山西省忻州市原平解村鄉(xiāng)辦中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析

山西省忻州市原平解村鄉(xiāng)辦中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知橢圓（a＞b＞0）的半焦距為c（c＞0），左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，拋物線與橢圓交于B、C兩點(diǎn)，若四邊形ABFC是菱形，則橢圓的離心率是(

)A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】由橢圓方程求出F和A的坐標(biāo)，由對(duì)稱性設(shè)出B、C的坐標(biāo)，根據(jù)菱形的性質(zhì)求出橫坐標(biāo)，代入拋物線方程求出B的縱坐標(biāo)，將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入橢圓方程，化簡(jiǎn)整理得到關(guān)于橢圓離心率e的方程，即可得到該橢圓的離心率．【解答】解：由題意得，橢圓（a＞b＞0，c為半焦距）的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，則A（a，0），F(xiàn)（﹣c，0），∵拋物線y2=（a+c）x于橢圓交于B，C兩點(diǎn)，∴B、C兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，可設(shè)B（m，n），C（m，﹣n）∵四邊形ABFC是菱形，∴BC⊥AF，2m=a﹣c，則m=（a﹣c），將B（m，n）代入拋物線方程得，n2=（a+c）m=（a+c）（a﹣c）=（a2﹣c2），∴n2=b2，則不妨設(shè)B（（a﹣c），b），再代入橢圓方程得，+=1，化簡(jiǎn)得=，由e=，即有4e2﹣8e+3=0，解得e=或（舍去）．故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及它們的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，主要考查了橢圓的離心率e，屬于中檔題．2.在中，角的對(duì)邊分別為,若，則角的值為（

）

參考答案：C3.設(shè)x，y∈R，且，則的最大值是（

）A.40

B.10

C.4

D.2參考答案：D4.在等比數(shù)列{an}中，首項(xiàng)a1=1，若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)之積為Tn，且T5=1024，則該數(shù)列的公比的值為（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．±3參考答案：C【考點(diǎn)】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和．【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．【解答】解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，∵首項(xiàng)a1=1，T5=1024，∴15×q1+2+3+4=1024，即q10=210，解得q=±2．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．5.若復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)z的虛部是(

)A．1 B．－1 C．3 D．－3參考答案：B，則復(fù)數(shù)的虛部是．6.已知奇函數(shù)的圖象是兩條直線的一部分（如圖所示），其定義域

為，則不等式的解集是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B7.不等式的解集是（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：A8.若則=

（

）

A．112

B．28

C．-28

D．-112參考答案：A9.已知全集，集合=

（

）

A．{4}

B．{2，3，4}

C．{2，3}

D．{1，4}

參考答案：A略10.已知、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，圓與的延長(zhǎng)線、的延長(zhǎng)線以及線段相切，若為其中一個(gè)切點(diǎn)，則 ()A．

B．C．

D．與2的大小關(guān)系不確定參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)變量滿足約束條件：，則目標(biāo)函數(shù)的最小值為

．參考答案：112.已知橢圓的離心率，A,B是橢圓的左、右頂點(diǎn)，P是橢圓上不同于A,B的一點(diǎn)，直線PA,PB傾斜角分別為，則

參考答案：由可得.讓P取在短軸的頂點(diǎn)上則.又因?yàn)?.13.不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)椋瑒t區(qū)域的面積為

，的最大值為

．參考答案：，略14.已知?jiǎng)t=__________.參考答案：略15.已知，，且，，成等比數(shù)列，則的最小值是_______.

參考答案：16.已知三棱錐A﹣BCD的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，AB為球O的直徑，若該三棱錐的體積為，BC=2，BD=，∠CBD=90°，則球O的表面積為_________．參考答案：略17.下面有5個(gè)命題：①函數(shù)的最小正周期是．②終邊在軸上的角的集合是．③在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象有3個(gè)公共點(diǎn)．④把函數(shù)的圖象向右平移得到的圖象．⑤函數(shù)在上是減函數(shù)．其中，真命題的編號(hào)是___________（寫出所有真命題的編號(hào)）參考答案：①④①，正確；②錯(cuò)誤；③，和在第一象限無(wú)交點(diǎn)，錯(cuò)誤；④正確；⑤錯(cuò)誤．故選．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.某花圃為提高某品種花苗質(zhì)量，開展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng)，在A、B實(shí)驗(yàn)地分別用甲、乙方法培訓(xùn)該品種花苗．為觀測(cè)其生長(zhǎng)情況，分別在實(shí)驗(yàn)地隨機(jī)抽取各50株，對(duì)每株進(jìn)行綜合評(píng)分，將每株所得的綜合評(píng)分制成如圖所示的頻率分布直方圖．記綜合評(píng)分為80及以上的花苗為優(yōu)質(zhì)花苗．（1）求圖中a的值，并求綜合評(píng)分的中位數(shù)．（2）用樣本估計(jì)總體，以頻率作為概率，若在A、B兩塊試驗(yàn)地隨機(jī)抽取3棵花苗，求所抽取的花苗中的優(yōu)質(zhì)花苗數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）填寫下面的列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為優(yōu)質(zhì)花苗與培育方法有關(guān)．

優(yōu)質(zhì)花苗非優(yōu)質(zhì)花苗合計(jì)甲培育法20

乙培育法

10

合計(jì)

附：下面的臨界值表僅供參考．0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

（參考公式：，其中．）參考答案：（1），中位數(shù)82.5；（2）見解析；（3）有90%的把握認(rèn)為優(yōu)質(zhì)花苗與培育方法有關(guān)（1）因?yàn)?，解得，設(shè)為評(píng)分的中位數(shù)，則前三組的概率和為，前四組的概率和為，知，所以，則；（2）由（1）知，樹高為優(yōu)秀的概率為：，記優(yōu)質(zhì)花苗數(shù)為，由題意知的所有可能取值為，，，，，所以的分布列為：01230.0640.2880.4320.216

所以數(shù)學(xué)期望；（3）填寫列聯(lián)表如下，

優(yōu)質(zhì)花苗非優(yōu)質(zhì)花苗合計(jì)甲培育法203050乙培育法401050合計(jì)6040100

計(jì)算，所以有90%的把握認(rèn)為優(yōu)質(zhì)花苗與培育方法有關(guān)．19.（本小題滿分12分）等比數(shù)列中，已知.（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng).（Ⅱ）若等差數(shù)列，，求數(shù)列前n項(xiàng)和，并求最大值參考答案：(Ⅰ）由，得q=2,解得，從而…………4分(Ⅱ）由已知得解得d=-2········6分

…………8分由于……10分

………………12分20.已知點(diǎn)F是拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)，若點(diǎn)M（x0，1）在C上，且|MF|=．（1）求p的值；（2）若直線l經(jīng)過點(diǎn)Q（3，﹣1）且與C交于A，B（異于M）兩點(diǎn)，證明：直線AM與直線BM的斜率之積為常數(shù)．參考答案：【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】（1）拋物線定義知|MF|=x0+，則x0+=，求得x0=2p，代入拋物線方程，x0=1，p=；（2）由（1）得M（1，1），拋物線C：y2=2x，當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)Q（3，﹣1）且垂直于x軸時(shí)，直線AM的斜率kAM=，直線BM的斜率kBM=，kAM?kBM=×=﹣．當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí)，直線l的方程為y+1=k（x﹣3），代入拋物線方程，由韋達(dá)定理及斜率公式求得kAM?kBM===﹣，即可證明直線AM與直線BM的斜率之積為常數(shù)﹣．【解答】解：（1）由拋物線定義知|MF|=x0+，則x0+=，解得x0=2p，又點(diǎn)M（x0，1）在C上，代入y2=2px，整理得2px0=1，解得x0=1，p=，∴p的值；（2）證明：由（1）得M（1，1），拋物線C：y2=x，當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)Q（3，﹣1）且垂直于x軸時(shí)，此時(shí)A（3，），B（3，﹣），則直線AM的斜率kAM=，直線BM的斜率kBM=，∴kAM?kBM=×=﹣．當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則直線AM的斜率kAM===，同理直線BM的斜率kBM=，kAM?kBM=?=，設(shè)直線l的斜率為k（k≠0），且經(jīng)過Q（3，﹣1），則直線l的方程為y+1=k（x﹣3），聯(lián)立方程，消x得，ky2﹣y﹣3k﹣1=0，∴y1+y2=，y1?y2=﹣=﹣3﹣，故kAM?kBM===﹣，綜上，直線AM與直線BM的斜率之積為﹣．21.在區(qū)間[0,1]上的最大值為2，求的值．

參考答案：22.設(shè)數(shù)列{an}的各項(xiàng)都為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn，已知對(duì)任意n∈N*，Sn是an2和an的等差中項(xiàng)．（Ⅰ）證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）證明++…+＜2；（Ⅲ）設(shè)集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500}，若存在m∈M，使對(duì)滿足n＞m的一切正整數(shù)n，不等式Sn﹣1005＞恒成立，求這樣的正整數(shù)m共有多少個(gè)？參考答案：【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；不等式的證明．【專題】綜合題．【分析】（Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)求得a1；當(dāng)n≥2時(shí)根據(jù)2an=2Sn﹣2Sn﹣1化簡(jiǎn)整理得an﹣an﹣1=1判斷數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列．（Ⅱ）把（Ⅰ）求得的an代入Sn進(jìn)而可根據(jù)裂項(xiàng)法進(jìn)行求和得++…+=2（1﹣）＜2；原式得證．（Ⅲ）Sn﹣1005＞，求得n的范圍．進(jìn)而可得集合M，依據(jù)m∈M，所以m=2010，2012，，2998均滿足條件，且這些數(shù)組成首項(xiàng)為2010，公差為2的等差數(shù)列，進(jìn)而求得k【解答】解：（Ⅰ）由已知，2Sn=an2+an，且an＞0．，當(dāng)n=1時(shí)，2a1=a12+a1，解得a1=1．當(dāng)n≥2時(shí)，有2Sn﹣1=an﹣12+an﹣1．于是2Sn﹣2Sn﹣1=an2﹣an﹣12+an﹣an﹣1，即2an=an2﹣an﹣12+an﹣an﹣1．于是an2﹣an﹣12=an+an﹣1，即（an+an﹣1）（an﹣an﹣1）=an+an﹣1．因?yàn)閍n+an﹣1＞0，所以an﹣an﹣1=1（n≥2）．故數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，且an=n．（Ⅱ）因?yàn)閍n=n，則Sn==2（﹣）．所以+++=2[（1﹣）+（﹣）++（﹣）]=2（1﹣）＜2；（Ⅲ）由Sn﹣