高中數(shù)學(xué)三角恒等變換與三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值

高中數(shù)學(xué)三角恒等變換與三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值

cos(α±β)＝cosαcosβ?sinαsinβ；tan(α±β)＝(tanα±tanβ)/(1?tanαtanβ).2.三角函數(shù)的求值(1)利用基本三角函數(shù)值和公式進(jìn)行推導(dǎo)和化簡(jiǎn)；(2)利用同角變形、誘導(dǎo)公式等將未知角度轉(zhuǎn)化為已知角度的三角函數(shù)值；(3)利用反三角函數(shù)求解未知角度的值；(4)利用三角函數(shù)圖像和性質(zhì)進(jìn)行判斷和推導(dǎo)；(5)利用三角函數(shù)的周期性和對(duì)稱性進(jìn)行化簡(jiǎn)和求值.在解題過(guò)程中，要注意選擇合適的公式和方法，靈活運(yùn)用，注意精度和符號(hào)問(wèn)題，避免常見(jiàn)的計(jì)算錯(cuò)誤.探究提高：化簡(jiǎn)三角函數(shù)式需要遵循“三看”原則，即先看角度，再看函數(shù)名，最后看式子結(jié)構(gòu)和特征?；?jiǎn)時(shí)要注意觀察條件中角度之間的聯(lián)系，如和、差、倍、互余、互補(bǔ)等，并尋找與三角函數(shù)公式相似的特征。訓(xùn)練1：(1)根據(jù)題目中的公式，將已知的數(shù)值代入原式中計(jì)算，最終得出結(jié)果為-1。(2)根據(jù)已知條件，利用三角函數(shù)公式將cos2α轉(zhuǎn)化為sin4α/3，再代入原式計(jì)算得出sin2α的值為-18/17。熱點(diǎn)二：三角函數(shù)的求值，即求解給定角度下三角函數(shù)的具體數(shù)值。對(duì)于給定的問(wèn)題，需要根據(jù)已知條件利用三角函數(shù)公式進(jìn)行推導(dǎo)和計(jì)算，得出最終的結(jié)果。例2：(1)根據(jù)已知條件，利用三角函數(shù)公式將sinα轉(zhuǎn)化為cos2α，最終得出cos2α的值為9/2。(2)根據(jù)已知條件，利用三角函數(shù)公式將sin(α+β)轉(zhuǎn)化為cosαsinβ+sinαcosβ，結(jié)合cosα和sin(α+β)的值，得出cosβ的值為11/14。(3)根據(jù)已知條件，利用三角函數(shù)公式將tan(α-β)轉(zhuǎn)化為(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)，結(jié)合tanβ的值，可以求出tanα的值。再利用tan(2α-β)的公式，結(jié)合已知條件求解出2α-β的值。-3/5，求角β的大小。解析：①終邊過(guò)點(diǎn)P，可以得到三角形OAP，根據(jù)勾股定理可求得OP的長(zhǎng)度為4。又因?yàn)榻铅恋慕K邊過(guò)x軸非負(fù)半軸，所以sinα=AP/OP=3/4，根據(jù)周期性可得sin(α+π)=-sinα=-3/4。②根據(jù)三角函數(shù)的定義可得sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，代入已知條件可得3/4cosβ-4/5sinβ=-3/5，化簡(jiǎn)得15cosβ-16sinβ=-12。兩邊同時(shí)除以根號(hào)(15^2+16^2)得cosφ=-15/17，sinφ=-16/17，其中φ=β-arcsin(-3/4)。代入可得β=arctan(-16/15)+arcsin(-3/4)。1.對(duì)于三角函數(shù)的求值，需要注意以下幾點(diǎn)：首先要尋找角與角關(guān)系的特殊性，將非特殊角化為特殊角，并熟練準(zhǔn)確地應(yīng)用公式；其次要注意切化弦、異角化同角、異名化同名、角的變換等常規(guī)技巧的運(yùn)用；最后對(duì)于條件求值問(wèn)題，要認(rèn)真尋找條件和結(jié)論的關(guān)系，尋找解題的突破口，對(duì)于很難入手的問(wèn)題，可以利用分析法。2.對(duì)于三角恒等變換的應(yīng)用問(wèn)題，可以運(yùn)用化歸思想和整體代換思想解決問(wèn)題。例如，討論形如y=asinωx+bcosωx函數(shù)的性質(zhì)，可以先化為y=a√(b^2+c^2)sin(ωx+φ)型的函數(shù)。1.計(jì)算tan12°-3=(4cos^2(12°)-2)sin(12°)/(sin(12°)-3cos(12°)^2)-2sin(48°)=-42.已知函數(shù)f(x)=2cos^2(x)-sin^2(x)+2，則f(x)的最大值為4。解析：易知f(x)=2cos^2(x)-sin^2(x)+2=3cos^2(x)+1=3/2+1/2cos(2x)，當(dāng)cos(2x)=1時(shí)，f(x)取得最大值，最大值為4。sin2x＝2sin(x+π/4)的周期為π/2，因此f(x)的最小正周期為π/2。解(2)由于f(x)＝sin2x＋3sinxcosx＝2sinx(cosx+3/2)，所以f(x)的最大值為2|cos(x+π/2)|=2|sinx|。由于f(x)在區(qū)間[-π/3,m]上的最大值為2