有理數(shù)知識(shí)總結(jié)完整版

有理數(shù)知識(shí)總結(jié)完整版

有理數(shù)知識(shí)總結(jié)概念：數(shù)軸：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線。利用數(shù)軸比較數(shù)的大小，可以在數(shù)軸上表示數(shù)。相反數(shù)：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)稱(chēng)互為相反數(shù)。有理數(shù)：整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱(chēng)為有理數(shù)。有理數(shù)分類(lèi)：按有理數(shù)的定義分類(lèi)：整數(shù)和分?jǐn)?shù)。按正負(fù)分類(lèi)：正整數(shù)、負(fù)整數(shù)、正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)。數(shù)軸：數(shù)軸的三要素：原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度，缺一不可。數(shù)軸能形象地表示數(shù)，但數(shù)軸上的點(diǎn)所表示的數(shù)并不都是有理數(shù)。在數(shù)軸上比較有理數(shù)的大小，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。正數(shù)都有大于，負(fù)數(shù)都小于，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)。相反數(shù)：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)稱(chēng)互為相反數(shù)。位于原點(diǎn)兩旁，且與原點(diǎn)距離相等的兩點(diǎn)所表示的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)。每個(gè)數(shù)的相反數(shù)是唯一的，相反數(shù)是表示兩個(gè)數(shù)的相互關(guān)系，不能單獨(dú)存在。多重符號(hào)化簡(jiǎn)的結(jié)果是由“－”號(hào)的個(gè)數(shù)決定的。如果“－”號(hào)是奇數(shù)個(gè)，則結(jié)果為負(fù)；如果是偶數(shù)個(gè)，則結(jié)果為正。絕對(duì)值：在數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，叫做數(shù)a的絕對(duì)值。一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；零的絕對(duì)值是零。絕對(duì)值的主要性質(zhì)：$\mida\mid\geq0$，$\mida\mid=a$或$\mida\mid=-a$，$\midab\mid=\mida\mid\cdot\midb\mid$。一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值是非負(fù)數(shù)，即a≥0。因此，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，絕對(duì)值最小的數(shù)是零。兩個(gè)相反數(shù)的絕對(duì)值相等。比較有理數(shù)大小時(shí)，兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小。比較兩個(gè)負(fù)數(shù)的方法步驟是：先分別求出兩個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值，比較這兩個(gè)絕對(duì)值的大小，根據(jù)“兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小”作出正確的判斷。有理數(shù)的加法法則：同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加；絕對(duì)值不相等的異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值；互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得零；一個(gè)數(shù)與0相加，仍得這個(gè)數(shù)。加法交換律：a+b=b+a；加法結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)。有理數(shù)的減法：減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)，即a-b=a+(-b)。有理數(shù)的加減混合運(yùn)算可以省略加號(hào)和的形式，在一個(gè)和式里，把各個(gè)加數(shù)的括號(hào)和它前面的加號(hào)省略不寫(xiě)。例如，把-8+（+10）+（-6）+（-4）寫(xiě)成省略加號(hào)和的形式為-8+10-6-4，讀作“負(fù)8，正10，負(fù)6，負(fù)4的和”，也可讀作“負(fù)8加10減6減4”。適當(dāng)?shù)膽?yīng)用加法運(yùn)算律。有理數(shù)的乘法法則：兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘；任何數(shù)與0相乘都得0。幾個(gè)不等于0的數(shù)相乘，積的正負(fù)號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定，當(dāng)負(fù)號(hào)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)號(hào)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，積為正。幾個(gè)數(shù)相乘，有一個(gè)因數(shù)為0，積就為0。乘法交換律：ab=ba；乘法結(jié)合律：(ab)c=a(bc)；乘法對(duì)加法的分配律：a(b+c)=ab+ac。有理數(shù)的除法法則1：除以一個(gè)數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。不能做除數(shù)。有理數(shù)的除法法則2：兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除。零除以任何一個(gè)不等于0的數(shù)，都得0。有理數(shù)的乘方是求幾個(gè)相同因數(shù)積的運(yùn)算，叫做乘方。a的n次方記作an。乘方的結(jié)果叫做冪，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)。正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)，0的任何非0次冪都是0。13.科學(xué)記數(shù)法科學(xué)記數(shù)法是一種用來(lái)表示大于等于1的數(shù)的方法，其中一個(gè)大于等于1小于10的數(shù)被乘以10的n次冪，即a×10^n，其中1≤a<10，n是正整數(shù)。14.有理數(shù)的混合運(yùn)算在有理數(shù)的混合運(yùn)算中，先進(jìn)行乘方運(yùn)算，然后進(jìn)行乘除運(yùn)算，最后進(jìn)行加減運(yùn)算。對(duì)于同級(jí)運(yùn)算，按照從左至右的順序進(jìn)行。如果有括號(hào)，就先算小括號(hào)里的，再算中括號(hào)里的，然后算大括號(hào)里的。15.近似數(shù)和有效數(shù)字準(zhǔn)確數(shù)是完全符合實(shí)際的數(shù)，而近似數(shù)是和準(zhǔn)確數(shù)非常接近的數(shù)。近似數(shù)和準(zhǔn)確數(shù)接近的程度被稱(chēng)為精確度。一個(gè)近似數(shù)，四舍五入到哪一位，就說(shuō)這個(gè)近似數(shù)精確到哪一位。從左邊第一個(gè)不是0的數(shù)字起到精確到的位數(shù)止，所有的數(shù)字都叫做這個(gè)數(shù)的有效數(shù)字。近似數(shù)的精確度有兩種形式：精確到哪一位和保留幾個(gè)有效數(shù)字。【例題精講】一、有理數(shù)的作用：有理數(shù)可以用來(lái)表示數(shù)的性質(zhì)，表示沒(méi)有，表示某種狀態(tài)，表示正數(shù)與負(fù)數(shù)的中性數(shù)，以及表示界點(diǎn)。二、數(shù)軸與數(shù)的關(guān)系所有有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示出來(lái)。三、相反數(shù)、倒數(shù)已知a、b互為倒數(shù)，c、d互為相反數(shù)，e<0且|e|=1，那么(-ab)^2009-(c+d)^2008-e^2007的值為。知三個(gè)互不相等的有理數(shù)，即可以表示為1，a+b，a的形式，又可表示為b的形式，且x的絕對(duì)值為2，求(a+b)^2008/(a+b-(ab)^2009-(a+b-ab)+x^2)的值。四、絕對(duì)值若a-3+|2b+5|=0，則2a-b的值為。若a<b，則b-a+1-a-b-5的值為。a、b在數(shù)軸上的位置如圖，化簡(jiǎn)|a+b|和|b-1|。代數(shù)式|x+2|+|x-3|的最小值為。五、有理數(shù)的運(yùn)算計(jì)算(-3-3^2+(-3)^2)/1×3；1/(1-1/32)；a-b/a+b。六、科學(xué)記數(shù)法→近似數(shù)及有效數(shù)字科學(xué)記數(shù)法可以用來(lái)表示大于等于1的數(shù)，其中一個(gè)大于等于1小于10的數(shù)被乘以10的n次冪。近似數(shù)是和準(zhǔn)確數(shù)非常接近的數(shù)，而有效數(shù)字是從左邊第一個(gè)不是0的數(shù)字起到精確到的位數(shù)止，所有的數(shù)字都叫做這個(gè)數(shù)的有效數(shù)字。近似數(shù)的精確度有兩種形式：精確到哪一位和保留幾個(gè)有效數(shù)字。14.北京到蘭州的鐵路中間有25個(gè)站臺(tái)，包括北京和蘭州。為滿(mǎn)足票務(wù)需求，需要設(shè)立多種票種。15.設(shè)a、b、c為有理數(shù)，則由abc/(a+b+c)構(gòu)成的各種數(shù)值是abc的各種因數(shù)。16.在數(shù)軸上，設(shè)有理數(shù)a、b、c的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，則│b-a│+│a+c│+│c-b│=2│c-a│。17.填上合適的數(shù)：1，8，27，64，125，216。18.讀一讀：“1+2+3+4+5+…+100”表示從1開(kāi)始的100個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和。為了簡(jiǎn)便起見(jiàn)，我們用求和符號(hào)“∑”表示，例如“1+3+5+7+9+…+99”（即從1開(kāi)始的100以?xún)?nèi)的連續(xù)奇數(shù)的和）可表示為∑(2n-1)。又如“1+2+3+4+5+6+7+8+9+10”可表示為∑n。請(qǐng)解答以下問(wèn)題：（1）2+4+6+8+10+…+100（即從2開(kāi)始的100以?xún)?nèi)的連續(xù)偶數(shù)的和）用求和符號(hào)可表示為∑n，結(jié)果為50。（2）計(jì)算∑(1/((n+2)(n+4)))，結(jié)果為1/12。19.計(jì)算：23/5-(-4-2/3)-(-7-2/3)，結(jié)果為31/15。20.計(jì)算：(24/-9)×(25/5)，結(jié)果為-100。21.已知b-1+a-2=1/2，求1/(ab)+1/((a+1)(b+1))+1/((a+2)(b+2))+…+1/((a+2006)(b+2006))的值。答案為ln(2)。22.求1+22+23+…+22008的值。設(shè)S=1+22+23+…+22008，則2S=22+23+24+…+22009。因此2S-S=22009-1，所以1+22+23+…+22008=22009-1。同理，可得1+52+53+…+52009的值為52010-5。23.三個(gè)互不相等的有理數(shù)，既可以表示為1、a+b、a的形式，也可以表示為1、b/a、b的形式。求a2000+b2001的值。設(shè)這三個(gè)數(shù)分別為1、x、y，則有x+y=1+a+b=1+b/a，解得a=(x-1)(y-1)/(x+y-2)，b=(x-1)(y-1)/(y/x-1)，代入可得a2000+b2001=2001。24.電子跳蚤從數(shù)軸上的某點(diǎn)K開(kāi)始跳躍，第一步向左跳1個(gè)單位到K1，第二步由K1向右跳2個(gè)單位到K2，第三步由K2向左跳3個(gè)單位到K3，以此類(lèi)推。已知電子跳蚤第n步跳到了距離K的左邊n(n+1)/2個(gè)單位的位置，求K的坐標(biāo)。設(shè)K的坐標(biāo)為x，則x-1+2-3+4-5+…+(-1)n(n+1)/2=n(n+1)/2，解得x=n(n+1)/4+1/2。假設(shè)電子跳蚤的初始位置為K1，那么第一步跳到K2，說(shuō)明K2比K1大2個(gè)單位，即K2=K1+2。第二步跳到K2，說(shuō)明K3比K2小3個(gè)單位，即K3=K2-3。按照以上規(guī)律，第100步跳到K100，說(shuō)明K100比K99大100個(gè)單位，即K100=K99+100。因此，我們可以列出如下的等式：K2=K1+2K3=K2-3K4=K3+4...K99=K98-99K100=K99+100將以上等式相加，可以得到：K100=K1+2-3+4-...-99+100化簡(jiǎn)得：K100=K1+(2-3+4-...-99+100)其中，2-3+4-...-