山東省青島市平度郭莊鎮(zhèn)郭莊中學高二數(shù)學文下學期期末試卷含解析

山東省青島市平度郭莊鎮(zhèn)郭莊中學高二數(shù)學文下學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.下列值等于1的定積分是（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：C2.已知函數(shù)，若在上有解，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A.(1,e) B.(0,1) C.(－∞,1) D.(1,+∞)參考答案：D【分析】首先判斷函數(shù)單調(diào)性為增.,將函數(shù)不等式關(guān)系轉(zhuǎn)化為普通的不等式,再把不等式轉(zhuǎn)換為兩個函數(shù)的大小關(guān)系,利用圖像得到答案.【詳解】定義域上單調(diào)遞增，，則由，得，，則當時，存在的圖象在的圖象上方.，，則需滿足.選D.【點睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性,解不等式,將不等式關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖像關(guān)系等知識,其中當函數(shù)單調(diào)遞增時,是解題的關(guān)鍵.3.由曲線y=，直線y=x﹣2及y軸所圍成的圖形的面積為（）A． B．4 C． D．6參考答案：C【考點】6G：定積分在求面積中的應(yīng)用．【分析】利用定積分知識求解該區(qū)域面積是解決本題的關(guān)鍵，要確定出曲線y=，直線y=x﹣2的交點，確定出積分區(qū)間和被積函數(shù)，利用導數(shù)和積分的關(guān)系完成本題的求解．【解答】解：聯(lián)立方程得到兩曲線的交點（4，2），因此曲線y=，直線y=x﹣2及y軸所圍成的圖形的面積為：S=．故選C．【點評】本題考查曲邊圖形面積的計算問題，考查學生分析問題解決問題的能力和意識，考查學生的轉(zhuǎn)化與化歸能力和運算能力，考查學生對定積分與導數(shù)的聯(lián)系的認識，求定積分關(guān)鍵要找準被積函數(shù)的原函數(shù)，屬于定積分的簡單應(yīng)用問題．4.方程表示雙曲線，則的取值范圍是

（

）

A．

B．

C．

D．或參考答案：D5.函數(shù)處的切線方程是

（

）A． B．

C．

D．參考答案：D略6.設(shè)函數(shù)f（x）=（x＞0），觀察：f1（x）=f（x）=，f2（x）=f（f1（x））=，f3（x）=f（f2（x））=，f4（x）=f（f3（x））=，…根據(jù)以上事實，由歸納推理可得：當n∈N*且n≥2時，fn（x）=f（fn﹣1（x））=_________．參考答案：略7.將正方形的每條邊8等分，再取分點為頂點（不包括正方形的頂點），可以得到不同的三角形個數(shù)為

（

）

A．1372

B．2024

C．3136

D．4495參考答案：C

解法一：首先注意到三角形的三個頂點不在正方形的同一邊上．任選正方形的三邊，使三個頂點分別在其上，有4種方法；再在選出的三條邊上各選一點，有73種方法．這類三角形共有4×73=1372個．另外，若三角形有兩個頂點在正方形的一條邊上，第三個頂點在另一條邊上，則先取一邊使其上有三角形的兩個頂點，有4種方法，再在這條邊上任取兩點有21種方法，然后在其余的21個分點中任取一點作為第三個頂點．這類三角形共有4×21×21=1764個．

綜上可知，可得不同三角形的個數(shù)為1372+1764=3136．

解法二：8.觀察下列各式：…，則的末四位數(shù)字為（

）

A．3125

B．5625

C．0625

D．8125參考答案：C9.設(shè)函數(shù)f′（x）是奇函數(shù)f（x）（x∈R）的導函數(shù)，f（﹣2）=0，當x＞0時，xf′（x）﹣f（x）＜0，則使得f（x）＞0成立的x的取值范圍是（）A．（﹣∞，﹣2）∪（0，2） B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） C．（﹣2，0）∪（2，+∞） D．（﹣2，0）∪（0，2）參考答案：A【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系．【分析】構(gòu)造函數(shù)g（x），利用g（x）的導數(shù)判斷函數(shù)g（x）的單調(diào)性與奇偶性，求出不等式的解集即可．【解答】解：設(shè)g（x）=，則g（x）的導數(shù)為：g′（x）=，∵當x＞0時總有xf′（x）﹣f（x）＜0成立，即當x＞0時，g′（x）＜0，∴當x＞0時，函數(shù)g（x）為減函數(shù)，又∵g（﹣x）====g（x），∴函數(shù)g（x）為定義域上的偶函數(shù)，∴x＜0時，函數(shù)g（x）是增函數(shù)，又∵g（﹣2）==0=g（2），∴x＞0時，由f（x）＞0，得：g（x）＜g（2），解得：0＜x＜2，x＜0時，由f（x）＞0，得：g（x）＞g（﹣2），解得：x＜﹣2，∴f（x）＞0成立的x的取值范圍是：（﹣∞，﹣2）∪（0，2）．故選：A．10.等差數(shù)列{an}的前m項和為20，前2m項和為70，則它的前3m的和為（）A．130 B．150 C．170 D．210參考答案：B【考點】等差數(shù)列的性質(zhì)．【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)Sm，S2m﹣Sm，S3m﹣S2m仍然成等差數(shù)列，根據(jù)仍然成等差數(shù)列．進而代入數(shù)值可得答案．【解答】解：若數(shù)列{an}為等差數(shù)列則Sm，S2m﹣Sm，S3m﹣S2m仍然成等差數(shù)列．因為在等差數(shù)列{an}中有Sm=20，S2m=70，S3m﹣70+20=2（70﹣20）所以S3m=150．故選B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)，其中，，且在上的導數(shù)滿足，則不等式的解集為

．參考答案：12.如果把個位數(shù)是1，且恰有3個數(shù)字相同的四位數(shù)叫做“好數(shù)”，那么在由1,2,3,4四個數(shù)字組成的有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，“好數(shù)”共有個．參考答案：12略13.在平行六面體中，若，則x＋y＋z等于______

參考答案：11/6_略14.已知，則與平面所成的角的大小為________．參考答案：15.參考答案：16.已知一個三角形的三邊長分別是5，5，6，一只螞蟻在其內(nèi)部爬行，若不考慮螞蟻的大小，則某時刻該螞蟻距離三角形的三個頂點的距離均超過2的概率是

．參考答案：1﹣【考點】幾何概型．【專題】概率與統(tǒng)計．【分析】分別求出對應(yīng)事件對應(yīng)的面積，利用幾何概型的概率公式即可得到結(jié)論．【解答】解：∵三角形的三邊長分別是5，5，6，∴三角形的高AD=4，則三角形ABC的面積S=，則該螞蟻距離三角形的三個頂點的距離均超過2，對應(yīng)的區(qū)域為圖中陰影部分，三個小扇形的面積之和為一個整圓的面積的，圓的半徑為2，則陰影部分的面積為S1=12﹣=12﹣2π，則根據(jù)幾何概型的概率公式可得所求是概率為，故答案為：1﹣．【點評】本題主要考查幾何概型的概率計算，根據(jù)條件求出相應(yīng)的面積是解決本題的關(guān)鍵．17.將邊長為1m正三角形薄片，沿一條平行于底邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記，則S的最小值是．參考答案：

解：設(shè)剪成的小正三角形的邊長為x，則：（方法一）利用導數(shù)求函數(shù)最小值．，=，當時，S′（x）＜0，遞減；當時，S′（x）＞0，遞增；故當時，S的最小值是．故當時，S的最小值是．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，且b=3，c=1，△ABC的面積為，求cosA與a的值．參考答案：【考點】余弦定理的應(yīng)用．【專題】計算題；解三角形．【分析】利用三角形的面積公式，求出sinA=，利用平方關(guān)系，求出cosA，利用余弦定理求出a的值．【解答】解：∵b=3，c=1，△ABC的面積為，∴=，∴sinA=，又∵sin2A+cos2A=1∴cosA=±，由余弦定理可得a==2或2．【點評】本題考查三角形的面積公式、余弦定理，考查學生的計算能力，屬于中檔題．19.已知圓M的方程為x2+（y﹣2）2=1，直線l的方程為x﹣2y=0，點P在直線l上，過P點作圓M的切線PA，PB，切點為A，B．（1）若∠APB=60°，試求點P的坐標；（2）若P點的坐標為（2，1），過P作直線與圓M交于C，D兩點，當時，求直線CD的方程；（3）求證：經(jīng)過A，P，M三點的圓必過定點，并求出所有定點的坐標．參考答案：【考點】圓方程的綜合應(yīng)用．【專題】計算題；證明題．【分析】（1）設(shè)P（2m，m），代入圓方程，解得m，進而可知點P的坐標．（2）設(shè)直線CD的方程為：y﹣1=k（x﹣2），由圓心M到直線CD的距離求得k，則直線方程可得．（3）設(shè)P（2m，m），MP的中點，因為PA是圓M的切線，進而可知經(jīng)過A，P，M三點的圓是以Q為圓心，以MQ為半徑的圓，進而得到該圓的方程，根據(jù)其方程是關(guān)于m的恒等式，進而可求得x和y，得到經(jīng)過A，P，M三點的圓必過定點的坐標．【解答】解：（1）設(shè)P（2m，m），由題可知MP=2，所以（2m）2+（m﹣2）2=4，解之得：，故所求點P的坐標為P（0，0）或．（2）設(shè)直線CD的方程為：y﹣1=k（x﹣2），易知k存在，由題知圓心M到直線CD的距離為，所以，解得，k=﹣1或，故所求直線CD的方程為：x+y﹣3=0或x+7y﹣9=0．（3）設(shè)P（2m，m），MP的中點，因為PA是圓M的切線，所以經(jīng)過A，P，M三點的圓是以Q為圓心，以MQ為半徑的圓，故其方程為：化簡得：x2+y2﹣2y﹣m（2x+y﹣2）=0，此式是關(guān)于m的恒等式，故x2+y2﹣2y=0且（2x+y﹣2）=0，解得或所以經(jīng)過A，P，M三點的圓必過定點（0，2）或（，）．【點評】本題主要考查了圓方程的綜合運用．解題的關(guān)鍵是對圓性質(zhì)的熟練掌握．20.(12分)兩艘輪船都?？客粋€泊位，它們可能在一晝夜的任意時刻到達，甲、乙兩船停靠泊位的時間分別為4h與2h，求有一艘輪船停靠泊位時必須等待一段時間的概率.參考答案：21.已知函數(shù)，.（1）若函數(shù)f(x)在其定義域上為單調(diào)增函數(shù)，求a的取值范圍；（2）記f(x)的導函數(shù)為g(x)，當時，證明：g(x)存在極小值點，且.參考答案：解：（1）依題意函數(shù)的定義域為且函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)，所以對任意恒成立，∴對任意恒成立，∴對任意恒成立，∴，，令，，∴，∴當時，，為增函數(shù)；當時，，為減函數(shù)，∴當時，，∴，即的取值范圍是.（2）由（1）得，其中，，∴，∵，∴與同號，令，，∴，∴當時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，∵，∴，，∴存在，使得，∴當時，，，是減函數(shù)，∴當時，，，是增函數(shù)，∴當時，存在，使是的極小值點.又由得，所以，，