求軌跡方程題型全歸納

PAGEPAGE3軌跡方程的六種常用方法1．直接法根據(jù)已知條件及一些基本公式如兩點間距離公式，點到直線的距離公式，直線的斜率公式等，直接列出動點滿足的等量關(guān)系式，從而求得軌跡方程。例1．已知線段，直線相交于，且它們的斜率之積是，求點的軌跡方程。解：以所在直線為軸，垂直平分線為軸建立坐標(biāo)系，則，設(shè)點的坐標(biāo)為，則直線的斜率，直線的斜率由已知有化簡，整理得點的軌跡方程為練習(xí)：1．平面內(nèi)動點到點的距離與到直線的距離之比為2，則點的軌跡方程是。2．設(shè)動直線垂直于軸，且與橢圓交于、兩點，是上滿足的點，求點的軌跡方程。3.到兩互相垂直的異面直線的距離相等的點,在過其中一條直線且平行于另一條直線的平面內(nèi)的軌跡是 （）A．直線 B．橢圓 C．拋物線 D．雙曲線2．定義法通過圖形的幾何性質(zhì)判斷動點的軌跡是何種圖形，再求其軌跡方程，這種方法叫做定義法，運用定義法，求其軌跡，一要熟練掌握常用軌跡的定義，如線段的垂直平分線，圓、橢圓、雙曲線、拋物線等，二是熟練掌握平面幾何的一些性質(zhì)定理。例2．若為的兩頂點，和兩邊上的中線長之和是，則的重心軌跡方程是_______________。解：設(shè)的重心為，則由和兩邊上的中線長之和是可得，而點為定點，所以點的軌跡為以為焦點的橢圓。所以由可得故的重心軌跡方程是練習(xí)：4．方程表示的曲線是 （）A．橢圓 B．雙曲線 C．線段 D．拋物線3．點差法圓錐曲線中與弦的中點有關(guān)的問題可用點差法，其基本方法是把弦的兩端點的坐標(biāo)代入圓錐曲線方程，然而相減，利用平方差公式可得，，，等關(guān)系式，由于弦的中點的坐標(biāo)滿足，且直線的斜率為，由此可求得弦中點的軌跡方程。例3．橢圓中,過的弦恰被點平分,則該弦所在直線方程為_________________。解：設(shè)過點的直線交橢圓于、，則有①②①②可得而為線段的中點，故有所以，即所以所求直線方程為化簡可得練習(xí)：5．已知以為圓心的圓與橢圓交于、兩點，求弦的中點的軌跡方程。6．已知雙曲線，過點能否作一條直線與雙曲線交于兩點，使為線段的中點？4．轉(zhuǎn)移法轉(zhuǎn)移法求曲線方程時一般有兩個動點，一個是主動的，另一個是次動的。當(dāng)題目中的條件同時具有以下特征時，一般可以用轉(zhuǎn)移法求其軌跡方程：①某個動點在已知方程的曲線上移動；②另一個動點隨的變化而變化；③在變化過程中和滿足一定的規(guī)律。例4．已知是以為焦點的雙曲線上的動點，求的重心的軌跡方程。解：設(shè)重心，點，因為則有，故代入得所求軌跡方程例5．拋物線的焦點為,過點作直線交拋物線、兩點,再以、為鄰邊作平行四邊形，試求動點的軌跡方程。解法一：（轉(zhuǎn)移法）設(shè)，∵，∴平行四邊形的中心為，將，代入拋物線方程,得，設(shè)，則①∴，∵為的中點.∴，消去得，由①得，，故動點的軌跡方程為。解法二：（點差法）設(shè)，∵，∴平行四邊形的中心為，設(shè)，則有①②由①②得③而為的中點且直線過點，所以代入③可得，化簡可得④由點在拋物線口內(nèi)，可得⑤將④式代入⑤可得故動點的軌跡方程為。練習(xí)：7．已知，在平面上動點滿足，點是點關(guān)于直線的對稱點，求動點的軌跡方程。5．參數(shù)法求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個基本問題之一，求符合某種條件的動點的軌跡方程，其實質(zhì)就是利用題設(shè)中的幾何條件，通過“坐標(biāo)互化”將其轉(zhuǎn)化為尋求變量間的關(guān)系。在確定了軌跡方程之后，有時題目會就方程中的參數(shù)進行討論；參數(shù)取值的變化使方程表示不同的曲線；參數(shù)取值的不同使其與其他曲線的位置關(guān)系不同；參數(shù)取值的變化引起另外某些變量的取值范圍的變化等等。例6．過點作直線交雙曲線于、兩點，已知。（1）求點的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線；（2）是否存在這樣的直線，使矩形？若存在，求出的方程；若不存在，說明理由。解：當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)的方程為，代入方程，得因為直線與雙曲線有兩個交點，所以，設(shè)，則①設(shè)，由得∴所以，代入可得，化簡得即②當(dāng)直線的斜率不存在時，易求得滿足方程②，故所求軌跡方程為，其軌跡為雙曲線。（也可考慮用點差法求解曲線方程）（2）平行四邊為矩形的充要條件是即③當(dāng)不存在時，、坐標(biāo)分別為、，不滿足③式當(dāng)存在時，化簡得，此方程無實數(shù)解，故不存在直線使為矩形。練習(xí)：8．設(shè)橢圓方程為,過點的直線交橢圓于點、,是坐標(biāo)原點,點滿足,點的坐標(biāo)為,當(dāng)繞點旋轉(zhuǎn)時,求:(1)動點的軌跡方程；(2)的最小值與最大值。9．設(shè)點和為拋物線上原點以外的兩個動點，且，過作于，求點的軌跡方程。6．交軌法若動點是兩曲線的交點，可以通過這兩曲線的方程直接求出交點的方程，也可以解方程組先求出交點的參數(shù)方程，再化為普通方程。例7．已知是橢圓中垂直于長軸的動弦，、是橢圓長軸的兩個端點，求直線和的交點的軌跡方程。解1:(利用點的坐標(biāo)作參數(shù))令，則而.設(shè)與的交點為因為共線，所以因為共線，所以兩式相乘得①，而即代入①得，即交點的軌跡方程為解2:(利用角作參數(shù))設(shè)，則所以,兩式相乘消去即可得所求的點的軌跡方程為。練習(xí)：10．兩條直線和的交點的軌跡方程是_________?？偨Y(jié)歸納1．要注意有的軌跡問題包含一定隱含條件，也就是曲線上點的坐標(biāo)的取值范圍．由曲線和方程的概念可知，在求曲線方程時一定要注意它的“完備性”和“純粹性”，即軌跡若是曲線的一部分，應(yīng)對方程注明的取值范圍，或同時注明的取值范圍。2．“軌跡”與“軌跡方程”既有區(qū)別又有聯(lián)系，求“軌跡”時首先要求出“軌跡方程”，然后再說明方程的軌跡圖形，最后“補漏”和“去掉增多”的點，若軌跡有不同的情況，應(yīng)分別討論，以保證它的完整性。

練習(xí)參考答案1．2．解：設(shè)點的坐標(biāo)為，則由方程，得由于直線與橢圓交于兩點、，故即、兩點的坐標(biāo)分別為∴由題知即∴即所以點的軌跡方程為3．D【解析】在長方體中建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，易知直線與是異面垂直的兩條直線，過直線與平行的平面是面，設(shè)在平面內(nèi)動點滿足到直線與的距離相等，作于，于，于，連結(jié)，易知平面，則有，(其中是異面直線與間的距離)，即有，因此動點的軌跡是雙曲線，選D.4．A5．解設(shè)，．P．MA則，由，．P．MAOB兩式相減并同除以得OB,而,又因為所以化簡得點的軌跡方程6．先用點差法求出，但此時直線與雙曲線并無交點，所以這樣的直線不存在。中點弦問題，注意雙曲線與橢圓的不同之處，橢圓不須對判別式進行檢驗，而雙曲線必須進行檢驗。7．解：設(shè)，則由即所以點的軌跡是以為圓心，以3為半徑的圓?！唿c是點關(guān)于直線的對稱點?！鄤狱c的軌跡是一個以為圓心，半徑為3的圓，其中是點關(guān)于直線的對稱點，即直線過的中點，且與垂直，于是有即故動點的軌跡方程為。8．解：(1)解法一:直線過點，設(shè)其斜率為,則的方程為記、由題設(shè)可得點、的坐標(biāo)、是方程組①②的解①②將①代入②并化簡得,,所以于是設(shè)點的坐標(biāo)為則消去參數(shù)得③當(dāng)不存在時,、中點為坐標(biāo)原點,也滿足方程③,所以點的軌跡方程為解法二:設(shè)點的坐標(biāo)為,因、在橢圓上,所以④⑤④—⑤得,所以當(dāng)時,有⑥并且⑦將⑦代入⑥并整理得⑧當(dāng)時,點、的坐標(biāo)為，這時點的坐標(biāo)為也滿足⑧,所以點的軌跡方程為(2)解:由點的軌跡方程知，即所以故當(dāng),取得最小值,最小值為時,取得最大值,最大值為9．解法1：(常規(guī)設(shè)參)設(shè)，，則（※）由