2021年北京各區(qū)中考一模分類匯編-18幾何綜合

初三一模幾何綜合分類整理

共5題(典型、倍長、標(biāo)記猜、截長補(bǔ)短、無度數(shù)自己構(gòu)造)

1.(2021?朝陽一模)如圖，在等腰三角形ABC中，ZBAC<60°,AB=AC,D為BC

邊的中點(diǎn)，將線段AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線段AE,連接8E交AD于點(diǎn)F。

(1)依題意補(bǔ)全圖形；

(2)求NAFE的度數(shù)；

(3)用等式表示線段AF,BF,EF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明。

2.(2021?通州一模)已知點(diǎn)P為線段AB上一點(diǎn)，將線段AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得

到線段AC；再將線段6尸終點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°,得到線段80；連接AD,取AD中點(diǎn)

M,連接

(1)如圖L當(dāng)點(diǎn)P在線段CM上時(shí)，求證：PM//BD-,

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)P不在線段CM上，寫出線段9與CM的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并

證明.

3.（2021?燕山一模）如圖，在正方形ABC。中，CD=3,P是CO邊上一動點(diǎn)（不與。點(diǎn)

重合），連接AP,點(diǎn)。于點(diǎn)E關(guān)于AP所在的直線對稱，連接AE,PE,延長CB到點(diǎn)R

使得BF=DP,連接EF,AFo

（1）依題意補(bǔ)全圖形1;

（2）若。P=l,求線段EF的長；

（3）當(dāng)點(diǎn)P在邊上運(yùn)動時(shí)，能使尸為等腰三角形，直接寫出此時(shí)的面積。

圖1

4.(2021?石景山一模)在△ABC中，AB=AC,ZBAC=a(0°<a<90),點(diǎn)E是AABC

內(nèi)一動點(diǎn)，連接AE,CE,將aAEC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a,使AC邊與AB重合，得到

延長CE與射線BO交于點(diǎn)M（點(diǎn)M與點(diǎn)。不重合）。

（1）依題意補(bǔ)全圖形1;

（2）探究ZADM與ZAEM的數(shù)量關(guān)系為；

（3）如圖2,若。E平分/AO8,用等式表示線段MC,AE,之間的數(shù)量關(guān)系，并證明。

B

5.(2021?大興一模)如圖，等邊△A8C中，點(diǎn)P是BC邊上的一點(diǎn)，作點(diǎn)C關(guān)于直線AP

的對稱點(diǎn)D，連接CD,BD,作AE_L8D于點(diǎn)￡。

(1)若N%C=1O°,依題意補(bǔ)全圖形1,并直接寫出/BCD的度數(shù)；

(2)如圖2,若NFAC=a((T<a<30),

求證：ZBCD=ZBAE-,

用等式表示線段BD,CD,AE之間的線段關(guān)系并加以證明.

★K字圖共2題

6.(2021?延慶一模)在正方形ABCD中，點(diǎn)E在射線8c上(不與點(diǎn)8、C重合)，連接OB,

DE,將￡>￡繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到EF,連接BF.

(1)如圖1,點(diǎn)E在BC邊上.

①依題意補(bǔ)全圖1;

②若AB=6,EC=2,求8尸的長；

(2)如圖2,點(diǎn)E在8c邊的延長線上，用等式表示線段3。，BE,8尸之間的數(shù)量關(guān)

系，并證明.

7.（2021?房山一模）已知：在△ABC中，NA=45°,ZABC=a,以BC為斜邊作等腰

RtZ\BDC,使得A,。兩點(diǎn)在直線BC的同側(cè)，過點(diǎn)。作DELAB于點(diǎn)E。

（1）如圖1,當(dāng)1=20。時(shí)，

求/CDE的度數(shù)；

判斷線段AE與BE的數(shù)量關(guān)系；

（2）若45°<a<90,線段AE與BE的數(shù)量關(guān)系是否保持不變？依題意補(bǔ)全圖2,并證明。

★角含半角共1題

8.（2021?豐臺一模）如圖，在△ABC中，NAC8=90'，CA=CB,點(diǎn)P在線段AB上，

作射線CP（00<ZACP<45°）,將射線CP繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,得到射線CQ,過

點(diǎn)A作AOLCP于點(diǎn)。，交CQ于點(diǎn)E,連接8E.

（1）依題意補(bǔ)全圖形；

（2）用等式表示線段AO,DE,BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

AB

9.(2021?門頭溝一模)在正方形A8CD中，將邊AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。(0。<。<90°)

得到線段AE，AE與C。延長線相交于點(diǎn)F,過8作8G〃AF交CF于點(diǎn)G,連接BE.

(1)如圖1,求證：ZBGC=2ZAEB；

(2)當(dāng)450<a<90°時(shí)，依題意補(bǔ)全圖2,用等式表示線段AH,EF,DG之間的數(shù)量關(guān)系，

并證明.

10.12021?東城一?！恳阎狽/VMN=3O。，點(diǎn)B為邊AM上一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)P為線段AB上一

個(gè)動點(diǎn)(不與點(diǎn)A,8重合)，點(diǎn)P關(guān)于直線AN的對稱點(diǎn)為點(diǎn)Q,連接AQ,8Q.點(diǎn)

A關(guān)于直線BQ的對稱點(diǎn)為點(diǎn)C,連接PQ,CP.

(1)如圖1,若點(diǎn)P為線段A8的中點(diǎn).

①直接寫出NAQB的度數(shù)；

②依題意補(bǔ)全圖形，并直接寫出線段CP與AP的數(shù)量關(guān)系；

(2)如圖2,若線段CP與8Q交于點(diǎn)D.

①設(shè)N8QP=a,求NCPQ的大小(用含a的式子表示)；

②用等式表示線段OC,DQ,OP之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

★猜造構(gòu)全等共3題（標(biāo)記的重要性）

11.（2021?西城一模）如圖，在△ABC中，AB=AC,ZBA0900,。是AABC內(nèi)一點(diǎn)，

ZADC=ZBAC1,過點(diǎn)B作BE//CD交AD的延長線于點(diǎn)E。

（1）依題意補(bǔ)全圖形：

（2）求證：ZCAD=ZABE；

（3）在（1）補(bǔ)全的圖形中，不添加其他新的線段，在圖中找出與CO相等的線段并加

以證明。

12.（2021?順義一模）如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC,于點(diǎn)。，NA=<z.

（1）求出NOCB的大?。ㄓ煤琣的式子表示）；

（2）延長CD至點(diǎn)E,使CE=4C,連接4E并延長交CB的延長線于點(diǎn)E

①依題意補(bǔ)全圖形；

②用等式表示線段EF與BC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明。

RC

13.（2021?海淀一模）如圖，在△ABC中，AB=AC,ABAC=40°,作射線CM,

ZACM=80°.O在射線CM上，連接A。，E是4）的中點(diǎn)，C關(guān)于點(diǎn)E的對稱點(diǎn)為

F,連接￡）尸.

（1）依題意補(bǔ)全圖形；

（2）判斷AB與止的數(shù)量關(guān)系并證明；

（3）平面內(nèi)一點(diǎn)G,使得DG=QC,FG=FB,求NCDG的值.

14.(2021?平谷一模)在AABC中，ZACB=9O°,AC=BC,。是直線A3上一點(diǎn)

(點(diǎn)D不與點(diǎn)A、B重合)，連接DC并延長到E,使得CE=CD,過點(diǎn)E作EE_L直線5C,交

直線BC于點(diǎn)尸.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)D為線段的上任意一點(diǎn)時(shí)，用等式表示線段EF、CF、AC的數(shù)量關(guān)

系，并證明；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)D為線段的延長線上一點(diǎn)時(shí)，依題意補(bǔ)全圖2,猜想線段EF、CF、

AC的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生改變，并證明；

初三一模幾何綜合分類整理

共5題(典型、倍長、標(biāo)記猜、截長補(bǔ)短、無度數(shù)自己構(gòu)造)

1.(2021?朝陽一模)如圖，在等腰三角形A8C中，ZBAC<60°,AB^AC，。為8c

邊的中點(diǎn)，將線段AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線段AE,連接BE交AD于點(diǎn)F。

(1)依題意補(bǔ)全圖形；

(2)求NAFE的度數(shù)；

(3)用等式表示線段AF,BF,EF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明。

(1)解：依題意補(bǔ)全圖形，如圖.

2分

(2)解:

：.ZBAD=-ZBAC.

2

???線段AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線段

：.AB=AE,ZCAE=60°.

：.NABE=NE.

在△ABE中，ZABE+ZE+ZBAC=180°-ZCAE=120a,

-(ZABE+ZE+ZBAC)=60°.

2

^iZABE+ZBAD=60°.

/.ZAFE=ZABE+ZBAD=60"....................................4分

(3)AF+BF=EF.

【法1】

FM=AF.BDC

:.AF+BF=EF.6分

【法2】在EF上截取點(diǎn)M,使EM=BF,連接AM、CF

【法3】在DA的延長線上截取FM=EF,連接ME,在ME上截取MN=AM,連接AN

2.(2021?通州一模)已知點(diǎn)P為線段A8上一點(diǎn)，將線段AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得

到線段AC；再將線段成終點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°,得到線段BO；連接A。，取AO中點(diǎn)

M,連接

⑴如圖L當(dāng)點(diǎn)P在線段CM上時(shí)，求證：PM//BD-,

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)P不在線段CM上，寫出線段及0與CM的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并

證明.

c

c

.證明,

(1)?.?點(diǎn)P在線段CM上1分

.?.△APC為等邊三角形

,-.ZCPA=60°

...ZAPM=1202分

又?.?NAB。=120’

/.PM||BD3分

(2)證法一:

延長至點(diǎn)F,使得，MF=MB,AF,BC,FC,PC

猜想：CM1MB,CM=也MB4分

證明;

AM=MD,FM=BM

四邊形AFBD為平行四邊形

/.AF=BD,AF\\BD

NBAF=180-ZABD=60°

.-.ZC4F=120,

?.?△A尸。是等邊三角形，

：.AC=CP,ZCPB=l20n

?;PB=DB=AF

：.^CAF三ACPB................................................6分

；.CF=CB,N1=N2

NFCB=60°

.?.△CBb是等邊三角形...............................................7分

又?；FM=BM

CM±MB,CM=6MB.........................................8分

證法二：

誑迎二.

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3/MBe;右

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8AA

―隊(duì).

3.(2021?燕山一模)如圖，在正方形A8CD中，8=3,P是CD邊上一動點(diǎn)(不與。點(diǎn)

重合)，連接AP,點(diǎn)。于點(diǎn)E關(guān)于AP所在的直線對稱，連接AE,PE,延長CB到點(diǎn)F,

使得BF=DP,連接EF,AF.

(1)依題意補(bǔ)全圖形1;

(2)若。P=l,求線段E尸的長；

(3)當(dāng)點(diǎn)尸在8邊上運(yùn)動時(shí)，能使△AEF為等腰三角形，直接寫出此時(shí)AD4P的面積。

.解：(1)補(bǔ)全圖形如圖1所示.--2分

(2)如圖2,連接BP.

?.?點(diǎn)。與點(diǎn)E關(guān)于AP所在的直線對稱，

：.AE^AD,NPAD=NPAE.

..,四邊形ABCD是正方形，

：.AD^AB,/D=NABF=90°.

又DP=BF,：.△ADPg/\ABF.-------3分

：.AF^AP,ZFAB=ZPAD.：.ZFAB^ZPAE.

：.ZFAB+ZBAE=ZPAE+ZBAE.：.NFAE=/PAB.

：./\FAE^/\PAB(SAS).-------4分

：.EF=BP.

?..四邊形ABCD是正方形，，BC=CD=AB=3.'：DP=1,：.CP=2.

EF=屈.一5分

.?.在Rt回8cp中，BP=圖2

(3)當(dāng)點(diǎn)P在C。邊上運(yùn)動時(shí)，若使MEF為等腰三角形，則

?Q或？9

MAP的面積是247分

(3)問解題思路：1.因?yàn)?ABF為直角△,所以AF>AB,即AF>AE,只有AF=EF或AE=EF

時(shí)成立

2.用方程的思想求解:設(shè)DP=x，則PC=3-x,

.?.EF=BP二二」衣6--*6計(jì)，

AF=AP=廂十甲=山環(huán)

①當(dāng)AF=EF時(shí)，;■

解得x=3/2即DP=3/2.,6△DAP=l/2xADxDP=l/2x3x3/2=9/4

②當(dāng)AE=EF時(shí)，3=嶼就十町｛或者：：AE=AD=3,，EF=3

解得x=3DP=3（即P與C重合）；.SZ\DAP=1/2XADXDP=1/2X3X3=9/2

29或？Q

綜上，△DAP的面積是24.

4.（2021?石景山一模）在△ABC中，AB=AC,ZBAC=a（0<a<90）,點(diǎn)E是△ABC

內(nèi)一動點(diǎn)，連接AE,CE,將△4EC繞點(diǎn)4順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a，使AC邊與AB重合,得至必4。8,

延長CE與射線8。交于點(diǎn)M（點(diǎn)M與點(diǎn)。不重合）。

（1）依題意補(bǔ)全圖形1;

（2）探究與NAEM的數(shù)量關(guān)系為；

（3）如圖2,若OE平分NAO3,用等式表示線段MC,AE,8。之間的數(shù)量關(guān)系，并證明。

.解：（1）補(bǔ)全圖形如圖所示（兩種情況畫出一種即可）.............2分

（2）ZADM=NAEM或ZADM+ZAEM=180°.....................4分

(3)線段MC,AE,6。之間的數(shù)量關(guān)系是：兒1C=AE+BD.........5分

證明：由作圖可知人45。0/VICE.

/.ZADB=ZA￡C,AD=AE,BD=CE.A

1

,/DE平分NADB,

??.ZADE=NBDE.

E

BC

,/AD=AE,

??.ZADE=ZAED.

/.ZBDE=ZAED.

/.AE//BM.

ZDAE=ZADM,.

又??,ZAEM=/ADM,

??.ZDAE=ZAEM,ZADM=ZM.

/.OE=OAfOM=OD.

??.OE+OM=OA+OD

/.EM=AD=AEt

?.?MC=EM+CE,

/.MC=AE+BD.............................7分

5.(2021?大興一模)如圖，等邊△A8C中，點(diǎn)P是BC邊上的一點(diǎn)，作點(diǎn)C關(guān)于直線AP

的對稱點(diǎn)D,連接CD,8D,作AELBD于點(diǎn)E。

(1)若NPAC=1O°,依題意補(bǔ)全圖形1,并直接寫出/8C。的度數(shù)；

(2)如圖2,若NPAC=a((T<a<30'),

求證：ZBCD=ZBAE；

用等式表示線段BD,CD,AE之間的線段關(guān)系并加以證明。

解：(1)如圖所示,

NBCD的度數(shù)是20。

(2)法1：

①證明：如圖，連接AD

A

根據(jù)題意，得：APLCD.

,：ZPAC=a,

：.ZACD=90°-a.

VAABC是等邊三角形，

???ZACB=60°.

ZBCD=ZACD-ZACB

=90°-a-60°

=30°-a

又TAB=AC=AO,AE1,BD,

：.ZBAE=ZDAE=-ZBAD

2

=1(ZBAC-ZCAD)

2

=_1(60。-2。)

2

=30°-a

:?NBCD=NBAE

②用等式表示線段B￡>,CD,AE之間的數(shù)量關(guān)系是AE=CD+也BD

2

在AE上截取AF=C￡),連接BE

?「△ABC是等邊二角形,

：.AB=AC.

又*：4BCD=/BAE,

???△84金△BCD

：?NABF=NCBD,BF=BD.

：.ZFBE=ZABC=60°.

：.EF=BFsin60°=—BF=—BD.

22

h

：.AE=AF+EF=CD+—BD.

2

(2)①法2：

證明：如圖

丁點(diǎn)C,。是關(guān)于直線AP的對稱點(diǎn)

/.AC=AD.

*.*/\ABC是等邊三角形

，AB=AC=BC=AD

:.B、D、。在以A為圓心的圓上

：.ZBCD=-ZBAD

2

AD,AELBD,

:?/BAE=/DAE=L/BAD

2

:./BCD=/BAE

②法2：

用等式表示線段BD,CD,AE之間的數(shù)量關(guān)系是AE=CD+是BD

2

過點(diǎn)B作CD的垂線BF,交.CD的延長線于點(diǎn)尸,

A

20。

Bc

\ID

'.'△ABC是等邊三角形,

:?AB=BC.

9

\AE±BD,BF±CFf

：.ZA￡B=90°,ZCFB=90°,

???NAEB=NCFB

：.△ABE/XCBF.

：.BE=BF,NABE=/CBF,AE=CF

即ZABC+ZCBD=ZCBD+ZDBF

又「ZABC=60°

：.ZDBF=ZABC=60°

在RtADBF中，

：.DF=BDsin600=—BD.

2

?；CF=CD+DF

：.CF=CD+—BD.

2

又?；CF=AE,

???AE=CD+—BD.

2

★K字圖共2題

6.（2021?延慶一模）在正方形A8CZ）中，點(diǎn)E在射線BC上（不與點(diǎn)8、C重合），連接DB,

DE,將CE繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到EF,連接BF.

（1）如圖1,點(diǎn)E在BC邊上.

①依題意補(bǔ)全圖1:

②若A8=6,EC=2,求8尸的長；

（2）如圖2,點(diǎn)E在8C邊的延長線上，用等式表示線段8D,BE,B尸之間的數(shù)量關(guān)

系，并證明.

答案.（1）①

.....2分

②解法一：作FMLCB延長線于M

：./FMB=90。

正方形ABCD

：.ZDCE=90°

,JDELEF

：.NMEF+NDCE=90°

：.NMEF=NEDC

VZDC￡=ZFMB=90°,EF=DE

:ZEMgXEDC.....3分

:.EC=FM=2,DC=ME=6

:.MB=2

中，BF=2近.....4分

(2)解法一：或BE=BD+BF.....5分

證明：作于M

可證△FEM9KEDC

\CE=MF,ME=DC

：.ME=BC

：.BM=CE=MF

在RtABMF和RtABCD中，由勾股定理得

BC=器V2,CE=BM=窄V2

?；BE=BC+CE

?RR_BDBF

:.aBE=BD+BF...........7分

②、解法二：在CD上截取CG=CE=2,則在RtZ\ECG聲，GE=2近.

?.,正方形ABC。

ZDC￡=90°,ZGDE+ZDEC=90°

'：DELEF

NBEF+NDEC=9。。

?.,正方形ABCD

：.BC=CD

BC-CE=CD-CG,即BE=GD

,:EF=DE

：./\FE^LEDG

：.BF=GE

：.BF=2近

解法三：以點(diǎn)E為圓心,EB長為半徑畫弧，交BD于

點(diǎn)G,過點(diǎn)G作GH±CD于點(diǎn)H,則EG=EB,△GHD為等腰

直角三角形。

?.,正方形ABCD

二ZBGE=45°,ZG￡B=90°,Z//C￡=90°

'JDHA.CD

：.ZGHC=90°

：.四邊形ECHG為矩形

CE=GH=2,DG=2V2,ZGEB=90°

■:DELEF

：.NOE尸=90°

AZDEF-ZGEF=ZG￡B-,ZGEF,即N￡)EG=NFEB

VDE=FE,GE=BE,

.,.△FEB^ADEG

：.BF=GD=2V2

(2)解法二：V2BE=BD+BF

證明：連接DE,過點(diǎn)E作CE的垂線交BD延長線于

的延長線于點(diǎn)G

可證△GDE9XBFE

：.BF=DG,BE=GE

在RSBEG中，由勾股定理得：

\[2BE=BG

"：BG=BD+DG

:.近BE=BD+BF

4G

7.(2021?房山一模)已知：在aABC中，NA=45°,ZABC=a,以BC為斜邊作等腰

《△BDC,使得A,。兩點(diǎn)在直線BC的同側(cè)，過點(diǎn)。作DELAB于點(diǎn)￡。

(1)如圖1,當(dāng)a=20"時(shí)，

求/CDE的度數(shù)；

判斷線段AE與BE的數(shù)量關(guān)系；

(3)若45<a<9(?,線段AE與BE的數(shù)量關(guān)系是否保持不變？依題意補(bǔ)全圖2,并

證明。

解(1)：ABDC是等腰直角三角形ZBDC=45°/CDB=90。

VZABC=a=20°AZABD=25°

VDE1ABZBDE=90°-ZABD=65°,

ZCDB=9O0,.-.NCDE=900-NBDE=25°

(2)AE=BE

證法(一)如圖1延長DE,與AC的延長線交于點(diǎn)F,過點(diǎn)C作CG_LDF于G

；DE1AB,NA=45°/.ZF=ZA=45°,AE=FEVCG//AEZFCG=450=ZF.，.CG=FG

ABDC是等腰直角三角形，二DC=DB,Z2+Z3=9O0,Zl+Z3=90°Z1=Z2

在ADCG和ABDE中，由于NCGD=NDEB=90°Z2=Z1,DC=DB/.ADCG=ABDE

CG=DE=FG,DG=BEFE=DGAE=BE

證法（二）作CG1AB于G,過D點(diǎn)作DF_LCG交CG的延長線于F,

；NEGF=NF=NGED=900/.四邊形GFDE是矩形

?/ABDC是等腰直角三角形二DC=DBB

NCDB=NCGH=90°

,/ZCHG=ZDHBAZ1=Z3

在ACFD和ABED中VZ1=Z3，ZF=ZDEB=90°DC=DB

：.ACFD=ABEDCF=BEDF=DE,矩形GFDE是正方形

.-.GE=GFZA=45°CG1ABZACG=ZA=45°AG=CG

AG+GE=CG+FGAE=CF=BE/.AE=BE

證法（三）取BC的中點(diǎn)F,連接DF交AB于H,在AB上截取BG=DE

?JABDC是等腰直角三角形DFJ_BCDF=^BC=BF

2

?JNDEH=NBFH=90。，ZEHD=ZFHBZEDF=ZGBF

在ADEF和ABGF中VDE=BG,ZEDF=ZGBF,DF=BF

ADEF=ABGF/.FE=FGZEFD=ZGFB

???/DEB=90°NEFG=90°,/.ZFEH=45°

c,,BFBE,

?/ZA=45°NA=/FEB/.EF//AC一=——=1,AE=BE

CFAE

（2）

證法（一）過點(diǎn)C作CG1DE,交ED的延長線于G,EG交AC于H

?/ABDC是等腰三角形DC=DB,ZCDB=90°

故NCDG+NBDE=90°

?/DE1AB.-.ZDBE+ZBDE=90°AZCDG=ZBDE

在ACDG、ADBE中，由于ZCDG=ZBDE,ZCGD=ZBED=90°DC=DB

ACGD=ADEB從而DG=BE,CG=DE

?/ZA=45°,GE1ABZAHE=ZA=45°AE=HE

ZCHG=ZAHE=45°=ZGCHGH=GC=ED;.GD=EH:.AE=BE

證法（二）:作CF_LAB于F,由法一得ACGD=ADEB.-.CG=DE,DG=BE

設(shè)CG=m=DE,DG=n=BE?/ZCGE=ZGEB=ZCFE=90°

矩形GEFC,CF=GE=m+nEF=CG=m,

?/ZA=45°CF1AB

ZACF=ZA=45°，AF=CF=m+nzBF=BE-EF=n-m

/.AB=AF+BF=m+n+n-m=2nAE=AB-BE=2n-n=n故有AE=BE

證法（三）：過點(diǎn)C作CF1AB于F,過點(diǎn)D作DIVLLCF于M

?JDE1ABZDEF=ZEFM=ZDHF=90°/.四邊形DEFM是矩形NEDM=90。

?/ABDC是等腰直角三角形/.CD=BDZCDB=90°ZCDM=ZBDE

在ACDM和ABDE中，NDMC=NDEB=90°/CDM=NBDECD=BD

ACDM=ABDECM=BEDM=DE/.矩形DEFM是正方形MF=EF

?JZA=45°CF1ABNACF=NA=45°/.AF=CF；AE=CM=BEAE=BE

證法（四）以點(diǎn)D為圓心，DC長為半徑作圓D

VABDC是等腰直角三角形

/.DC=DB,ZCDB=900.?.點(diǎn)B在圓D上

假設(shè)點(diǎn)A在圓D內(nèi)，延長BA交圓D于A',

連接CA',VZCA，B=-ZBDC=45°

2

NBAC=/BA'C+/A'CA=45。故A與A'重合，點(diǎn)A在圓D上;

同理，點(diǎn)A也不能在圓D外，DA=DBVDE1ABAE=BE

證法（五）

取BC中點(diǎn)F,連接DF、EF,在AB延長線上截取BG=DE,連接FG.

???△BDC是等腰直角三角形，DF1BC,DF=-BC=BF

2

?/DE1AB,ZDEB=90°,ZDEB+ZDFB=180°

?/ZEDF+ZEBF=180°ZFBG+ZEBF=180°ZEDF=ZGBF

在AEDF和AGBF中，

VDE=BG,ZEDF=ZGBF,DF=BFAEDF=AGBF

/.EF=GF,NDFE=NBFG

?//DFB=90°/./EFG=90°/./FEG=45°

AECF

???ZA=45°/.ZA=ZFEG,tEF//AC/.--=——=1/.AE=BE

BEBF

★角含半角共1題

8.（2021?豐臺一模）如圖，在△ABC中，NAC8=90,CA=CB,點(diǎn)P在線段AB上,

作射線CPCO<ZACP<45。），將射線CP繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,得到射線CQ,過

點(diǎn)A作AOLCP于點(diǎn)。，交CQ于點(diǎn)E,連接8E.

（1）依題意補(bǔ)全圖形；

（2）用等式表示線段A￡>,DE,BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

解：（1）如圖所示:

C

（2）AD+BE=DE.

法1：證明：延長D4至尸，使。尸=OE,連接CF.

'：ADLCP,DF=DE,

：.CE=CF,

：.NDCF=NDCE=45。,

,：/ACB=90°,

/.NACD+NECB=45°,

ZDCA+ZACF=ZDCF=45°,

：.ZFCA=ZECB.

在△人。尸和45CE中，

CA=CB

<NACF=NBCE

CF=CE

：.△ACF^ABCE.

：.AF=BEt

：.AD+BE=DE.

法2：證明：在。E上截取。尸，使得Z)F=AO,連接CF.

?；ADLCP,DF=AD,

：.CA=CFfZACD=ZFCD

■:CA二CB,

：.CF=CB

VZACB=90°,ZDCE=45°,

AZACD+ZECB=45°,ZFCD+ZFC￡=45°,

???ZFCE=ZECB

在^FCE^IABCE中，

CF=CB

<ZFCE=ZBCE

CE=CE

:?△FCE^ABCE.

：.FE=BE,

：?AD+BE=DF+FE=DE.

9.(2021?門頭溝一模)在正方形48CD中，將邊AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。(0。＜。＜90°)

得到線段AE,AE與C。延長線相交于點(diǎn)F,過8作BG〃AF交C尸于點(diǎn)G,連接BE.

(1)如圖1,求證：NBGC=2ZAEB；

(2)當(dāng)45。＜。＜90。時(shí)，依題意補(bǔ)全圖2,用等式表示線段AH,EF,DG之間的數(shù)量關(guān)系，

并證明.

(1)證明：?.?四邊形488是正方形,

：.AB//CD,

?\ZABG=ZBGC............................1分

"：BG//AF,AB=AD=AE,

:.NAEB=NGBE,ZAEB=ZABE,...........................2分

ZABG=2ZGBE,

AZBGC=2ZGBE............................3分

(2)依題意補(bǔ)全圖形，線段AH,EF,DG之間的數(shù)量關(guān)系是

證法一：在DC上截取DM3H,連接AM交8E與N............................4分圖1

\"AD=AB,ZADM=ZBAH=90°,DM=AH,

：.△ADM絲△BAH,

.,.Z1=Z2.

VZl+Z3=ZB4H=90o,...........................5分

.,.Z3+Z2=9O°,即/AN8=90°,

又：AE=A8,

：.ZBAM=ZEAM.

'JBG//AF,

:.NBAM=NAMF,

：.ZEAM=^AMF,........

：.FM=AF.

VBG//AF,AB//CD,

，F(xiàn)G=A8=AE.

：.EF^GM,即EF=AH+DG.

M

?4B

江&二：

治八坳成達(dá)綏上泰和CM二蝴旌枕&M.

切切ftB（D注方叼

、'、二Be-CD1^Ag^zAgc

-A?//COA?〃BC

MAAHB竺AgCMOV）

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4D〃3c

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〕、/上二NHBC

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:、/ft-A3=CD

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M4ZU；

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'、'駒〃什?#9〃CP

八w近歲在夕々尸為平行Gi出

:?為下二%.

M桿=GM

.\左ET2：尸二々D+Dc+OA

'：分Jr二43:{>□"J二CM

）、EF二&1）十書小

I

10.【2021?東城一?！恳阎?MAN=3O。，點(diǎn)B為動AM上一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)P為線段AB上一

個(gè)動點(diǎn)(不與點(diǎn)A,B重合)，點(diǎn)P關(guān)于直線AN的對稱點(diǎn)為點(diǎn)Q,連接AQ,BQ.點(diǎn)A關(guān)

于直線BQ的對稱點(diǎn)為點(diǎn)C,連接PQ,CP.

(1)如圖1,若點(diǎn)P為線段A8的中點(diǎn).

①直接寫出NAQ8的度數(shù)；

②依題意補(bǔ)全圖形，并直接寫出線段CP與AP的數(shù)量關(guān)系；

(2)如圖2,若線段CP與BQ交于點(diǎn)D.

①設(shè)NBQP=a,求/CPQ的大小(用含a的式子表示)；

②用等式表示線段。C,DQ,DP之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

(1)解：①NAQB=9O°；

②補(bǔ)全圖形，如圖1，CP=^3AP.

3分

(2)①解：如圖2,連接CQ,

??,點(diǎn)R點(diǎn)Q關(guān)于直線//V對稱，點(diǎn)4點(diǎn)。關(guān)于直線8Q對稱,

AP=AQ=CQ,ZPAN=NQ/W,NCQB=ZAQB.

-.-ZMAN=30°,

ZPAQ=60°.

???△/。。為等邊三角形.

：.AAQP=6Q°,PQ=AQ.

■■■CQ=PQ.

：.LC-/-CPQ.

MBPA

ZBQP=a,

Z.CQB=60°+a.

:.ZCQP=60°+2a.

ZCPQ=O)o-a......................................................5分

②結(jié)論：DC=DP+DQ.

【法1】證明：?DQ=NCPQ+NBQP,

ZCDQ=60°.

在。。上截取。連接F。

△。州為等邊三角形.

■■.QE=QD.

ZDEQ=ZEDQ=6Q°.

:.ZCEQ=ZPDQ=\20°.

?;NC=NCPQ,CQ=PQ,

/\CEQ^APZ)2(AAS).

;.EC=DP.

DC=EC+DE=DP+DQ..........................................7分

【法2】

MBPA

★猜造構(gòu)全等共3題（標(biāo)記的重要性）

11.（2021?西城一模）如圖，在△ABC中，AB=AC,N8AC9O。，。是△川（：內(nèi)一點(diǎn)，

ZADC=ZBACo過點(diǎn)B作BE//CD交AD的延長線于點(diǎn)E。

（1）依題意補(bǔ)全圖形；

（2）求證：ZCAD^ZABE；

（3）在（1）補(bǔ)全的圖形中，不添加其他新的線段，在圖中找出與CZ）相等的線段并加

以證明。

圖解（略解）：

⑴問

（3）問略證:

截取8G=AD,黃綠△8GO三粉紅△ADC（SAS）：

設(shè)NABG=NADC=（z;N8AG=NACD=/?,則NAGE=a+￡;NC￡>E=a+夕（三角形外角

等于不相鄰內(nèi)角和）；

BE//CD=>ZCDE=ZAEG=a+j3（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

故CD=AG=A￡

標(biāo)準(zhǔn)答案（詳解）：

圖5

27.（本小題滿分7分）

（1）解：補(bǔ)全圖形如圖6所示.

1分

(2)證明：如圖7,延長BE至點(diǎn)F.

V8E〃CQ,點(diǎn)尸在BE的延長線上，

:.ZADC=Z\.

VN4DC=NBAC,

：.Z\=ZBAC.

???N1是△/BE的外角，

:.Z\=ZABE+ZBAE.

:.ZABE=N1-/BAE.

又丁ZCAD=ABAC-ZBAE,

:./CAD=AABE................................................................................................3分

(3)AE.4分

證明：如圖8,延長BE至前F,在BE上截取BG=AD,連接AG.

由(2)得=

又丫AB=AC,

:.△ABGW4CAD.

：.4G=CD,/BGA=NADC.

VZADC=Z\,

JZ\=ZBGA.

?:4GE+/5G4=180o,Z2+Z1=18O°,

圖8

:.4GE=N2.

:.AE=AG.

：.AE=CD.....................................................................7分

12.（2021?順義一模）如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC,C￡>_LAB于點(diǎn)力，ZA=cz.

（1）求出/OCB的大?。ㄓ煤琣的式子表示）；

（2）延長CO至點(diǎn)E,使CE=AC,連接4E并延長交CB的延長線于點(diǎn)F.

①依題意補(bǔ)全圖形；

②用等式表示線段EF與8c之間的數(shù)量關(guān)系，并證明。

A

⑴解：:AB=AC,

??.LABC=LACB

AA=a,

???LABC=LACB=^-^-=90°--.

22

\'CD±AB,

2分

：.ZDCB=900-Z4BC=90°-(90°—a/2)=a/2.

(2)①

②、解法一：線段EF與BC之間的數(shù)量關(guān)系為BC=夜EF.

證明：過點(diǎn)分別作AN_LCF,EM1.CF于MM兩點(diǎn).

/.ZEMC=ZANC=90°.

：AB=AC=CE,

.\zi=Z2=pCA/=|BC,NAEC=NEAC,

.,.△CEM^A4CA/,

：.EM=CN=^BC.

'：ZAEC=ZF+Z2,

ZEAC=ZFAN+Z1,

：.ZF=ZFAN=45°,AZ3=45°./

F

：.FM=EM=CN=^BC,

在RtAEFM中,EF=y/2EM,

7分

E,

②、解法二：線段EF與BC之間的數(shù)量關(guān)系為BC=\[2EF

證明：作點(diǎn)E關(guān)于CF的對稱點(diǎn)M,連接FM,EM,CM.

根據(jù)對稱可知：ACE&ACMF,

CM=CE,/ECM=a.

"：CB=CA=CE=CM,ZBAC=ZECM=a,

：./\BAC^/\ECM,

：.EM=BC

,/在RtZXCDA中，ZCAD=a,

NACD=90°-a