量子力學(xué)試題含答案

PAGE第17頁共27頁 一、填空題：（每題4分，共40分）得分評卷人1.微觀粒子具有波粒二象性。2．德布羅意關(guān)系是粒子能量E、動(dòng)量P與頻率、波長之間的關(guān)系，其表達(dá)式為：E=,p=。3．根據(jù)波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋，的物理意義為：粒子在x—dx范圍內(nèi)的幾率。4．量子力學(xué)中力學(xué)量用厄米算符表示。5．坐標(biāo)的分量算符和動(dòng)量的分量算符的對易關(guān)系為：。6．量子力學(xué)關(guān)于測量的假設(shè)認(rèn)為：當(dāng)體系處于波函數(shù)(x)所描寫的狀態(tài)時(shí)，測量某力學(xué)量F所得的數(shù)值，必定是算符的本征值。7．定態(tài)波函數(shù)的形式為：。8．一個(gè)力學(xué)量為守恒量的條件是：不顯含時(shí)間，且與哈密頓算符對易。9．根據(jù)全同性原理，全同粒子體系的波函數(shù)具有一定的交換對稱性，費(fèi)米子體系的波函數(shù)是_反對稱的_____________,玻色子體系的波函數(shù)是_對稱的________。10．每個(gè)電子具有自旋角動(dòng)量，它在空間任何方向上的投影只能取兩個(gè)數(shù)值為：。二、證明題：（每題10分，共20分）得分評卷人1、（10分）利用坐標(biāo)和動(dòng)量算符的對易關(guān)系，證明軌道角動(dòng)量算符的對易關(guān)系：證明：2、（10分）由Schr?dinger方程證明幾率守恒：其中幾率密度幾率流密度證明：考慮Schr?dinger方程及其共軛式：在空間閉區(qū)域τ中將上式積分，則有：三、計(jì)算題：（共40分）得分評卷人1、（10分）設(shè)氫原子處于狀態(tài)求氫原子能量E、角動(dòng)量平方L2、角動(dòng)量Z分量LZ的可能值及這些可能值出現(xiàn)的幾率。解：在此狀態(tài)中，氫原子能量有確定值，幾率為1角動(dòng)量平方有確定值為，幾率為1角動(dòng)量Z分量的可能值為其相應(yīng)的幾率分別為，2、（10分）求角動(dòng)量z分量的本征值和本征函數(shù)。解：波函數(shù)單值條件，要求當(dāng)φ轉(zhuǎn)過2π角回到原位時(shí)波函數(shù)值相等，即：求歸一化系數(shù)最后，得Lz的本征函數(shù)3、（20分）某量子體系Hamilton量的矩陣形式為：設(shè)c<<1，應(yīng)用微擾論求H本征值到二級近似。解：c<<1，可取0級和微擾Hamilton量分別為：H0是對角矩陣，是HamiltonH0在自身表象中的形式。所以能量的0級近似為：E1(0)=1E2(0)=3E3(0)=-2由非簡并微擾公式得能量一級修正：能量二級修正為：二級近似下能量本征值為：本套試卷共兩大類題，11題，滿分100分。最后一頁有可能用到的數(shù)學(xué)公式。一、證明題（共30分）1．（本題5分）證明方向動(dòng)量算符為厄密算符。證明：（3分）（2分）命題得證。2．（本題5分）證明對易關(guān)系：。證明：做運(yùn)算：，（3分）故有：即記為：（2分）3．（本題5分）證明對易關(guān)系：。證明：（3分）（2分）4．（本題5分）已知：，，證明：證明：（5分）5．（本題5分）若為泡利矩陣，證明。證明：由對易關(guān)系及反對易關(guān)系，得上式兩邊乘，得∵∴（5分）6．（本題5分）是否為厄密算符？給出證明。不是厄密算符（2分）（3分）二、計(jì)算題（共70分）7．（本題10分）設(shè)粒子處于和的共同本征態(tài)態(tài)，試求和。注意到即（5分）利用（5分）8．（本題15分） 設(shè)一體系未受微擾作用時(shí)只有兩個(gè)非簡并能級和，，現(xiàn)在受到微擾的作用，體系的哈密頓算符為其中為常數(shù)，用微擾公式求能量至二級近似，然后再用直接的方法求能量算符的本征值，并將能量本征值與微擾法得到的能量二級近似值進(jìn)行比較（提示：做級數(shù)展開，保留到前三項(xiàng)）。解：對題給矩陣進(jìn)行分解，有從矩陣知道一級修正量（用對角矩陣元）和二級修正量（用非對角矩陣元）仿前一題，直接寫出兩個(gè)能級（正確到二級修正量）（7分）嚴(yán)格求解法：這就是根據(jù)表象理論，分立表象中，本征方程可以書寫成矩陣方程式形式，并可以求得本征值和本征矢（用單列矩陣表示）。我們設(shè)算符H具有本征矢，本征值是，列矩陣方程式：展開后成兩式又假設(shè)本征矢是歸一化的：久期方程：（6分）后一式可展開取級數(shù)展開的前三項(xiàng)可得：（2分）和前面用微擾方法所得的結(jié)果可以進(jìn)行比較。9．（本題15分）已知在表象中的矩陣形勢為求：（1）其本征值和在表象中的正交歸一化本征函數(shù)。（2）使對角化的幺正變換矩陣。解：（1）的久期方程為 ∴的本征值為。（5分）設(shè)對應(yīng)于本征值的本征函數(shù)為由本征方程，得由歸一化條件，得即∴對應(yīng)于本征值的本征函數(shù)為設(shè)對應(yīng)于本征值的本征函數(shù)為由本征方程由歸一化條件，得即∴對應(yīng)于本征值的本征函數(shù)為（5分）（2）使對角化的幺正變換矩陣為（5分）可以驗(yàn)證：這步不計(jì)入總分10．（本題15分）已知?dú)湓釉跁r(shí)處于狀態(tài)求能量及自旋分量的各種可能取值及其概率與平均值，寫出時(shí)的波函數(shù)。解已知?dú)湓拥谋菊髦禐?，將時(shí)的波函數(shù)寫成矩陣形式利用歸一化條件可得于是，歸一化后的波函數(shù)為（5分）能量的可能取值為，相應(yīng)的取值幾率為能量平均值為（4分）自旋分量的可能取值為，相應(yīng)的取值幾率為自旋分量的平均值為（4分）時(shí)的波函數(shù)（2分）11．（本題15分）設(shè)氫原子處在的態(tài)，為玻爾半徑，求（1）r的平均值；（2）勢能的平均值；（3）動(dòng)能的平均值；（4）最概然半徑。（波函數(shù)已歸一化，不必檢驗(yàn)。任選其中兩問即可，多答不多得分）本題答對第一問10分，第二問5分（1）（2）這個(gè)結(jié)果和舊量子論中，氫原子的電子沿波爾半徑所規(guī)定的軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)的庫侖能一致。（3）其中（4）電子出現(xiàn)在r+dr球殼內(nèi)出現(xiàn)的概率為令當(dāng)為幾率最小位置∴是最概然（可幾）半徑。量子力學(xué)期末考試試題和答案一、（共25分）1、厄密算符的本征值和本征矢有什么特點(diǎn)？（4分）2、什么樣的狀態(tài)是束縛態(tài)、簡并態(tài)和偶宇稱態(tài)？（6分）3、全同玻色子的波函數(shù)有什么特點(diǎn)？并寫出兩個(gè)玻色子組成的全同粒子體系的波函數(shù)。（4分）4、在一維情況下，求宇稱算符和坐標(biāo)的共同本征函數(shù)。（6分）5、簡述測不準(zhǔn)關(guān)系的主要內(nèi)容，并寫出時(shí)間和能量的測不準(zhǔn)關(guān)系。（5分）二、（15分）已知厄密算符，滿足，且，求1、在A表象中算符、的矩陣表示；2、在A表象中算符的本征值和本征函數(shù)；3、從A表象到B表象的幺正變換矩陣S。三、（15分）線性諧振子在時(shí)處于狀態(tài)，其中，求1、在時(shí)體系能量的取值幾率和平均值。2、時(shí)體系波函數(shù)和體系能量的取值幾率及平均值四、（15分）當(dāng)為一小量時(shí)，利用微擾論求矩陣的本征值至的二次項(xiàng)，本征矢至的一次項(xiàng)。五、（10分）一體系由三個(gè)全同的玻色子組成,玻色子之間無相互作用.玻色子只有兩個(gè)可能的單粒子態(tài).問體系可能的狀態(tài)有幾個(gè)?它們的波函數(shù)怎樣用單粒子波函數(shù)構(gòu)成?答案：一、1、厄密算符的本征值是實(shí)數(shù)，本征矢是正交、歸一和完備的。2、在無窮遠(yuǎn)處為零的狀態(tài)為束縛態(tài)；簡并態(tài)是指一個(gè)本征值對應(yīng)一個(gè)以上本征函數(shù)的情況；將波函數(shù)中坐標(biāo)變量改變符號，若得到的新函數(shù)與原來的波函數(shù)相同，則稱該波函數(shù)具有偶宇稱。3、全同玻色子的波函數(shù)是對稱波函數(shù)。兩個(gè)玻色子組成的全同粒子體系的波函數(shù)為：4、宇稱算符和坐標(biāo)的對易關(guān)系是：，將其代入測不準(zhǔn)關(guān)系知，只有當(dāng)時(shí)的狀態(tài)才可能使和同時(shí)具有確定值，由知，波函數(shù)滿足上述要求，所以是算符和的共同本征函數(shù)。5、設(shè)和的對易關(guān)系，是一個(gè)算符或普通的數(shù)。以、和依次表示、和在態(tài)中的平均值，令，，則有，這個(gè)關(guān)系式稱為測不準(zhǔn)關(guān)系。時(shí)間和能量之間的測不準(zhǔn)關(guān)系為：二、1、由于，所以算符的本征值是，因?yàn)樵贏表象中，算符的矩陣是對角矩陣，所以，在A表象中算符的矩陣是：設(shè)在A表象中算符的矩陣是，利用得：；由于，所以，；由于是厄密算符，，令，（為任意實(shí)常數(shù)）得在A表象中的矩陣表示式為：2、在A表象中算符的本征方程為：即和不同時(shí)為零的條件是上述方程的系數(shù)行列式為零，即對有：，對有：所以，在A表象中算符的本征值是，本征函數(shù)為和3、從A表象到B表象的幺正變換矩陣就是將算符在A表象中的本征函數(shù)按列排成的矩陣，即三、解：1、的情況：已知線諧振子的能量本征解為：，當(dāng)時(shí)有：，于是時(shí)的波函數(shù)可寫成：，容易驗(yàn)證它是歸一化的波函數(shù)，于是時(shí)的能量取值幾率為：，，能量取其他值的幾率皆為零。能量的平均值為：2、時(shí)體系波函數(shù)顯然，哈密頓量為守恒量，它的取值幾率和平均值不隨時(shí)間改變，故時(shí)體系能量的取值幾率和平均值與的結(jié)果完全相同。四、解：將矩陣改寫成：能量的零級近似為：，，能量的一級修正為：，，能量的二級修正為：，，所以體系近似到二級的能量為：，，先求出屬于本征值1、2和3的本征函數(shù)分別為：，，，利用波函數(shù)的一級修正公式，可求出波函數(shù)的一級修正為：，，近似到一級的波函數(shù)為：，，五、解：由玻色子組成的全同粒子體系，體系的波函數(shù)應(yīng)是對稱函數(shù)。以表示第個(gè)粒子的坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)，體系可能的狀態(tài)有以下四個(gè)：（1）；（2）（3）；（4）一、（20分）已知?dú)湓釉跁r(shí)處于狀態(tài)其中，為該氫原子的第個(gè)能量本征態(tài)。求能量及自旋分量的取值概率與平均值，寫出時(shí)的波函數(shù)。解已知?dú)湓拥谋菊髦禐?，?）將時(shí)的波函數(shù)寫成矩陣形式（2）利用歸一化條件（3）于是，歸一化后的波函數(shù)為（4）能量的可能取值為，相應(yīng)的取值幾率為（5）能量平均值為（6）自旋分量的可能取值為，相應(yīng)的取值幾率為（7）自旋分量的平均值為（8）時(shí)的波函數(shù)（9）二.（20分）質(zhì)量為的粒子在如下一維勢阱中運(yùn)動(dòng)若已知該粒子在此勢阱中有一個(gè)能量的狀態(tài)，試確定此勢阱的寬度。解對于的情況，三個(gè)區(qū)域中的波函數(shù)分別為（1）其中，（2）利用波函數(shù)再處的連接條件知，，。在處，利用波函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的條件（3）得到（4）于是有（5）此即能量滿足的超越方程。當(dāng)時(shí)，由于（6）故（7）最后得到勢阱的寬度（8）三、（20分）證明如下關(guān)系式（1）任意角動(dòng)量算符滿足。證明對分量有同理可知，對與分量亦有相應(yīng)的結(jié)果，故欲證之式成立。投影算符是一個(gè)厄米算符，其中，是任意正交歸一的完備本征函數(shù)系。證明在任意的兩個(gè)狀態(tài)與之下，投影算符的矩陣元為而投影算符的共軛算符的矩陣元為顯然，兩者的矩陣元是相同的，由與的任意性可知投影算符是厄米算符。利用證明，其中，為任意正交歸一完備本征函數(shù)系。證明四、（20分）在與表象中，在軌道角動(dòng)量量子數(shù)的子空間中，分別計(jì)算算符、與的矩陣元，進(jìn)而求出它們的本征值與相應(yīng)的本征矢。解在與表象下，當(dāng)軌道角動(dòng)量量子數(shù)時(shí)，，顯然，算符、與皆為三維矩陣。由于在自身表象中，故是對角矩陣，且其對角元為相應(yīng)的本征值，于是有（1）相應(yīng)的本征解為（2）對于算符、而言，需要用到升降算符，即（3）而（4）當(dāng)時(shí)，顯然，算符、的對角元皆為零，并且，（5）只有當(dāng)量子數(shù)相差時(shí)矩陣元才不為零，即（6）于是得到算符、的矩陣形式如下（7）滿足的本征方程為（8）相應(yīng)的久期方程為（9）將其化為（10）得到三個(gè)本征值分別為（11）將它們分別代回本征方程，得到相應(yīng)的本征矢為（12）滿足的本征方程為（13）相應(yīng)的久期方程為（14）將其化為（15）得到三個(gè)本征值分別為（16）將它們分別代回本征方程，得到相應(yīng)的本征矢為（17）五、（20分）由兩個(gè)質(zhì)量皆為、角頻率皆為的線諧振子構(gòu)成的體系，加上微擾項(xiàng)（分別為兩個(gè)線諧振子的坐標(biāo)