第07講相似三角形綜合（原卷版）

第07講相似三角形綜合掌握相似三角形多種解法靈活運用多知識結合的相似三角形問題模塊一：平行線與相似三角形1、平行線與相似三角形利用平行線構造的相似主要有兩個基本的模型，即：“A”字型和“X”字型．如圖，已知中，AD、BE相交于G，，．ABCDEGABCDEG如圖，在中，點D在線段BC上，，，AD=2，ABCDBD=2DC，求ABCD MM模塊二：角平分線與相似三角形1、角平分線與相似三角形角平分線類的相似模型如下：分為“內角平分線”和“外角平分線”兩種類型，虛線部分為輔助線的作法．ABCDM如圖，AD是的內角平分線．ABCDMABCDEFG如圖，在中，，過點C作CE//AB，交的平 分線AD于ABCDEFG（1）不添加字母，找出圖中所有的相似三角形，并證明；（2）求證：．模塊三：a2=b·c與相似三角形1、a2=b·c與相似三角形常見及擴展模型如下：BBACDABCD圖1圖2由圖1可證：；由圖2可證：，，．如圖，中，，于點D．ABCD ABCD如圖，在直角梯形ABCD中，AB//CD，ABBC，對角線ACBD，垂足為E， AD=BD，過E的直線EF//AB交AD于點F． （1）AF=BE；ABCDEF （2）AF2ABCDEF模塊四：內接矩形與相似三角形1、內接矩形與相似三角形ABABCDEFGHT常用結論：．ABC如圖，已知中，AC=3，BC=4，，在內部求做一正方形， 問怎樣截取可以使正方形的面積最大，并求出此時正方形的邊長．ABCDDFEABCDEFG如圖，中，四邊形DEFG為正方形，其中D、E在邊AC、BC上，F、G在 AB上，，，求ABCDEFGHH模塊五：一線三等角與相似三角形1、一線三等角與相似三角形相關模型如下圖所示：ABCDEF已知，在等腰中，AB=AC=10，以BC的中點D為頂點作， 分別交AB、AC于點E、F，AE=6，AF=4，求底邊ABCDEFABCDE如圖，直角梯形ABCD中，AB//CD，，點E在邊BC上，且， AD=10，求的面積ABCDE如圖（1），在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，點P、Q分別在射線CB，AC上（點P不與點C，B重合），且保持∠APQ=∠ABC。若點P在線段CB上，且BP=6，求線段CQ的長；（2）若BP=x，CQ=y，求y與x之間的函數關系式，并寫出函數的定義域；ABCDABPQCQP（3）正方形ABCD的長為5，如圖（2），點P，Q分別在直線CB，DC上（點P不與點C，B重合），且保持ABCDABPQCQP模塊六：旋轉與相似三角形在中，CA=CB，在中，DA=DE，點D、E分別在CA、AB上． （1）如圖1，若，則CD與BE的數量關系是____________； （2）若，將繞點A旋轉至如圖2所示的位置，則CD與 BE的數量關系是____________．AABCDEABCDE圖1圖2HH把兩塊全等的直角三角板ABC和DEF疊放在一起，使三角板DEF的銳角頂點D 與三角板ABC的斜邊中點O重合，其中，，AB= DE=4，把三角板ABC固定不動，讓三角板DEF繞點O旋轉，設射線DE與射線AB 相交于點P，射線DF與線段BC相交于點Q．（1）如圖1，當射線DF經過點B，即點Q與點B重合時，易證∽，則 此時______；（2）將三角板DEF由圖1所示的位置繞點O沿逆時間方向旋轉，設旋轉角為．其 中，問的值是否改變？請說明理由．FFAB(Q)CD(O)EPPABCD(O)ABCD(O)QPQEFEF圖1圖2圖3模塊七：函數與相似三角形ABCPQ如圖，厘米，厘米，動點、分別以2厘米/秒和1厘米/秒的 速度同時開始運動，其中點從點出發(fā)沿邊一直移動到點為止，點從點出 發(fā)沿邊一直移動到點為止．經過多長時間后，與相似？ABCPQ如圖，已知與都是等邊三角形，點D在BC邊上（點D不與B、C 重合），DE與AC相交于點F．（1）求證：∽；ABCDEF（2）若BC=1，設BD=x，CF=yABCDEF（3）當x為何值時，？一、單選題（2023·上?！ひ荒＃┤鐖D，某零件的外徑為，用一個交叉卡鉗（兩條尺長和相等）可測量零件的內孔直徑．如果，且量得，則零件的厚度x為（

）A． B． C． D．（2023·上?！ひ荒＃┤鐖D，在中，點，分別在和邊上且，點為邊上一點（不與點、重合），連接交于點，下列比例式一定成立的是（

）．A． B． C． D．（2023·上?！ひ荒＃┤鐖D，已知在中，，于，則下列結論錯誤的是（

）A． B．C． D．（2023·上?！ひ荒＃┤绻c分別在中的邊和上，那么不能判定的比例式是（

）A． B．C． D．（2023·上?！ひ荒＃┰谔菪沃?，，對角線與相交于點O，下列說法中，錯誤的是（

）A． B． C． D．（2023·上海青浦·?？家荒＃┤鐖D，已知在中，，點是的重心，，垂足為，如果，則線段的長為（

）A． B． C． D．（2023·上海·一模）如圖，在中，，，則（

）A． B． C． D．（2023·上海·一模）如圖，在中，中線與中線相交于點G，聯結．下列結論成立的是（

）A． B． C． D．二、填空題（2023·上海崇明·統(tǒng)考一模）如圖，在梯形中，，，，則________．（2023·上海松江·統(tǒng)考一模）如圖，中，，，是邊的中點，延長到點，使，那么的長是________．（2023·上海金山·統(tǒng)考一模）如圖，在平行四邊形中，F是邊上的一點，射線和的延長線交于點E，如果，那么_________．（2023·上海寶山·一模）如圖，在中，已知線段經過三角形的重心，，四邊形的面積為，那么的面積為_____．（2023·上海浦東新·?？家荒＃┤鐖D，在中，，，，點是的中點，點在邊上，將沿翻折，使得點落在點處，當時，那么的長為________．（2023·上海崇明·統(tǒng)考一模）如圖，菱形的邊長為8，為的中點，平分交于點，過點作，交于點，若，則的長為___________．（2023·上?！つM預測）在矩形中，（如圖）．將矩形繞點B按順時針方向旋轉得到矩形EBFG，點A的對應點為點E，且在邊上，如果聯結，那么的長為_____．（2023·上海閔行·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標系中，點A在直線上，點A的橫坐標為1，點P是x軸正半軸上一點，點B在反比例函數圖象上，聯結和．如果四邊形是矩形，那么k的值是__________．三、解答題（2023·上?！ひ荒＃┤鐖D，在與中，，與相交于點G，．(1)求證：；(2)若，求的長．（2023·上海青浦·統(tǒng)考二模）如圖，在平行四邊形ABCD中，已知平分，點E在邊上，聯結交于點F，且．(1)求證：點F在邊的垂直平分線上；(2)求證：．（2023·上海崇明·統(tǒng)考二模）已知：如圖，在平行四邊形中，對角線、交于E，M是邊延長線上的一點，聯結，與邊交于F，與對角線交于點G．(1)求證：；(2)聯結，如果，求證：平行四邊形是菱形．如圖，，，下列各式中正確的是（

）A． B． C． D．如圖，已知在中，，點G是的重心，，垂足為E，如果，則線段GE的長為（

）A． B． C． D．如圖，為等腰直角三角形，為的重心，E為線段上任意一動點，以為斜邊作等腰（點D在直線的上方），為的重心，設兩點的距離為d，那么在點E運動過程中d的取值范圍是____