第九章多元函數(shù)微分學(xué)總復(fù)習(xí)

xx（1）zyx

1,2 答案

2ln212x zxy

yyylny yx

x2 x x 2 2 x2y2x2y2

22222ln2

ln21xyz全微分dz

2zzxy在點101答案dx

2dy解x2y2x2y2

xdxydyzdz

dzdx

2dy3x22y2z 15答案 0,2,15

繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)面在點0, 2處的解旋轉(zhuǎn)曲面方程為3x22y23z2120，則在點0, n6x,4y,6z0,3,20,43,62，15n015

0,2,3；2Fxy2FFxy01t2dt，

0,2 答案4 ysin

2F

ycosxy1x2y22xy2sinxy x1xy2，x2

x2y2故

0,2422F

x,y0,0,fxyx2

在0,0處 x,y0,0, （C）不連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在 答案選（C）. f0,0limf0xf0,00,同理f0,00，即偏導(dǎo)數(shù)存在 又當(dāng)x,yykx趨向00limfx,y

，

x0x2

1

klimfx,yfxy在00x（2）設(shè)函數(shù)fx,y在點00附近有定義，且fx003，fy001 （A）dz0,03dx（B）zfxy在點00,f00的法向量為

fx,y

在點00,f00的切向量為10yfx,y 在點0,0,f0,0fx,yy答案選（C解由于函數(shù)fxy雖然在00處兩個偏導(dǎo)數(shù)存在，但不一定可微，故（A）xxxy0zfx,0在點00,f00的切向量為設(shè)函數(shù)zfx,y的全微分為dzxdxydy，則點0,0 （A）不是fx,y的連續(xù) （B）不是fx,y的極值（C）是fx,y的極大值點 （D）是fx,y的極小值點 選（D）.解dzxdxydyd1x2y2z1x2y2CC，其中C zfxy在00在曲線xt，yt2，zt3的所有切線中，與平面x2yz4平行的切 （A）只有1條 （B）只有2條 （C）至少有3條 答案選（B）.解對應(yīng)于t0處曲線切線的方向向量為12t3tn12

n0，即1

3t20，解得t1或t1，故選（B xy1xy1

f00f00fxy在00

xy f0,0limfx,0f0,00，f0,0limf0,yf0,0

x

y因為limfx,yfxy在00不連續(xù)xfxyx2

sinx2y2,

x2y2x2y2（1）（2）fxy在00sinx2y2x2解（1）因為limfx,ysinx2y2x2fxy在00

f00limfx0f000f00

x

zfx0,0xfy0,0

sinx2y2 x2y x2y

x2y

x2yfxy在點00不可微設(shè)函數(shù)fxy1,1處可微，且f1,11fx1,12fy1,13xfx,fxx，求1解x

fxfyfxfyx11232317設(shè)函數(shù)ufxyzyyxzzxexyxy2和exxzsin 解xexyxdyyxdyy0，解 dyy

ex

sinxz

dz

dz

exxz,x

dx

sinxz duffdyf

z y

exxz fxfyxfz1sinxz z

f2xyysinxgyfgxx

2. z

f2fycosxgy

x2 2

2f

sin

f2cos ycosx

sin1gy

gyxy12f112sinxycosxf12f2cosx1

gysinxcosxf22

g設(shè)ufxyzx2eyz0ysinxf、0du duffdyfdz 其 dycos y z 由方程x2eyz0xysinxzz y

2xeycos 12x2

dx3dx0

2xeycosx fxfycosx

ffcosxfz2xesinxcosx 10.uxyzx2y2z21Mx

uuu1,球面在Mx,y,

的外法線方向為2x2y2z，方向

cosx0，cosy0，cosz0u1x1y1zxy

x0y0z0xyz0x2y2z2 x,y,

3,3,3

3 由（1）可知，在x,y

333

3 x2y2z2顯然，x0,y0,

滿足方程 xyz

時方向?qū)?shù)為零，此時x0y0z0 x2y2z2x為曲線x

y

12.設(shè)x1，x2 ，xn為n個正數(shù)，試在條件x1x2 xna（定值）下，求函u

xnnnx1xnx1x2n解Lagrange ,xn,xkxkak

k Lxix1, ,xn,xkk k

（i1, ,nLx1, ,xn,xka k xa（i1, ,n，由題意可知a,a ,a為ux

a

n n 1n即最大值為 ，n a

xx x

xn

n

n zfx2y2（f0）z軸相交證設(shè)P0x0y0

x

f

xx2yx2xx2yx2x2x2y

x0f

x0f

x2yx2y x

y zz0x0f y0f x2y x2y x z軸相交于點00

x0x0 設(shè)有一小山，取它的底面所在的平面為xOy坐標(biāo)面，其底部所占的區(qū)域為Dxyx2y2xy75hxy75x2y2xygx0y0gx0y0的表達式.解（1）hxyMx0y0gradhx0,y0y02x0ix02y0y x2y2y x2y22 5x25y28x 0（2）fxyg2xy5x25y2fxyx2y2xy75下的最大值點，Lagrange函數(shù)為Lx,y