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文檔簡介
浙江省麗水市龍泉育才中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項中,只有是一個符合題目要求的1.若隨機變量,且,則(
)A.0.6
B.0.5
C.0.4 D.0.3參考答案:A∵隨機變量X服從正態(tài)分布N(3,σ2),∴對稱軸是x=3.∵P(X≥5)=0.2,∴P(1<X<5)=1﹣2P(X≥5)=1﹣0.4=0.6.故選:A.
2.定義為個正數(shù)的“均倒數(shù)”.若已知數(shù)列的前項的“均倒數(shù)”為,又,則()A.
B.
C.
D.參考答案:C依題意得:,∴,故可得,∴,,再由裂項求和法,可得,故應(yīng)選C.3.已知,若是的最小值,則的取值范圍為A.[-1,2]
B.[-1,0]
C.[1,2]
D.[0,2]參考答案:D略4.圓上有10個點,過每三個點畫一個圓內(nèi)接三角形,則一共可以畫的三角形個數(shù)為(
)A.720
B.360
C.240
D.120參考答案:D略5.的定義域為
(
)
A.
B.
C.
D.參考答案:C6.圓與直線有公共點的充分不必要條件是
(
)A.
B.
C.
D.參考答案:B7.某調(diào)查機構(gòu)對全國互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)進行調(diào)查統(tǒng)計,得到整個互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分布餅狀圖、90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位分布條形圖,則下列結(jié)論中不一定正確的是(
)注:90后指1990年及以后出生,80后指1980-1989年之間出生,80前指1979年及以前出生.A.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中90后占一半以上B.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)超過總?cè)藬?shù)的20%C.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事運營崗位的人數(shù)90后比80前多D.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)90后比80后多參考答案:D【分析】結(jié)合兩圖對每一個選項逐一分析得解.【詳解】對于選項A,互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中90后占56%,占一半以上,所以該選項正確;對于選項B,互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中90后從事技術(shù)崗位的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的,超過總?cè)藬?shù)的20%,所以該選項正確;對于選項C,互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事運營崗位的人數(shù)90后占總?cè)藬?shù)的,比80前多,所以該選項正確.對于選項D,互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事運營崗位的人數(shù)90后占總?cè)藬?shù)的,80后占總?cè)藬?shù)的41%,所以互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事運營崗位的人數(shù)90后不一定比80后多.所以該選項不一定正確.故選:D【點睛】本題主要考查餅狀圖和條形圖,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.8.在四邊形ABCD中,,,則(
)A.5
B.-5
C.-3
D.3參考答案:C9.若向量滿足,則向量的夾角為A.30° B.45° C.60° D.90°參考答案:C略10.下列說法正確的是(
)A.若命題都是真命題,則命題“”為真命題B.命題:“若,則或”的否命題為“若,則或”C.命題“”的否定是“”D.“”是“”的必要不充分條件參考答案:C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.觀察下列等式:=(﹣)×,=(﹣)×,=(﹣)×,=(﹣)×,…可推測當n≥3,n∈N*時,=.參考答案:(﹣)×略12.函數(shù)f(x)=sinxcosx的最小正周期是.參考答案:π考點:二倍角的正弦;三角函數(shù)的周期性及其求法.專題:計算題;三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).分析:根據(jù)二倍角的正弦公式,化簡可得f(x)=sin2x,再由三角函數(shù)的周期公式即可算出函數(shù)f(x)的最小正周期.解答:解:∵sin2x=2sinxcosx∴f(x)=sinxcosx=sin2x,因此,函數(shù)f(x)的最小正周期T==π故答案為:π點評:本題給出三角函數(shù)式,求函數(shù)的周期,著重考查了二倍角的三角函數(shù)公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)和三角函數(shù)周期的求法等知識,屬于基礎(chǔ)題.13.(2x﹣1)(x+y)5的展開式中,x3y3的系數(shù)為.參考答案:20【考點】二項式定理的應(yīng)用.【分析】把(x+y)5按照二項式定理展開,可得(x﹣2y)(x+y)5的展開式中x3y3的系數(shù).【解答】解:根據(jù)根據(jù)(x+y)5=(?x5+?x4y+?x3y2+x2y3+?xy4+?y5),可得(2x﹣1)(x+y)5的展開式中,x3y3的系數(shù)為2=20,故答案為:20.【點評】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用,二項展開式的通項公式,屬于基礎(chǔ)題14.如圖所示,在南海上有兩座燈塔,這兩座燈塔之間的距離為60千米,有個貨船從島P處出發(fā)前往距離120千米島Q處,行駛致一半路程時剛好到達M處,恰巧M處在燈塔A的正南方,也正好在燈塔B的正西方,向量⊥,則=_____________.參考答案:-3600由題意可知,⊥,⊥,,所以=15.己知曲線存在兩條斜率為3的切線,且切點的橫坐標都大于零,則實數(shù)a的取值范圍為
。參考答案:(3,3.5)【知識點】函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性因為
故答案為:(3,3.5)16.實數(shù)x,y滿足不等式組:,若z=x2+y2,則z的最大值是
.參考答案:4【考點】7C:簡單線性規(guī)劃.【分析】由約束條件作出可行域,再由z=x2+y2的幾何意義,即可行域內(nèi)動點到原點距離的平方求解.【解答】解:由約束條件作出可行域如圖,z=x2+y2的幾何意義為可行域內(nèi)動點到原點距離的平方,∴當動點(x,y)為A(0,2)時,z有最大值為4.故答案為:4.17.復(fù)數(shù)z=(i虛數(shù)單位)在復(fù)平面上對應(yīng)的點到原點的距離為.參考答案:【考點】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算;復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義.【專題】數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù).【分析】直接利用復(fù)數(shù)的乘除運算法則化簡目的地復(fù)數(shù)的對應(yīng)點,然后利用兩點間距離公式求解即可.【解答】解:復(fù)數(shù)z==﹣i(1+i)=1﹣i,復(fù)數(shù)z=(i虛數(shù)單位)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(1,﹣1)到原點的距離為:.故答案為:.【點評】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的混合運算,復(fù)數(shù)的幾何意義,考查計算能力.三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為且滿足(Ⅰ)若,求此三角形的面積;(Ⅱ)求的取值范圍。參考答案:解(1)由正弦定理得:即,在三角形中,得:,
4分由得
6分(2)
10分
12分略19.已知函數(shù)(1) 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2) 當時,試討論是否存在,使得參考答案:解析:.令當即時,,所以的單增區(qū)間為.當即時,有兩個不等的根,,當當當所以的單增區(qū)間為和,單減區(qū)間為.綜上所述,當,的單增區(qū)間為.當,的單增區(qū)間為和,單減區(qū)間為..(2)當時,,,.因為,所以所以,.由(1)知在單減,在單增.當即時,在單減,故不存在,使得當即,在上單減,在上單增.當即此時在上單減,在上單增.故不存在,使得當時,此時,所以,而,所以存在使得.時,存在,使得.當時,此時,所以,而,即,所以存在使得.綜上所述:當或時,不存在,使得,當或時,存在,使得.點評:與2011廣東高考的19題或2012的21題相比,你會覺得第(1)問其實并不難!難度較大的是本題的第(2)問,綜合考查了分類討論和轉(zhuǎn)化與化歸思想的能力,可以想象學(xué)生在短短的兩小時內(nèi)要考慮這么多,將是一個很大的挑戰(zhàn)和考驗!20.已知函數(shù).(1)若,且,求的值;(2)當取得最小值時,求自變量的集合.參考答案:解:(1)∵,∴,
又∵,∴,∴,
∴;
(2)
,
∴當,,即,時,取得最小值,
此時自變量的集合為.略21.已知函數(shù)f(x)=(x﹣1)ex+ax2有兩個零點.(Ⅰ)求a的取值范圍;(Ⅱ)設(shè)x1,x2是f(x)的兩個零點,證明x1+x2<0.參考答案:【分析】(Ⅰ)求出f'(x)=xex+2ax=x(ex+2a),通過(i)當a>0時,判斷函數(shù)的單調(diào)性,判斷零點個數(shù);(ii)若a=0,判斷f(x)只有一個零點.(iii)若a<0,利用單調(diào)性判斷零點個數(shù)即可.(Ⅱ)不妨設(shè)x1<x2.推出x1<﹣x2.利用函數(shù)f(x)在(﹣∞,0)單調(diào)遞減,證明f(﹣x2)<0.令g(x)=(﹣x﹣1)e﹣x+(1﹣x)ex,x∈(0,+∞).利用g'(x)=﹣x(e﹣x+ex)<0,轉(zhuǎn)化證明即可.【解答】(本小題滿分12分)解:(Ⅰ)f'(x)=xex+2ax=x(ex+2a)(1分)(i)當a>0時,函數(shù)f(x)在(﹣∞,0)單調(diào)遞減,在(0,+∞)單調(diào)遞增.
(2分)∵f(0)=﹣1<0,f(2)=e2+4a>0,取實數(shù)b滿足b<﹣2且b<lna,則f(b)>a(b﹣1)+ab2=a(b2+b﹣1)>a(4﹣2﹣1)>0,(3分)所以f(x)有兩個零點.
(4分)(ii)若a=0,則f(x)=(x﹣1)ex,故f(x)只有一個零點.
(iii)若a<0,由(I)知,當,則f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增,又當x≤0時,f(x)<0,故f(x)不存在兩個零點;當,則函數(shù)在(ln(﹣2a),+∞)單調(diào)遞增;在(0,ln(﹣2a))單調(diào)遞減.又當x≤1時,f(x)<0,故不存在兩個零點.
(6分)綜上所述,a的取值范圍是(0,+∞).
(7分)證明:(Ⅱ)不妨設(shè)x1<x2.由(Ⅰ)知x1∈(﹣∞,0),x2∈(0,+∞),﹣x2∈(﹣∞,0),則x1+x2<0等價于x1<﹣x2.因為函數(shù)f(x)在(﹣∞,0)單調(diào)遞減,所以x1<﹣x2等價于f(x1)>f(﹣x2),即證明f(﹣x2)<0.(8分)由,得,,(9分)令g(x)=(﹣x﹣1)e﹣x+(1﹣x)ex,x∈(0,+∞).(10分)g'(x)=﹣x(e﹣x+ex)<0,g(x)在(0,+∞)單調(diào)遞減,又g(0)=0,所以g(x)<0,所以f(﹣x2)<0,即原命題成立.(12分)【點評】本題考查函數(shù)的極值,函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的零點個數(shù)的問題,考查分類討論思想以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用,考查計算能力.22.(本小題滿分12分)
某科技公司組織技術(shù)人員進行新項目研發(fā),技術(shù)
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