高等數(shù)學(xué)（高職）PPT完整全套教學(xué)課件

緒

論預(yù)備知識(shí)第一章函數(shù)、極限與連續(xù)第二章導(dǎo)數(shù)與微分第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第四章不定積分第五章定積分及其應(yīng)用第六章微分方程第七章空間解析幾何第八章多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用第九章二重積分及其應(yīng)用第十章無窮級(jí)數(shù)第十一章拉普拉斯變換第十二章MATLAB實(shí)驗(yàn)?zāi)夸沜ontents緒論預(yù)備知識(shí)0.1代數(shù)式0.2常用函數(shù)0.3數(shù)列本章小結(jié)

0.1代數(shù)式

一、乘法公式

1.平方差公式及其推廣

2.二項(xiàng)式展開(完全平方公式及其推廣)

由這些展開式可以看出以下規(guī)律:

(1)一個(gè)二項(xiàng)式的n次方展開式有n+1項(xiàng).

(2)字母a按降冪排列,字母b按升冪排列,每項(xiàng)的冪次之和都是n.

(3)當(dāng)n從0開始時(shí),各項(xiàng)系數(shù)的變化規(guī)律是:

這種二項(xiàng)式系數(shù)“三角形”被稱為“楊輝三角形”或“賈憲三角形”.由牛頓二項(xiàng)式公式可以直接求出各冪次單項(xiàng)式的系數(shù),即上面展開式中的最后兩個(gè)式子,其中

(3)由于(x+2y)(x-2y)的結(jié)果是x2-4y2,因此它與x4-8x2y2+16y4相乘時(shí)不能應(yīng)用公式.但如果逆用完全平方公式,則可得x4-8x2y2+16y4=(x2-4y2)2,再與x2-4y2相乘就可以應(yīng)用公式了,即

例0-3已知x+y=4,xy=-12,求(x-y)2的值.

解

二、因式分解

把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式,稱為多項(xiàng)式的因式分解.因式分解時(shí)應(yīng)注意以下幾個(gè)問題:

(1)因式分解是對(duì)多項(xiàng)式而言的,因?yàn)閱雾?xiàng)式本身已經(jīng)是整式的積的形式.

(2)由于因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式,因此因式分解是整式范圍內(nèi)的概念.

(3)因式分解的最后結(jié)果應(yīng)是積,并且要求乘積中的每個(gè)因式都不能再分解,如a4-16=(a2+4)(a2-4)就不符合要求.

(4)因式分解與整式乘法既有區(qū)別又有聯(lián)系.從一定意義上講,它是整式乘法的相反變法,例如

注:因式分解是一種恒等變形,不能看作是運(yùn)算.

1.提取公因式法

提取公因式法是因式分解的一種基本方法,是指如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式,可以把該公因式提取出來作為多項(xiàng)式的一個(gè)因式;提取公因式后的式子放在括號(hào)里,作為另一個(gè)因式.提取公因式時(shí)要徹底,并且要一次完成.當(dāng)公因式是多項(xiàng)式時(shí),要注意以下變形:

2.公式法

公式法分解因式就是使用平方差公式及其推廣公式,以及二項(xiàng)展開式的逆變形對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行分解.使用公式法進(jìn)行因式分解的關(guān)鍵在于掌握公式的結(jié)構(gòu)特征.記住,公式中的字母可以代表一個(gè)數(shù)或一個(gè)單項(xiàng)式,也可以代表一個(gè)多項(xiàng)式.

3.分組分解法

分組分解法的基本思想是把多項(xiàng)式恰當(dāng)?shù)胤纸M后,用項(xiàng)數(shù)較少的多項(xiàng)式的分解方法進(jìn)行分解.使用分組分解法的關(guān)鍵是正確分組,分組的原則是選擇系數(shù)成比例的各項(xiàng)進(jìn)行分組或選擇符合公式條件的各項(xiàng)進(jìn)行分組;必要時(shí)要對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行先變形后分組.

4.十字相乘法

由于因式分解和十字相乘都有多種可能,因此往往要經(jīng)過多次嘗試,才能確定一個(gè)二次三項(xiàng)式能否分解和怎樣分解.在使用過程中,要不斷地總結(jié)規(guī)律,以便減少試驗(yàn)次數(shù).

例0-4把下列各式進(jìn)行因式分解:

分式的運(yùn)算有以下幾種:

分式的一些概念和性質(zhì)與分?jǐn)?shù)類似,而與整式區(qū)別較大.整式中的字母取任意值時(shí)都有意義,而分式只有在分母不等于零時(shí)才有意義.在研究分式變形、分式相等、分式方程等與分式有關(guān)的問題時(shí),都不要忘記只有在分式有意義的前提下才能考慮這些問題,而這一點(diǎn)恰恰容易被人們所忽視.

例0-6當(dāng)x取何值時(shí),下列分式的值為零?

分析只有在分式有意義的前提下,才能研究分式的值.因此,只有當(dāng)分母不為零且分子為零時(shí),分式的值才為零.

0.2常用函數(shù)

一、變量、區(qū)間與鄰域我們?cè)谟^察某一現(xiàn)象的過程時(shí),常常會(huì)遇到各種不同的量,其中有的量在該過程中不起變化,稱之為常量;有的量在該過程中是變化的,也就是可以取不同的數(shù)值,稱之為變量.我們用x、y、z、t等字母代表變量,用a、b、c、k等字母代表常量.

如果變量的變化是連續(xù)的,我們常用區(qū)間來表示其變化范圍.在數(shù)軸上,區(qū)間是指介于某兩點(diǎn)之間的線段上點(diǎn)的全體.區(qū)間、不等式及數(shù)軸的表示如表0-1所示.

以上我們所說的都是有限區(qū)間.除此之外,還有無限區(qū)間,分別為:

(1)[a,+∞)={x|x≥a}:表示大于等于a的實(shí)數(shù)的全體.

(2)(a,+∞)={x|x>a}:表示大于a的實(shí)數(shù)的全體.

(3)(-∞,b]={x|x≤b}:表示小于等于b的實(shí)數(shù)的全體.

(4)(-∞,b)={x|x<b}:表示小于b的實(shí)數(shù)的全體.

(5)(-∞,+∞)={x|x∈R}:表示全體實(shí)數(shù).

注意:-∞和+∞分別讀作“負(fù)無窮大”和“正無窮大”,它們不是數(shù),僅僅是記號(hào).設(shè)a、δ∈R,δ>0,數(shù)集{x||x-a|<δ,x∈R},即實(shí)數(shù)軸上和a點(diǎn)的距離小于δ的點(diǎn)的全體,稱為點(diǎn)a的δ鄰域,記作U(a,δ),點(diǎn)a與數(shù)δ分別稱為該鄰域的中心和半徑.有時(shí)用U(a)表示點(diǎn)a的一個(gè)泛指的鄰域.數(shù)集{x|0<|x-a|<δ,x∈R}稱為點(diǎn)a的去心δ鄰域,記作U°(a,δ),即

二、函數(shù)的概念

定義0-1如果在某一變化過程中有兩個(gè)變量x、y,并且對(duì)于x在某個(gè)變化范圍內(nèi)的每一個(gè)確定的值,按照某個(gè)對(duì)應(yīng)法則f,y都有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng),那么y就是x的函數(shù),記作y=f(x),x∈D.其值x稱為自變量,x的取值范圍D稱為函數(shù)的定義域,和x的值相對(duì)應(yīng)的y的值稱為函數(shù)值,函數(shù)值的集合稱為函數(shù)的值域.

1.函數(shù)的表示法

(1)解析法:用等式表示兩個(gè)變量間的函數(shù)關(guān)系.

(2)列表法:列表表示兩個(gè)變量間的函數(shù)關(guān)系.

(3)圖像法:用圖像表示兩個(gè)變量間的函數(shù)關(guān)系.

2.函數(shù)的特性

1)單調(diào)性在函數(shù)有定義的一個(gè)區(qū)間上,如果對(duì)于自變量x的任意兩個(gè)值x1、x2,當(dāng)x1<x2時(shí),都有f(x1)<f(x2),那么函數(shù)f(x)在此區(qū)間上是增函數(shù),如圖0-1(a)所示;如果對(duì)于自變量x的任意兩個(gè)值x1、x2,當(dāng)x1<x2時(shí),都有f(x1)>f(x2),那么函數(shù)f(x)在此區(qū)間上是減函數(shù),如圖0-1(b)所示.

如果函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù),就說f(x)在此區(qū)間上具有單調(diào)性,此區(qū)間稱為f(x)的單調(diào)區(qū)間.圖0-1

2)奇偶性

如果f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,對(duì)定義域內(nèi)任意x,都有f(-x)=-f(x),那么f(x)是奇函數(shù),如圖0-2(a)所示;對(duì)定義域內(nèi)任意x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)是偶函數(shù),如圖0-2(b)所示.

奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(見圖0-2(a)),偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(見圖0-2(b)).圖0-2

3)有界性

圖0-3設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,數(shù)集X?D,若存在一個(gè)正數(shù)M,對(duì)X內(nèi)任意x都有|f?(x)|≤M,則稱f(x)在X上有界,或稱f(x)是X上的≤有界函數(shù),如圖0-3所示,否則稱f(x)在X上無界,或稱f(x)是X上的無界函數(shù).

4)周期性

設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,若存在實(shí)數(shù)T,對(duì)D內(nèi)任意x,都有f(x+T)=f(x),則稱函數(shù)f(x)為以T為周期的周期函數(shù),其中最小的正數(shù)T稱為f(x)的最小正周期.圖0-3

3.反函數(shù)

如果對(duì)于函數(shù)y=f(x)每一個(gè)確定的值f(x0)=y0,自變量x都有一個(gè)確定的值x0-和x0-對(duì)應(yīng),那么就得到一個(gè)以y為自變量、以對(duì)應(yīng)的x值為函數(shù)值的函數(shù),這個(gè)函數(shù)稱為原來函數(shù)的反函數(shù),記作x=f-1(y).我們習(xí)慣上用x表示自變量,y表示因變量,把函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)記作y=f-1(x).

反函數(shù)具有下列兩個(gè)特性:

(1)y=f(x)的定義域、值域分別是y=f-1(x)的值域、定義域.

(2)y=f(x)與y=f-1(x)的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱.

例如,設(shè)函數(shù)y=f(x)的圖像上任意點(diǎn)為P(a,b),即b=f(a),則a=f-1(b).因此,反函數(shù)圖像上的任意點(diǎn)可以表示為Q(b,a),如圖0-4所示.

函數(shù)的定義域和值域,函數(shù)圖像,函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、有界性和周期性等特性,以及反函數(shù),是了解一個(gè)函數(shù)的最基本要素.下面將主要從這幾方面入手,介紹幾類最常見的基本初等函數(shù).

圖0-4

三、基本初等函數(shù)

1.常數(shù)函數(shù)

常數(shù)函數(shù)為y=C,其中C為常數(shù),定義域?yàn)镽.常數(shù)函數(shù)是偶函數(shù),其圖像如圖0-5所示.圖0-5

2.冪函數(shù)

冪函數(shù)的形式為y=xα(α是任意實(shí)數(shù)),其定義域要依α具體是什么數(shù)而定.當(dāng)α=1、2、3、12、-1、-2時(shí),y=xα是最常用的冪函數(shù),如圖0-6所示.

常見冪函數(shù)的特性如表0-2所示.圖0-6

可知x=2時(shí)y=0,所以,該函數(shù)的定義域?yàn)閧2},值域?yàn)閧0}.

基本初等函數(shù)與常數(shù)函數(shù)進(jìn)行有限次的四則運(yùn)算,我們稱之為簡單函數(shù).其中,冪函數(shù)和常數(shù)函數(shù)進(jìn)行特定的四則運(yùn)算時(shí),可構(gòu)成我們中學(xué)階段所學(xué)的一些重要函數(shù),如正反比例函數(shù)、二次拋物線函數(shù)等.

1)正比例函數(shù)

函數(shù)y=kx(常數(shù)k≠0)稱為正比例函數(shù).當(dāng)k>0時(shí),y=kx的圖像在第一、三象限,且y隨x的增大而增大,如圖0-7(a)所示;當(dāng)k<0時(shí),y=kx的圖像在第二、四象限,且y隨x的增大而減小,如圖0-7(b)所示.圖0-7

圖0-8

3)一次函數(shù)

一次函數(shù)y=kx+b的圖像是經(jīng)過點(diǎn)(0,b)而平行于直線y=kx的一條直線,如表0-3所示,因此該直線的單調(diào)性與正比例函數(shù)中對(duì)k值的分析一致.而且,當(dāng)k=0時(shí),一次函數(shù)y=b表示常數(shù)函數(shù),為一條平行于x軸的直線.

一次函數(shù)y=kx+b中,k稱作該直線的斜率,b稱作該直線的截距,這種表示法稱為斜截式表示法.

例0-8已知一條直線過點(diǎn)(2,5)且斜率為3,試寫出該直線的方程.

解由題意可知該直線可用點(diǎn)斜式表示為

即

也可化為一般式,即

4)二次函數(shù)

函數(shù)y=ax2+bx+c(其中a、b、c是常數(shù),且a≠0)稱作二次函數(shù),其圖像為一條拋物線.開口方向、開口大小、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)唯一地確定了一條特定的拋物線,其中常數(shù)a的值決定了拋物線的開口方向和開口大小,a、b的值決定了拋物線的對(duì)稱軸,而a、b、c的值決定了頂點(diǎn)的位置,如表0-4所示.

例0-9確定拋物線y=x2-6x+8的開口方向以及其與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo).

解由題意可知該拋物線方程的系數(shù)a=1>0,開口向上,其與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)可以通過令

x2-6x+8=0

解方程求得.因式分解得x2-6x+8=(x-2)(x-4)=0,因此兩個(gè)實(shí)根為x1=2,x2=4,即與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)、(4,0).

3.指數(shù)函數(shù)

指數(shù)函數(shù)y=ax

(a為常數(shù),且a>0,a≠1),其定義域?yàn)?-∞,+∞).當(dāng)a>1和0-<a<1時(shí),函數(shù)呈現(xiàn)不同的單調(diào)性,如表0-5所示.

指數(shù)函數(shù)過點(diǎn)(0,1)和(1,a),且y=a-x與y=ax的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱.其中,最為常用的是以e=2.7182818…為底數(shù)的指數(shù)函數(shù),即

y=ex

4.對(duì)數(shù)函數(shù)

對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a為常數(shù),且a>0,a≠1),它是指數(shù)函數(shù)y=ax(a為常數(shù),且a>0,a≠1)的反函數(shù),因此其定義域?yàn)?0,+∞),值域?yàn)?-∞,+∞).當(dāng)a>1和0<a<1時(shí),函數(shù)呈現(xiàn)不同的單調(diào)性,如表0-6所示.

對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,a≠1)的圖像過點(diǎn)(1,0)和(a,1),與函數(shù)y=ax

(a>0,a≠1)的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱.其中以e為底數(shù)的對(duì)數(shù)函數(shù)稱為自然對(duì)數(shù)函數(shù),記作y=lnx;以10為底的對(duì)數(shù)函數(shù)稱為常用對(duì)數(shù)函數(shù),記作y=lgx.

例0-10-求下列函數(shù)的定義域:

(1)y=logax2;(2)y=loga(4-x).

解(1)因?yàn)閤2>0,即x≠0,所以該函數(shù)的定義域?yàn)?-∞,0)∪(0,+∞).

(2)因?yàn)?-x>0,即x<4,所以該函數(shù)的定義域?yàn)?-∞,4).

圖0-9

2)任意角的三角函數(shù)值的符號(hào)

任意角的三角函數(shù)sinθ、cosθ和tanθ的值的符號(hào)如圖0-10所示.圖0-10

3)三角函數(shù)的主要特征和圖像

表0-7列出了以上三個(gè)三角函數(shù)的定義域、值域、圖像以及函數(shù)特性.

4)特殊角的三角函數(shù)值

一些特殊角的三角函數(shù)值是學(xué)習(xí)者必須熟記的基礎(chǔ)知識(shí)(見表0-8),在極限計(jì)算、函數(shù)的線性近似、定積分等內(nèi)容中都需要用到.

(2)常用的倍角公式為

由此變形的公式為

6.反三角函數(shù)圖0-11

0.3數(shù)列

一、數(shù)列的概念1.數(shù)列的定義定義0-2按照一定次序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列.數(shù)列里的每一個(gè)數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的一項(xiàng),各項(xiàng)依次稱為這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng),第2項(xiàng),…,第n項(xiàng),…,其中第1項(xiàng)稱為首項(xiàng).

2.數(shù)列的通項(xiàng)公式

一個(gè)數(shù)列{an}的第n項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系,如果可以用一個(gè)公式來表示,這個(gè)公式就稱為這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.如數(shù)列

的通項(xiàng)公式是

注:并不是所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公式.

3.數(shù)列的分類

按照數(shù)列的項(xiàng)數(shù)有限還是無限,可以將數(shù)列分為有窮數(shù)列和無窮數(shù)列兩種.

(1)有窮數(shù)列.如果一個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是有限的,即數(shù)列的某一項(xiàng)后面沒有跟著的項(xiàng),這個(gè)數(shù)列稱為有窮數(shù)列.

(2)無窮數(shù)列.如果一個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是無限的,即數(shù)列的任何一項(xiàng)后面還有跟著的項(xiàng),這個(gè)數(shù)列稱為無窮數(shù)列.

二、等差數(shù)列

三、等比數(shù)列

本章小結(jié)

一、乘法公式

二、因式分解

常用方法:提取公因式法、公式法、分組分解法和十字相乘法.

三、分式

四、反函數(shù)

y=f(x)的定義域、值域分別是y=f-1(x)的值域、定義域.

y=f(x)與y=f-1(x)的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱.

五、常數(shù)函數(shù)

常數(shù)函數(shù)y=C,其中C為常數(shù),定義域?yàn)镽.常數(shù)函數(shù)為偶函數(shù).

六、冪函數(shù)

七、指數(shù)函數(shù)

指數(shù)函數(shù)y=ax

(a為常數(shù),且a>0,a≠1),其圖像和性質(zhì)見表0-5.

八、對(duì)數(shù)函數(shù)

對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a為常數(shù),且a>0,a≠1),其圖像和性質(zhì)見表0-6.

九、三角函數(shù)

常用三角函數(shù)y=sinx、y=cosx和y=tanx的圖像和性質(zhì)見表0-7.

十、反三角函數(shù)常見的反三角函數(shù)有y=arcsinx、y=arccosx、y=arctanx和y=arccotx.

十一、等差數(shù)列

十二、等比數(shù)列第一章函數(shù)、極限與連續(xù)1.1

函數(shù)1.2極限的概念1.3無窮小與無窮大1.4極限的運(yùn)算法則和兩個(gè)重要極限1.5函數(shù)的連續(xù)性本章小結(jié)

1.1-函數(shù)

一、函數(shù)的概念

1.函數(shù)的定義

引例1-【圓的面積公式】已知圓的半徑為r,則其面積A為當(dāng)半徑r在[0,+∞)內(nèi)任取一個(gè)數(shù)值時(shí),面積A就有唯一確定的數(shù)值與之對(duì)應(yīng).

引例2【郵資收費(fèi)問題】設(shè)寄達(dá)某國的國際航空信件的郵資標(biāo)準(zhǔn)是20g及以內(nèi)郵資6元,超過20g時(shí)每續(xù)重10g加收1.8元,則郵資F與信件重量m的函數(shù)關(guān)系可表示為

定義1-1-設(shè)有兩個(gè)變量x和y,若變量x在非空實(shí)數(shù)集D內(nèi)任取定一個(gè)數(shù)值時(shí),變量y按照一定的法則f,總有確定的數(shù)值與之對(duì)應(yīng),則稱y是x的函數(shù),記作

其中x稱為自變量;y稱為函數(shù)或因變量;自變量的取值范圍D稱為函數(shù)y=f(x)的定義域;f稱為對(duì)應(yīng)法則.

由上述定義可知,引例1與引例2中變量間的對(duì)應(yīng)關(guān)系分別表示了兩個(gè)函數(shù).例如,在引例1中,r是自變量,A是因變量,按照其對(duì)應(yīng)法則,A=πr2確定了A是r的函數(shù).由該問題的實(shí)際意義可知,半徑r的取值為非負(fù)實(shí)數(shù),即[0,+∞)為該函數(shù)的定義域.

當(dāng)x在定義域D內(nèi)取定值x0時(shí),與x0對(duì)應(yīng)的y的數(shù)值稱為函數(shù)在x0處的函數(shù)值,記作y|x=x0、y0或f(x0).當(dāng)x取遍D中的各個(gè)數(shù)值時(shí),對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的集合W稱為函數(shù)的值域,即W={

y|y=f(x),x∈D}.

注:關(guān)于函數(shù)概念的進(jìn)一步說明如下所示:

(1)單值函數(shù)和多值函數(shù).如果自變量在定義域內(nèi)任取一個(gè)確定的值時(shí),函數(shù)只有一個(gè)確定的值和它對(duì)應(yīng),這種函數(shù)稱為單值函數(shù);否則稱為多值函數(shù).本書我們僅討論單值函數(shù).

(2)函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則.在函數(shù)y=f(x)中,對(duì)應(yīng)法則f是自變量x與因變量y之間函數(shù)關(guān)系的具體體現(xiàn).例如y=f(x)=x2+1,其對(duì)應(yīng)法則就是f()=()2+1,對(duì)于取定的x值,平方后再加1就得到函數(shù)的值.對(duì)應(yīng)法則f也可改用其他字母,如φ、g等.但一個(gè)函數(shù)在同一個(gè)問題中只能用一種記法.如果同一問題中涉及多個(gè)函數(shù),則應(yīng)采用不同的字母來表示.

(3)函數(shù)的兩要素.由函數(shù)的定義可知,函數(shù)的定義域與對(duì)應(yīng)法則是確定函數(shù)的兩個(gè)基本要素.一個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則一旦確定,該函數(shù)也就確定了.換句話說,若兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則相同,則可將這兩個(gè)函數(shù)視為相同的函數(shù).

例1-1-試求函數(shù)的定義域.

解函數(shù)的定義域就是使其表達(dá)式有意義的自變量的取值范圍.題目函數(shù)的表達(dá)式中含有分式、偶次根式和對(duì)數(shù)式,因?yàn)榉质降姆帜覆荒転榱?偶次根式的被開方式不能小于零,對(duì)數(shù)的真數(shù)部分必須大于零,所以,要使此函數(shù)有意義,變量x必須滿足

即-3<x<3且x>1,故所求函數(shù)的定義域?yàn)?1,3).

2.函數(shù)的常用表示法

(1)表格法:將一系列自變量值與對(duì)應(yīng)的函數(shù)值列成表來表示函數(shù)關(guān)系的方法.例如,我們經(jīng)常會(huì)遇到的某商品的月銷售額,某開放式基金的每天凈值表等都是用表格法表示的函數(shù).

(2)圖示法:用坐標(biāo)平面上曲線來表示函數(shù)的方法.一般用橫坐標(biāo)表示自變量,縱坐標(biāo)表示因變量.例如,在直角坐標(biāo)系中,半徑為r、圓心在原點(diǎn)的圓的圖示法如圖1-1所示.

(3)解析法(公式法):用數(shù)學(xué)式子表示自變量和因變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系的方法.例如,在直角坐標(biāo)系中,半徑為r、圓心在原點(diǎn)的圓的方程是x2+y2=r2.

根據(jù)解析表達(dá)式的不同,函數(shù)也可以分為顯函數(shù)、隱函數(shù):

(1)顯函數(shù):函數(shù)y由x的解析表達(dá)式直接表示,例如y=x2+1、f(x)=2x3+cosx等.

(2)隱函數(shù):函數(shù)的自變量x與因變量y的對(duì)應(yīng)關(guān)系由方程F(x,y)=0來確定,例如lny=sin(x+y)、ey+xy-e=0等.

圖1-1

例1-4設(shè)求f(-1)、f(2)及函數(shù)的定義域.

解由函數(shù)的表達(dá)式可知

函數(shù)的定義域?yàn)?-2,1]∪(1,+∞)=(-2,+∞).

注:分段函數(shù)的定義域?yàn)楦鞫伪磉_(dá)式定義范圍的并集.

3.函數(shù)的特性

函數(shù)的特性指的是函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、有界性和周期性,可以參看緒論的預(yù)備知識(shí),這里不再重復(fù)介紹.

二、初等函數(shù)

1.基本初等函數(shù)

基本初等函數(shù)主要有如下六類:

(1)常數(shù)函數(shù)y=C;

(2)冪函數(shù)y=xa;

(3)指數(shù)函數(shù)y=ax

(a>0,a≠1);

(4)對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,a≠1);

(5)三角函數(shù)y=sinx、y=cosx、y=tanx、y=cotx、y=secx、y=CSCx;

(6)反三角函數(shù)y=arcsinx、y=arccosx、y=arctanx、y=arccotx.這六類基本初等函數(shù)的圖形和主要性質(zhì)可以參見緒論的預(yù)備知識(shí).

2.復(fù)合函數(shù)

引例3【原油擴(kuò)散面積】油輪在海洋發(fā)生原油泄漏事故,假設(shè)原油污染海水的面積A是被污染圓形水面的半徑r的函數(shù)A=πr2.同時(shí)由于原油在海面上不斷擴(kuò)散,污染半徑r又是時(shí)間t的函數(shù)r=φ(t).因此,原油擴(kuò)散面積A與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系是

定義1-2若y是u的函數(shù)y=f(u),而u又是x的函數(shù)u=φ(x),函數(shù)u=φ(x)的值域與y=f(u)的定義域相交非空,我們稱函數(shù)y=f[φ(x)]是由函數(shù)y=f(u)及u=φ(x)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù),其中u稱為中間變量,y=f(u)稱為外層函數(shù),它表示因變量y與中間變量u的函數(shù)關(guān)系;u=φ(x)稱為內(nèi)層函數(shù),它是中間變量u與自變量x的函數(shù)關(guān)系.

要認(rèn)識(shí)復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu),也就是要理解如何對(duì)復(fù)合函數(shù)進(jìn)行分解.通常采取由外層到內(nèi)層分解的辦法,將復(fù)合函數(shù)分解成若干基本初等函數(shù)或簡單函數(shù)的復(fù)合.習(xí)慣上,我們將基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算所得到的函數(shù)稱為簡單函數(shù).

1.2極限的概念

一、數(shù)列的極限引例【截棒問題】在我國春秋戰(zhàn)國時(shí)期的《莊子·天下篇》中有這樣一段話:“一尺之棰,日取其半,萬世不竭.”即一尺長的一根木棒,每天截下它的一半,可以一天天地截下去,永遠(yuǎn)都有剩余的量.每天剩余的長度構(gòu)成一個(gè)數(shù)列

定義1-3如果當(dāng)項(xiàng)數(shù)n無限增大時(shí),無窮數(shù)列{xn}的通項(xiàng)xn

無限地趨近于某個(gè)確定的常數(shù)A,則稱A是數(shù)列{xn}的極限,記作

或者

若數(shù)列{xn}的極限存在,也稱數(shù)列{xn}收斂.若當(dāng)n無限增大時(shí),xn

不趨近于任何常數(shù),則稱數(shù)列{xn}極限不存在或發(fā)散.

二、函數(shù)的極限

數(shù)列可以看成定義在正整數(shù)集上的一類特殊函數(shù)xn=f(n)(n=1,2,3,…),n只有一種變化方式,即n→+∞(通常用n→∞表示).而一般函數(shù)y=f(x)的自變量x卻有多種變化方式.函數(shù)極限研究的是自變量x在各種變化過程中相應(yīng)函數(shù)值的變化趨勢,下面分兩種情形來討論.

1.自變量趨于無窮的情形(x→∞)

x→∞包含以下三種情況:

(1)x→+∞表示x取正值且無限增大;

(2)x→-∞表示x取負(fù)值且絕對(duì)值無限增大(即x無限減小);

(3)x→∞表示x的絕對(duì)值x無限增大(包含x→+∞和x→-∞兩種情況)

定義1-6當(dāng)自變量x的絕對(duì)值無限增大時(shí),如果函數(shù)值f(x)無限趨近于某個(gè)確定的常數(shù)A,則稱A為函數(shù)f(x)當(dāng)x→∞時(shí)的極限,記作圖1-2

注:x→+∞(或x→-∞)時(shí)函數(shù)的極限,反映的是自變量單方向變化時(shí)函數(shù)的極限,稱為單向極限,它們與雙向極限(x→∞)之間存在如下關(guān)系,即

2.自變量趨于有限值x0的情形(x→x0)

定義1-7設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有定義,如果當(dāng)x→x0時(shí),相應(yīng)的函數(shù)值f(x)無限趨近于某個(gè)確定的常數(shù)A,則稱A為函數(shù)f(x)在x→x0時(shí)的雙側(cè)極限(簡稱極限),記作圖1-3

三、極限的性質(zhì)

利用函數(shù)極限的定義,可以得到函數(shù)極限的一些性質(zhì).下面僅以x→x0的極限形式為代表不加證明地給出這些性質(zhì);至于其他形式的極限的性質(zhì),只需做些修改即可得到.

1.3無窮小與無窮大

無窮小與無窮大反映了自變量在某一變化過程中,因變量的絕對(duì)值無限減小和無限增大這兩種特殊的變化趨勢.

1.無窮小的概念

引例1-【電容器放電】電容器放電時(shí),其電壓隨時(shí)間的增加而逐漸減少并無限趨近于0.

引例2【洗滌效果】在用洗衣機(jī)清洗衣物時(shí),清洗次數(shù)越多,衣物上殘留的污漬就越少.當(dāng)清洗次數(shù)無限增大時(shí),衣物上的污漬量就會(huì)無限趨近于0.

正如上述的引例,在對(duì)事物進(jìn)行定量分析時(shí),經(jīng)常會(huì)遇到變量趨于0的情形.我們把趨向于0的變量稱為無窮小量,下面給出無窮小的定義.

定義1-9在自變量的某一變化過程中,極限為零的變量稱為無窮小量,簡稱無窮小.

注:(1)無窮小是極限為0的變量(函數(shù)),而非一個(gè)很小的數(shù);

(2)常數(shù)中只有0是無窮小;

(3)無窮小是與自變量的變化過程緊密相關(guān)的,因此說一個(gè)變量為無窮小時(shí)要指明自變量的變化過程.

2.無窮小的性質(zhì)

在自變量的同一變化過程中,無窮小滿足以下性質(zhì):

性質(zhì)1-4有限個(gè)無窮小的代數(shù)和仍是無窮小.

性質(zhì)1-5有限個(gè)無窮小的乘積仍是無窮小.

性質(zhì)1-6常數(shù)與無窮小之積仍是無窮小.

性質(zhì)1-7有界變量與無窮小的乘積是無窮小.

例1-11-求下列極限:

二、無窮大

無窮小是絕對(duì)值無限減小的變量,它的對(duì)立面就是絕對(duì)值無限增大的變量,為此我們給出如下定義:

1.無窮大的概念

定義1-10如果在x的某個(gè)變化過程中|f(x)|無限增大,則稱f(x)是x在該變化過程中的無窮大量,簡稱為無窮大,記作limf(x)=∞.

注:在上述定義中,如果f(x)是取正值無限增大,則稱f(x)為正無窮大,記作limf(x)=+∞;如果f(x)是取負(fù)值而絕對(duì)值無限增大,則稱f(x)為負(fù)無窮大,記作limf(x)=-∞.

2.無窮小與無窮大的關(guān)系

由無窮小與無窮大的定義可知,它們之間有著密切的關(guān)系:在自變量的同一變化過程中,無窮大的倒數(shù)是無窮小,非零無窮小的倒數(shù)是無窮大.

三、無窮小的比較

我們已經(jīng)知道了有限個(gè)無窮小的和、差、積仍然是無窮小,但關(guān)于兩個(gè)無窮小商的極限卻會(huì)出現(xiàn)不同的情況,例如,當(dāng)x→0時(shí),x、x2、sinx都是無窮小,然而它們的商的極限會(huì)出現(xiàn)如下不同的情況:

1.無窮小比較的定義

定義1-11-設(shè)α與β是自變量在同一變化過程中的無窮小,且β≠0:

2.等價(jià)無窮小的應(yīng)用

等價(jià)無窮小在求兩個(gè)無窮小比值的極限時(shí)有重要作用.

1.4極限的運(yùn)算法則和兩個(gè)重要極限

一、極限的四則運(yùn)算法則

設(shè)函數(shù)f(x)與g(x)在自變量x的同一變化過程中極限均存在,其中l(wèi)imf(x)=A,limg(x)=B(此處省略了自變量x的變化過程),則有

特別地,有

注:上述法則(1)、(2)可以推廣到有限多個(gè)具有極限的函數(shù)相加、相減和乘積的情形.

二、兩個(gè)重要極限

1.第一個(gè)重要極限

我們通過表1-1來觀察x→0時(shí),函數(shù)的變化趨勢.

例1-22已知半徑為R的圓內(nèi)接正n邊形的面積

求該圓的面積A.

2.第二個(gè)重要極限

我們通過表1-2來觀察當(dāng)x→∞時(shí),函數(shù)的變化趨勢.

第二個(gè)重要極限的兩種表達(dá)式雖然不同,但其實(shí)質(zhì)是相同的,都具有如下特征:

(1)函數(shù)的極限形式為“1∞”型;

(2)函數(shù)式底數(shù)部分為“1+無窮小量”,且該無窮小量與函數(shù)式指數(shù)部分互為倒數(shù);

(3)兩種形式的推廣形式分別為

1.5函數(shù)的連續(xù)性一、函數(shù)連續(xù)性的定義1.函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的連續(xù)性首先我們來介紹改變量的概念,在此基礎(chǔ)上給出函數(shù)連續(xù)的定義.設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)有定義,當(dāng)自變量x由x0變到x1(x1-也在該鄰域內(nèi))時(shí),把x1--x0叫做自變量x的改變量,記作Δx(可正可負(fù)),即Δx=x1--x0.這時(shí)x1-=x0+Δx,函數(shù)值相應(yīng)地由f(x0)變化到f(x0+Δx),稱

為函數(shù)值的改變量,如圖1-4所示.當(dāng)自變量的改變量Δx很小時(shí),函數(shù)值的改變量Δy也很小,且當(dāng)Δx→0時(shí),相應(yīng)地有Δy→0,這時(shí)函數(shù)的圖像在點(diǎn)x0處沒有斷開,此時(shí)我們有如下定義:

定義1-12設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)有定義,若自變量的改變量Δx趨于0時(shí),對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的改變量Δy也趨于零,即

則稱函數(shù)y=f(x)在x0處是連續(xù)的;x0稱為函數(shù)y=f(x)的連續(xù)點(diǎn);否則稱y=f(x)在x0處不連續(xù)(間斷).

圖1-4

定義1-13設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)有定義,若

則稱函數(shù)y=f(x)在x0處連續(xù),x0稱為y=f(x)的連續(xù)點(diǎn).

根據(jù)定義1-13,函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)必須同時(shí)滿足如下條件:

(1)y=f(x)在點(diǎn)x0處要有定義;

(2)極限要存在;

(3)時(shí)的極限值等于x0處的函數(shù)值).

2.函數(shù)的間斷點(diǎn)

如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處不連續(xù)(間斷),則稱x0為函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn).函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處間斷有以下三種可能:

(1)函數(shù)f(x)在x0處沒有定義;

(2)函數(shù)f(x)在x0處有定義,但極限

(3)函數(shù)f(x)在x0處有定義,且極限存在,但

例1-27試判斷下列函數(shù)在x=1處是否連續(xù).若不連續(xù),指明其間斷點(diǎn)類型.

3.左連續(xù)、右連續(xù)

鑒于函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)與極限的關(guān)系,考慮到函數(shù)左、右極限的概念,我們有如下定義:定義1-14設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0左側(cè)(右側(cè))附近有定義,若

則稱函數(shù)y=f(x)在x0處左連續(xù)(右連續(xù)).

顯然,例1-27中的函數(shù)處是左連續(xù),但不是右連續(xù)的.

定理1-2函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)的充分必要條件是函數(shù)f(x)在x0處既左連續(xù)又右連續(xù).

4.函數(shù)y=f(x)在區(qū)間內(nèi)(上)的連續(xù)性

如果y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù),我們稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù).此時(shí),函數(shù)y=f(x)稱為區(qū)間(a,b)內(nèi)的連續(xù)函數(shù),區(qū)間(a,b)稱為函數(shù)y=f(x)的連續(xù)區(qū)間.

若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù),且在a處右連續(xù),在b處左連續(xù),我們稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù).

二、初等函數(shù)的連續(xù)性

我們不加證明地給出如下重要結(jié)論:初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.

由初等函數(shù)的連續(xù)性可知,初等函數(shù)的連續(xù)區(qū)間就是該函數(shù)的定義區(qū)間.對(duì)于分段函數(shù),除了按上述結(jié)論討論每一段函數(shù)的連續(xù)性外,還必須討論在分段點(diǎn)處的連續(xù)性.

一切初等函數(shù)在其定義域范圍內(nèi)都是連續(xù)的,而且若函數(shù)f(x)在x0處連續(xù),則有等成立.因此,我們?cè)谇蠛瘮?shù)極限時(shí),就可充分利用這兩點(diǎn),只要能確定x0是初等函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的點(diǎn),就有

三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

下面介紹閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的三個(gè)主要性質(zhì),我們不加證明直接給出如下定理:

定理1-4(最值定理)閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)f(x)一定存在最大值和最小值.

定理1-5(介值定理)設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),且f(a)≠f(b),則對(duì)介于f(a)和f(b)之間的任一數(shù)μ,至少存在一個(gè)ξ∈(a,b),使得f(ξ)=μ(見圖1-5).

定理1-6(零點(diǎn)定理)設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),且f(a)f(b)<0,則至少存在一個(gè)ξ∈(a,b),使得f(ξ)=0(見圖1-6)圖1-5圖1-6

例1-30證明方程x3-4x2+1=0在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根.

證明令f(x)=x3-4x2+1,顯然初等函數(shù)f(x)=x3-4x2+1在閉區(qū)間[0,1]上連續(xù),并且f(0)=1>0,f(1)=-2<0.所以由零點(diǎn)定理可知,在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ,使得f(ξ)=0,即方程x3-4x2+1=0在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根.

本章小結(jié)

一、函數(shù)的概念1)函數(shù)的定義設(shè)有兩個(gè)變量x和y,若變量x在非空實(shí)數(shù)集D內(nèi)任取定一個(gè)數(shù)值時(shí),變量y按照一定的法則f,總有確定的數(shù)值與之對(duì)應(yīng),我們則稱y是x的函數(shù),記作其中x稱為自變量;y稱為函數(shù)或因變量;自變量的取值范圍D稱為函數(shù)y=f(x)的定義域;f稱為對(duì)應(yīng)法則.

2)函數(shù)的兩個(gè)要素

函數(shù)的定義域是使函數(shù)表達(dá)式有意義的自變量的取值范圍,函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則稱為函數(shù)的兩個(gè)要素.若兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則都相同,則這兩個(gè)函數(shù)相同.

3)分段函數(shù)

在定義域的不同范圍內(nèi)具有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)稱為分段函數(shù).

4)函數(shù)的特性

函數(shù)的特性指的是函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、有界性和周期性(參見緒論預(yù)備知識(shí)).

二、初等函數(shù)

1)基本初等函數(shù)

我們把常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)稱為六類基本初等函數(shù),這六類基本初等函數(shù)的圖形和性質(zhì)參見緒論預(yù)備知識(shí).

2)復(fù)合函數(shù)

若y是u的函數(shù)y=f(u),而u又是x的函數(shù)u=φ(x),且φ(x)函數(shù)值的全部或部分在y=f(u)的定義域內(nèi),則稱函數(shù)y=f[φ(x)]是由函數(shù)y=f(u)及u=φ(x)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù),其中u稱為中間變量.

復(fù)合函數(shù)通常采取由外層到內(nèi)層分解的辦法,將其分解成若干基本初等函數(shù)或簡單函數(shù)的復(fù)合.

3)初等函數(shù)

由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算構(gòu)成,并能用一個(gè)解析式來表示的函數(shù)稱為初等函數(shù).

三、極限的概念

1)數(shù)列的極限如果當(dāng)項(xiàng)數(shù)n無限增大時(shí),無窮數(shù)列{xn}的通項(xiàng)xn無限地趨近于某個(gè)確定的常數(shù)A,則稱A是數(shù)列{xn}的極限,記作

若數(shù)列{xn}的極限存在,則稱數(shù)列{

xn}收斂.若當(dāng)n無限增大時(shí),xn不趨近于任何常數(shù),那么就說數(shù)列{xn}極限不存在或數(shù)列發(fā)散.

2)函數(shù)的極限

當(dāng)自變量x取正值且無限增大時(shí)(x→+∞),如果函數(shù)值f(x)無限趨近于某個(gè)確定的常數(shù)A,則稱A為函數(shù)f(x)當(dāng)x→+∞時(shí)的極限,記作

3)單側(cè)極限與雙側(cè)極限的關(guān)系

3)無窮小的性質(zhì)

在自變量的同一變化過程中,無窮小滿足以下性質(zhì):

性質(zhì)1-有限個(gè)無窮小的代數(shù)和仍是無窮小.

性質(zhì)2有限個(gè)無窮小的乘積仍是無窮小.

性質(zhì)3常數(shù)與無窮小之積仍是無窮小.

性質(zhì)4有界變量與無窮小的乘積是無窮小.

4)無窮小與無窮大的關(guān)系在自變量的同一變化過程中,無窮大的倒數(shù)是無窮小,非零無窮小的倒數(shù)是無窮大.

5)無窮小的比較

設(shè)α與β是自變量在同一變化過程中的無窮小,且β≠0:

七、函數(shù)的連續(xù)性

1)函數(shù)連續(xù)的定義設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)有定義,若則稱函數(shù)y=f(x)在x0

處連續(xù),x0

稱為y=f(x)的連續(xù)點(diǎn).

根據(jù)定義可知,函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)必須同時(shí)滿足如下條件:

(1)y=f(x)在點(diǎn)x0處要有定義;

(2)極限要存在;

(3)0時(shí)的極限值等于x0處的函數(shù)值).

2)函數(shù)的間斷點(diǎn)

只要函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0

處不滿足上述條件中的任何一個(gè)條件,我們就稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0

處是不連續(xù)的(間斷的),x0

稱為函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn).

間斷點(diǎn)可以分為第一類間斷點(diǎn)和第二類間斷點(diǎn),左、右極限都存在的間斷點(diǎn)稱為第一類間斷點(diǎn);左極限、右極限至少有一個(gè)不存在的間斷點(diǎn)稱為第二類間斷點(diǎn).在第一類間斷點(diǎn)中,如果左、右極限相等,則稱其為可去間斷點(diǎn);如果左、右極限不相等,則稱其為跳躍間斷點(diǎn).

函數(shù)f(x)在x0

處連續(xù)的充分必要條件是函數(shù)f(x)在x0

處既左連續(xù)又右連續(xù).

3)初等函數(shù)的連續(xù)性

一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.

4)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

(1)最值定理:閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)f(x)一定存在最大值和最小值.

(2)介值定理:設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),且f(a)≠f(b),則對(duì)介于f(a)和f(b)之間的任一數(shù)μ,至少存在一個(gè)ξ∈(a,b),使得f(ξ)=μ.

(3)零點(diǎn)定理:設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),且f(a)f(b)<0,則至少存在一個(gè)ξ∈(a,b),使得f(ξ)=0.第二章導(dǎo)數(shù)與微分2.1導(dǎo)數(shù)的概念2.2函數(shù)的求導(dǎo)法則2.3隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2.4高階導(dǎo)數(shù)2.5函數(shù)的微分本章小結(jié)

2.1導(dǎo)數(shù)的概念

一、引例

為了說明導(dǎo)數(shù)的概念,我們首先討論與導(dǎo)數(shù)概念的形成密切相關(guān)的兩個(gè)問題:變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度與曲線的切線斜率.

1.變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度

設(shè)質(zhì)點(diǎn)做變速直線運(yùn)動(dòng)的位置函數(shù)為s=s(t),試確定該質(zhì)點(diǎn)在任一給定時(shí)刻t0時(shí)的瞬時(shí)速度v(t0).根據(jù)該質(zhì)點(diǎn)的位置函數(shù),從時(shí)刻t0到時(shí)刻t0+Δt這段時(shí)間內(nèi),質(zhì)點(diǎn)從位置s(t0)運(yùn)動(dòng)到s(t0+Δt),所經(jīng)過的路程是Δs=s(t0+Δt)-s(t0),如圖21所示,因而質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻t0到時(shí)刻t0+Δt這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為

引例2【制作圓形的餐桌玻璃】一張圓形餐桌上需要加裝圓形玻璃.測量出餐桌的直徑后,工藝店的師傅就會(huì)在一塊方形的玻璃上畫出一個(gè)同樣大的圓,然后沿著圓形的邊緣劃掉多余的玻璃,最后用砂輪不斷在邊緣打磨.當(dāng)玻璃的邊緣非常光滑時(shí),一塊圓形的餐桌玻璃就做好了.從數(shù)學(xué)的角度來講,工藝店師傅打磨的過程就是在作圓的切線的過程.

由中學(xué)知識(shí),我們知道圓的切線是與圓有唯一交點(diǎn)的直線.但是對(duì)于一般的曲線y=f(x)來說,其在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線又是怎樣定義的呢?

2.平面曲線的切線斜率

設(shè)有曲線L,P為曲線上一定點(diǎn),在L上點(diǎn)P外另取一點(diǎn)Q,作割線PQ.當(dāng)點(diǎn)Q沿曲線L移動(dòng)并趨近于點(diǎn)P時(shí),如果割線PQ繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的極限位置存在,那么處于此極限位置的直線PT稱為曲線L在點(diǎn)P處的切線,定點(diǎn)P叫做切點(diǎn),如圖22所示,過切點(diǎn)垂直于該切線的直線叫做曲線在該點(diǎn)的法線.圖22

下面討論如何求切線的斜率.設(shè)曲線L是函數(shù)y=f(x)的圖形,如圖23所示,求曲線L在點(diǎn)P(x0,f(x0))處切線的斜率.圖23

在曲線L上點(diǎn)P外另取一點(diǎn)Q(x0+Δx,f(x0+Δx)),割線PQ的傾斜角為φ,則割線PQ的斜率為

當(dāng)點(diǎn)Q沿曲線L趨于點(diǎn)P時(shí),Δx→0,割線PQ的傾斜角φ就趨于切線PT的傾斜角α.如果割線PQ斜率的極限存在(設(shè)為k),那么此極限值k即為曲線L在點(diǎn)P處的切線的斜率,即

函數(shù)y=f(x)在x0處可導(dǎo),也稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處具有導(dǎo)數(shù)或?qū)?shù)存在.若令x=x0+Δx,則式(21)也可以寫為

如果式(21)或式(22)中的極限不存在,則稱函數(shù)y=f(x)在x0處不可導(dǎo).

例21已知函數(shù)f(x)=x2,求f'(3).

式(21)或式(22)極限存在的充分必要條件是左、右極限存在且相等.當(dāng)這兩個(gè)單側(cè)極限存在時(shí),我們給出如下單側(cè)導(dǎo)數(shù)的定義:

定義23如果函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)的每一點(diǎn)處都可導(dǎo),則稱函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo).如果函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且在點(diǎn)a右可導(dǎo)(點(diǎn)b左可導(dǎo)),則稱函數(shù)y=f(x)在左閉右開區(qū)間[a,b)(左開右閉區(qū)間(a,b])上可導(dǎo).如果函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且在點(diǎn)a右可導(dǎo),在點(diǎn)b左可導(dǎo),則稱函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上可導(dǎo).

顯然,函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f'(x0),就是導(dǎo)函數(shù)f'(x)在點(diǎn)x=x0處的函數(shù)值,即

有時(shí)為了清晰表明對(duì)哪個(gè)自變量求導(dǎo),也可在導(dǎo)數(shù)右下角寫出該自變量.例如,y'x和f'u表示函數(shù)y和f分別對(duì)x和u求導(dǎo)(分別以x和u為自變量)

有了導(dǎo)數(shù)的概念,前面兩個(gè)實(shí)際問題可以重述為:

(1)變速直線運(yùn)動(dòng)在時(shí)刻t0的瞬時(shí)速度就是位置函數(shù)s=s(t)在t0處的導(dǎo)數(shù)s'(t0),即

這就是導(dǎo)數(shù)的物理意義.

(2)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f'(x0),在幾何上表示曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處切線的斜率,即

這就是導(dǎo)數(shù)的幾何意義.

曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處的切線方程為

當(dāng)切線不平行于x軸(f'(x0)≠0)時(shí),法線方程為

當(dāng)切線平行于x軸(f'(x0)=0)時(shí),切線方程可簡化為y=f(x0),此時(shí)法線方程為x=x0.

三、求導(dǎo)舉例

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義,求某個(gè)函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)y',可以分為以下三個(gè)步驟:

例23求函數(shù)f(x)=C(C為常數(shù))的導(dǎo)數(shù).

解在x處給自變量一個(gè)增量Δx,相應(yīng)地,函數(shù)值的增量為

也就是說,常數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于零.

類似地,結(jié)合中學(xué)知識(shí)以及導(dǎo)數(shù)的定義,我們可得到下列公式:

特別地,當(dāng)a=e時(shí),有

四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系

定理22如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo),那么函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處必連續(xù).反之,函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù),在該點(diǎn)卻不一定可導(dǎo).例如,函數(shù)y=|x|在x=0處連續(xù),但它在x=0處卻不可導(dǎo)(見例22).圖24

2.2函數(shù)的求導(dǎo)法則

一、函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則定理23如果函數(shù)u=u(x)和v=v(x)都在點(diǎn)x處可導(dǎo),那么它們的和、差、積、商(分母為0的點(diǎn)除外)也都在點(diǎn)x處可導(dǎo),且有

特別地,有

式(29)、式(210)可以推廣到有限個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的情形.例如,設(shè)u=u(x),v=v(x),w=w(x)均可導(dǎo),則有

二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則

定理24如果函數(shù)x=f(y)在區(qū)間Iy內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且f'y(y)≠0,則其反函數(shù)y=f-1(x)在對(duì)應(yīng)的區(qū)間Ix={xx=f(y),y∈Iy}內(nèi)也可導(dǎo),且

即反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù).

三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

定理25若函數(shù)u=φ(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo),而函數(shù)y=f(u)在對(duì)應(yīng)的點(diǎn)u處可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)y=f[φ(x)]在點(diǎn)x處也可導(dǎo),且有

也可寫為

即復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù).

例212求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):

對(duì)于復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo),關(guān)鍵在于弄清函數(shù)的復(fù)合關(guān)系.當(dāng)復(fù)合函數(shù)的分解比較熟練后,就不必再寫出中間變量,而由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接寫出求導(dǎo)結(jié)果.其實(shí)對(duì)于多層復(fù)合的函數(shù)求導(dǎo),可由外往里逐層求導(dǎo).在對(duì)每層函數(shù)求導(dǎo)時(shí),該層函數(shù)符號(hào)內(nèi)的式子可當(dāng)做一個(gè)字母看待.

例214【半徑的變化率問題】設(shè)氣體以100cm3/s的常速注入球狀的氣球.假定氣體的壓力不變,那么當(dāng)半徑為10cm時(shí),氣球半徑增加的速率是多少?

解設(shè)在t時(shí)刻氣球的體積與半徑分別為V和r,顯然有

所以通過中間變量r將V化為關(guān)于時(shí)間t的函數(shù),這是一個(gè)復(fù)合函數(shù),即

四、基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式

2.3隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

有些函數(shù)的表示方式卻不是這樣的,如方程x+y3-1=0可確定一個(gè)函數(shù).當(dāng)變量x在(-∞,+∞)內(nèi)取值時(shí),變量y有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng),因而y是x的函數(shù).這樣由方程確定的函數(shù)稱為隱函數(shù).

一般地,如果變量x和y滿足方程F(x,y)=0,在一定條件下,當(dāng)x在某范圍內(nèi)任意取一確定值時(shí),F(x,y)=0總可以相應(yīng)地確定唯一一個(gè)變量y的值,那么方程F(x,y)=0便確定了y是x的函數(shù)y=y(x),這種函數(shù)稱為隱函數(shù).

例215求由單位圓方程x2+y2=1所確定的隱函數(shù)y=y(x)的導(dǎo)數(shù)y'x.解方程兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo),得

例216求下列方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù):

解(1)方程兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo),由于y是x的函數(shù),y3是x的復(fù)合函數(shù),按復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,可得

(2)方程兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo),由于y是x的函數(shù),得

從以上例題可以看出,求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí),只需將方程兩邊同時(shí)對(duì)自變量x求導(dǎo),遇到y(tǒng)就看成x的函數(shù),遇到y(tǒng)的函數(shù)就看成是x的復(fù)合函數(shù),然后從求導(dǎo)數(shù)后所得的關(guān)系式中解出y'x,即得到所求的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

二、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法

在實(shí)際求導(dǎo)中,有時(shí)會(huì)遇到給定的函數(shù)雖為顯函數(shù),但直接求導(dǎo)數(shù)會(huì)很復(fù)雜的問題.對(duì)于這樣的函數(shù),可先對(duì)等式兩邊取對(duì)數(shù)(一般取以e為底的自然對(duì)數(shù)),把顯函數(shù)化為隱函數(shù)的形式,再利用隱函數(shù)求導(dǎo)法進(jìn)行求導(dǎo),這種求導(dǎo)的方法稱為對(duì)數(shù)求導(dǎo)法.這一特殊的求導(dǎo)法適用于求冪指函數(shù)y=[u(x)]v(x)或由多個(gè)因子的積、商、冪構(gòu)成的函數(shù)的求導(dǎo).

三、參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

一般地,由形如

的方程所確定的y與x之間的函數(shù)關(guān)系,稱為由參數(shù)方程所確定的函數(shù).

對(duì)由參數(shù)方程所確定的函數(shù)求導(dǎo),通常并不需要由參數(shù)方程消去參數(shù)t,化為y與x之間的直接函數(shù)關(guān)系后再求導(dǎo).下面給出由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)公式,即

2.4高階導(dǎo)數(shù)

我們知道,變速直線運(yùn)動(dòng)的速度v是位置函數(shù)s=s(t)對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù),即而加速度a又是速度v對(duì)時(shí)間t的變化率,即速度v對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)

類似地,二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做三階導(dǎo)數(shù),三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做四階導(dǎo)數(shù)…一般地,若函數(shù)y=f(x)的n-1階導(dǎo)數(shù)仍可導(dǎo),則函數(shù)y=f(x)的n-1階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做y=f(x)的n階導(dǎo)數(shù).函數(shù)y=f(x)的三階、四階、…,n階導(dǎo)數(shù)分別記作

函數(shù)y=f(x)具有n階導(dǎo)數(shù),常稱函數(shù)

f(x)為n階可導(dǎo).如果函數(shù)

f(x)在點(diǎn)x處具有n階導(dǎo)數(shù),那么

f(x)在點(diǎn)x的某一鄰域內(nèi)必定具有一切低于n階的導(dǎo)數(shù).二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù).

由此可見,求高階導(dǎo)數(shù)就是多次連續(xù)地求導(dǎo)數(shù),所以仍可應(yīng)用前面學(xué)過的求導(dǎo)方法來求高階導(dǎo)數(shù).

例222【剎車測試】某一汽車廠在測試汽車的剎車性能時(shí)發(fā)現(xiàn),剎車后汽車行駛的路程s(單位:m)與時(shí)間t(單位:s)滿足s=19.2t-0.4t3.假設(shè)汽車作直線運(yùn)動(dòng),求汽車在t=3s時(shí)的速度和加速度.

2.5函數(shù)的微分

一、微分的概念引例【薄片面積的增量】如圖25所示,一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響,其邊長由x0變?yōu)閤0+Δx,問該薄片的面積A改變了多少?

若用x表示該薄片的邊長,A表示面積,則A是x的函數(shù)A=x2.薄片受溫度變化的影響時(shí)面積的改變量,可以看作是當(dāng)自變量x在x0取得增量Δx時(shí),函數(shù)值A(chǔ)=x2相應(yīng)的增量ΔA,即圖25

定義24設(shè)函數(shù)y=f(x)在某區(qū)間內(nèi)有定義,且x0及x0+Δx在該區(qū)間內(nèi),如果函數(shù)的增量

可表示為

其中A是與Δx無關(guān)的常數(shù),則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0可微,并且稱A·Δx為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0相對(duì)于自變量增量Δx的微分,記作dy,即

例226【球體積的微分】半徑為r的球,其體積為

當(dāng)半徑增大Δr時(shí),計(jì)算球體積的改變量及微分.

解體積的改變量為

顯然有

故體積微分為

二、微分的幾何意義

在直角坐標(biāo)系中,函數(shù)y=f(x)的圖形是一條曲線.對(duì)于某一固定的x0值,曲線上有一個(gè)確定點(diǎn)M(x0,y0),當(dāng)自變量x在該處有微小增量Δx時(shí),就得到曲線上另一點(diǎn)N(x0+Δx,y0+Δy).由圖26可知,MQ=Δx,QN=Δy.圖26

過M點(diǎn)作曲線的切線MT,它的傾角為α,則

即

由此可見,當(dāng)Δy是曲線y=f(x)上的M點(diǎn)的縱坐標(biāo)的增量時(shí),dy就是曲線切線上M點(diǎn)的縱坐標(biāo)的相應(yīng)增量.當(dāng)Δx很小時(shí),Δy-dy比Δx小得多.因此在點(diǎn)M鄰近,我們可以用切線段來近似代替曲線段.

三、微分運(yùn)算法則及微分公式表

1.微分運(yùn)算法則

由dy=f'(x)dx很容易得到微分的運(yùn)算法則及微分公式表(u、v都可導(dǎo))

3.復(fù)合函數(shù)的微分法則

設(shè)y=f(u)及u=φ(x)都可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)y=f[φ(x)]的微分為

由于φ'(x)dx=du,因此復(fù)合函數(shù)y=f[φ(x)]的微分公式也可以寫成

由此可見,無論u是自變量還是中間變量,微分形式dy=f'(u)du都保持不變.這一性質(zhì)稱為微分形式的不變性.該性質(zhì)表明,當(dāng)變換自變量時(shí),微分形式dy=f'(u)du并不會(huì)改變.

四、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用

1.計(jì)算函數(shù)改變量的近似值

由微分的定義可知如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f'(x0)≠0,且|Δx|很小時(shí),有

而且|Δx|越小,近似值的精確度越高.由于微分易于計(jì)算,因此要計(jì)算Δy的近似值,只需求dy即可.

例231【鍍層的近似值】有一半徑為1cm的球,為了提高球面的光潔度,要鍍上一層銅,厚度定為0.01cm.請(qǐng)估計(jì)一下每只球需要鍍多少克銅(銅的密度是8.98g/cm3)?

2.計(jì)算函數(shù)值的近似值

本章小結(jié)

5)隱函數(shù)求導(dǎo)對(duì)F(x,y)=0兩邊關(guān)于x求導(dǎo),把y看成是x的函數(shù),然后從求導(dǎo)后所得的關(guān)系式中解出y'x,即可求得隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

6)對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)數(shù)求導(dǎo)法適用于求冪指函數(shù)y=[u(x)]v(x)或由多個(gè)因子的積、商、冪構(gòu)成的函數(shù)的求導(dǎo).求導(dǎo)時(shí),先對(duì)等式兩邊取對(duì)數(shù)(一般取以e為底的對(duì)數(shù)函數(shù)),把顯函數(shù)化為隱函數(shù)的形式,再利用隱函數(shù)求導(dǎo)法進(jìn)行求導(dǎo).第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.1微分中值定理3.2洛必達(dá)法則3.3-函數(shù)的單調(diào)性與極值3.4最大值和最小值問題3.5曲線的凹凸性和拐點(diǎn)及函數(shù)圖像的描繪3.6*曲線的曲率本章小結(jié)

3.1微分中值定理

一、羅爾(Rolle)中值定理定理3-1(羅爾中值定理)若函數(shù)f(x)滿足:(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo);(3)f(a)=f(b),則至少存在一點(diǎn)ξ∈(a,b),使得f'(ξ)=0

羅爾中值定理的幾何意義:在閉區(qū)間[a,b]上有連續(xù)曲線y=f(x),除端點(diǎn)外,若曲線上的每一點(diǎn)都存在不垂直于x軸的切線,且曲線兩個(gè)端點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等,即f(a)=f(b),則在該條件下,開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ,使得曲線在點(diǎn)(ξ,f(ξ))的切線平行于x軸,如圖3-1所示.

導(dǎo)數(shù)等于0的點(diǎn)稱為函數(shù)的駐點(diǎn)(穩(wěn)定點(diǎn)).

注:羅爾中值定理的三個(gè)條件缺一不可,若有一個(gè)不成立,定理的結(jié)論就有可能不成立,且這些條件是充分非必要的.也就是說,即使三個(gè)條件不能同時(shí)滿足,結(jié)論也可能成立.

圖3-1

例3-1驗(yàn)證羅爾中值定理對(duì)函數(shù)f(x)=x3+4x2-7x-10在區(qū)間[-1,2]上的正確性,并求結(jié)論中的ξ.

二、拉格朗日(Lagrange)中值定理

在羅爾中值定理中,條件f(a)=f(b)相當(dāng)特殊,這使它的應(yīng)用受到限制.若把這個(gè)條件去掉,就得到微分學(xué)中一個(gè)十分重要的定理——拉格朗日中值定理.

定理3-2(拉格朗日中值定理)若函數(shù)f(x)滿足:

(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);

(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),則至少存在一點(diǎn)ξ∈(a,b),使得

式(3-1)稱為拉格朗日中值公式.

由圖3-2可看出,是割線AB的斜率,f'(ξ)是曲線在C點(diǎn)處切線的斜率.因此,拉格朗日中值定理的幾何意義是:如果連續(xù)曲線y=f(x)在區(qū)間[a,b]上,除端點(diǎn)外處處具有不垂直于x軸的切線,那么在這條曲線上至少有一點(diǎn)C,使曲線在點(diǎn)C處的切線平行于連接曲線兩端點(diǎn)的割線AB。

不難看出羅爾定理是拉格朗日中值定理在f(a)=f(b)時(shí)的特殊情形,而拉格朗日中值定理是羅爾中值定理的推廣.圖3-2

設(shè)x,x+Δx∈(a,b),則Δy=f(x+Δx)-f(x).取x、x+Δx為端點(diǎn)的區(qū)間,公式(3-1)在該區(qū)間上就變?yōu)?/p>

或

即

式(3-2)給出了自變量取得有限增量Δx(|Δx|不一定很小)時(shí),函數(shù)增量Δy的精確表達(dá)式,這個(gè)公式又稱為有限增量公式.拉格朗日中值定理在微分學(xué)中占有重要的地位,有時(shí)也稱這個(gè)定理為微分中值定理.

推論3-1設(shè)f(x)在區(qū)間I上連續(xù),在I內(nèi)可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)恒為0,則f(x)在區(qū)間I上恒為常數(shù).

證明在區(qū)間I內(nèi)任取兩點(diǎn)x1、x2,不妨設(shè)x1<x2,則f(x)在區(qū)間[x1,x2]上滿足拉格朗日中值定理的條件.由式(3-1)可得

由已知條件可知f'(ξ)=0,因此有f(x2)=f(x1).又由x1、x2的任意性可知,函數(shù)f(x)在區(qū)間I上恒為常數(shù).

推論3-2如果函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間I上的導(dǎo)數(shù)恒相等,即有f'(x)≡g'(x),那么在區(qū)間I上有f(x)=g(x)+C,其中C為常數(shù).

證明在區(qū)間I內(nèi)任取一點(diǎn)x,由已知條件可知[f(x)-g(x)]'=f'(x)-g'(x)=0.由推論3-1可知f(x)-g(x)在區(qū)間I上恒為常數(shù),即f(x)-g(x)=C或f(x)=g(x)+C.結(jié)論得證.

三、柯西(Cauchy)中值定理

定理3-3-(柯西中值定理)若函數(shù)f(x)和g(x)滿足:

(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);

(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo);

(3)對(duì)任意的x∈(a,b),有g(shù)'(x)≠0,則至少存在一點(diǎn)ξ∈(a,b),使得

顯然,若取g(x)=x,則g(b)-g(a)=b-a,g'(x)=1,此時(shí)柯西中值定理就變成拉格朗日中值定理.因此,拉格朗日中值定理是柯西中值定理在g(x)=x時(shí)的特殊情形,而柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推廣.

3.2洛必達(dá)法則

(2)在求極限過程中,如有可約因子,或有非零極限值的乘積因子,則可先約去或算出,簡化演算步驟

3.3-函數(shù)的單調(diào)性與極值

一、函數(shù)單調(diào)性的判定法

定理3-5(函數(shù)單調(diào)性的判定法)設(shè)函數(shù)y=f(x)在[a,b]上連續(xù)且在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),如果(1)在(a,b)內(nèi)f'(x)>0,那么函數(shù)y=f(x)在[a,b]上單調(diào)遞增;(2)在(a,b)內(nèi)f'(x)<0,那么函數(shù)y=f(x)在[a,b]上單調(diào)遞減.定理3-5是以閉區(qū)間為例敘述的.若將閉區(qū)間換成其他區(qū)間,結(jié)論仍然成立.

例3-15討論函數(shù)f(x)=ln(1+x2)的單調(diào)性.

解

f(x)的定義域?yàn)?-∞,+∞),在定義域內(nèi)f(x)可導(dǎo),且

當(dāng)x<0時(shí),f'(x)<0;當(dāng)x>0時(shí),f'(x)>0.所以f(x)=ln(1+x2)在(-∞,0