淺析：代數(shù)、幾何方法論及數(shù)學(xué)三大核心領(lǐng)域

淺析：代數(shù)、幾何方法論及數(shù)學(xué)三大核心領(lǐng)域

我們經(jīng)常聽(tīng)人說(shuō)小孩子在中學(xué)階段把握代數(shù)是如何如何重要，但是代數(shù)究竟是什么，她又是否真如人們聲稱(chēng)的那樣重要？為什么這么多人覺(jué)得代數(shù)很難學(xué)？

要回答這些問(wèn)題可比回答一道常見(jiàn)的代數(shù)習(xí)題要簡(jiǎn)單些，令人驚訝的是，幾乎沒(méi)有人能給出滿(mǎn)足的答案。

首先，代數(shù)并不是“字母的算術(shù)”(Aria:其實(shí)譯者在中學(xué)就是這么認(rèn)為的)。在最基本的層面上，算術(shù)和代數(shù)是思索數(shù)的問(wèn)題的兩種不同的方式。(我必需強(qiáng)調(diào)這篇文章中我關(guān)注的是中學(xué)校的算術(shù)和代數(shù)，數(shù)學(xué)家通常用這兩個(gè)術(shù)語(yǔ)來(lái)表示某些更一般的概念。)

讓我們從算術(shù)說(shuō)起。她原來(lái)指的是用加減乘除四則運(yùn)算來(lái)計(jì)算各種數(shù)值問(wèn)題，是數(shù)學(xué)中最古老的部分，起源于大約一萬(wàn)年前的蘇美爾(也許就是今日的伊拉克)。蘇美爾社會(huì)已經(jīng)達(dá)到了用錢(qián)衡量財(cái)寶和進(jìn)行商品交易的階段。其他的貨幣象征最終讓路給了黏土片上抽象的劃刻(現(xiàn)在我們認(rèn)為這是最早的數(shù)字)。時(shí)間消逝，這些符號(hào)漸漸獲得了她們自身的意義：數(shù)。換句話說(shuō)，數(shù)字起初是以錢(qián)的形式產(chǎn)生的，算術(shù)則是一種貨幣貿(mào)易的方式。

今日簡(jiǎn)潔介紹一下三大方法論大致是個(gè)什么“取向”，給對(duì)數(shù)學(xué)有愛(ài)好的初學(xué)者一點(diǎn)感覺(jué)，分別是代數(shù)、分析、幾何”三大塊以及數(shù)學(xué)三大核心領(lǐng)域：

01.算術(shù)

算術(shù)有兩種含義，一種是從中國(guó)傳下來(lái)的，相當(dāng)于一般所說(shuō)的“數(shù)學(xué)”，如《九章算術(shù)》等。另一種是從歐洲數(shù)學(xué)翻譯過(guò)來(lái)的，源自希臘語(yǔ)，有“計(jì)算技術(shù)”之意?，F(xiàn)在一般所說(shuō)的“算術(shù)”，往往指自然數(shù)的四則運(yùn)算；假如是在高等數(shù)學(xué)中，則有“數(shù)論”的含義。作為現(xiàn)代學(xué)校課程內(nèi)容的算術(shù)，主要講的是自然數(shù)、正分?jǐn)?shù)以及它們的四則運(yùn)算，并通過(guò)由計(jì)數(shù)和度量而引起的一些最簡(jiǎn)潔的應(yīng)用題加以鞏固。

02.初等代數(shù)

作為中學(xué)數(shù)學(xué)課程主要內(nèi)容的初等代數(shù)，其中心內(nèi)容是方程理論。代數(shù)一詞的拉丁文原意是“歸位”。代數(shù)方程理論在初等代數(shù)中是由一元一次方程向兩個(gè)方面擴(kuò)展的：其一是增加未知數(shù)的個(gè)數(shù)，考察由有幾個(gè)未知數(shù)的若干個(gè)方程所構(gòu)成的二元或三元方程組(主要是一次方程組)；其二是增高未知量的次數(shù)，考察一元二次方程或準(zhǔn)二次方程。初等代數(shù)的主要內(nèi)容在16世紀(jì)便已基本上進(jìn)展完備了。

03.高等代數(shù)

在高等代數(shù)中，一次方程組（即線性方程組）進(jìn)展成為線性代數(shù)理論；而—、二次方程進(jìn)展成為多項(xiàng)式理論。前者是向量空間、線性變換、型論、不變量論和張量代數(shù)等內(nèi)容的一門(mén)近世代數(shù)分支學(xué)科，而后者是討論只含有一個(gè)未知量的任意次方程的一門(mén)近世代數(shù)分支學(xué)科。作為高校課程的高等代數(shù)，只討論它們的基礎(chǔ)。

1683年關(guān)孝和(日本人)最早引入行列式概念。關(guān)于行列式理論最系統(tǒng)的論述，則是雅可比1841年的《論行列式的形成與性質(zhì)》一書(shū)。在規(guī)律上，矩陣的概念先于行列式的概念；而在歷史上，次序正相反。凱雷在1855年引入了矩陣的概念，在1858年發(fā)表了關(guān)于這個(gè)課題的第一篇重要文章《矩陣論的討論報(bào)告》。

19世紀(jì)，行列式和矩陣受到人們極大的關(guān)注，消失了千余篇關(guān)于這兩個(gè)課題的文章。但是，它們?cè)跀?shù)學(xué)上并不是大的改革，而是速記的一種表達(dá)式。不過(guò)已經(jīng)證明它們是高度有用的工具。

多項(xiàng)式代數(shù)的討論始于對(duì)3、4次方程求根公式的探究。1515年，菲洛解決了被簡(jiǎn)化為缺2次項(xiàng)的3次方程的求解問(wèn)題。1540年，費(fèi)爾拉里勝利地發(fā)覺(jué)了一般4次方程的代數(shù)解法。人們連續(xù)尋求5次、6次或更高次方程的求根公式，但這些努力在200多年中付諸東流。

04.數(shù)論

以正整數(shù)作為討論對(duì)象的數(shù)論，可以看作是算術(shù)的一部分，但它不是以運(yùn)算的觀點(diǎn)，而是以數(shù)的結(jié)構(gòu)的觀點(diǎn)，即一個(gè)數(shù)可用性質(zhì)較簡(jiǎn)潔的其它數(shù)來(lái)表達(dá)的觀點(diǎn)來(lái)討論數(shù)的。因此可以說(shuō)，數(shù)論是討論由整數(shù)按肯定形式構(gòu)成的數(shù)系的科學(xué)。

05.代數(shù)：以線性代數(shù)、抽象代數(shù)為基礎(chǔ)，討論各種代數(shù)結(jié)構(gòu)，比如最常見(jiàn)的群環(huán)模域線性空間，李代數(shù)，以及不那么常見(jiàn)的高階同倫代數(shù)（homotopyalgebra）等等。代數(shù)的一個(gè)基本特征是對(duì)稱(chēng)性。一般來(lái)說(shuō)，某個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象（比如說(shuō)拓?fù)淇臻g）假如具備某種代數(shù)結(jié)構(gòu)（比如拓?fù)淇臻g上面有同調(diào)群），那我們就可以利用這種代數(shù)結(jié)構(gòu)的已知結(jié)果，來(lái)反過(guò)來(lái)討論、“探測(cè)”那個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象。這是代數(shù)影響其他數(shù)學(xué)分支的一個(gè)基本模式。

分析：以廣義的微積分（比照實(shí)分析復(fù)分析調(diào)和分析等等）、微分方程理論、泛函分析等為討論工具，對(duì)函數(shù)、方程等“可以求導(dǎo)”的東西進(jìn)行精細(xì)的分析（比如不等式估量等等），的一種方法論。分析大致可以分為軟分析和硬分析。個(gè)人的觀點(diǎn)是，軟分析有點(diǎn)像定性的分析，比如泛函分析里各種結(jié)論，比如一個(gè)函數(shù)空間緊嵌入到另一個(gè)函數(shù)里，不需要知道究竟怎么嵌入的，就可以依據(jù)緊性推導(dǎo)出一些結(jié)論。而硬分析則有點(diǎn)像定量的分析：每個(gè)常數(shù)，跟哪些量有關(guān)，詳細(xì)是怎么個(gè)相關(guān)法（多項(xiàng)式依靠？指數(shù)依靠）？這些常數(shù)詳細(xì)是多少，能不能做到最優(yōu)，最優(yōu)常數(shù)是多少？用一列東西去靠近一個(gè)東西，誤差項(xiàng)也許有多大？誤差項(xiàng)是什么階數(shù)（多項(xiàng)式（幾次多項(xiàng)式？）？多項(xiàng)式乘以對(duì)數(shù)？）？能不能把bound放大或者縮小，直至最優(yōu)？

06.幾何：主要關(guān)注幾何對(duì)象與拓?fù)鋵?duì)象。幾何與拓?fù)涞膮^(qū)分在于，拓?fù)浔葞缀胃败洝保黤lexible，幾何是在拓?fù)淇臻g上加額外的結(jié)構(gòu)（度量結(jié)構(gòu)、復(fù)結(jié)構(gòu)、辛結(jié)構(gòu)，或者這種結(jié)構(gòu)的“組合結(jié)構(gòu)”，比如Kahler結(jié)構(gòu)，等等）。拓?fù)潢P(guān)注的一個(gè)重要對(duì)象是拓?fù)洳蛔兞浚泉q如調(diào)上同調(diào)、同倫群、K理論等等。幾何可極粗略地分為微分幾何與代數(shù)幾何——微分幾何主要關(guān)懷曲率等，代數(shù)幾何主要關(guān)注代數(shù)簇、scheme等等。

三大方法論不是完全分割的，相互之間互有聯(lián)系，下面舉一些例子來(lái)說(shuō)明：分析里面的代數(shù)：有些人可能覺(jué)得分析就是搞搞不等式估量、求求導(dǎo)積個(gè)分什么的，用不到多少代數(shù)。其實(shí)也不肯定。PDE許多時(shí)候都有對(duì)稱(chēng)性，這些對(duì)稱(chēng)性許多時(shí)候能簡(jiǎn)化問(wèn)題。（李當(dāng)時(shí)創(chuàng)造李代數(shù)的目的可是拿來(lái)解微分方程的，他想用李代數(shù)來(lái)刻畫(huà)方程內(nèi)在的infinitesimalsymmetry）。調(diào)和分析自然地和表示論有聯(lián)系。另外再說(shuō)一件事。我在本系聽(tīng)deformationtheoryseminar的時(shí)候，有個(gè)人講到PDE里面蘊(yùn)含了一些homotopyalgebra的結(jié)構(gòu)，然后他做了一些對(duì)這種代數(shù)結(jié)構(gòu)的討論。目前有價(jià)值的PDE基本都來(lái)自于“大自然”，比如來(lái)自物理或者來(lái)自幾何。這些被大自然選擇出來(lái)的方程，里面可能本身就蘊(yùn)含了一些內(nèi)在的結(jié)構(gòu)，使得他們相對(duì)于人類(lèi)任憑亂寫(xiě)的一個(gè)方程更簡(jiǎn)單處理。

幾何里面的代數(shù)：

代數(shù)幾何當(dāng)然和代數(shù)有深刻的聯(lián)系。這方面就舉一個(gè)例子，Kodairaembeddingtheorem.Kodairaembedding是從Kodairavanishing推出來(lái)的，Kodairavanishing是說(shuō)positivelinebundle做某種twist以后的高階上同調(diào)全部為0，算是一個(gè)代數(shù)結(jié)論。Kodairaembedding是說(shuō)對(duì)緊Kahler流形，positivelinebundle和amplelinebundle是一回事，而amplelinebundle能把這個(gè)流形嵌入到某個(gè)CP^N里面，算是一個(gè)幾何結(jié)論。這就是一個(gè)“同調(diào)代數(shù)應(yīng)用于幾何學(xué)”的例子。另外,Kodairavanishing的最初證明好像也是分析的，可以用Atiyah-Singer指標(biāo)來(lái)推，用到了橢圓正則性的一些東西。

07.代數(shù)里面的幾何：純代數(shù)里面許多東西都可以翻譯成代數(shù)幾何的語(yǔ)言。比