張量基礎(chǔ)知識(shí)課件

第二章張量的基本知識(shí)12021精選ppt張量的提出：

晶體具有各向異性，從而使得晶體的物理性質(zhì)在不同方向上也存在著差異。晶體的各向異性是一種很普遍的特性，特別是很多現(xiàn)象如熱電、壓電、電光、聲光、非線性光學(xué)效應(yīng)等物理現(xiàn)象都完全是因?yàn)榫w的各向異性才能表現(xiàn)出來(lái)。于是，人們實(shí)踐中探索出了一套描述各向異性性質(zhì)的數(shù)學(xué)方法，這種方法就是張量方法。在晶體物理中所涉及的張量分析是比較簡(jiǎn)單的，晶體的對(duì)稱性的操作對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)變換，一般使用三維正交直角坐標(biāo)系的變換就夠了。本章中將只限于介紹這種坐標(biāo)系中所定義的張量。22021精選ppt2.1標(biāo)量、矢量、張量一、標(biāo)量在物理學(xué)中，有一些量是沒(méi)有方向而言的，如溫度、質(zhì)量、密度等，這些物理量只需要一個(gè)數(shù)值即可描述，我們把這種物理量稱為標(biāo)量。有些量雖然在坐標(biāo)變換時(shí)數(shù)值不變，但其符號(hào)在第二類點(diǎn)操作時(shí)發(fā)生改變，這稱為贗標(biāo)量。32021精選ppt二、矢量有一些物理量，它既有大小，又有方向，如力、速度、電場(chǎng)強(qiáng)度等，這些物理量需要指明其大小和方向才能完全描述，稱為矢量。取直角坐標(biāo)系OX1X2X3,設(shè)有矢量，在三個(gè)坐標(biāo)軸方向上的投影分別為，于是我們將表為：。與贗標(biāo)量概念相似，我們可以引入贗矢量，贗矢量與矢量的區(qū)別在于其變換多了一個(gè)符號(hào)的改變。例如各種軸矢量（磁場(chǎng)強(qiáng)度、磁感應(yīng)強(qiáng)度等）就是贗矢量。42021精選ppt三、張量先看一個(gè)例子：對(duì)于均勻?qū)w，在電場(chǎng)強(qiáng)度E的作用下，其電流密度J和電場(chǎng)強(qiáng)度E有相同方向，即均勻?qū)w的歐姆定律

其中σ為電導(dǎo)率，是標(biāo)量。但是對(duì)于晶體，由于各向異性，一般情況下J與E并不具有相同的方向，此時(shí)J與E的關(guān)系變?yōu)?2021精選ppt或表示成分量形式

矩陣形式

62021精選ppt此處σ不再是一個(gè)數(shù)，而是9個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)方陣，稱為電導(dǎo)率張量，這是一個(gè)二階張量。于是，各向異性晶體中的歐姆定律可表示為張量的定義：一般來(lái)說(shuō)，在物理學(xué)中，有一些量需要用9個(gè)分量來(lái)描述，這種物理量就是二階張量。72021精選ppt2.2張量的數(shù)學(xué)定義描述物理量的矢量和張量應(yīng)與坐標(biāo)軸的選擇無(wú)關(guān)。就是說(shuō)，當(dāng)坐標(biāo)軸變換時(shí)，矢量和張量的所有分量都隨之變換，但作為描述物理量的矢量和張量本身是不變的。因此，分量的變換必有一定的規(guī)律。接下來(lái)我們就來(lái)討論一下坐標(biāo)變換時(shí)分量變換的規(guī)律。82021精選ppt

一、坐標(biāo)變換如圖所示，設(shè)有直角坐標(biāo)系OX1X2X3，其三個(gè)方向的單位矢為,經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)變換為新的坐標(biāo)系OX'IX'2X'3，在新的坐標(biāo)系里的單位矢為,令新坐標(biāo)系中在舊坐標(biāo)系中的方向余弦為

（j=1,2,3)，則92021精選ppt或簡(jiǎn)寫為

反之，有102021精選ppt表示成矩陣形式為將以上關(guān)系列成方陣形式則為

X1X2X3(老坐標(biāo)軸)

（新坐標(biāo)系）X1'a11a12a13X2'a21a22a23X3'a31a32a33稱9的a的分量組成的方陣稱為坐標(biāo)變換矩陣或方向余弦矩陣，它簡(jiǎn)明的表示出了新老坐標(biāo)之間變換的規(guī)律。112021精選ppt二、矢量分量的變換設(shè)有一矢量p,其在舊坐標(biāo)系中的分量為p1,p2,p3,在新坐標(biāo)系中的分量為p1*,p2*,p3*,由于是同一個(gè)矢量p,故有

122021精選ppt注：此處P與P*均為行向量即為于是得132021精選ppt為了表示方便我們下面引入指標(biāo)符號(hào)的概念指標(biāo)符號(hào)：下標(biāo)符號(hào)i稱為指標(biāo)；n為維數(shù)指標(biāo)i可以是下標(biāo)，如xi也可以是上標(biāo)，如xi

記作定義這類符號(hào)系統(tǒng)為指標(biāo)符號(hào)，一般采用下標(biāo)xi（i=1,2,3）～x1，x2，x3～x,y,zui（i=1,2,3）～u1，u2，u3～u,v,w～142021精選ppt求和約定啞指標(biāo)和自由標(biāo)1.求和約定和啞指標(biāo)

凡在某一項(xiàng)內(nèi)，重復(fù)一次且僅重復(fù)一次的指標(biāo)，表示對(duì)該指標(biāo)在它的取值范圍內(nèi)求和，并稱這樣的指標(biāo)為啞指標(biāo)。

約定152021精選ppt162021精選ppt求和約定僅對(duì)字母指標(biāo)有效同一項(xiàng)內(nèi)二對(duì)啞標(biāo)應(yīng)使用不同指標(biāo)，如

注意：123啞指標(biāo)可以換用不同的字母指標(biāo)172021精選ppt2.自由標(biāo)定義：凡在同一項(xiàng)內(nèi)不重復(fù)出現(xiàn)的指標(biāo)。如

j

為自由標(biāo)

182021精選ppt注意：同一個(gè)方程中各項(xiàng)自由標(biāo)必須相同不能改變某一項(xiàng)的自由標(biāo)，但所有項(xiàng)的自由標(biāo)可以改變12wrongright如：192021精選ppt3．克羅內(nèi)克（Kronecker-δ）符號(hào)

定義：

由定義

即相當(dāng)于單位矩陣。202021精選ppt212021精選ppt現(xiàn)在我們以二維直角坐標(biāo)系為例來(lái)看看一個(gè)小問(wèn)題：222021精選ppt為正交矩陣232021精選ppt引用指標(biāo)符號(hào)：由又討論上式的幾何意義242021精選ppt說(shuō)明

1基矢量具有與坐標(biāo)分量相同的變換規(guī)律2矢量的分量也具有與坐標(biāo)分量相同的變換規(guī)律252021精選ppt

再看三維情況考慮一位置矢量262021精選ppt同理同二維問(wèn)題，可得（正交性）272021精選ppt于是得到最終的矢量變換法則如下282021精選ppt二階張量的變換若有：令：則：若有：令：則：P、Q均為矢量292021精選ppt二階張量三階張量四階張量302021精選ppt

張量定義定義：在坐標(biāo)變換時(shí)，滿足如下變換關(guān)系的量稱為張量張量的階數(shù)－－自由標(biāo)數(shù)目n；對(duì)于三維空間，張量分量的個(gè)數(shù)為3n個(gè)，變換式也有3n個(gè)。312021精選ppt

以上張量的定義的物理實(shí)質(zhì)在于：一個(gè)張量代表著一個(gè)物理量，這個(gè)物理量遵從一定的物理定律，而不是依賴于坐標(biāo)系的選法。當(dāng)坐標(biāo)系變換時(shí)，物理量并不改變，只是描述的方法隨之而變。因此，當(dāng)坐標(biāo)系變換時(shí)，張量的分量應(yīng)有隨之而變的規(guī)律，這就是上述的數(shù)學(xué)定義。322021精選ppt小結(jié)：所謂張量是一個(gè)物理量或幾何量，他由在某參考坐標(biāo)系中一定數(shù)目的分量的集合所規(guī)定，當(dāng)坐標(biāo)變換時(shí)，這些分量按一定的變換法則變換。張量是矢量概念的推廣。它是一種不依賴于特定坐標(biāo)系的表達(dá)物理定律的方法。張量有不同的階和結(jié)構(gòu)，這由它們所遵循的不同的變換法則來(lái)區(qū)分。標(biāo)量是零階張量；矢量是一階張量；應(yīng)力張量是二階張量；還有三階、四階等高階張量。332021精選ppt2.3張量的運(yùn)算一、張量的加法若皆為二階張量，則也為二階張量，于是我們定義為之和。這就是二階張量的加法，并表為C=A+B。以此類推，若A,B為兩個(gè)同階張量，則A,B相應(yīng)分量之和構(gòu)成新的同階張量C，記作C=A+B。同樣，作為加法的推廣，標(biāo)量a與張量的乘積即為a。

342021精選ppt二、張量的乘法

若為二階張量，為一階張量，則可以證明

為三階張量，于是我們定義為與之積，表示為C=AB。

以此類推，若A,B是階數(shù)各為m,n的張量，則A,B分量的積構(gòu)成一個(gè)m+n階的張量C，稱為A,B的積，表示為C=AB。352021精選ppt三、張量的收縮在三階張量中，如果讓并對(duì)求和，即則為一階張量，此種運(yùn)算稱為張量的收縮。這種運(yùn)算所得張量的階數(shù)比原張量的階數(shù)少2。特別是：當(dāng)C為兩個(gè)張量A,B的積，例如若令,并對(duì)求和，即362021精選ppt則稱D為A,B收縮所得的張量，階數(shù)3=5-2，表為D=A?B.收縮可以不止一次，例如對(duì)兩對(duì)下標(biāo)求和，則稱為收縮兩次。例如所得張量Q的階數(shù)為1=5-2×2，表為Q=A:B.372021精選ppt2.4對(duì)稱張量的性質(zhì)一、對(duì)稱張量和反對(duì)稱張量張量T的分量如有關(guān)系,則稱為對(duì)稱張量。此種張量只有6個(gè)獨(dú)立分量：.有時(shí)，我們將這6個(gè)獨(dú)立分量依次表為于是對(duì)稱張量表示為

382021精選ppt如果T的分量有，則稱為反對(duì)稱張量。此時(shí)有，故反對(duì)稱張量只有3個(gè)獨(dú)立分量.同樣，我們將這3個(gè)分量以此表為,于是反對(duì)稱張量T表為392021精選ppt二、張量的分解作為張量加法的逆運(yùn)算，張量總可以分解為若干個(gè)同階張量之和，并且這種分解的方法是無(wú)窮多種的。例如，矢量的分解即為一例。張量的分解定理：任何張量總可以分解為一個(gè)對(duì)稱張量和一個(gè)反對(duì)稱張量之和，并且分解的方法是唯一的。共軛張量：若為張量，則也為張量，我們稱和互為共軛張量。記為對(duì)稱張量,反對(duì)稱張量。402021精選ppt分解定理的證明：設(shè)為任意二階張量，為其共軛張量；對(duì)稱張量反對(duì)稱張量唯一性412021精選ppt

一般來(lái)說(shuō)，描述晶體物理性質(zhì)的張量都是對(duì)稱張量，例如電導(dǎo)率張量，介電常數(shù)張量，熱導(dǎo)率張量等都是對(duì)稱張量。所以，我們以后要討論的張量也都是對(duì)稱張量。422021精選ppt三、二階對(duì)稱張量的示性面二次曲面方程

當(dāng)為對(duì)稱張量，即時(shí)有：當(dāng)所有元素都為正數(shù)時(shí)，上式表示一個(gè)橢球面。在一般情況下，上式為雙曲面。對(duì)上式進(jìn)行坐標(biāo)變換：432021精選ppt坐標(biāo)變換因?yàn)榭臻g一點(diǎn)的坐標(biāo)實(shí)際上是矢量r的分量，所以在坐標(biāo)轉(zhuǎn)換時(shí)各的變換符合矢量變換法則，如下所示將（1）（2）將（2）帶入（1）中左式，得：所以：442021精選ppt1、二次曲面方程系數(shù)與張量分量具有相同的變換規(guī)律；2、我們把上述的二次曲面方程所繪出來(lái)的曲面稱為張量S的示性曲面；3、示性二次曲面可描述具有二階對(duì)稱張量性質(zhì)的物理特性。452021精選ppt四、張量的主軸和主值張量示性面具有三個(gè)相互垂直的主軸。對(duì)于對(duì)稱張量，經(jīng)過(guò)一定的坐標(biāo)變換后，總可以化成以下形式：此時(shí)的坐標(biāo)軸稱為主軸，對(duì)稱張量S化成了對(duì)角形式，此時(shí)的則稱為張量的主值。462021精選ppt成立,則λ為張量S的特征值(主值),a為張量S對(duì)應(yīng)特征值λ的特征矢量(主軸方向)。用矩陣形式來(lái)表述，則張量的主值和主軸即對(duì)應(yīng)為矩陣的特征值和特征向量。二階對(duì)稱張量S,若存在一個(gè)數(shù)λ和單位矢量a,使得472021精選ppt五、張量的主軸和主值的確定

單位矢量a即

482021精選ppt由上式求得特征值即張量的主值，再帶入特征方程組求出對(duì)應(yīng)的特征向量即主軸。492021精選ppt2.5張量與對(duì)稱性的關(guān)系一、晶體對(duì)稱操作的變換矩陣在直角坐標(biāo)系中，每一個(gè)對(duì)稱操作對(duì)應(yīng)于將舊坐標(biāo)系變換為新坐標(biāo)系，所以它對(duì)應(yīng)于一個(gè)坐標(biāo)變換，可以用9個(gè)新舊坐標(biāo)系之間的方向余弦來(lái)表示，這就是對(duì)稱操作的變換矩陣。

例如，4次旋轉(zhuǎn)軸，若以軸為4次軸，則一個(gè)4次旋轉(zhuǎn)操作的變換矩陣為502021精選ppt二、對(duì)稱性對(duì)矢量的制約對(duì)于晶體，由于它具有對(duì)稱性，導(dǎo)致對(duì)其物理性質(zhì)的某些限制。這種限制是這樣產(chǎn)生的：沿晶體一定方向測(cè)定的某種物理性質(zhì)，當(dāng)晶體按其對(duì)稱操作旋轉(zhuǎn)、反映或反演到新的取向時(shí)，其物理性質(zhì)應(yīng)有相同的數(shù)值和符號(hào)，就是說(shuō)，由晶體對(duì)稱性聯(lián)系起來(lái)的等價(jià)方向上，具有相同的物理性質(zhì)。例如，具有二次軸的晶體，我們沿任一給定的方向測(cè)其電導(dǎo)率，而后將晶體繞其二次軸旋轉(zhuǎn)180?，再測(cè)其電導(dǎo)率，兩次結(jié)果相同。接下來(lái)我們來(lái)討論對(duì)稱性對(duì)矢量的制約。512021精選ppt1、對(duì)稱心對(duì)稱心的變換矩陣為即設(shè)有矢量，則經(jīng)過(guò)對(duì)稱心的操作，將有而根據(jù)對(duì)稱性，又應(yīng)有所以必有522021精選ppt這就是說(shuō)，具有對(duì)稱心的晶體不可能有矢量性質(zhì)的物理量。例如，晶體的熱電效應(yīng)系數(shù)就是矢量性質(zhì)的物理量，當(dāng)溫度改變時(shí)引起晶體表面電荷的改變（即電極化矢量的改變），關(guān)系式為此處為熱電系數(shù)。根據(jù)以上討論，具有對(duì)稱心的晶體不可能有熱電效應(yīng)。我們知道，在32點(diǎn)群中，有11中是具有對(duì)稱心的，因此，屬于這11種點(diǎn)群的晶體不可能有熱電效應(yīng)。以上結(jié)論可以推廣到三階張量，即具有對(duì)稱心的晶體不可能有三階張量，例如，壓電效應(yīng)、電光效應(yīng)等。532021精選ppt2、對(duì)稱面設(shè)晶體有垂直于軸的對(duì)稱面，其變換矩陣為即于是矢量經(jīng)過(guò)對(duì)稱面操作后有542021精選ppt而由對(duì)稱性，應(yīng)有所以立即得就是說(shuō)，矢量性質(zhì)的物理量必垂直于軸，即必在對(duì)稱面內(nèi)。例如電氣石晶體，具有3次軸平行的對(duì)稱面，而其熱電效應(yīng)方向平行于3次軸，也即在對(duì)稱面內(nèi)。552021精選ppt3、對(duì)稱軸設(shè)晶體有平行于軸的3次軸，其變換矩陣為于是矢量p分量的變換為而由對(duì)稱性，有，所以562021精選ppt由此立即解得可見，矢量性質(zhì)的物理量必平行于3次軸。例如電氣石晶體，具有唯一的3次軸，其熱電效應(yīng)的方向與此3次軸平行。572021精選ppt可見，矢量性質(zhì)的物理量必平行于3次軸。例如電氣石晶體，具有唯一的3次軸，其熱電效應(yīng)的方向與此3次軸平行?？疾鞂?duì)稱性對(duì)矢量的制約，所得結(jié)果是：只有以下10中晶類可以具有矢量性質(zhì)的物理量，即

例如，目前研究的較多的熱電性晶體，如硫酸三甘鈦的點(diǎn)群為2，鈮酸鍶鋇，鈦酸鋇的點(diǎn)群為4mm，鈮酸鉀、鉭酸鋰、電氣石的點(diǎn)群為3m等，均在這10中晶類之內(nèi)。582021精選ppt三、對(duì)稱性對(duì)二階張量的制約我們?nèi)砸噪妼?dǎo)率張量為例。一般情況下有9個(gè)分量。由于晶體的對(duì)稱性，將使獨(dú)立的分量數(shù)目減小。在對(duì)稱操作時(shí)，的變換應(yīng)滿足關(guān)系由此即可定出哪些是獨(dú)立的。592021精選ppt1、單斜晶系單斜晶系有一個(gè)2次軸，令此2次軸平行于軸，則其變換矩陣為即于是由知：各中凡下標(biāo)含有一個(gè)“3”的均為零。即602021精選ppt于是獨(dú)立分量只有4個(gè)，即612021精選ppt2、正交晶系正交晶系有3個(gè)互相垂直的2次軸。取此三個(gè)2次軸為坐標(biāo)軸，仿前述單斜晶體的方法，可定出二階張量只有3個(gè)獨(dú)立分量，即622021精選ppt晶系對(duì)稱特點(diǎn)二階張量形式獨(dú)立分量數(shù)目立方四個(gè)3次軸1四方六方三方一個(gè)4次軸一個(gè)6次軸一個(gè)3次軸2正交三個(gè)2次軸3單斜一個(gè)2次軸4三斜只有1次軸6632021精選ppt2.6諾伊曼原理及其應(yīng)用

研究晶體對(duì)稱性對(duì)物理性質(zhì)的影響，必須以諾伊曼原理（Neumann'sprinciple)為基礎(chǔ)。諾伊曼原理指出：晶體的任何物理性質(zhì)所具有的對(duì)稱要素，必包含晶體所屬點(diǎn)群的全部對(duì)稱要素，即，晶體物理性質(zhì)的對(duì)稱性必高于或至少不低于晶體所屬點(diǎn)群的對(duì)稱性。這個(gè)原理是長(zhǎng)期來(lái)大量事實(shí)總結(jié)出來(lái)的，并且已經(jīng)經(jīng)過(guò)大量實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)證明是正確的。642021精選ppt

諾伊曼原理的應(yīng)用當(dāng)然不僅限于矢量（一階張量）和二階張量，而且適用于高階張量。諾伊曼原理的應(yīng)用，需要對(duì)張量分量逐個(gè)的進(jìn)行計(jì)算，因而階數(shù)越高，計(jì)算越繁?，F(xiàn)在我們介紹一種簡(jiǎn)便的方法，即下標(biāo)變換法。例如，考慮四方點(diǎn)群中的某二階張量，假定平行于軸，則其變換矩陣為即經(jīng)過(guò)變換后，若將正負(fù)號(hào)與下標(biāo)結(jié)合，則可簡(jiǎn)寫為

652021精選ppt于是二階張量分量的變換為662021精選ppt按晶體的對(duì)稱性，應(yīng)有，于是可得所以此二階張量具有以下形式

再考慮到是二階對(duì)稱張量，應(yīng)有，于是最后得