線性方程組解題歸納

關(guān)于線性方程組解題歸納第1頁，講稿共45頁，2023年5月2日，星期三題型一線性方程組解的基本概念1.如果α1、α2是下面方程組的兩個不同的解向量，則a的取值如何？第2頁，講稿共45頁，2023年5月2日，星期三解：因為α1、α2是方程組的兩個不同的解向量，故方程組有無窮多解，r(A)=r(Ab)＜3，對增廣矩陣進行初等行變換易見僅當(dāng)a=-2時，r(A)=r(Ab)=2＜3，故知a=-2。第3頁，講稿共45頁，2023年5月2日，星期三2.設(shè)A是秩為3的5×4矩陣，α1、α2、α3是非齊次線性方程組Ax=b的三個不同的解，若α1+α2+2α3=（2，0，0，0）T,3α1+α2=

（2，4，6，8）T,求方程組Ax=b的通解。第4頁，講稿共45頁，2023年5月2日，星期三解:因為r(A)=3，所以齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系由4-r(A)=1個向量構(gòu)成，又因為（α1+α2+2α3）-（3α1+α2）=2（α3-α1）=（0，-4，-6，-8）T,是Ax=0的解，即其基礎(chǔ)解系可以是（0，2，3，4）T,由A（α1+α2+2α3）=Aα1+Aα2+2Aα3=4b知1/4（α1+α2+2α3）是Ax=b的一個解，故Ax=b的通解是第5頁，講稿共45頁，2023年5月2日，星期三3.已知ξ1=（-9，1，2，11）T，ξ2=（1，-5，13，0）T，ξ3=（-7，-9，24，11）T是方程組的三個解，求此方程組的通解。第6頁，講稿共45頁，2023年5月2日，星期三分析：求Ax=b的通解關(guān)鍵是求Ax=0的基礎(chǔ)解系，判斷r(A)的秩。解：A是3×4矩陣，r(A)≤3，由于A中第2，3兩行不成比例，故r(A)≥2，又因為η1=ξ1-ξ2=（-10，6，-11，11）T,η2=ξ2-ξ3=(8,4,-11,-11)T是Ax=0的兩個線性無關(guān)的解向量，于是4-r(A)≥2，因此r(A)=2，所以ξ1+k1η1+k2η2是通解。第7頁，講稿共45頁，2023年5月2日，星期三總結(jié)：不要花時間去求方程組，太繁瑣，由于ξ1-ξ2，ξ1-ξ3或ξ3-ξ1，ξ3-ξ2等都可以構(gòu)成齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，ξ1，ξ2，ξ3都是特解，此類題答案不唯一。第8頁，講稿共45頁，2023年5月2日，星期三題型2線性方程組求解4.矩陣B的各行向量都是方程組的解向量，問這四個行向量能否構(gòu)成上方程組的基礎(chǔ)解系？若不能，這4個行向量是多了還是少了？若多了如何去掉，少了如何補充？第9頁，講稿共45頁，2023年5月2日，星期三解：將方程組的系數(shù)矩陣A化為行最簡形陣r(A)=2,n=5,因而一個基礎(chǔ)解系含有3個解向量α1=（1，-2，1，0，0）T,α2=(1,-2,0,1,0)T,Bα3=(5,-6,0,0,1)T,B矩陣的r3=r1-r2，r4=3r1-2r2，B中線性無關(guān)的行向量只有1，2行，故B中4個行向量不能構(gòu)成基礎(chǔ)解系，需增補α3。第10頁，講稿共45頁，2023年5月2日，星期三1.參數(shù)取哪些值時使r(A)≠r(Ab)，方程組無解；2.參數(shù)取哪些值時使r(A)=r(Ab)，方程組有解，繼續(xù)討論⑴參數(shù)取哪些值時使r(A)=r(Ab)＜n，方程組有無窮多解；（2）參數(shù)取哪些值時使r(A)=r(Ab)=n，方程組有唯一解。題型3含參數(shù)的線性方程組解的討論第11頁，講稿共45頁，2023年5月2日，星期三一、當(dāng)方程個數(shù)與未知量個數(shù)不等的線性方程組，只能用初等行變換求解；二、當(dāng)方程個數(shù)與未知量個數(shù)相等的線性方程組，用下面兩種方法求解：1.初等行變換法2.系數(shù)行列式法，系數(shù)行列式不等于0時有唯一解，可用克萊姆法則求之；系數(shù)行列式為0時，用初等行變換進行討論。第12頁，講稿共45頁，2023年5月2日，星期三5.設(shè)線性方程組（1）證明：若a1，a2，a3，a4兩兩不相等，則線性方程組無解；（2）設(shè)a1=a3=k，a2=a4=-k(k≠0)，且已知β1=（-1，1，1）T，β2=（1，1，-1）T是該方程組的兩個解，寫出該方程組的通解。第13頁，講稿共45頁，2023年5月2日，星期三解（1）（Ab)對應(yīng)的行列式是范德蒙行列式，故r(Ab)=4,r(A)=3，所以方程組無解。（2）當(dāng)a1=a3=k，a2=a4=-k時，原方程組化為系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩均為2，β2-β1=（-2，0，2）T,是對應(yīng)導(dǎo)出組的非零解，即為其基礎(chǔ)解系，故非齊次組的通解為X=c(β2-β1)+β1。（c為任意常數(shù)。）第14頁，講稿共45頁，2023年5月2日，星期三6.設(shè)n維向量組α1，α2，α3（n≥3）線性無關(guān)，討論：當(dāng)向量組aα2-α1，bα3-α2，aα1-bα3線性相關(guān)時，方程組的解，且當(dāng)有無窮多解時，用其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示其通解。第15頁，講稿共45頁，2023年5月2日，星期三解：（aα2-α1，bα3-α2，aα1-bα3）

=

因為α1，α2，α3線性無關(guān)，所以向量組

aα2-α1，bα3-α2，aα1-bα3線性相關(guān)的充要條件是即b(a2-1)=0所以b=0或a=±1第16頁，講稿共45頁，2023年5月2日，星期三方程組的增廣矩陣（Ab）=(1)當(dāng)a=1，b≠0時，方程組無解；（2）當(dāng)a=-1，b≠0時，方程組唯一解；（3）當(dāng)b=0，a≠1時，方程組唯一解；（4）當(dāng)a=1，b=0時，方程組有無窮多解。第17頁，講稿共45頁，2023年5月2日，星期三此時：取x3為自由未知量第18頁，講稿共45頁，2023年5月2日，星期三題型4線性方程組的公共解、同解問題情況1.已知兩具體齊次線性方程組，求其非零公共解：將其聯(lián)立，則聯(lián)立方程組的所有非零解，即為所求。第19頁，講稿共45頁，2023年5月2日，星期三6.設(shè)如下四元齊次方程組（Ⅰ）與（Ⅱ），求：（1）方程組（Ⅰ）與（Ⅱ）的基礎(chǔ)解系；（2）方程組（Ⅰ）與（Ⅱ）的公共解。第20頁，講稿共45頁，2023年5月2日，星期三解：（1）（Ⅰ）的基礎(chǔ)解系為α1=（-1，1，0，1）T，α2=（0，0，1，0）T；同樣得（Ⅱ）基礎(chǔ)解系為α3=（1，1，0，-1）T，α4=(-1,0,1,1)T(2)將方程組Ⅰ和Ⅱ聯(lián)立組成新方程組Ⅲ：第21頁，講稿共45頁，2023年5月2日，星期三將其系數(shù)矩陣進行初等行變換得Ⅲ的基礎(chǔ)解系為（-1，1，2，1）T于是方程組Ⅰ與Ⅱ的公共解為

X=k（-1，1，2，1）T,k取全體實數(shù)。第22頁，講稿共45頁，2023年5月2日，星期三情況2.僅已知兩齊次線性方程組的通解，求其非零公共解：令兩通解相等，求出通解中任意常數(shù)滿足的關(guān)系式，即可求得非零公共解，簡言之，兩通解相等的非零解即為所求的非零公共解。第23頁，講稿共45頁，2023年5月2日，星期三7.已知齊次線性方程組Ⅰ與Ⅱ的基礎(chǔ)解系分別是α1=（1，2，5，7）T,α2=(3,-1,1,7)T，α3=（2，3，4，20）T，

Β1=（1，4，7，1）T，

β2=（1，-3，-4，2）T。求方程組Ⅰ與Ⅱ的公共解。第24頁，講稿共45頁，2023年5月2日，星期三解;顯然方程組Ⅰ與Ⅱ的通解分別為k1α1+k2α2+k3α3與λ1β1+λ2β2，令其相等得到k1α1+k2α2+k3α3=λ1β1+λ2β2即第25頁，講稿共45頁，2023年5月2日，星期三于是（k1,k2,k3,λ1，λ2）T=t(-3/14,4/7,0,1/2，1)T即k1=-3t/14,k2=4t/7,k3=0,λ1=t/2,λ2=t于是可得λ1，λ2的關(guān)系為λ1=t/2=λ2/2，將此關(guān)系式代入通解即為所求的公共解為λ1β1+λ2β2=（λ2/2)β1+λ2β2=（λ2/2)(β1+2β2)=（λ2/2)(3,-2,-1,5)T，=λ(3,-2,-1,5)T，其中λ=λ2/2為任意實數(shù)。第26頁，講稿共45頁，2023年5月2日，星期三情況3已知一齊次方程組的通解及另一具體方程組，求其非零公共解：常將通解代入另一方程組，求出通解中任意常數(shù)滿足的關(guān)系，即求出通解中獨立的任意常數(shù)，再代回通解，即得所求的非零公共解。簡言之：已知的通解中滿足另一具體方程組的非零解即為所求的非零公共解。第27頁，講稿共45頁，2023年5月2日，星期三8.設(shè)四元齊次線性方程組(Ⅰ)為又已知某齊次線性方程組(Ⅱ)的通解為k1(0,1,1,0)′+k2(-1,2,2,1)′.(1)求齊次線性方程組(Ⅰ)的基礎(chǔ)解系;(2)問方程組(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解？若有，則求出所有的非零公共解;若沒有，則說明理由.第28頁，講稿共45頁，2023年5月2日，星期三解：1）由所以以x2,x3為自由未知數(shù)可得基礎(chǔ)解系（2）令第29頁，講稿共45頁，2023年5月2日，星期三則可得：即所以有公共解第30頁，講稿共45頁，2023年5月2日，星期三題型5與AB=0有關(guān)的問題已知矩陣A，求矩陣B使AB=0，此類問題常將B按列分塊，B=(b1,b2,….bn)，將列向量bi視為Ax=o的解向量，因而可以利用Ax=o的一些解或一個基礎(chǔ)解系充當(dāng)所求矩陣B的部分列向量，B的其余列向量可取為零向量。第31頁，講稿共45頁，2023年5月2日，星期三題型5與AB=0有關(guān)的問題例9設(shè)求一個4×2矩陣B使

AB=0，且r(B)=2.第32頁，講稿共45頁，2023年5月2日，星期三解：由AB=0知，B的列向量均為Ax=o的解向量。顯然r(A)=2，未知量的個數(shù)是4，因而Ax=o的基礎(chǔ)解系含有2個解向量，于是如果求出Ax=o的基礎(chǔ)解系，以其為列向量作矩陣即得所求的矩陣B。為此對A進行初等行變換得基礎(chǔ)解系α1=（1，5，8，0）T,α2=(0,2,1,1)T令B=(α1,α2),則B即為所求。第33頁，講稿共45頁，2023年5月2日，星期三題型6已知基礎(chǔ)解系反求其齊次線性方程組法1：解方程組法（1）以所給的基礎(chǔ)解系為行向量做矩陣B，（2）解Bx=0，求出其基礎(chǔ)解系；（3）以（2）中所得基礎(chǔ)解系中的向量為行向量作矩陣，該矩陣即為所求的一個矩陣A.第34頁，講稿共45頁，2023年5月2日，星期三法2

初等行變換法以所給的線性無關(guān)的向量作為行向量組成一矩陣B,用初等行變換將此矩陣化為行最簡形矩陣，再寫出Bx=0的一個基礎(chǔ)解系，以這些基礎(chǔ)解系為行向量組成的矩陣，就是所求的齊次線性方程組的一個系數(shù)矩陣A，從而求出了所求的一個齊次線性方程組Ax=0.第35頁，講稿共45頁，2023年5月2日，星期三例10寫出一個以X為通解的齊次線性方程組。第36頁，講稿共45頁，2023年5月2日，星期三解：法1.令α1=（2，-3，1，0）T，α2=（-2，4，0，1）T，以α1Tα2T為行向量作矩陣B，只需寫出Bx=0的一個基礎(chǔ)解系β1=（1,0,-2,2）T,β2=(0,1,3,-4)T,則所求齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為A，第37頁，講稿共45頁，2023年5月2日，星期三所求的一個齊次線性方程組為Ax=0,即第38頁，講稿共45頁，2023年5月2日，星期三法2

把所給通解改寫為由上式易知所求方程組有兩個自由未知數(shù)X3和x4和兩個獨立變量x1，x2，且對應(yīng)的方程組為即第39頁，講稿共45頁，2023年5月2日，星期三題型7抽象線性方程組求解1.已知系數(shù)矩陣A的秩，求Ax=0的通解:

為求Ax=0的通解，必先由A的秩明確一個基礎(chǔ)解系