立體幾何大題訓(xùn)練-2022屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)

2022屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)大題訓(xùn)練(9)

(立體幾何)

1.在四棱錐P-zWC。中，平面R4E)_L平面。為4)的中點,

DC//AB,DCVAD,PA=PD,PO=AB=2DC,BC=^CD.

(1)求證：平面P3C_L平面POC；

(2)求平面與平面PC8所成角的余弦值.

2.如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形是矩形，AT>J_平面R4B,PALPB,E為AD

的中點.

(1)若點M在線段P8上，且直線EM//平面PC。，確定點用的位置；

(2)若"=4),AB=42AD,求平面PCE與平面R鉆所成銳二面角的余弦值.

3.如圖，在三棱錐S—ABC中，SA=SB=SC,BC1AC.

(1)證明：平面SABJ■平面ABC;

(2)若BC=SC，SC_LS4,試問在線段SC上是否存在點。，使直線皮)與平面SAB所成的

角為60。.若存在，請求出。點的位置；若不存在，請說明理由.

4.如圖所示，在四棱錐中，AD//BC,ADA,DC,PAA.AB,BC=CD=-AD,E

2

是邊4)的中點，異面直線E4與CP所成角為二.

2

(1)在平面內(nèi)找一點M,使得直線CM//平面尸5E,并說明理由；

(2)若二面角P-8-A的大小為工，求直線R4與平面PCE所成角的正弦值.

5.如圖，在三棱柱ABC-AgG中，AB=A4,=AC=3C=2.

(1)求證：48_L4C；

(2)若AC=V5,ZABBt=60°,點〃滿足34M=2MG求二面角A-44-M的余弦值.

6.如圖，在三棱臺ABC-AAG中,AABC為等邊三角形，AAJ-平面A8C,將梯形"GC繞

M旋轉(zhuǎn)至44,0。位置，二面角D,-M-G的大小為30。.

(1)證明：A，耳，G，。四點共面，且AA，平面

(2)若A4,=AC=2A3=4,設(shè)G為。。的中點，求直線8片與平面44G所成角的正弦值.

7.已知平行四邊形AfiCD,AB=2BC=4,NABC=60。，點/是C￡＞的中點.沿A尸把尸進

行翻折，使得平面■平面/1BC尸.

(1)求證：BF_L平面皿入

(2)點E是4?的中點，棱CD上一點M使得F70LDE,求二面角M-￡F-C的余弦值.

2022屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)大題訓(xùn)練(9)

(立體幾何)

1.在四棱錐P-zWC。中，平面R4E)_L平面。為4)的中點,

DC//AB,DCVAD,PA=PD,PO=AB=2DC,BC=^CD.

(1)求證：平面P8CL平面POC；

(2)求平面與平面PC8所成角的余弦值.

【解答】

(1)證明：連接03,在中，PA=PD,且O為4)的中點，:.POYAD,

平面平面45C￡),平面RV)C平面=POu平面上4￡),

.,.POJ?平面ABCD,又8Cu平面ABCZ),:.PO1.BC,

DC//AB,DCLAD,:.ABA.AD,

在RtAOAB中，OB2=ft42+AB2=OA2+4DC2,

222

在RtAOCD中，OC=OD+DC=OT+DC-,

BC=&D,:.OB2=OC2+BC2,:.BCYOC,

POpOC=O,.1BCl.平面POC,

BCu平面PBC,平面PBC±平面POC.

(2)如圖，以O(shè)為坐標原點，OA,OP年在直線分別為x軸，y軸，過。且垂直于4)的直線為

y軸，建立空間直角坐標系，設(shè)“'=2,則PO=AB=4,BC=2力,

由題意得40=20,則A(夜，0,0),8(/，4,0),C(-夜，2,0),P(0,0,4),

..4B=(0,4,0),CB=(2x/2,2,0),PB=(C,4,-4),

設(shè)平面的一個法向量為”=(x,y,z),

則，取X=4,得旭=(4,0,立)，

PB=v2x+4y-4z=0

設(shè)平面尸C8的一個法向量為6=(a,b,c),

則<「，取a=20,得帆=(2&,-4,

m-PB->J2a+4Z?-4c=0

n-tn8夜-3夜5月

cos<m,n>=

\n\-\m\A/18-733—99

/.平面PAB與平面PCB所成角的余弦值為源.

99

2.如圖，在四棱錐P-/1BCD中，四邊形鉆8是矩形，AT>_L平面R48,PAA.PB,E為AD

的中點.

(1)若點例在線段尸8上，且直線EM//平面P8,確定點M的位置;

(2)若"=4),AB=y/2AD,求平面PCE與平面所成銳二面角的余弦值.

【解答】

(1)〃為PB的中點時，直線EA///平面PCD.證明如下:

設(shè)平面DEM交直線PC于尸，連接。尸,

因為&W//平面PCD,則EM//D尸，

因為0E//3C,則￡>￡7/平面PBC,仄而DE//FM,

所以四邊形由彼為平行四邊形，從而DE=FM.

因為E為A￡>的中點，則￡>E=LAQ=LBC,所以

222

又MFHBC,所以點M為的中點：

(2)因為A￡)_L平面％8,則AZ5_L抬，ADVPB,

P

以A為坐標原點，以垂直4?所在直線為x軸，43為y軸，4)為z軸,建立如圖所示的空

間直角坐標系，設(shè)4)=2,則AP=2,A8=20,

因為P4J_P8,則/及3=45。，

所以點P(夜,女,0),。(。,0,2),8(0,20,0),E(0,0,1),C(0,2血,2),EC=(0,272,1),

PC=(-0,夜,2)

n-PC=0ZH-夜x+夜y+2z=0

設(shè)平面PCE的一個法向量為n=(x,y,z),

n?EC=02V2y+z=0

不妨令y=-l,得z=2&,x=3,所以〃=(3,-I,2夜),

因為AD_L平面PAB，所以AD=(0,0,2)為平面PAB的一個法向量,

￡八

設(shè)平面PCE與平面PAB所成銳二面角為e，

D

\AD-n\402

則cos0=|cos(4￡),"〉|二

IA。||〃|一2x3及—3E

所以平面PCE與平面PAB所成銳二面角的余弦值為2AA

y

3/

Xp

3.如圖，在三棱錐S—ABC中，SA=SB=SC,BC1AC.

(1)證明：平面S/WJ?平面ABC；

(2)若BC=SC，SC±S4,試問在線段SC上是否存在點。，使直線與平面SA8所成的

角為60。.若存在，請求出。點的位置；若不存在，請說明理由.

【解答】

(1)證法一：取的中點E,連接SE,CE,SA=SB,:.SE±AB,

BCX.AC,r.AACB是直角三角形，:.BE=EC,

C

又BS=SC,:心EC三MEB,;.NSEB=ZSEB=90。,

:.SE±EC,又SE_LAB,AB[)CE=E,，SE_L平面ABC

又SEu平面SAB,二.平面SA8_L平面ABC.

證法二：作SEJ■平面ABC,連接E4,EC,EB,EA,EC,￡B都在平面ABC內(nèi),

:.SEYEA,SE±EC,SELEB,

又SA=SB=SC,:.EA=EC=EB,

BCYAC,.?.AACB是直角三角形，為AB的中點，

SEu平面SAB,J.平面平面ABC.

(2)以E為坐標原點，平行于AC的直線為x軸，平面BC的直線為y軸,

ES為z軸，建立空間直角坐標系，

設(shè)SA=S3=SC=2,SCISA,則4c=2直，BC=SC=2,/.EC=2^,SE=1,

則4(一2,1,0),B(V2,-1,0),C(應(yīng),1,0),E(0,0,0),S(0,0,1),

:.AB=Q血,-2,0),SA=(-收，1,-1),

設(shè)。(x,y,z),CD=ACS,(怎此1),則(x-0,y-\

Z)(V2—1-2,2),BD=(—■\/2A,2—A),

設(shè)平面S43的一個法向量〃=(x,y,z),

AB=2y[2x-2y=0口/口

則｛,，取犬=1,得〃=(1,Vr2,0),

n-SA=-\/2x+y-z=0

直線BD與平面SAB所成的角為60。,

\n-BD\12夜-2仞|

，sin60°=

\nV\BD\>[?>?]2入一+(2-()-+)-

整理得;P+72+1=0,魄加1,.?.方程無解,

在線段SC上不存在點D,使直線如與平面S45所成的角為60。.

4.如圖所示，在四棱錐P—A8c。中，AD//BC,AD±DC,PA±AB,BC=CD=-AD,E

2

是邊4)的中點，異面直線勿與CE>所成角為生.

2

(1)在平面上鉆內(nèi)找一點用，使得直線C0//平面P3E,并說明理由;

(2)若二面角尸-CD-A的大小為生，求直線上4與平面PCE所成角的正弦值.

6

【解答】

(1)延長AB交直線8于點M,

.點E為4)的中點，AAE=ED=-AD,

2

BC=CD=、AD,:.ED=BC,

2

AD!IBC,即EQ//3C..?.四邊形BCE>E為平行四邊形，即EB//CD.

AB^\CD=M,:.MeCD,:.CMUBE,

BEu平面PBE,r.CM//平面P3E,

MwAB,ABu平面力W,平面上鉆，

故在平面RS內(nèi)可以找到一點=AB0)C。)，使得直線。///平面P8E.

(2)如圖所示，ZA￡>C=NaW=90。，異面直線厚與8所成的角為90。，CD=M,

.?.APJ_平面ABC￡>.:.CDrPD,PA±AD.

因此4YM是二面角P-CZ)-A的平面角，大小為巴，：.PA=@AD.

63

不妨設(shè)AD=6,則8c=C￡)=,AO=3.P(0,0,26),E(0,3,0),C(-3,6,0),

2

EC=(-3,3,0),PE=(0,3,-2#)),AP=(0,0,2折,

設(shè)平面PCE的法向量為"=(x,y,z),

.n-PE-0,\3y-2y/3z=0

則《，可得：\J.

n-EC=0|-3x+3y=0

令z=5/3,則y=2,x=2,

”=(2,2>>/3).

設(shè)直線PA與平面PCE所成角為9,

則sin0=|cos<AP,.=牟=叵

\AP\-\n\2必,4+4+3布H

5.如圖，在三棱柱ABC-AgG中，AB=A4,=AC=3C=2.

（1）求證：48_L4C；

（2）若AC=夜，N4?4=60。，點〃滿足34M=2MG,求二面角A-4片的余弦值.

【解答】

（1）證明：四邊形4880為菱形，.1AB，4與，

CA=CB,取中點O,連接OC,

又ABJOC=O,ABJ_平面AC81,

gCu平面ACg,:.A,B1B,C；

(2)AB=AAX=\C=BC=2,AC=0,ZABBt=60°,點M滿足3AM=2MG，

OB=6,OA=1,

在RtAOBC中，OC°=BC2-OB：:.OC^\,

在ACMC中，^lOA2+OC2=AC2,:.OC1OA,

OAr'OB=O,OA,OBu平面AB4A，,OC_L面A,

.?.以O(shè)為坐標原點，。4所在直線為X軸，OB所在直線為y軸，OC所在直線為Z軸，建立

空間直角坐標系，如圖，

則A（I,o,0）,A（O，-G,0）,取-i,o,0）,c（o,o,1）,G（-I,-6,1）,

;點加滿足AG=24W,

M（O,一當,；）,AM=（O,冬；），A^=（-I,G，o），

AB1,"=-x+6y=0

設(shè)平面MA耳的法向量〃=（x,y>z),貝小n=^-y+—z=0

令x=6，貝IJ〃=(石,1,-石),

OC,底面ABB/,則OC=(0,0,1)為平面AB/的一個法向量,

設(shè)二面角的平面角為。，

則cos0=|cos<n,OC>|="°°=,

l?|-|OC|V77

.".二面角A—A-^BX—M7的余弦值為.

如圖，在三棱臺中，為等邊三角形，平面將梯形繞

6.A3C-ABCAABCA8C,A41GC

9旋轉(zhuǎn)至例R。位置，二面角A-A4,-G的大小為30。.

(1)證明：A，B1,G，。四點共面，且4。，平面

(2)若A4,=AG=2AB=4,設(shè)G為。。的中點，求直線與平面A4G所成角的正弦值.

【解答】

(1)由題意得，△4圈e為等邊三角形，AG=AR，

二面角D,-A\-C,的大小為30。，NGAR=30°，

N4Aq=9?！?，即AR±AB,

又4A平面ABC，且平面A3c//平面ABC，AGR由AG繞朋旋轉(zhuǎn)得到，

A,,,C,,R四點共面，故4A1平面AB?D「可得A4,_LAR,

又故AA_L平面484A；

(2)以人為坐標原點，A4，A。，A4分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系,

由M=AG=AA=2AB=4,

得四(4,0,0),8(2,0,4),A(0,0,4),G(0,3,2),

7.已知平行四邊形ABC。，AB=2BC=4,NABC=60。，點尸是8的中點.沿A/把A4Z)「進

行翻折，使得平面?平面ABCE.

(1)求證：平面4)尸；

(2)點E是45的中點，棱CZ)上一點M使得求二面角M—￡F-C的余弦值.

【解答】

(I)證明：在中，NE43=60。，AF=2,45=4,

由余弦定理知BF=2g,AB2=AF2+BF2,:.BFLAF,

又平面平面平面皿7c平面ABCF=AF,5Ru平面43CF,

.,.8尸_1_平面4)尸.

(