采樣定理簡介

采樣定理簡介采樣定理簡介/采樣定理簡介對(duì)于采樣定理的介紹一、采樣定理簡介采樣定理，又稱香農(nóng)采樣定律、奈奎斯特采樣定律，是信息論，特別是通信與信號(hào)辦理學(xué)科中的一個(gè)重要基本結(jié)論.E.T.Whittaker（1915年發(fā)布的統(tǒng)計(jì)理論），克勞德·香農(nóng)與HarryNyquist都對(duì)它作出了重要貢獻(xiàn)。此外，V.A.Kotelnikov也對(duì)這個(gè)定理做了重要貢獻(xiàn)。采樣是將一個(gè)信號(hào)（即時(shí)間或空間上的連續(xù)函數(shù)）變換成一個(gè)數(shù)值序列（即時(shí)間或空間上的失散函數(shù)）。采樣獲得的失散信號(hào)經(jīng)保持器后，獲得的是階梯信號(hào)，即擁有零階保持器的特征。假如信號(hào)是帶限的，而且采樣頻次高于信號(hào)最高頻次的一倍，那么，本來的連續(xù)信號(hào)能夠從采樣樣本中完整重修出來。帶限信號(hào)變換的快慢遇到它的最高頻次重量的限制，也就是說它的失散時(shí)刻采樣表現(xiàn)信號(hào)細(xì)節(jié)的能力是特別有限的。采樣定理是指，假如信號(hào)帶寬小于奈奎斯特頻次（即采樣頻次的二分之一），那么此時(shí)這些失散的采樣點(diǎn)能夠完整表示原信號(hào)。高于或處于奈奎斯特頻次的頻次重量會(huì)致使混疊現(xiàn)象。大部分應(yīng)用都要求防止混疊，混疊問題的嚴(yán)重程度與這些混疊頻次重量的相對(duì)強(qiáng)度相關(guān)。采樣過程所應(yīng)依照的規(guī)律，又稱取樣定理、抽樣定理。采樣定理說明采樣頻次與信號(hào)頻譜之間的關(guān)系，是連續(xù)信號(hào)失散化的基本依照。采樣定理是1928年由美國電信工程師H.奈奎斯特第一提出來的，所以稱為奈奎斯特采樣定理。1933年由蘇聯(lián)工程師科捷利尼科夫首次用公式嚴(yán)格地表述這必定理，所以在蘇聯(lián)文件中稱為科捷利尼科夫采樣定理。1948年信息論的首創(chuàng)人.香農(nóng)對(duì)這必定理加以明確地說明并正式作為定理引用，所以在很多文件中又稱為香農(nóng)采樣定理。采樣定理有很多表述形式，但最基本的表述方式是時(shí)域采樣定理和頻域采樣定理。采樣定理在數(shù)字式遙測系統(tǒng)、時(shí)分制遙測系統(tǒng)、信息辦理、數(shù)字通信和采樣控制理論等領(lǐng)域獲得寬泛的應(yīng)用。時(shí)域采樣定理頻帶為F的連續(xù)信號(hào)f(t)可用一系列失散的采樣值f(t1),f(t1±Δt)，f(t1±2t)，...來表示,只需這些采樣點(diǎn)的時(shí)間間隔t≤1/2F，便可依據(jù)各采樣值完整恢復(fù)本來的信號(hào)f(t)。時(shí)域采樣定理的另一種表述方式是：當(dāng)時(shí)間信號(hào)函數(shù)f(t)的最高頻次重量為fM時(shí),f(t)的值可由一系列采樣間隔小于或等于1/2fM的采樣值來確立,即采樣點(diǎn)的重復(fù)頻次f≥2fM。時(shí)域采樣定理是采樣偏差理論、隨機(jī)變量采樣理論和多變量采樣理論的基礎(chǔ)。頻域采樣定理對(duì)于時(shí)間上受限制的連續(xù)信號(hào)f(t)（即當(dāng)│t│>T時(shí),f(t)=0,這里T=T2-T1是信號(hào)的連續(xù)時(shí)間），若其頻譜為F（ω）,則可在頻域上用一系列失散的采樣值來表示,只需這些采樣點(diǎn)的頻次間隔ω≦π/tm。二、采樣簡介從信號(hào)辦理的角度來看，此采樣定理描繪了兩個(gè)過程：其一是采樣，這一過程將連續(xù)時(shí)間信號(hào)變換為失散時(shí)間信號(hào)；其二是信號(hào)的重修，這一過程失散信號(hào)復(fù)原成連續(xù)信號(hào)。連續(xù)信號(hào)在時(shí)間（或空間）上以某種方式變化著，而采樣過程則是在時(shí)間（或空間）上，以

T為單位間隔來丈量連續(xù)信號(hào)的值。

T稱為采樣間隔。在實(shí)質(zhì)中，假如信號(hào)是時(shí)間的函數(shù)，往常他們的采樣間隔都很小，

一般在毫秒、微秒的量級(jí)。采樣過程產(chǎn)生一系列的數(shù)字，稱為樣本。樣本代表了本來地信號(hào)。

每一個(gè)樣本都對(duì)應(yīng)著丈量這相同本的特準(zhǔn)時(shí)間點(diǎn)，

而采樣間隔的倒數(shù)，

1/T

即為采樣頻次，

fs

，其單位為樣本

/秒，即赫茲。信號(hào)的重修是對(duì)樣本進(jìn)行插值的過程，即，從失散的樣本

x[n]

中，用數(shù)學(xué)的方法確立連續(xù)信號(hào)

x(t)

。三、對(duì)采樣定理的剖析從采樣定理中，我們能夠得出以下結(jié)論：假如已知信號(hào)的最高頻次fH，采樣定理給出了保證完整重修信號(hào)的最低采樣頻次。這一最低采樣頻次稱為臨界頻次或奈奎斯特采樣率，往常表示為fN。相反，假如已知采樣頻率，采樣定理給出了保證完整重修信號(hào)所同意的最高信號(hào)頻次。以上兩種狀況都說明，被采樣的信號(hào)一定是帶限的，即信號(hào)中高于某一給定值的頻次成分一定是零，或起碼特別靠近于零，這樣在重修信號(hào)中這些頻次成分的影響可忽視不計(jì)。在第一種狀況下，被采樣信號(hào)的頻次成分已知，比方聲音信號(hào)，由人類發(fā)出的聲音信號(hào)中，頻次超出5kHz的成分往常特別小，所以以10kHz的頻次來采樣這樣的音頻信號(hào)就足夠了。在第二種狀況下，我們得假定信號(hào)中頻次高于采樣頻次一半的頻次成分可忽視不計(jì)。這往常是用一個(gè)低通濾波器來實(shí)現(xiàn)的。（一）混疊假如不可以知足上述采樣條件，采樣后信號(hào)的頻次就會(huì)重疊，即高于采樣頻次一半的頻率成分將被重修成低于采樣頻次一半的信號(hào)。這類頻譜的重疊致使的失真稱為混疊，而重修出來的信號(hào)稱為原信號(hào)的混疊替身，因?yàn)檫@兩個(gè)信號(hào)有相同的樣本值。一個(gè)頻次正好是采樣頻次一半的弦波信號(hào)，往常會(huì)混疊成另一相同頻次的波弦信號(hào)，但它的相位和幅度改變了。以下兩種舉措可防止混疊的發(fā)生：提升采樣頻次，使之達(dá)到最高信號(hào)頻次的兩倍以上；引入低通濾波器或提升低通濾波器的參數(shù)；該低通濾波器往常稱為抗混疊濾波器抗混疊濾波器可限制信號(hào)的帶寬，使之知足采樣定理的條件。從理論上來說，這是可行的，可是在實(shí)質(zhì)狀況中是不行能做到的。因?yàn)闉V波器不行能完整濾除奈奎斯特頻次之上的信號(hào)，所以，采樣定理要求的帶寬以外總有一些“小的”能量。能量足夠小，以致可忽視不計(jì)。

可是抗混疊濾波器可使這些（二）減采樣當(dāng)一個(gè)信號(hào)被減采樣時(shí)，一定知足采樣定理以防止混疊。為了知足采樣定理的要求，信號(hào)在進(jìn)行減采樣操作前，一定經(jīng)過一個(gè)擁有適合截止頻次的低通濾波器。這個(gè)用于防止混疊的低通濾波器，稱為抗混疊濾波器。為了不失真地恢復(fù)模擬信號(hào)，采樣頻次應(yīng)當(dāng)不小于模擬信號(hào)頻譜中最高頻次的2倍，即Fs≥2Fmax。采樣率越高，稍后恢復(fù)出的波形就越靠近原信號(hào)，可是對(duì)系統(tǒng)的要求就更高，變換電路一定擁有更快的變換速度。（三）重構(gòu)原信號(hào)任何信號(hào)都能夠看做是不一樣頻次的正弦（余弦）信號(hào)的疊加，所以假如知道全部構(gòu)成這一信號(hào)的正（余弦）信號(hào)的幅值、頻次和相角，就能夠重構(gòu)原信號(hào)。因?yàn)樾盘?hào)丈量、分解實(shí)時(shí)頻變換的過程中存在偏差，所以不可以100%地重構(gòu)原信號(hào)，重構(gòu)的信號(hào)只好保證原信號(hào)偏差在允許范圍內(nèi)。四、帶通采樣定理抽樣定理指出，由樣值序列無失真恢復(fù)原信號(hào)的條件是

fS≥2fh，為了知足抽樣定理，要求模擬信號(hào)的頻譜限制在

0～fh以內(nèi)（

fh

為模擬信號(hào)的最高頻次）。為此，在抽樣以前，先設(shè)置一個(gè)前置低通濾波器，將模擬信號(hào)的帶寬容制在

fh

以下，假如前置低通濾波器特征不良或許抽樣頻次過低都會(huì)產(chǎn)生折疊噪聲。比如，話音信號(hào)的最高頻次限制在3400HZ，這時(shí)知足抽樣定理的最低的抽樣頻次應(yīng)為fS=6800HZ，為了留有必定的防衛(wèi)帶，CCITT規(guī)定話音信號(hào)的抽樣率fS=8000HZ，這樣就留出了8000-6800=1200HZ作為濾波器的防衛(wèi)帶。應(yīng)當(dāng)指出，抽樣頻次fS不是越高越好，太高時(shí)，將會(huì)降低信道的利用率（因?yàn)楦鴉S高升，數(shù)據(jù)傳輸速率也增大，則數(shù)字信號(hào)的帶寬變寬，致使信道利用率降低。）所以只需能知足

fS≥2fh,

并有必定頻帶的防衛(wèi)帶即可。以上議論的抽樣定理其實(shí)是對(duì)低通信號(hào)的狀況而言的，設(shè)模擬信號(hào)的頻次范圍為f0～fh，帶寬B=fh-f0.假如f0<B，稱之為低通型信號(hào)，比如，話音信號(hào)就是低通型信號(hào)的，弱f0>B，則稱之為帶通信號(hào)，載波12路群信號(hào)（頻次范圍為60～108KHZ）就屬于帶通型信號(hào)。對(duì)于低通型信號(hào)來講，應(yīng)知足fS≥2fh的條件，而對(duì)于帶通型信號(hào)，假如仍舊依照這個(gè)抽樣，固然能知足樣值頻譜不產(chǎn)生重疊的要求，可是無疑fS太高了（因?yàn)閹ㄐ盘?hào)的

fh高），將降低信道頻寬的利用率，這是不行取的。設(shè)f(t)頻帶為(l,fh)，仍按fs=2fh抽樣，頻譜圖中有好多縫隙，那么能否可降低抽樣f頻次呢經(jīng)察看可發(fā)現(xiàn)帶通信號(hào)的最高頻次fh假如是其帶寬的整數(shù)倍的話，比如fh=2，當(dāng)B抽樣頻次fs=2(fh－fl)=2B時(shí)，其頻譜其實(shí)不發(fā)生混疊。假如最高頻次fh不是信號(hào)帶寬B的整