x0［f(x)·g(x)］=f(x0)g(x0)

limx→x0f(x)g(x)=f(x0)g(x0)(g(x0)≠0).【例3】判斷tanx和cotx在x=π4處的連續(xù)性.【解】由于tanx=sinx/cosx，cotx=cosx/sinx，而sinx和cosx在點(diǎn)x=π/4處是連續(xù)的，所以tanx，cotx在點(diǎn)x=π4處也是連續(xù)的.2.復(fù)合函數(shù)連續(xù)性性質(zhì)2如果函數(shù)u=φ(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)，且φ(x0)=u0，而函數(shù)y=f(u)在點(diǎn)u0處連續(xù)，那么復(fù)合函數(shù)y=f［φ(x)］在點(diǎn)x0處也連續(xù).【例4】判斷y=lnsinx在x=π6處的連續(xù)性.【解】函數(shù)u=sinx在x=π/6處連續(xù)，當(dāng)x=π/6時(shí)，u=1/2；函數(shù)y=lnu在點(diǎn)u=1/2處連續(xù)；所以，復(fù)合函數(shù)y=lnsinx在點(diǎn)x=π/6處也是連續(xù)的.3.初等函數(shù)的連續(xù)性

根據(jù)初等函數(shù)的定義，由基本初等函數(shù)的連續(xù)性以及連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性和復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性可得到下面的重要結(jié)論：性質(zhì)3一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.

這個(gè)結(jié)論對(duì)于以后判定函數(shù)連續(xù)性及一些極限的運(yùn)算是非常有價(jià)值的，如果已知函數(shù)f(x)是初等函數(shù)，且x0屬于f(x)的定義區(qū)間，那么求limx→x0f(x)時(shí)，只需將x0代入函數(shù)，求函數(shù)值f(x0)即可.三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)具有一些重要的性質(zhì)，這些性質(zhì)在理論和實(shí)踐中都有著廣泛的應(yīng)用.性質(zhì)4如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，那么函數(shù)f(x)在［a,b］上一定有最大值與最小值.如圖1-14所示，可以看出，在［a，b］上至少有一點(diǎn)ξ(a≤ξ≤b)使得f(ξ)=m為最小值，即m=f(ξ)≤f(x)(a≤x≤b)，又至少有一點(diǎn)η(a≤η≤b)使f(η)=M為最大值，即M=f(η)≥f(x)(a≤x≤b).注意：對(duì)于在開(kāi)區(qū)間內(nèi)連續(xù)或在閉區(qū)間上有間斷點(diǎn)的函數(shù)，其最大值、最小值不一定存在.例如，函數(shù)y=x^2+1，在(-1，1)內(nèi)連續(xù)，在x=0處取得最小值，但在這個(gè)區(qū)間內(nèi)沒(méi)有最大值；而在(1，2)內(nèi)既無(wú)最大值，也無(wú)最小值.圖1-14

【例6】判斷函數(shù)在閉區(qū)間[0,2]上是否有最值.

【解】函數(shù)在x=1處的左極限為0，而右極限為2，因此函數(shù)在x=1處不連續(xù)，因而函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上無(wú)最值.性質(zhì)5如果函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，且在兩端點(diǎn)取不同的函數(shù)值f(a)=A和f(b)=B，C是A與B之間的任一數(shù)，那么在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ，使得f(ξ)=C(a＜ξ＜b).

這就是著名的介值定理，它的幾何意義是：在［a，b］上的連續(xù)曲線(xiàn)y=f(x)與直線(xiàn)y=C(C在A與B之間)至少有一個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)坐標(biāo)為(ξ，f(ξ))，其中f(ξ)=C，如圖1-16所示.

圖1-16推論如果函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號(hào)，那么至少存在一點(diǎn)ξ(a＜ξ＜b)，使得f(ξ)=0.推論的幾何意義是：在［a，b］上連續(xù)的曲線(xiàn)y=f(x)兩端點(diǎn)落在x軸的上、下兩側(cè)時(shí)，則曲線(xiàn)與x軸至少有一個(gè)交點(diǎn)，如圖1-17所示.

圖1-17【例7】證明方程x3-4x2+1=0在(0，1)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根.【證明】設(shè)f(x)=x3-4x2+1，因?yàn)樗陂]區(qū)間［0，1］上連續(xù)，并且f(0)=1＞0，f(1)=-2＜0，所以根據(jù)推論可知，f(x)在(0，1)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ(0＜ξ＜1)使得f(ξ)=0，即

ξ3-4ξ2+1=0(0＜ξ＜1).

這個(gè)等式說(shuō)明方程x3-4x2+1=0在開(kāi)區(qū)間(0，1)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根.

第2章導(dǎo)數(shù)與微分

導(dǎo)數(shù)的概念第一節(jié)求導(dǎo)法則

第二節(jié)高階導(dǎo)數(shù)

第三節(jié)

函數(shù)的微分第四節(jié)第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念一、引例

為了說(shuō)明微分學(xué)的基本概念——導(dǎo)數(shù)，我們先討論以下兩個(gè)問(wèn)題：速度問(wèn)題和切線(xiàn)問(wèn)題.1變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度

我們知道在物理學(xué)中，物體作勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，它在任何時(shí)刻的速度可由公式v=s/t來(lái)計(jì)算，其中s為物體經(jīng)過(guò)的路程，t為時(shí)間.如果物體作非勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，它的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是s=s(t)，那么在某一段時(shí)間［t0，t1］內(nèi)，物體的位移(即位置增量)s(t1)-s(t0)與所經(jīng)歷的時(shí)間(即時(shí)間增量)t1-t0的比，就是這段時(shí)間內(nèi)物體運(yùn)動(dòng)的平均速度.我們把位移增量s(t1)-s(t0)記作Δs，時(shí)間增量t1-t0記作Δt，平均速度記作v，得

v=[s(t1)-s(t0)]/(t1-t0)=Δs/Δt=[s(t0+Δt)-s(t0)]/Δt.那么，怎樣求非勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)物體在某一時(shí)刻的速度呢？由于物體作變速運(yùn)動(dòng)，用勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的公式v=st來(lái)計(jì)算它在某一時(shí)刻的速度已不適用.處理這個(gè)問(wèn)題的基本方法是“勻速代變速”.為此，給t0一個(gè)增量Δt，當(dāng)時(shí)間由t0改變到t0+Δt時(shí)，在Δt這一段時(shí)間內(nèi)，物體走過(guò)的路程是Δs=f(t0+Δt)-f(t0)，物體在時(shí)間間隔Δt內(nèi)的平均速度是v=Δs/Δt=[f(t0+Δt)-f(t0)]/Δt，用Δt這一段時(shí)間內(nèi)的平均速度表示物體在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度，這當(dāng)然是近似值，顯然Δt越小，即時(shí)刻t越接近于t0，其近似程度就越好.為完成“近似”向“精確”的轉(zhuǎn)化，令Δt→0，如果平均速度v的極限存在，則這個(gè)極限值就叫做物體在時(shí)刻t0的速度(瞬時(shí)速度)，即v(t0)=limΔt→0Δs/Δt=limΔt→0[f(t0+Δt)-f(t0)]/Δt2.切線(xiàn)問(wèn)題

設(shè)M是曲線(xiàn)C上任一點(diǎn)，N是曲線(xiàn)上在點(diǎn)M附近的一點(diǎn)，作割線(xiàn)MN.當(dāng)點(diǎn)N沿著曲線(xiàn)C向點(diǎn)M移動(dòng)時(shí)，割線(xiàn)MN就繞著M轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)N無(wú)限趨近于點(diǎn)M時(shí)，割線(xiàn)MN的極限位置為MT，直線(xiàn)MT叫做曲線(xiàn)在點(diǎn)M處的切線(xiàn)，如圖2-1所示.

已知曲線(xiàn)方程y=f(x)，可以求過(guò)曲線(xiàn)上點(diǎn)M(x0，y0)處的切線(xiàn)斜率.在M點(diǎn)的附近取點(diǎn)N(x0+Δx，y0+Δy)，其中Δx可正可負(fù)，作割線(xiàn)MN，其斜率為(φ為傾斜角)tanφ=Δy/Δx=[f(x0+Δx)-f(x0)]/Δx.當(dāng)Δx→0時(shí)，割線(xiàn)MN將繞著點(diǎn)M轉(zhuǎn)動(dòng)到極限位置MT,如圖2-2所示.根據(jù)上面切線(xiàn)的定義，直線(xiàn)MT就是曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)M處的切線(xiàn).自然，割線(xiàn)MN的斜率tanφ的極限就是切線(xiàn)MT的斜率tanα(α是切線(xiàn)MT的傾斜角).

以上兩個(gè)問(wèn)題，雖然它們所代表的具體內(nèi)容不同，但從數(shù)量上看，它們有共同的本質(zhì)：都是計(jì)算當(dāng)自變量的增量趨于零時(shí)，函數(shù)的增量與自變量的增量之比的極限.在自然科學(xué)、工程技術(shù)問(wèn)題和經(jīng)濟(jì)管理中，還有許多非均勻變化的問(wèn)題，也都可歸結(jié)為這種形式的極限.因此，抽去這些問(wèn)題的不同的實(shí)際意義，只考慮它們的共同性質(zhì)，就可得出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義.二、導(dǎo)數(shù)的概念定義1設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0某鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在x0處有增量Δx時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)y有增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0).如果當(dāng)Δx→0時(shí)，ΔyΔx的極限存在，這個(gè)極限就稱(chēng)為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，

記為y′|x=x0，即y′|x=x0=limΔx→0Δy/Δx=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx，(2-1)也可以記作f′(x0)，dy/dxx=x0或df(x)dxx=x0.如果(2-1)式的極限存在，就稱(chēng)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo).如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)的每一點(diǎn)都可導(dǎo)，就說(shuō)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo).這時(shí)，對(duì)于(a,b)內(nèi)的每一個(gè)x值，都有唯一確定的導(dǎo)數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，這就構(gòu)成了x的一個(gè)新的函數(shù)，這個(gè)新的函數(shù)叫做原來(lái)函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)，記為y′，f′(x)，dy/dx或df(x)/dx.在(2-1)式中，把x0換成x，即得y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)公式：y′=limΔx→0f(x+Δx)-f(x)Δx.顯然，函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)就是導(dǎo)函數(shù)f′(x)在x=x0處的函數(shù)值，即f′(x0)=f′(x)|x=x0.為方便起見(jiàn)，在不致引起混淆的地方，導(dǎo)函數(shù)也稱(chēng)導(dǎo)數(shù).由此可見(jiàn)，導(dǎo)數(shù)是用極限來(lái)定義的，類(lèi)似于有關(guān)極限的內(nèi)容，導(dǎo)數(shù)有左右導(dǎo)數(shù)的定義.定義2設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)有定義，如果limΔx→0-Δy/Δx=limx→x-0f(x)-f(x0)/x-x0limΔx→0+Δy/Δx=limx→x+0f(x)-f(x0)/（x-x0）存在，則稱(chēng)y=f(x)在點(diǎn)x0的左(右)導(dǎo)數(shù)存在，記作f′-(x0)(f′+(x0))函數(shù)的左(右)導(dǎo)數(shù)，又稱(chēng)函數(shù)的單側(cè)導(dǎo)數(shù).顯然，函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處導(dǎo)數(shù)存在時(shí)，有結(jié)論：f′(x0)存在等價(jià)于左導(dǎo)數(shù)f′-(x0)和右導(dǎo)數(shù)f′+(x0)存在并且相等.三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義由切線(xiàn)斜率問(wèn)題的討論及導(dǎo)數(shù)定義可知:函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義是曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)M(x0,y0)處的切線(xiàn)斜率,即f′(x0)=tanα，其中α是切線(xiàn)的傾斜角.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程可得,曲線(xiàn)y=f(x)在給定點(diǎn)M(x0,y0)處的切線(xiàn)方程是y-y0=f′(x0)(x-x0)過(guò)切點(diǎn)M(x0,y0)且與切線(xiàn)垂直的直線(xiàn)叫做曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)M(x0,y0)的法線(xiàn).如果f′(x0)≠0,則法線(xiàn)方程為y-y0=-1/f′(x0)(x-x0).【例1】求過(guò)曲線(xiàn)y=3x2上點(diǎn)(2,12)的切線(xiàn)方程與法線(xiàn)方程.【解】

因?yàn)閒′(x)=(3x2)′=6x

則f′(2)=12

于是過(guò)點(diǎn)(2,12)的切線(xiàn)方程為y-12=12(x-2)

即12x-y-12=0

法線(xiàn)方程為y-12=-112(x-2)

即x+12y-146=0四、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系

設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo),即極限limΔx→0Δy/Δx=f′(x0)存在.由函數(shù)極限存在與無(wú)窮小的關(guān)系知Δy/Δx=f′(x0)+α(α是當(dāng)Δx→0時(shí)的無(wú)窮小).

上式兩端同乘以Δx,得Δy=f′(x0)Δx+αΔx.不難看出,當(dāng)Δx→0時(shí),Δy→0.這就是說(shuō),函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處是連續(xù)的.所以,如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo),則函數(shù)在該點(diǎn)處必連續(xù).如果函數(shù)y=f(x)在某一點(diǎn)處連續(xù),卻不一定在該點(diǎn)處可導(dǎo).第二節(jié)求導(dǎo)法則一、函數(shù)和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)法則1若函數(shù)u=u(x)和v=v(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，則函數(shù)u(x)±v(x)也在x處可導(dǎo)，且［u(x)±v(x)］′=u′(x)±v′(x)法則2若函數(shù)u=u(x)和v=v(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，則函數(shù)u(x)·v(x)在點(diǎn)x處也可導(dǎo)，且［u(x)·v(x)］′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)特別地，令v(x)=c(常數(shù))，則由于c′=0所以有［cu(x)］′=cu′(x).法則3若函數(shù)u=u(x)和v=v(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，且v(x)≠0，則函數(shù)u(x)v(x)在點(diǎn)x處也可導(dǎo)且u(x)v(x)′=u′(x)v(x)-u(x)v′(x)［v(x)］^2二、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)法則4如果函數(shù)u=φ(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，且y=f(u)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)u=φ(x)處可導(dǎo)，那么復(fù)合函數(shù)f［φ(x)］在點(diǎn)x處也可導(dǎo)，并且dy/dx=dydu·dudx法則4可以推廣到有有限個(gè)中間變量可導(dǎo)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的情況.例如y=f(u)，u=φ(v)，v=ψ(x)都是可導(dǎo)函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)y=f｛φ［ψ(x)］｝的導(dǎo)數(shù)是dy/dx=dydu·dudv·dvdx.利用導(dǎo)數(shù)定義及其他求導(dǎo)方法，可以求得基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：三、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)前面討論函數(shù)求導(dǎo)方法所涉及的函數(shù)y已寫(xiě)成自變量x的明顯表達(dá)式y(tǒng)=f(x)的形式，這樣的函數(shù)叫做顯函數(shù).但有時(shí)候還會(huì)遇到另一類(lèi)函數(shù)，是由一個(gè)含有x和y的方程F(x，y)=0來(lái)確定的函數(shù)y.例如，x^2+y^2=4，xy=epx+y等，這樣的函數(shù)叫做隱函數(shù).下面來(lái)討論隱函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題.如果一個(gè)隱函數(shù)能夠轉(zhuǎn)化為顯函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)可以用以前學(xué)過(guò)的方法求得，但是，有的隱函數(shù)很難或是根本不能轉(zhuǎn)化為顯函數(shù)，在這種情況下，隱函數(shù)的求導(dǎo)方法是：(1)將方程F(x，y)=0的兩端對(duì)x求導(dǎo)，在求導(dǎo)過(guò)程中把y看成x的函數(shù)，y的函數(shù)看成是x的復(fù)合函數(shù)；(2)求導(dǎo)后，解出y′即可(式子中允許有y出現(xiàn)).四、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)法則5設(shè)函數(shù)x=φ(y)在區(qū)間D內(nèi)單調(diào).在y處可導(dǎo)，且φ′(y)≠0，則其反函數(shù)y=f(x)在x=φ(y)處也可導(dǎo)，且dy/dx=1dxdy，或f′(x)=1/φ′(y).五、參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

在實(shí)際應(yīng)用中，函數(shù)y與自變量x的關(guān)系常常通過(guò)某一參數(shù)變量t表示出來(lái)，即x=φ(t)y=ψ(t)，t為參數(shù),稱(chēng)為函數(shù)的參數(shù)方程.由于y是參數(shù)t的函數(shù)，由x=φ(t)知t是x的函數(shù)，所以，y通過(guò)t確定為x的復(fù)合函數(shù).于是，由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則及反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式有dy/dx=dydt·dtdx=dydtdxdt=ψ′(t)φ′(t)第三節(jié)高階導(dǎo)數(shù)一、高階導(dǎo)數(shù)的概念

一般來(lái)說(shuō)，函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)y′=f′(x)仍是x的函數(shù).如果函數(shù)y′=f′(x)仍是可導(dǎo)的，則把y′=f′(x)的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)y=f(x)的二階導(dǎo)數(shù)，記為y″，f″(x)或d^2y/dx^2.相應(yīng)地，y′=f′(x)叫做函數(shù)y=f(x)的一階導(dǎo)數(shù).類(lèi)似地,y=f(x)的二階導(dǎo)數(shù)y″的導(dǎo)數(shù)叫做y=f(x)的三階導(dǎo)數(shù),三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做y=f(x)的四階導(dǎo)數(shù)……一般地,f(x)的n-1階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做y=f(x)的n階導(dǎo)數(shù),二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為高階導(dǎo)數(shù).二、二階導(dǎo)數(shù)的物理意義設(shè)物體作變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng),其運(yùn)動(dòng)方程為s=s(t),瞬時(shí)速度為v=s′(t).此時(shí),若速度v仍是時(shí)間t的函數(shù),我們可以求速度v對(duì)時(shí)間t的變化率:v′(t)=(s′(t))′=s″(t).在力學(xué)中把它叫做物體在給定時(shí)刻的加速度,用a表示.也就是說(shuō),物體的加速度a是路程s對(duì)時(shí)間t的二階導(dǎo)數(shù),即a=v′(t)=s″(t)=d^2sdt^2.第四節(jié)函數(shù)的微分一、微分的概念

在實(shí)際生產(chǎn)實(shí)踐中,有時(shí)需要考慮這樣的問(wèn)題:當(dāng)自變量有一微小的增量時(shí),函數(shù)的增量是多少.例如，一個(gè)邊長(zhǎng)為x0的正方形金屬薄片,當(dāng)受冷熱影響時(shí),其邊長(zhǎng)由x0變到x0+Δx,問(wèn)此時(shí)薄片的面積的改變量是多少?

設(shè)正方形薄片的邊長(zhǎng)為x0,面積為y,則上面問(wèn)題就是求函數(shù)y=x2當(dāng)自變量由x0變到x0+Δx時(shí)函數(shù)y的改變量Δy,也就是面積的改變量.

Δy=(x0+Δx)2-x20=2x0·Δx+(Δx)2.例如,當(dāng)x0=10,Δx=0.1時(shí),面積的改變量為

Δy=2×10×0.1+0.12=2.01;當(dāng)x0=10,Δx=0.01時(shí),面積的改變量為Δy=2×10×001+0.012=0.2001;當(dāng)x0=10,Δx=0.001時(shí),面積的改變量為Δy=2×10×0.001+0.0012=0.020001.

由此可見(jiàn),當(dāng)|Δx|很小時(shí),(Δx)^2的作用非常小,可以忽略不計(jì)因此,函數(shù)y=x^2在x0有微小改變量Δx時(shí),函數(shù)的改變量Δy約為2x0·Δx,Δy≈2x0·Δx.

從圖2-3中不難看出,Δy表示的是以x0為邊長(zhǎng)的正方形外圍的陰影部分面積,它為圖示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ部分面積之和2(x0·Δx)+(Δx)2，顯然當(dāng)|Δx|相對(duì)于x0很小時(shí)，(Δx)^2是微乎其微的.當(dāng)f(x)=x2時(shí)，f′(x0)=2x0，因此Δy≈2x0·Δx可以寫(xiě)成Δy≈f′(x0)·Δx.由于f′(x0)·Δx是Δx的線(xiàn)性函數(shù)，所以通常把f′(x0)·Δx叫做Δy的線(xiàn)性主部.

一般地，對(duì)于給定的可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)，當(dāng)自變量在x0處有微小的改變量Δx時(shí)，函數(shù)值y的改變量Δy可用下式近似計(jì)算，即Δy≈f′(x0)Δx(2-2)我們把f′(x0)·Δx稱(chēng)為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=x0處的微分.定義

如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處存在導(dǎo)數(shù)f′(x0)，那么f′(x0)·Δx就叫做函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的微分，記作dyx=x0，即dyx=x0=f′(x0)·Δx.

若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)任一點(diǎn)x處都可導(dǎo)，則把它在點(diǎn)x處的微分叫做函數(shù)的微分，記作dy或df(x)，即dy=f′(x)·Δx.二、微分的幾何意義

如圖2-4所示，設(shè)曲線(xiàn)y=f(x)上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，f(x0))，過(guò)P點(diǎn)作割線(xiàn)PQ交曲線(xiàn)于Q點(diǎn)，其坐標(biāo)為(x0+Δx，f(x0+Δx))，則dx=Δx=PR，Δy=RQ.

又設(shè)過(guò)P(x0，f(x0))點(diǎn)的切線(xiàn)PT交RQ于點(diǎn)M，函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)是過(guò)P點(diǎn)的切線(xiàn)PT的斜率，即f′(x0)=tanα=RM/PR，因此函數(shù)在點(diǎn)x0的微分是：dy=f′(x0)·Δx=RMPR·PR=RM，這說(shuō)明函數(shù)在x=x0處的微分是曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處切線(xiàn)的縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng)于Δx的改變量.這就是微分的幾何意義.三、微分的運(yùn)算

從函數(shù)微分的表達(dá)式dy=f′(x)dx可知，要計(jì)算函數(shù)的微分，只要求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再乘以自變量的微分即可.因此，從導(dǎo)數(shù)的基本公式和運(yùn)算法則就可以直接推出微分的基本公式和運(yùn)算法則.四、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用

函數(shù)y=f(x)在x=x0處的增量Δy，當(dāng)|Δx|很小時(shí)，可用微分dy來(lái)代替，即Δy≈dy=f′(x0)Δx，

于是Δy=f(x0+Δx)-f(x0)≈f′(x0)Δx，或f(x0+Δx)≈f(x0)+f′(x0)Δx.在上式中，令x0=0，Δx=x，得f(x)≈f(0)+f′(0)x.(2-4)

應(yīng)用(2-4)式可推得幾個(gè)工程上常用的近似公式(假定|x|是很小的數(shù)值)：第3章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

中值定理第一節(jié)洛必達(dá)法則

第二節(jié)函數(shù)單調(diào)性的判別法

第三節(jié)

函數(shù)的極值及其求法第四節(jié)

函數(shù)的最大值與最小值第五節(jié)曲線(xiàn)的凹凸性與拐點(diǎn)

第六節(jié)函數(shù)圖形的描繪

第七節(jié)第一節(jié)中值定理

微分學(xué)中有三個(gè)中值定理應(yīng)用非常廣泛，它們分別是羅爾定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理.一、羅爾定理羅爾定理如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值相等，即f(a)=f(b)，那么在(a，b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ(a＜ξ＜b)，使得函數(shù)f(x)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于零：f′(ξ)=0.在證明這個(gè)定理之前,先考察一下定理的幾何意義.在圖3-1中,設(shè)曲線(xiàn)弧AB的方程為y=f(x)(a≤x≤b).羅爾定理的條件在幾何上表示:AB是一條連續(xù)的曲線(xiàn)弧,除端點(diǎn)外處處具有不垂直于x軸的切線(xiàn),且兩個(gè)端點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等.定理的結(jié)論表達(dá)了這樣一個(gè)幾何事實(shí):

在曲線(xiàn)弧AB至少有一點(diǎn)C,在該點(diǎn)處曲線(xiàn)的切線(xiàn)是水平的.從圖中看到,在曲線(xiàn)的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)處,切線(xiàn)是水平的,這就啟發(fā)了我們證明這個(gè)定理的思路.證明

由于f(x)在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù),根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大值和最小值定理,f(x)在閉區(qū)間［a,b］上必定取得它的最大值M和最小值m.這樣只有兩種可能情形:(1)M=m.這時(shí)f(x)在區(qū)間［a,b］上必然取相同的數(shù)值M:f(x)=M.由此有f′(x)=0,因此可以取(a,b)內(nèi)任意一點(diǎn)作為ξ而有f′(ξ)=0.(2)M＞m.因?yàn)閒(a)=f(b),所以M和m這兩個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)不等于f(x)在區(qū)間［a,b］的端點(diǎn)處的函數(shù)值.為確定起見(jiàn),不妨設(shè)M≠f(a)(如果設(shè)m≠f(a),證法完全類(lèi)似),那么必定在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)有一點(diǎn)ξ使f(ξ)=M.下面證明f(x)在點(diǎn)ξ處的導(dǎo)數(shù)等于零,即f′(ξ)=0.因?yàn)棣问情_(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)的點(diǎn),根據(jù)假設(shè)可知f′(ξ)存在,即極限limΔx→0f(ξ+Δx)-f(ξ)Δx存在.而極限存在必定左、右極限都存在并且相等，因此f′(ξ)=limΔx→0+f(ξ+Δx)-f(ξ)Δx=limΔx→0-f(ξ+Δx)-f(ξ)Δx.由于f(ξ)=M是f(x)在［a,b］上的最大值，因此不論Δx是正的還是負(fù)的，只要ξ+Δx在［a，b］上，總有f(ξ+Δx)≤f(ξ)，即f(ξ+Δx)-f(ξ)≤0.于是limΔx→0+f(ξ+Δx)-f(ξ)Δx≤0，limΔx→0-f(ξ+Δx)-f(ξ)Δx≥0而f′(ξ)存在，故f′(ξ)=0.二、拉格朗日中值定理

羅爾定理中f(a)=f(b)這個(gè)條件是相當(dāng)特殊的，它使羅爾定理的應(yīng)用受到限制.如果把f(a)=f(b)這個(gè)條件取消，但仍保留其余兩個(gè)條件，并相應(yīng)地改變結(jié)論，那么就得到微分學(xué)中十分重要的拉格朗日中值定理.

拉格朗日中值定理如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，那么在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ(a＜ξ＜b)，使等式f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)(3-1)成立.在證明之前，先看一下定理的幾何意義.如果把(3-1)式改寫(xiě)成f(b)-f(a)b-a=f′(ξ)，由圖3-2可看出，f(b)-f(a)b-a為弦AB的斜率，而f′(ξ)為曲線(xiàn)在點(diǎn)C處的切線(xiàn)的斜率.因此拉格朗日中值定理的幾何意義是：如果連續(xù)曲線(xiàn)y=f(x)的弧AB上除端點(diǎn)外處處具有不垂直于x軸的切線(xiàn)，那么這弧上至少有一點(diǎn)C，使曲線(xiàn)在C點(diǎn)處的切線(xiàn)平行于弦AB.從羅爾定理的幾何意義中(見(jiàn)圖3-1)看出，由于f(a)=f(b)，弦AB是平行于x軸的，因此點(diǎn)C處的切線(xiàn)實(shí)際上也平行于弦AB.由此可見(jiàn)，羅爾定理是拉格朗日中值定理的特殊情形.

從上述拉格朗日中值定理與羅爾定理的關(guān)系，自然想到利用羅爾定理來(lái)證明拉格朗日中值定理.但在拉格朗日中值定理中，函數(shù)f(x)不一定具備f(a)=f(b)這個(gè)條件，為此我們?cè)O(shè)想構(gòu)造一個(gè)與f(x)有密切聯(lián)系的函數(shù)φ(x)(稱(chēng)為輔助函數(shù))，使φ(x)滿(mǎn)足條件φ(a)=φ(b).然后對(duì)φ(x)應(yīng)用羅爾定理，再把對(duì)φ(x)所得的結(jié)論轉(zhuǎn)化到f(x)上，證得所要的結(jié)果.

由拉格朗日中值定理可以得到下面的推論：

推論1設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I內(nèi)恒有f′(x)=0，那么在區(qū)間I內(nèi)函數(shù)f(x)=C，其中C為常數(shù).

推論2設(shè)f(x)、g(x)是在I內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)，若f′(x)=g′(x)，則f(x)-g(x)=C，其中C為常數(shù).

證明

在區(qū)間I內(nèi)任取兩個(gè)點(diǎn)x1，x2，不妨設(shè)x1＜x2，應(yīng)用拉格朗日中值定理，有f(x2)-f(x1)=f′(ξ)(x2-x1)，ξ∈(x1，x2)，由于函數(shù)f(x)在區(qū)間I內(nèi)恒有f′(x)=0，則f′(ξ)=0，故等式右端為零，即f(x1)=f(x2)，這表明在區(qū)間I內(nèi)任意兩點(diǎn)處的函數(shù)值都相等，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間I內(nèi)是一個(gè)常數(shù).

它在微分學(xué)中占有重要地位，有時(shí)也叫做微分中值定理，f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)叫做拉格朗日中值公式.三、柯西中值定理

前面已經(jīng)指出，如果連續(xù)曲線(xiàn)弧AB上除端點(diǎn)外處處具有不垂直橫軸的切線(xiàn)，那么這段弧上至少有一點(diǎn)C,使曲線(xiàn)在點(diǎn)C處的切線(xiàn)平行于弦AB.設(shè)AB由參數(shù)方程X=F(x)，Y=f(x)(a≤x≤b)表示，其中x為參數(shù).那么曲線(xiàn)上點(diǎn)(X,Y)處的切線(xiàn)的斜率為dY/dX=f′(x)F′(x)，弦AB的斜率為f(b)-f(a)F(b)-F(a).

假定點(diǎn)C對(duì)應(yīng)于參數(shù)x=ξ，那么曲線(xiàn)上點(diǎn)C處的切線(xiàn)平行于弦AB，可表示為f(b)-f(a)F(b)-F(a)=f′(ξ)F′(ξ).與這一事實(shí)相應(yīng)的是柯西中值定理如果函數(shù)f(x)及F(x)在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且F′(x)在(a,b)內(nèi)的每一點(diǎn)處均不為零，那么在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ，使等式f(b)-f(a)F(b)-F(a)=f′(ξ)F′(ξ)成立.第二節(jié)洛必達(dá)法則

如果當(dāng)x→x0(或x→∞)時(shí)，函數(shù)f(x)和g(x)都趨向于零，或都趨向于無(wú)窮大，那么此時(shí)極限limx→x0(或x→∞)f(x)g(x)可能存在，也可能不存在.通常把這種形式的極限叫做未定式，并分別簡(jiǎn)稱(chēng)為0/0型或∞/∞型不定式.對(duì)于未定式，不能直接用極限運(yùn)算法則求得.下面介紹洛必達(dá)法則，它是求這類(lèi)極限的簡(jiǎn)便而有效的方法.一、0/0型未定式第三節(jié)函數(shù)單調(diào)性的判定法

如圖3-4所示，如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a，b］上單調(diào)增加，那么它的圖像是一條沿x軸正向上升的曲線(xiàn)，這時(shí)，曲線(xiàn)上各點(diǎn)切線(xiàn)的傾斜角都是銳角，它們的切線(xiàn)斜率f′(x)都是正的，即f′(x)＞0.同樣地，如圖3-5所示，如果函數(shù)y=f(x)在［a，b］上單調(diào)減少，那么它的圖像是一條沿x軸正向下降的曲線(xiàn)，這時(shí)曲線(xiàn)上各點(diǎn)切線(xiàn)的傾斜角都是鈍角，

它們的斜率f′(x)都是負(fù)的，即f′(x)＜0.由此可見(jiàn)，函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有著密切的聯(lián)系.下面，我們給出利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)單調(diào)性的定理.第四節(jié)函數(shù)的極值及其求法一、函數(shù)極值的定義

在圖3-10中我們可以看出，函數(shù)y=f(x)在c1,c4的函數(shù)值f(c1),f(c4)比它們兩旁各點(diǎn)的函數(shù)值都大,而在點(diǎn)c2,c5的函數(shù)值f(c2),f(c5)比它們兩旁各點(diǎn)的函數(shù)值都小.對(duì)于這種性質(zhì)的點(diǎn)和對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，我們給出如下的定義.定義

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間（a,b）內(nèi)有定義，x0∈(a,b).如果對(duì)于點(diǎn)x0近旁的任意點(diǎn)x(x≠x0),均有f(x)＜f(x0)成立，則稱(chēng)f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值，點(diǎn)x0稱(chēng)為f(x)的一個(gè)極大值點(diǎn)；如果對(duì)于點(diǎn)x0近旁的任意點(diǎn)x(x≠x0),均有f(x)＞f(x0)成立，則稱(chēng)f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極小值，點(diǎn)x0稱(chēng)為f(x)的極小值點(diǎn).

函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值.使函數(shù)取得極值的極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為極值點(diǎn).（1）極值是指函數(shù)值，而極值點(diǎn)是指自變量的值，兩者不應(yīng)混淆.(2)函數(shù)的極值概念是局部性的，它只是在與極值點(diǎn)近旁的所有點(diǎn)的函數(shù)值相比較為較大或較小，并不意味著它在函數(shù)的整個(gè)定義域內(nèi)最大或最小.因此，函數(shù)的極大值不一定比極小值大.如在圖3-10中，極大值f(c1)就比極小值f(c5)還小.(3)函數(shù)的極值點(diǎn)一定出現(xiàn)在區(qū)間內(nèi)部，區(qū)間的端點(diǎn)不能成為極值點(diǎn)；而使函數(shù)取得最大值、最小值的點(diǎn)可能在區(qū)間內(nèi)部，也可能是區(qū)間的端點(diǎn).二、函數(shù)極值的判定和求法

如圖3-10所示，在函數(shù)取得極值處，曲線(xiàn)的切線(xiàn)是水平的，即在極值點(diǎn)處函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零.但曲線(xiàn)上有水平切線(xiàn)的地方，函數(shù)卻不一定取得極值.例如，在點(diǎn)c3處，曲線(xiàn)具有水平切線(xiàn)，這時(shí)f′(c3)=0，但f(c3)并不是極值.下面我們討論函數(shù)取得極值的必要條件和充分條件.定理1設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，且在點(diǎn)x0處取得極值，則必有f′(x0)=0.

使導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)(即方程f′(x)=0的實(shí)根)叫做函數(shù)f(x)的駐點(diǎn)(又叫穩(wěn)定點(diǎn)).

定理1說(shuō)明可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必定是駐點(diǎn)，但函數(shù)的駐點(diǎn)并不一定是極值點(diǎn)，例如x=0是函數(shù)f(x)=x3的駐點(diǎn)，但x=0不是它的極值點(diǎn).

既然函數(shù)的駐點(diǎn)不一定是它的極值點(diǎn),那么,當(dāng)我們求出函數(shù)的駐點(diǎn)后,怎樣判別它們是否為極值點(diǎn)呢?如果是極值點(diǎn),又怎樣進(jìn)一步判定是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)呢?為了解決這些問(wèn)題,我們先借助圖形來(lái)分析一下函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0取得極值時(shí),點(diǎn)x0左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)f′(x)的符號(hào)變化的情況.如圖3-11所示,函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0取得極大值,在點(diǎn)x0的左側(cè)單調(diào)增加,有f′(x)＞0;在點(diǎn)x0的右側(cè)單調(diào)減少,有f′(x)＜0.對(duì)于函數(shù)在點(diǎn)x0取得極小值的情形,讀者可結(jié)合圖3-12類(lèi)似地進(jìn)行討論.

由此可給出函數(shù)在某點(diǎn)處取得極值的充分條件.定理