數(shù)學(xué)建模課程設(shè)計(jì)基于插值擬合的黑白照片修復(fù)問(wèn)題

第頁(yè)1.問(wèn)題重述1.1問(wèn)題背景照片作為人類記錄事件的重要載體，對(duì)日常生活工作擁有者不可替代的重要意義。年代久遠(yuǎn)的黑白照片更是承載過(guò)去記憶的珍貴材料，但由于保存不善或各種原因，照片破損、發(fā)霉或沾上污漬的情況時(shí)有出現(xiàn)，本次將針對(duì)這類問(wèn)題進(jìn)行解決。問(wèn)題中的處理樣本是將紙質(zhì)照片進(jìn)行掃描得到的圖片數(shù)據(jù)。1.2問(wèn)題情況問(wèn)題一中，照片上有三處大小不一的黑色點(diǎn)狀污漬，顏色和周邊圖像差距較大，且原圖像顏色較為均勻；問(wèn)題二的照片有較大區(qū)域發(fā)生變色，且變色區(qū)域邊界不明確；問(wèn)題三照片有一形狀不規(guī)則破損，位于整個(gè)圖像中央?yún)^(qū)域，且原圖像此處應(yīng)為不同顏色交界處。1.3問(wèn)題目標(biāo)針對(duì)三張圖片各自情況設(shè)計(jì)模型，對(duì)損壞圖片進(jìn)行修復(fù)。2.問(wèn)題分析2.1預(yù)處理由于直接由原照片掃描得到的圖片文件在計(jì)算機(jī)中以（4*m*n）階三維矩陣形式存在，結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜且數(shù)據(jù)量巨大，故在不影響實(shí)際結(jié)果且簡(jiǎn)化操作，縮小數(shù)據(jù)量的目的下，將彩色圖像轉(zhuǎn)化為黑白圖像，即將數(shù)據(jù)簡(jiǎn)化為二維矩陣，降低了數(shù)據(jù)規(guī)模。2.2問(wèn)題分析基于問(wèn)題一圖像情況，因?yàn)閳D像文件矩陣元素均為0至255的整數(shù)[1]，黑色污漬區(qū)域?qū)?yīng)矩陣元素即為數(shù)值較?。ń咏?）的元素。將黑色值（0）作為基本檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)，設(shè)定合適閾值，篩選出全部污漬部分元素。利用正常部分進(jìn)行網(wǎng)格插值生成新圖像矩陣，將污漬部分元素替換為接近正常部分元素的數(shù)值可以獲得理想結(jié)果。問(wèn)題二中，變色部分邊緣圖像元素與原圖像矩陣元素差距較小，變化情況接近連續(xù)函數(shù)，無(wú)法直接分辨出變色區(qū)域圖像。但原圖像正常元素基本處于某一值附近，故可以對(duì)所有元素取平均值，并將此值作為基本檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)，規(guī)定一合適閾值，篩選出變色嚴(yán)重元素。利用相對(duì)正常圖像進(jìn)行散亂點(diǎn)插值形成新圖像，替換變色嚴(yán)重元素為新圖像。問(wèn)題三圖像缺失部分已用黑色（元素值均為0）填充，故可以快速檢驗(yàn)出破損區(qū)域。由于破損區(qū)域原圖像有兩種顏色，故在二者大致范圍內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)求平均值，作為檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)，將兩塊區(qū)域分開(kāi)；再分別對(duì)兩塊區(qū)域進(jìn)行擬合生成新圖像，并重新拼接，獲得修復(fù)后圖像。3.模型假設(shè)1.假設(shè)問(wèn)題中的所有照片掃描均過(guò)程不產(chǎn)生色差，默認(rèn)所用圖像情況即為原圖像情況；2.假設(shè)掃描圖片清晰程度不影響處理結(jié)果；3.實(shí)際情況下照片破損部分邊緣經(jīng)常磨損發(fā)白，問(wèn)題三中忽略此情況，即假設(shè)照片破損本質(zhì)為矩陣元素丟失。

4.符號(hào)說(shuō)明第k問(wèn)當(dāng)中的被處理矩陣第k問(wèn)當(dāng)中的檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)值第k問(wèn)當(dāng)中的檢測(cè)閾值第k問(wèn)矩陣中需要替換的某元素第k問(wèn)中插值形成的圖像曲面矩陣第k問(wèn)中的處理后矩陣5.模型的建立與求解由于問(wèn)題中的圖片均已簡(jiǎn)化為二維矩陣，故可將原圖片視為連續(xù)變化的三維曲面，這樣利用二維插值的方式還原圖片是比較合理的[2]。同時(shí)，為簡(jiǎn)化處理過(guò)程并提高效率，下列對(duì)問(wèn)題的討論中被處理的原圖像矩陣A均視為大小適宜的，從原圖像中提取出的污損部分及周邊元素組成之矩陣。5.1元素篩選模型對(duì)于被處理矩陣A，均有方法確定一檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)值x及檢測(cè)閾值y（由于圖像矩陣性質(zhì)，x應(yīng)為0到255間正整數(shù)，y為正整數(shù)且x±y應(yīng)處于0和255之間）。對(duì)矩陣A當(dāng)中的每一個(gè)元素進(jìn)行檢驗(yàn)，若被檢測(cè)元素符合，則將其替換為INF元素?；舅惴ㄈ缦聢D1所示

矩陣矩陣，i，j，NYYYNN矩陣結(jié)束矩陣開(kāi)始圖1元素篩選算法流程圖5.2利用二維插值生成圖像模型本步驟的核心是在圖像矩陣中隨機(jī)插點(diǎn)，將壞值點(diǎn)（即INF）去除后，用二維插值的方法形成新的圖像矩陣。模型的算法流程圖如下。NNY開(kāi)始結(jié)束，i=1向插入100隨機(jī)點(diǎn)=inf利用點(diǎn)插值得到圖像矩陣去掉點(diǎn)YN圖2二維插值算法流程圖根據(jù)最臨近插值算法[4]，如果想把原圖像放大為倍數(shù)大小的圖像，第一步先把倍數(shù)的矩陣畫(huà)出來(lái)，此時(shí)矩陣的每個(gè)像素都是未知數(shù)（這個(gè)將要被填充的圖的叫做目標(biāo)圖,Destination）。然后要往空矩陣?yán)锩嫣钪?，要填的值從源圖中來(lái)，先填寫(xiě)目標(biāo)圖最左上角的像素，坐標(biāo)為（0，0），那么該坐標(biāo)對(duì)應(yīng)源圖中的坐標(biāo)可以由如下公式得出：套用公式，就可以找到對(duì)應(yīng)的原圖的坐標(biāo)了。找到了源圖的對(duì)應(yīng)坐標(biāo),就可以把源圖中坐標(biāo)為(0,0)處的像素值填進(jìn)去目標(biāo)圖的(0,0)這個(gè)位置了。接下來(lái),如法炮制,尋找目標(biāo)圖中坐標(biāo)為(1,0)的象素對(duì)應(yīng)源圖中的坐標(biāo),套用公式。然而得到的坐標(biāo)可能有小數(shù)。由于計(jì)算機(jī)里的圖像像素的坐標(biāo)都是整數(shù),沒(méi)有小數(shù)坐標(biāo)。這時(shí)候采用的策略是四舍五入（或直接舍掉小數(shù)位），把非整數(shù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成整數(shù)，按照四舍五入的方法得到坐標(biāo)(1,0)。那么就可以再填一個(gè)象素到目標(biāo)矩陣中了，同樣是把源圖中坐標(biāo)為(1,0)處的像素值填入目標(biāo)圖中的坐標(biāo)。依次填完每個(gè)象素，圖像放大就完成了。5.3元素替換模型由于算法的約束，新生成的應(yīng)當(dāng)與被處理矩陣相同，因此在此步驟中將對(duì)經(jīng)過(guò)元素篩選算法處理的進(jìn)行元素檢驗(yàn)，當(dāng)元素值為INF時(shí)將該位置對(duì)應(yīng)矩陣中的元素值賦給中的這個(gè)元素，最后得到處理后矩陣。算法如下圖2所示。YY開(kāi)始結(jié)束YYNNNYY圖3元素替換模型算法圖5.4問(wèn)題一的求解基于問(wèn)題一圖像情況(如下圖左)，將黑色值（0）作為基本檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)，經(jīng)過(guò)幾次嘗試，將閾值定為10，篩選出全部污漬部分元素。利用正散亂點(diǎn)插值生成新圖像矩陣，將污漬部分元素替換為接近正常部分元素的數(shù)值可以獲得下圖右結(jié)果。圖4附件1修復(fù)前后對(duì)比5.5問(wèn)題二的求解問(wèn)題二中，將所有元素平均值作為基本檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)，經(jīng)過(guò)嘗試規(guī)定閾值為15，篩選出變色嚴(yán)重元素。利用相對(duì)正常圖像進(jìn)行散亂點(diǎn)插值形成新圖像，替換變色嚴(yán)重元素為新圖像（下圖右）。圖5附件2修復(fù)前后對(duì)比5.6問(wèn)題三的求解問(wèn)題三圖像缺失部分已用黑色（元素值均為0）填充，故檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)值為0，閾值為0。由于破損區(qū)域原圖像有兩種顏色，故在二者大致范圍內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)求平均值，獲得兩個(gè)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)值，將兩塊區(qū)域分開(kāi)，分別對(duì)兩塊區(qū)域進(jìn)行擬合生成新圖像，并重新拼接，獲得修復(fù)后圖像。圖6附件3修復(fù)前后對(duì)比6.模型的評(píng)價(jià)及推廣6.1評(píng)價(jià)利用插值方法修復(fù)圖片或擴(kuò)大圖片分辨率是眾多圖像處理軟件的常用算法之一，即能證明此方法確實(shí)簡(jiǎn)單易行，效率較高。但同時(shí)也要看到，許多更為復(fù)雜的新型算法已經(jīng)被開(kāi)發(fā)出來(lái)，它們擁有更好的圖像還原能力和更大的發(fā)展空間?，F(xiàn)在的圖像處理軟件開(kāi)發(fā)者追求的都是更加多樣化，精細(xì)度更高的圖片處理，二維插值的簡(jiǎn)單方法限制太多，適應(yīng)力差，已經(jīng)不能滿足用戶的所有需要了，故此算法在未來(lái)必將被更加先進(jìn)的算法淘汰[5]。6.2模型推廣由于本問(wèn)題中只是處理黑白照片，故問(wèn)題中所處理的數(shù)據(jù)不過(guò)只是矩陣元素為0到255之間的整數(shù)的二維矩陣。這樣的矩陣只能表現(xiàn)圖像的灰度，而利用RGB編碼的彩色圖像是由一個(gè)灰度矩陣加上紅、綠、藍(lán)三個(gè)二維色相矩陣組合成的三維矩陣。因?yàn)镽GB編碼下各個(gè)色相矩陣的元素值也是0到255的整數(shù)，故我們?cè)诒締?wèn)題中對(duì)于灰度矩陣的討論以及研究方法基本可以應(yīng)用于RGB編碼下的彩色圖片上。但RGB編碼彩色圖片中紅綠藍(lán)三色組合顯色是服從光的三原色規(guī)律，組合更加多樣，變化更加復(fù)雜，也就表示計(jì)算更加復(fù)雜，但本問(wèn)題中所使用的二維插值方法比較簡(jiǎn)陋，處理彩色圖片時(shí)計(jì)算量過(guò)于巨大，因而利用現(xiàn)有軟硬件設(shè)備使用二維插值是不能滿足彩色圖片的處理需要的。7.參考資料[1].王玉英，史加榮等編.數(shù)學(xué)建模及其軟件實(shí)現(xiàn)[M].北京:清華大學(xué)出版社，2015年.[2].劉衛(wèi)國(guó)編.MATLAB程序設(shè)計(jì)與應(yīng)用（第2版）[M].北京:高等教育出版社，2006年.[3].嚴(yán)蔚敏，吳偉民等編.數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)（c語(yǔ)言版）[M].北京:清華大學(xué)出版社，2007年.[4].張海燕，吳方等編.幾種插值算法的比較研究[J].計(jì)算機(jī)技術(shù)與發(fā)展.2012(02)[5].盧君，張起貴等編.插值算法在圖像縮放中的評(píng)估研究[J].同煤科技.2013(01)附錄MATLAB程序%第一問(wèn)clearall[A1,cmap]=imread('C:\Users\John\Desktop\學(xué)習(xí)\數(shù)學(xué)建模課程設(shè)計(jì)\附件1.jpg');[m,n]=size(A1);%讀取圖片并檢測(cè)規(guī)模x1=0;y1=10;fori=1:mforj=1:nifA(i,j)>=x1&A(i,j)<=x1+y1A(i,j)=infendendend%標(biāo)記污漬元素N=100;x=unifrnd(1,m,N,1);y=unifrnd(i,n,N,1);fori=1:100ifA(x(i),y(i))==infx(i)=[];y(i)=[];endend%隨機(jī)向圖片插入100個(gè)點(diǎn)并去除污漬區(qū)域中點(diǎn)fori=1:100z(i)=A(x(i),y(i));endxi=1:m;yi=1:n;zi=interp2(x,y,z,xi,yi,'spline');M1=zi;%得到新矩陣fori=1:mforj=1:nifA1(i,j)==infA1(i,j)=M1(i,j);endendendB1=A1;inshow(unit8(B1))%第一題結(jié)束%第二問(wèn)clearall[A2,cmap]=imread('C:\Users\John\Desktop\學(xué)習(xí)\數(shù)學(xué)建模課程設(shè)計(jì)\附件2.jpg');[m,n]=size(A2);%讀取圖片并檢測(cè)規(guī)模x2=sum(sum(A2))/(m*n);%求取檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)值y2=15;fori=1:mforj=1:nifA(i,j)>=x1-y1&A(i,j)<=x1+y1A(i,j)=infendendend%標(biāo)記污漬元素N=300;x=unifrnd(1,m,N,1);y=unifrnd(i,n,N,1);fori=1:300ifA(x(i),y(i))==infx(i)=[];y(i)=[];endend%由于附件2面積較大，隨機(jī)向圖片插入300個(gè)點(diǎn)并去除污漬區(qū)域中點(diǎn)fori=1:300z(i)=A(x(i),y(i));endxi=1:m;yi=1:n;zi=interp2(x,y,z,xi,yi,'spline');M1=zi;%得到新圖像矩陣fori=1:mforj=1:nifA1(i,j)==infA1(i,j)=M1(i,j);endendendB2=A2;inshow(unit8(B2))%第二題結(jié)束%第三問(wèn)clearall[A3,cmap]=imread('C:\Users\John\Desktop\學(xué)習(xí)\數(shù)學(xué)建模課程設(shè)計(jì)\附件3.jpg');[m,n]=size(A3);x1=0;y1=10;%讀取圖片并檢測(cè)規(guī)模fori=1:mforj=1:nifA(i,j)>=x1-y1&A(i,j)<=x1+y1A(i,j)=infendendend%標(biāo)記污漬元素[A31,cmap]=imread('C:\Users\John\Desktop\學(xué)習(xí)\數(shù)學(xué)建模課程設(shè)計(jì)\附件3_1.jpg');[f,g]=size(A31);x11=sum(sum(A31))/(f*g);y11=10;[A32,cmap]=imread('C:\Users\John\Desktop\學(xué)習(xí)\數(shù)學(xué)建模課程設(shè)計(jì)\附件3_1.jpg');[h,i]=size(A32);x12=sum(sum(A32))/(h*i);y12=10;%求取兩塊異色區(qū)域的檢測(cè)值fori=1:mforj=1:nifA(i,j)>=x11-y11A2(i,j)=A(i,j);elseA2(i,j)=inf;endendend%分離亮色區(qū)域fori=1:mforj=1:nifA(i,j)<=x12+y12A3(i,j)=A(i,j);elseA3(i,j)=inf;endendend%分離暗色區(qū)域N=100;x=unifrnd(1,m,N,1);y=unifrnd(i,n,N,1);fori=1:300ifA2(x(i),y(i))==infx(i)=[];y(i)=[];endendfori=1:100z(i)=A2(x(i),y(i));endxi=1:m;yi=1:n;zi=interp2(x,y,z,xi,yi,'spline');M2=zi;%隨機(jī)向圖片亮色區(qū)域插入100個(gè)點(diǎn)并去除污漬區(qū)域中點(diǎn)%得到新圖像矩陣N=100;x=unifrnd(1,m,N,1);y=unifrnd(i,n,N,1);fori=1:300ifA3(x(i),y(i))==infx(i)=[];y(i)=[];endendfori=1:300z(i)=A3(x(i),y(i));endxi=1:m;yi=1:n;zi=interp2(x,y,z,xi,yi,'spline');M3=zi;%隨機(jī)向圖片暗色區(qū)域插入100個(gè)點(diǎn)并去除污漬區(qū)域中點(diǎn)%得到新圖像矩陣fori=1:mforj=1:nifM2(i,j)==inf;M2(i,j)=M3(i,j);endendendM1=M2;%拼合新矩陣fori=1:mforj=1:nifA1(i,j)==infA1(i,j)=M1(i,j);endendendinshow(unit8(B2))%第三題結(jié)束目錄TOC\o"1-2"\h\z\u第一章總論 1第一節(jié)項(xiàng)目背景 1第二節(jié)項(xiàng)目概況 2第二章項(xiàng)目建設(shè)必要性 5第三章市場(chǎng)分析與建設(shè)規(guī)模 7第一節(jié)汽車(chē)市場(chǎng)需求分析 7第二節(jié)市場(chǎng)預(yù)測(cè) 12第三節(jié)項(xiàng)目產(chǎn)品市場(chǎng)分析 13第四節(jié)建設(shè)規(guī)模 16第四章場(chǎng)址選擇 17第一節(jié)場(chǎng)址所在位置現(xiàn)狀 17第二節(jié) 場(chǎng)址建設(shè)條件 17第五章技術(shù)方案、設(shè)備方案、工程方案 22第一節(jié)技術(shù)方案 22第二節(jié)設(shè)備方案 28第三節(jié)工程方案 33第六章原材料、燃料供應(yīng) 38第七章總圖布置與公用輔助工程 39第一節(jié)總圖布置 39第二節(jié)公用輔助工程 43第八章環(huán)境影響評(píng)價(jià) 52第一節(jié)環(huán)境保護(hù)設(shè)計(jì)依據(jù) 52第二節(jié)項(xiàng)目建設(shè)和生產(chǎn)對(duì)環(huán)境的影響 52第三節(jié)環(huán)境保護(hù)措施 54第四節(jié)環(huán)境影響評(píng)價(jià) 56第九章勞動(dòng)安全衛(wèi)生與消防 57第一節(jié)勞動(dòng)安全衛(wèi)生 57第二節(jié)消防 64第十章節(jié)能與節(jié)能措施 67第一節(jié)項(xiàng)目概況 67第二節(jié)項(xiàng)目綜合能耗 69第三節(jié)節(jié)約及合理利用能源的主要措施 71第十一章項(xiàng)目實(shí)施進(jìn)度與人力資源配置 76第一節(jié)建設(shè)工期 76第一節(jié)項(xiàng)目實(shí)施進(jìn)度 76第二節(jié)生產(chǎn)組織與人員培訓(xùn) 79HYPERLINK\l"_Toc