運(yùn)算方法和運(yùn)算部件乘除及校驗(yàn)課件

關(guān)于運(yùn)算方法和運(yùn)算部件乘除及校驗(yàn)第1頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三23.3.1定點(diǎn)數(shù)一位乘法1．定點(diǎn)原碼一位乘法(1)乘法的運(yùn)算規(guī)則設(shè)x=xf.x1x2…xn，y=yf.y1y2…yn乘積為P，乘積的符號位為Pf，則

Pf=xf⊕yf，|P|=|x|?|y|第2頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三例A=0.1101,B=0.1011,求A*B

0.1101×0.1011

011010110100000011010.10001111筆算法的特點(diǎn)： n位數(shù)相乘，需要將n個位積相加，需要2n位加法器，不能有效利用全加器操作

由手算到機(jī)器實(shí)現(xiàn)，要解決三個問題：符號問題、部分積相加進(jìn)位問題、移位問題。位積A×BiA*B=0.10001111第3頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三求|P|的運(yùn)算規(guī)則：位積=第4頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三5原碼一位乘法的算法流程圖:i表示循環(huán)次數(shù)（相加／移位的次數(shù)）yn表示乘數(shù)將要被判斷的那一位Pi為部分積第5頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三6符號擴(kuò)展把一個數(shù)的位數(shù)進(jìn)行擴(kuò)充但其真值不變。正數(shù)的符號擴(kuò)展：最高符號位之前補(bǔ)0（“0”表示正號）。負(fù)數(shù)的符號擴(kuò)展：最高符號位之前補(bǔ)1（“1”表示負(fù)號）。例：

[X]補(bǔ)

=10010011，將其擴(kuò)展成16位補(bǔ)碼，得

[X]補(bǔ)

=1111111110010011例：

[X]補(bǔ)

=00101100，將其擴(kuò)展成16位補(bǔ)碼，得 [X]補(bǔ)

=0000000000101100第6頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三7

A(部分積累加和)

C（乘數(shù)）00.00001011+00.1101___________00.110100.01101101

1+00.1101_______________________01.001100.10011110

1+00.0000_________________________00.100100.01001111

0+00.1101_________________________01.0001

00.10001111

1丟棄項(xiàng)部分積右移加“被乘數(shù)”加“0”寄存器：A：存放部分積累加和、乘積高位B：存放被乘數(shù)C：存放乘數(shù)、乘積低位

A=00.0000（初始值）B=|X|=00.1101C=|Y|=00.1011例3.31X=0.1101,Y=0.1011,求X?Y.計(jì)算過程如下:加“被乘數(shù)”第7頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三8

（2）邏輯實(shí)現(xiàn)第8頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三9注意：兩操作數(shù)的絕對值相乘，符號位單獨(dú)處理。寄存器A.B均設(shè)置雙符號位，第1符號位始終是部分積符號，決定在右移時(shí)第1符號位補(bǔ)0操作步數(shù)由乘數(shù)的尾數(shù)位數(shù)決定，用計(jì)數(shù)器Cd來計(jì)數(shù)。即作n次累加和移位。最后是加符號位，根據(jù)Xs⊕Ys決定。第9頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三10

補(bǔ)碼乘法不能簡單的套用原碼乘法的算法，因?yàn)檠a(bǔ)碼的符號位是參加運(yùn)算的。

(1)校正法所謂校正法，將[X]補(bǔ)和[Y]補(bǔ)按原碼運(yùn)算，所得結(jié)果根據(jù)情況加以校正，從而得到[XY]補(bǔ)。算法分析：若被乘數(shù)X的符號任意－－[X]補(bǔ)

=X0.X1X2……Xn

1）Y為正：[Y]補(bǔ)

=0.Y1Y2……Yn

[XY]補(bǔ)

=X補(bǔ)(0.Y1Y2……Yn)2）Y為負(fù)：[Y]補(bǔ)

=1.Y1Y2……Yn

[Y]補(bǔ)=2+Y，真值Y=[Y]補(bǔ)-2=1.Y1Y2…Yn-2=0.Y1Y2……Yn-1

[XY]補(bǔ)

=[X]補(bǔ)(0.Y1Y2……Yn)+[-X]補(bǔ)

3）Y符號任意：[XY]補(bǔ)

=X補(bǔ)[0.Y1Y2……Yn]+[-X]補(bǔ)Y0符號位Y<0,除按1）計(jì)算外，另加[-X]補(bǔ)校正直接按原碼乘法運(yùn)算2、定點(diǎn)補(bǔ)碼一位乘法第10頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三11若例3.33中Y=－0.1011，求[X·Y]補(bǔ)時(shí)，需在最后右移1位后，＋[－X]補(bǔ)。校正第11頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三南華大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院12(2)比較法算法(布斯公式)

校正法在乘數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí)，需要進(jìn)行校正，控制起來要復(fù)雜一些，我們希望有一個對于正數(shù)和負(fù)數(shù)都一致的算法，這就是比較法。比較法是英國的Booth夫婦提出來的，因此又稱Booth法。根據(jù)校正法的統(tǒng)一表達(dá)式：[XY]補(bǔ)=[X]補(bǔ)(0.Y1Y2……Yn)+[-X]補(bǔ)Y0

=[X]補(bǔ)(0.Y1Y2……Yn)-[X]補(bǔ)Y0

=[X]補(bǔ)(-Y0+2-1Y1+2-2Y2+……+2-nYn)

=[X]補(bǔ)[-Y0+(Y1-2-1Y1)+(2-1Y2-2-2Y2)+……+(2-(n-1)Yn-2-nYn)]

=[X]補(bǔ)[(Y1-Y0)+2-1(Y2-Y1)+2-2(Y3-Y2)+……+2-n(Yn+1-Yn)]比較法：用相鄰兩位乘數(shù)比較的結(jié)果決定+[X]補(bǔ)、[-X]補(bǔ)或+0。第12頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三(Booth算法）的運(yùn)算規(guī)則:位積=（-）第13頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三14補(bǔ)碼一位乘法算法流程圖:Pi為部分積00或11i表示循環(huán)次數(shù)（相加／移位的次數(shù)）第14頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三15例3.34x=-0.1101，y=-0.1011（書上y為正數(shù)），求[x×y]補(bǔ)=?

解：

[x]補(bǔ)=11.0011，[-x]補(bǔ)=00.1101（雙符號） [y]補(bǔ)=1.0101（單符號）第15頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三16步數(shù)條件操作

PY

00.00001.01010

1）01[-X]補(bǔ)YiYi+1+00.110100.110100.01101

1.01012）10[X]補(bǔ)+11.001111.100111.1100111.0103）01[-X]補(bǔ)+00.110100.100100.01001111.014）10[X]補(bǔ)+11.001111.011111.101111111.0Yi+1Yi5）01

[-X]補(bǔ)+00.1101

00.10001111[XY]補(bǔ)=0.10001111右移時(shí)左邊補(bǔ)0，因?yàn)槭钦龜?shù)(根據(jù)符號擴(kuò)展原理)右移時(shí)左邊補(bǔ)1，因?yàn)槭秦?fù)數(shù)(根據(jù)符號擴(kuò)展原理)第16頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三17P、X取雙符號位，符號參加運(yùn)算；Y取單符號位，符號參加移位，以決定最后是否修正；Y末位設(shè)置附加位Yi+1，初值為0，Yi+1Yi組成判斷位，決定運(yùn)算操作；需作n+1次累加,n次移位(最后一次不移位)。

(4)運(yùn)算規(guī)則第17頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三183.3.2.定點(diǎn)數(shù)二位乘法每次用兩位乘數(shù)去乘被乘數(shù)，乘法速度提高一倍Yi-1(高位)Yi(低位)部分積累加、移位00011011

1/4P1/4(P+X)1/4(P+2X)1/4(P+3X)(0)(1)(2)(3)

0

X

2X

3XX左移1位即得2X，如何實(shí)現(xiàn)+3X操作？

原碼兩位乘法為例

(1)算法分析(P48)第18頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三19

1/4(P+3X)=

1/4(P-X+4X)=1/4(P-X)+X

設(shè)置欠帳觸發(fā)器C=0不欠帳1欠帳,下次補(bǔ)作+X操作(2)算法(P49表3.3)00000101001100101110111操作

Yi-1YiC1/4(P+X)0C1/4(P+X)0C1/4(P+2X)0C1/4P0C1/4(P+2X)

0C1/4(P-X)

1C1/4(P-X)

1C1/4P

1C第19頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三20[-X]補(bǔ)=11.0110012X=01.001110

部分積

乘數(shù) 欠位C

00.0000001001110

+[-X]補(bǔ)

11.011001 11.011001 右移2位11.110110011001

1 ＋2X01.001110

01.000100

右移2位00.010001 000110 0+2X01.00111001.011111

右移2位000101111100010 乘積高位 乘積低位

X*Y=0.010111110001例3.35假定X=0.100111，Y=0.100111求XY＝？

第20頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三21注意：

若最后一次操作欠下＋4X即C=1，則最后一次右移2位后，還需補(bǔ)充＋X操作，＋X后不再移位。乘數(shù)符號不參加運(yùn)算，參加運(yùn)算的操作數(shù)取絕對值，x｜X｜，2x2｜X｜，符號位單獨(dú)處理。第21頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三南華大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院223.3.3陣列乘法器

為了進(jìn)一步提高乘法運(yùn)算的速度，可采用高速乘法模塊組成的陣列乘法器，設(shè)有兩個帶符號的二進(jìn)制數(shù)。例：m=n=4時(shí)，有：

x4x3x2x1*y4y3y2y1

----------------------------------------x4y1x3y1x2y1x1y1

x4y2x3y2x2y2x1y2

x4y3x3y3x2y3x1y3

x4y4x3y4x2y4x1y4

P8P7P6P5P4P3P2P1

其結(jié)構(gòu)圖見P50圖3.7可同時(shí)得到各項(xiàng)部分積，并一次將其相加就得到乘積運(yùn)算速度快。第22頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三23圖3.7陣列乘法器第23頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三243.4二進(jìn)制除法運(yùn)算

二進(jìn)制除法可模仿十進(jìn)制除法運(yùn)算。 除法，理論上是乘法的逆運(yùn)算，在算法上本質(zhì)是一種試探法：它試探被除數(shù)是大于等于還是小于除數(shù)，大于等于時(shí)商為1，小于時(shí)商為0。第24頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三25

筆算除法A=0.1001,B=0.1011,求商C,余數(shù)R.

0.1101

0.10110.10010R0=A -0.01011-2-1B 0.001110R1 -0.001011-2-2B 0.0000110R2

0.00001100R3 -0.00001011-2-4B 0.00000001R4第25頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三26筆算過程在計(jì)算機(jī)上的實(shí)現(xiàn)，必須作些變動：比較除數(shù)與被除數(shù)過程，用減法實(shí)現(xiàn)；除數(shù)乘以1/2與余數(shù)比較，等效于除數(shù)不動，而使余數(shù)左移一位；上商可以通過在商寄存器末位置1（商1）或置0（商0）來實(shí)現(xiàn)。上商同時(shí)使商寄存器與余數(shù)寄存器一起左移一位。(商寄存器初始存放被除數(shù)的低位數(shù)值部分)第26頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三273.4.1定點(diǎn)除法運(yùn)算定點(diǎn)原碼一位除法有恢復(fù)余數(shù)法和加減交替法兩種方法，在計(jì)算機(jī)中常用的是加減交替法，因?yàn)樗牟僮鞑襟E少，而且也不復(fù)雜。兩個原碼數(shù)相除，其商的符號為兩數(shù)符號的異或值，數(shù)值則為兩數(shù)絕對值相除后的結(jié)果。實(shí)現(xiàn)除法的關(guān)鍵：

比較余數(shù)、除數(shù)絕對值大小，以決定上商。第27頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三28運(yùn)算規(guī)則：符號位單獨(dú)處理，C0=A0B0數(shù)值部分變成兩正數(shù)相除，即:|A|/|B|(|A|<|B|，防止商溢出)第1步除法通過R0-|B|(R0=|A|)實(shí)現(xiàn)；其后每1步除法通過2Ri-|B|(i=1,2,…,n)實(shí)現(xiàn)：若2Ri-|B|=Ri+10,即余數(shù)為正，則商上1；若2Ri-|B|=Ri+1<0,即余數(shù)為負(fù)，則商上0。第28頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三29

1.恢復(fù)余數(shù)法

不管被除數(shù)（或余數(shù)）減除數(shù)是否夠減，都一律做減法。若余數(shù)為正或0，表示夠減，該位商上“1”，余數(shù)左移1位。若余數(shù)為負(fù)，表示不夠減，該位商上“0”，并要恢復(fù)原來的被除數(shù)（或余數(shù)），再將其左移1位。按上述規(guī)則實(shí)現(xiàn)的除法器，有什么問題？

相同位數(shù)的除法，對于不同的值，由于可能有恢復(fù)余數(shù)過程，運(yùn)算步數(shù)不統(tǒng)一。控制器實(shí)現(xiàn)困難?。ɑ貞洠撼朔ㄟ\(yùn)算器里的步數(shù)計(jì)數(shù)器）第29頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三30

設(shè)某步得到余數(shù)Ri≥0，得到下步除法的新余數(shù)Ri+1：

Ri+1=2Ri-|B|

若Ri是假余數(shù)，即Ri<0，要得到下步除法的新余數(shù)Ri+1，要先恢復(fù)余數(shù)，而后左移一位再減|B|才能得到新余數(shù)。即：

Ri+1=2(Ri+|B|)-|B|

將上式變換一下，得：

Ri+1=2Ri+|B|去掉恢復(fù)步！加減交替法第30頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三31

若某步除法Ri<0，要得到下步除法的新余數(shù)Ri+1，不必恢復(fù)余數(shù)，只要將Ri視為余數(shù)，左移一位，再加上|B|就得到新余數(shù)Ri+1。即：本次余數(shù)為正，下步除法作減法；（夠減，商上1）本次余數(shù)為負(fù)，下步除法作加法。（不夠減，商上0）2.加減交替法第31頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三例3.36設(shè)被除數(shù)X=0.1011，除數(shù)Y=0.1101，用加減交替法求X/Y。

[-Y]補(bǔ)=11.0011,計(jì)算過程如下:00101100000開始情形110011+[-Y]補(bǔ)11111000000不夠減,商上011110000000左移001101+Y00100100001夠減,商上101001000010左移110011+[-Y]補(bǔ)00010100011夠減,商上100101000110左移110011+[-Y]補(bǔ)11110100110不夠減,商上011101001100左移001101+Y00011101101夠減,商上1+)+)+)+)+)被除數(shù)(余數(shù)R)（被除數(shù))(商）操作說明余數(shù)商X/Y=0.1101,余數(shù)=0.00000111第32頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三

余數(shù)寄存器(A)中開始時(shí)存放被除數(shù)的絕對值，以后將存放各次余數(shù)，取雙符號位。除數(shù)寄存器(B)存放除數(shù)的絕對值，取雙符號位。商寄存器(C)同來存放商及初始被除數(shù)低位數(shù)值（被除數(shù)位數(shù)可以是除數(shù)的兩倍），取單符號位。將被除數(shù)X視為初始余數(shù)R0，根據(jù)R0符號位正（絕對值），令商符為0，正式的商符以后再置入。第一步為-Y。商值則根據(jù)余數(shù)Ri的符號來決定，正則商上1，求下一位商的辦法是余數(shù)左移一位再減去除數(shù)；當(dāng)余數(shù)為負(fù)則商上0，求下一位商的辦法是余數(shù)左移一位再加上除數(shù)。左移位時(shí)末位補(bǔ)0。最后一步操作：如果要求得n位商（不含符號位），則需作n步“左移-加減”循環(huán)；若第n步余數(shù)為負(fù)，則需增加一步恢復(fù)余數(shù)，增加的這一步不移位。第33頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三343.4.2提高除法運(yùn)算速度的方法舉例

1.跳0跳1除法

提高規(guī)格化小數(shù)絕對值相除速度的算法。可根據(jù)余數(shù)前幾位代碼值再次求得幾位同為1或0的商。其規(guī)則是：(1)如果余數(shù)R≥0，且R的高K個數(shù)位均數(shù)0，則本次直接得商1，后跟K-1個0。R左移K位后，減去除數(shù)Y，得新余數(shù)。(2)如果余數(shù)R＜0，且R的高K個數(shù)位均為1，則本次商為0，后跟K-1個1，R左移K位后，加上除數(shù)Y，得新余數(shù)。(3)不滿足(1)和(2)中條件時(shí)，按一位除法上商。第34頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三35例3.37

設(shè)X=0.1010000,Y=0.1100011,求X/Y。解：略

2.除法運(yùn)算通過乘法操作來實(shí)現(xiàn) 在計(jì)算機(jī)運(yùn)行時(shí)，執(zhí)行乘法指令的幾率比除法高。某些CPU中設(shè)置有專門的乘法器，一般沒有專用除法器，在這種情況下，利用乘法來完成除法運(yùn)算可提高速度。第35頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三36設(shè)X為被除數(shù)，Y為除數(shù)，按下式完成X/Y。式中Fi(0≤i≤r)為迭代系數(shù)，如果迭代幾次后，可以使分母Y×F0×F1×…×Fr→1，則分子即為商：

X·F0·F1…Fr

因此，問題是如何找到一組迭代系數(shù)，使分母很快趨近于1。若X和Y為規(guī)格化正小數(shù)二進(jìn)制代碼，可寫成： Y=1-δ(0<δ≤1/2)第36頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三37如果取F0=1+δ，則第一次迭代結(jié)果：

Y0=Y·F0=(1-δ)(1+δ)=1-δ2取F1=1+δ2，則第二次迭代結(jié)果：

Y1=Y0·F1=(1-δ2)(1＋δ2)=1-δ4 …取Fi=1+δ2i，則第i+1次迭代結(jié)果：

Yi=Yi-1·Fi=(1-δ2i)(1+δ2i)=1-δ2i+1當(dāng)i增加時(shí)，Y將很快趨近于1，其誤差為δ2i+1。實(shí)際上求得Fi的過程很簡單，即

Fi=1+δ2i=2-1+δ2i=2-(1-δ2i)=2-Yi-1 Fi就是(-Yi-1)的補(bǔ)碼(0≤i≤r)。第37頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三38例3.38

設(shè)X=0.1000,Y=0.1011則δ=1-Y=0.0101，F(xiàn)0=1+δ=1.0101

分子分母分別進(jìn)行乘法運(yùn)算。

F1=2-Y0=2-0.1110=1.0010

分母趨近于1所以 第38頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三393.5浮點(diǎn)數(shù)的運(yùn)算方法

浮點(diǎn)數(shù)的表示形式（以2為底）：

N=M·2E

其中，M為浮點(diǎn)數(shù)的尾數(shù)，一般為絕對值小于1的規(guī)格化二進(jìn)制小數(shù)用原碼或補(bǔ)碼形式表示；E為浮點(diǎn)數(shù)的階碼，一般是用移碼或補(bǔ)碼表示的整數(shù)。

第39頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三403.5.1浮點(diǎn)數(shù)的加減法運(yùn)算 兩數(shù)首先均為規(guī)格化數(shù)，在進(jìn)行規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)的加減運(yùn)算需經(jīng)過五步完成：（1）對階操作：低階向高階補(bǔ)齊，使階碼相等；（2）尾數(shù)運(yùn)算：階碼對齊后直接對尾數(shù)運(yùn)算；（3）結(jié)果規(guī)格化：對運(yùn)算結(jié)果進(jìn)行規(guī)格化處理；

(使補(bǔ)碼尾數(shù)的最高位和尾數(shù)符號相反)（4）舍入操作：丟失位進(jìn)行0舍1入或恒置1處理；（5）判斷溢出：判斷階碼是否溢出，下溢則將運(yùn)算結(jié)果置0（機(jī)器零），上溢則溢出中斷。第40頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三舉例說明如下：(1)對階運(yùn)算(小階向大階對齊)尾數(shù)為原碼時(shí),尾數(shù)右移,符號位不動,最高位補(bǔ)0尾數(shù)為補(bǔ)碼時(shí),尾數(shù)右移,符號也移位,最高位補(bǔ)符號位例如：求 =?小階對大階舍掉的是如大階對小階則舍掉的是第41頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三(2)尾數(shù)的加減運(yùn)算(3)規(guī)格化：原碼尾數(shù)值高位為1，補(bǔ)碼尾數(shù)值高位與符號相反(4)舍入操作：0舍1入或恒置1例1：求 =?0舍1入后為恒置1例2：求=?0舍1入后為恒置1(5)判斷結(jié)果的正確性(即結(jié)果的階碼是否溢出)第42頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三南華大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院43規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)加減運(yùn)算流程。（P91）第43頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三44例3.39兩浮點(diǎn)數(shù)相加，求X+Y。

已知：X＝2010·0.11011011，y＝2100·(-0.10101100)計(jì)算過程：解：X和Y在機(jī)器中的浮點(diǎn)補(bǔ)碼表示形式為(雙符號位)：階符階碼數(shù)符尾數(shù)

X：000100011011011

Y：001001101010100（1）對階操作

階差ΔE＝[Ex]補(bǔ)+[-EY]補(bǔ)=00010+11100=11110

X階碼小，Mx右移2位，保留階碼E＝00100。

[Mx]補(bǔ)=000011011011下劃線上的數(shù)是右移出去而保留的附加位。（2）尾數(shù)相加

[Mx]補(bǔ)+[MY]補(bǔ)=000011011011+1101010100=111000101011。（3）規(guī)格化操作

左規(guī)，移1位，結(jié)果：110001010110；階碼-1，E＝00011。

第44頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三45（4）舍入附加位最高位為1，在所得結(jié)果的最低位+1。得新結(jié)果：[M]補(bǔ)=1100010110，

M：-0．11101010。（5）判溢出階碼符號位為00，故不溢出。最終結(jié)果為：

X+Y=2011·(-0．11101010)第45頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三

浮點(diǎn)數(shù)的乘除:階碼為兩數(shù)階碼之和、差，其尾數(shù)應(yīng)為兩數(shù)的尾數(shù)之積、商。

結(jié)果的處理：結(jié)果必須進(jìn)行規(guī)格化、舍入和判溢出等操作。

3.5.2浮點(diǎn)數(shù)的乘除法運(yùn)算第46頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三1.浮點(diǎn)數(shù)的階碼運(yùn)算

階碼運(yùn)算：+1，-1，兩階碼求和以及兩階碼求差四種。

移碼的運(yùn)算規(guī)則：

移碼的定義為：[X]移=2n+X -2n≤X<2n

[X]移+[Y]移=2n+X+2n+Y=2n+(2n+(X+Y)) =2n+[X+Y]移

結(jié)果的最高位多加了個1，要得到移碼形式的結(jié)果，需對結(jié)果的符號取反。第47頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三

根據(jù)補(bǔ)碼定義：[Y]補(bǔ)=2n+1+Ymod2n+1因此求階碼和(移碼表示)可用如下方式完成： [X]移+[Y]補(bǔ)=2n+X+2n+1+Y=2n+1+(2n+(X+Y)) =[X+Y]移

mod2n+1

同理有[X]移+[-Y]補(bǔ)=[X-Y]移。 執(zhí)行移碼加或減時(shí)，取加數(shù)或減數(shù)符號位的反碼（補(bǔ)碼）進(jìn)行運(yùn)算。即被加(減)數(shù)為移碼，加(減)數(shù)為補(bǔ)碼。直接用移碼實(shí)現(xiàn)求階碼之和第48頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三

使用雙符號位的階碼相加減，并規(guī)定移碼（被加數(shù)或被減數(shù)）的第二個符號位，即最高符號位恒用0參加加減運(yùn)算。

當(dāng)結(jié)果的最高符號位為0時(shí)，表明沒有溢出。低位符號位為1，表明結(jié)果為正；為0時(shí)，表明結(jié)果為負(fù)。

溢出條件是結(jié)果的最高符號位為1。

溢出時(shí)，當(dāng)?shù)臀环栁粸?時(shí)結(jié)果上溢，為1時(shí)結(jié)果下溢。判定溢出的方法第49頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三例：階碼用4位表示，其范圍為-8到+7。（1）當(dāng)X=+011，Y=+110時(shí)，則有 [X]移=01011，[Y]補(bǔ)=00110，[-Y]補(bǔ)=11010階碼加[X+Y]移=[X]移+[Y]補(bǔ)=01011+00110=10001，結(jié)果上溢階碼減[X-Y]移=[X]移+[-Y]補(bǔ)=01011+11010=00101，結(jié)果正確，為-3（2）當(dāng)X=-011，Y=-110時(shí)，則有 [X]移=00101，[Y]補(bǔ)=11010，[-Y]補(bǔ)=00110階碼加[X+Y]移=[X]移+[Y]補(bǔ)=00101+11010=11111，結(jié)果下溢階碼減[X-Y]移=[X]移+[-Y]補(bǔ)=00101+00110=01011，結(jié)果正確，為+3第50頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三2.浮點(diǎn)數(shù)的舍入處理

計(jì)算機(jī)中，浮點(diǎn)數(shù)的尾數(shù)有確定的位數(shù)，若浮點(diǎn)數(shù)的運(yùn)算結(jié)果超過給定的位數(shù)，要進(jìn)行去除多余位數(shù)的處理。處理的原則是使本次處理所造成的誤差以及按此原則產(chǎn)生的累計(jì)誤差都比較小。①無條件地丟掉正常尾數(shù)最低位之后的全部數(shù)值。這種辦法被稱為截?cái)嗵幚?，其好處是處理簡單，缺點(diǎn)是影響結(jié)果的精度。②保留右移中移出的若干高位的值，然后再按某種規(guī)則用這些位上的值修正尾數(shù)。這種處理方法被稱為舍入處理。第51頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三舍入方法：只要尾數(shù)最低位為1，或移出去的幾位中有1，就把尾數(shù)的最低位置1，否則仍保持原有的0值?；蛘卟捎酶啽愕姆椒ǎ醋畹臀缓阒?的方法。

0舍1入法(相當(dāng)于十進(jìn)制中的四舍五入法)，即當(dāng)丟失的最高位的值為1時(shí)，把這個1加到最低數(shù)值位上進(jìn)行修正，否則舍去丟失的各位的值，其缺點(diǎn)是要多進(jìn)行一次加法運(yùn)算。第52頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三例3.40設(shè)有5位數(shù)(其中有一附加位)，用原碼或補(bǔ)碼表示，舍入后保留4位結(jié)果。（0舍1入法）設(shè)：[X]原=0.11011舍入后[X]原=0.1110 [X]原=0.11100舍入后[X]原=0.1110 [X]補(bǔ)=1.00101舍入后[X]補(bǔ)=1.0011 [X]補(bǔ)=1.00100舍入后[X]補(bǔ)=1.0010舍入后產(chǎn)生了誤差，但誤差值小于末位的權(quán)值。第53頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三3.浮點(diǎn)乘法運(yùn)算步驟

舉例說明浮點(diǎn)乘法的運(yùn)算步驟：例3.41階碼4位(移碼)，尾數(shù)8位(補(bǔ)碼，含1符號位)，階碼以2為底。運(yùn)算結(jié)果仍取8位尾數(shù)。設(shè)：X=2-5·0.1110011,Y=23·(-0.1110010)

運(yùn)算過程中階碼取雙符號位。(1)求乘積的階碼。乘積的階碼為兩數(shù)階碼之和。[EX+EY]移=[EX]移+[EY]補(bǔ)=00011+00011=00110(2)尾數(shù)相乘。用定點(diǎn)數(shù)相乘的辦法，[X·Y]補(bǔ)=1.0011001

1001010(尾數(shù)部分)高位部分低位部分第54頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三(3)規(guī)格化處理。本例尾數(shù)已規(guī)格化，不需要再處理。如未規(guī)格化，需左規(guī)。(4)舍入。尾數(shù)(乘積)低位部分的最高為1，需要舍入，在乘積高位部分的最低位加1，因此

[X·Y]補(bǔ)=1.0011010(尾數(shù)部分)(5)判溢出。階碼未溢出，故結(jié)果為正確。 X·Y=2-2·(-0.1100110)

在求乘積的階碼(即兩階碼相加)時(shí)，有可能產(chǎn)生上溢或下溢的情況；在進(jìn)行規(guī)格化處理時(shí)，有可能產(chǎn)生下溢。第55頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三4.浮點(diǎn)數(shù)乘法運(yùn)算(階碼的底為8或16)

N=8E·M或N=16E·M

階碼E和尾數(shù)M還都是用二進(jìn)制表示的，其運(yùn)算規(guī)則與階碼以2為底基本相同，但關(guān)于對階和規(guī)格化操作有新的相應(yīng)規(guī)定。當(dāng)階碼以8為底時(shí)，只要尾數(shù)滿足1/8≤M<1或

-1≤M<-1/8就是規(guī)格化數(shù)。執(zhí)行對階和規(guī)格化操作時(shí)，每當(dāng)階碼的值增或減1，尾數(shù)要相應(yīng)右移或左移三位。當(dāng)階碼以16為底時(shí)，只要尾數(shù)滿足1/16≤M<1或

-1≤M<-1/16就是規(guī)格化數(shù)。執(zhí)行對階和規(guī)格化操作時(shí)，階碼的值增或減1，尾數(shù)必須移四位。第56頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三5.浮點(diǎn)數(shù)除法運(yùn)算步驟（1）求商的階碼 尾數(shù)調(diào)整：保證MX＜MY

階碼相加減（2）尾數(shù)相除（3）規(guī)格化（4）舍入（5）判溢出第57頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三583.6運(yùn)算部件

1.定點(diǎn)運(yùn)算部件

定點(diǎn)運(yùn)算部件由算術(shù)邏輯運(yùn)算部件ALU、若干個寄存器、移位電路、計(jì)數(shù)器、門電路等組成。

ALU部件主要完成加減法算術(shù)運(yùn)算及邏輯運(yùn)算。第58頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三59第59頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三602．浮點(diǎn)運(yùn)算部件

通常由階碼運(yùn)算部件和尾數(shù)運(yùn)算部件組成，其各自的結(jié)構(gòu)與定點(diǎn)運(yùn)算部件相似。但階碼部分僅執(zhí)行加減法運(yùn)算。其尾數(shù)部分則執(zhí)行加減乘除運(yùn)算，左規(guī)時(shí)有時(shí)需要左移多位。為加速移位過程，有的機(jī)器設(shè)置了可移動多位的電路。第60頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三3.7數(shù)據(jù)校驗(yàn)碼

計(jì)算機(jī)系統(tǒng)中的數(shù)據(jù)，在讀寫、存取和傳送的過程中可能產(chǎn)生錯誤。為減少和避免這類錯誤，一方面是精心設(shè)計(jì)各種電路，提高計(jì)算機(jī)硬件的可靠性；另一方面是在數(shù)據(jù)編碼上找出路，即采用某種編碼法，通過少量的附加電路，使之能發(fā)現(xiàn)某些錯誤，甚至能確定出錯位置，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)自動改錯的能力。

數(shù)據(jù)校驗(yàn)碼:是一種常用的帶有發(fā)現(xiàn)某些錯誤或自動改錯能力的數(shù)據(jù)編碼方法。(查錯與糾錯)

實(shí)現(xiàn)原理：是加進(jìn)一些冗余碼，使合法數(shù)據(jù)編碼出錯變成非法數(shù)據(jù)來發(fā)現(xiàn)或改正數(shù)據(jù)。常用的數(shù)據(jù)校驗(yàn)碼：奇偶校驗(yàn)碼、海明校驗(yàn)碼和循環(huán)冗余校驗(yàn)碼。第61頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三

采用冗余校驗(yàn)方法：即在基本的有效數(shù)據(jù)外，再擴(kuò)充部分位，增加部分（冗余部分）被稱為校驗(yàn)位。將校驗(yàn)位與數(shù)據(jù)位一起按某種規(guī)則編碼，寫入存儲器或向外發(fā)送。當(dāng)從存儲器讀出或接收到外部傳入的代碼時(shí)，再按相應(yīng)的規(guī)則進(jìn)行判讀。若不符合約定的規(guī)則，則表示出現(xiàn)錯誤。根據(jù)錯誤的特征進(jìn)行修正恢復(fù)。第62頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三幾個名詞概念碼字：由若干代碼組成的一個字。如8421碼中0110（6），0111（7）距離：兩個碼字之間不同的代碼個數(shù)。8421碼中，最小的距離為1，如0000和0001、0010和0011等；最大距離為4，如0111和1000。碼距(最小碼距)：一種碼制中任意兩個碼字間的最小

距離。（合法碼到合法碼變動的最小位數(shù)）

8421碼的碼距為1。碼距為1，即不能查錯也不能糾錯。碼距越大，查錯、糾錯能力越強(qiáng)。第63頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三碼距與檢糾錯的關(guān)系①為了檢測e個誤碼，要求最小碼距d0應(yīng)滿足： d0≥e+1②為了糾正t個誤碼，要求最小碼d0距應(yīng)滿足： d0≥2t+1③為了糾正t個誤碼，同時(shí)能檢測e個誤碼(e＞t)，要求最小碼距d0應(yīng)滿足： d0≥e+t+17/6/202364第64頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三3.7.1奇偶校驗(yàn)碼

奇偶校驗(yàn)碼是計(jì)算機(jī)中廣泛采用的檢查傳輸數(shù)據(jù)準(zhǔn)確性的方法。奇偶校驗(yàn)的原理是： 在每組數(shù)據(jù)信息上附加一個校驗(yàn)位，使碼距由1增加到2（合法碼到合法碼變動的最小位數(shù)為2）。若編碼中有奇數(shù)個二進(jìn)制位出錯了，這個碼將變成非法編碼。如果采用奇校驗(yàn)，則這組數(shù)據(jù)加上校驗(yàn)碼位后數(shù)據(jù)中‘1’的個數(shù)應(yīng)為奇數(shù)個。奇校驗(yàn)位形成公式:

C=X0⊕X1⊕…⊕Xn-1

如果采用偶校驗(yàn)，則這組數(shù)據(jù)加上校驗(yàn)碼位后數(shù)據(jù)中‘1’的個數(shù)應(yīng)為偶數(shù)個。偶校驗(yàn)位形成公式:

C=X0⊕X1⊕…⊕Xn-1第65頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三

下面給出對幾個字節(jié)值的奇偶校驗(yàn)的編碼結(jié)果：

數(shù)據(jù)奇校驗(yàn)的編碼偶校碼的編碼00000000l00000000000000000010l0l000010l0100l01010l0001ll1lll0011l111110l111l1l

其中，最高一位為校驗(yàn)位，其余低八位為數(shù)據(jù)位。從中可以看到，校驗(yàn)位的值取O還是1，是由數(shù)據(jù)位中1的個數(shù)決定的。第66頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三缺點(diǎn):這種方案只能發(fā)現(xiàn)一位錯或奇數(shù)個位錯，但不能確定是哪一位錯，也不能發(fā)現(xiàn)偶數(shù)個位錯。優(yōu)點(diǎn):該方案還是有很好的實(shí)用價(jià)值。偶校驗(yàn)位形成第67頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三奇偶校驗(yàn)的特點(diǎn)：1、奇偶校驗(yàn)碼使數(shù)據(jù)的碼距為2，因而可檢出數(shù)據(jù)傳送過程中奇數(shù)個數(shù)位出錯的情況（一位變動會使校驗(yàn)位改變，d0≥e+1=2）；2、實(shí)際中兩位同時(shí)出錯的概率極低，奇偶校驗(yàn)法簡便可靠易行，但它只能發(fā)現(xiàn)錯誤，卻不知錯在何處，因而不能自動糾正。3、奇偶校驗(yàn)碼是一種開銷最小，能發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)代碼中一位出錯情況的編碼。 常用于存儲器讀寫檢查，或ASCII字符傳送過程中的檢查。第68頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三3.7.2海明校驗(yàn)碼

海明校驗(yàn)碼是RichardHamming于1950年提出的，目前仍廣泛使用的一種編碼方法。1、原理（1）特點(diǎn)：能檢測出兩位同時(shí)出錯、亦能檢測出一位出錯并能自動糾錯。(碼距d0≥e+t+1=2+1+1=4)（2）實(shí)現(xiàn)原理：在k個數(shù)據(jù)位之外加上r個校驗(yàn)位，從而形成一個k+r位的新碼字，當(dāng)某一位出錯后，就會引起相關(guān)的幾個（d0

個）校驗(yàn)位的值發(fā)生變化，從而達(dá)到檢錯、糾錯的目的。第69頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三

能檢測與自動糾正一位錯，并發(fā)現(xiàn)兩位錯，校驗(yàn)位r與數(shù)據(jù)位k應(yīng)滿足下述關(guān)系： 2r-1≥k+r(一位出錯并糾錯且發(fā)現(xiàn)兩位錯

d0≥e+t+1=2+1+1=4)

數(shù)據(jù)位k與校驗(yàn)位r的對應(yīng)關(guān)系：

第70頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三2、編碼規(guī)則

若海明碼的最高位號為m，最低位號為1，即：HmHm-1…H2H1，則此海明碼的編碼規(guī)律是：(1)校驗(yàn)位與數(shù)據(jù)位之和為m，每個校驗(yàn)位Pi（Parity，奇偶校驗(yàn)位）在海明碼中被分在位號2i-1的位置，其余各位為數(shù)據(jù)位，并按從低向高逐位依次排列的關(guān)系分配各數(shù)據(jù)位。(2)海明碼的每一位碼Hi(包括數(shù)據(jù)位和校驗(yàn)位本身)由多個校驗(yàn)位校驗(yàn)，其關(guān)系是被校驗(yàn)的每一位位號要等于校驗(yàn)它的各校驗(yàn)位的位號之和。這樣安排的目的,是希望校驗(yàn)的結(jié)果能正確反映出出錯位的位號。第71頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三例討論一個字節(jié)的海明碼（1）K=8，按表3.5得出r=5

故海明碼的總位數(shù)為13，可表示：

H13H12H11...H3H2H1P5只能放在H13一位上，它已經(jīng)是海明碼的最高位了，其他4位滿足Pi的位號等于2i-1的關(guān)系。其余為數(shù)據(jù)位Di，則有如下排列關(guān)系：位號13121110987654321信息P5D8D7D6D5P4D4D3D2P3D1P2P1第72頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三

每一位號等于校驗(yàn)它的各校驗(yàn)位的位號之和第73頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三(2)計(jì)算各個校驗(yàn)位的值D1(H3)D2(H5)D3(H6)D4(H7)D5(H9)D6(H10)D7(H11)D8(H12)P1(H1)P2(H2)P3(H4)P4(H8)P5(H13)√√√√√√√√√√√√√√√√√√P1=D1⊕D2⊕D4⊕D5⊕D7P2=D1⊕D3⊕D4⊕D6⊕D7

P3=D2⊕D3⊕D4⊕D8P4=D5⊕D6⊕D7⊕D8P5=D1⊕D2⊕D3⊕D4⊕D5⊕D6⊕D7⊕D8⊕P4⊕P3⊕P2⊕P1在這種安排中，每一位數(shù)據(jù)位，都至少地出現(xiàn)在3個Pi值的形成關(guān)系中。當(dāng)任一位數(shù)據(jù)碼發(fā)生變化時(shí)，必將引起3個或4個Pi值跟著變化，該海明碼的碼距為4。校驗(yàn)位的編碼規(guī)則(偶校驗(yàn))第74頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三S1=P1⊕D1⊕D2⊕D4⊕D5⊕D7

S2=P2⊕D1⊕D3⊕D4⊕D6⊕D7

S3=P3⊕D2⊕D3⊕D4⊕D8

S4=P4⊕D5⊕D6⊕D7⊕D8

S5=P5⊕P4⊕P3⊕P2⊕P1⊕D1⊕D2⊕D3⊕D4⊕D5⊕D6⊕D7⊕D8

（3）譯碼規(guī)則（接受端）--偶校驗(yàn)

則校驗(yàn)得到的結(jié)果值S5～S1能反映13位海明碼的出錯情況。任何偶數(shù)個數(shù)出錯，S5一定為0，因此可區(qū)分兩位出錯或一位出錯。Si=Pi⊕形成Pi的編碼規(guī)則第75頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三用海明位號改寫S4～S1：S1=H1⊕H3⊕H5⊕H7⊕H9⊕H11

S2=H2⊕H3⊕H6⊕H7⊕H10⊕H11

S3=H4⊕H5⊕H6⊕H7⊕H12S4=H8⊕H9⊕H10⊕H11⊕H12假設(shè)：H12(D8)出錯、S4S3S2S1=1100H11(D7)出錯、S4S3S2S1=1011H10(D6)出錯、S4S3S2S1=1010H9(D5)出錯、S4S3S2S1=1001H7(D4)出錯、S4S3S2S1=0111H6(D3)出錯、S4S3S2S1=0110H5(D2)出錯、S4S3S2S1=0101H3(D1)出錯、S4S3S2S1=0011結(jié)論：當(dāng)某個數(shù)據(jù)位出錯時(shí)、S4S3S2S1的值等于該出錯位數(shù)據(jù)在海明碼中的位號。問題：1.當(dāng)某個校驗(yàn)位出錯時(shí)、S4S3S2S1的值等于什么？

2n位號

2.S5與S4S3S2S1的各種組合分別反映了海明碼的什么狀態(tài)？S5為0有偶數(shù)個錯（S4S3S2S1=0無錯；不為0有兩位錯）第76頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三3、海明碼校驗(yàn)邏輯電路第77頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三第78頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三例1：請計(jì)算8位二進(jìn)制信息10011010的海明碼字是多少？解：1）計(jì)算r=？2）計(jì)算P1～P5=？r=5D1(H3)0D2(H5)1D3(H6)0D4(H7)1D5(H9)1D6(H10)0D7(H11)0D8(H12)1P1(H1)P2(H2)P3(H4)P4(H8)P5(H13)001100111110000011P1=1P2=1P3=1P4=0P5=1位號13121110987654321信息1001101011101第79頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三例2：請分析海明碼字1100101111011是否正確？若有錯，請糾錯。解：計(jì)算S5S4S3S2S1