高中數(shù)學(xué)-函數(shù)的單調(diào)性與最值

專題函數(shù)的單調(diào)性與最值1．函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量x1，x2當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f(x1)＜f(x2)，那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f(x1)＞f(x2)，那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的(2)單調(diào)區(qū)間的定義若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．2．函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足條件(1)對(duì)于任意x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(1)對(duì)于任意x∈I，都有f(x)≥M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M結(jié)論M為最大值M為最小值3.判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)函數(shù)y＝eq\f(1,x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(×)(2)相同單調(diào)性函數(shù)的和、差、積、商函數(shù)還具有相同的單調(diào)性．(×)(3)函數(shù)y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是[1，＋∞)．(×)(4)如果一個(gè)函數(shù)在定義域內(nèi)的某幾個(gè)子區(qū)間上都是增函數(shù)，則這個(gè)函數(shù)在定義域上是增函數(shù)．(×)(5)對(duì)于函數(shù)f(x)，x∈D，若x1，x2∈D，且(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，則函數(shù)f(x)在D上是增函數(shù)．(√)(6)函數(shù)f(x)＝log5(2x＋1)的單調(diào)增區(qū)間是(0，＋∞)．(×)考點(diǎn)一求函數(shù)的單調(diào)性(區(qū)間)命題點(diǎn)1.求具體解析式的函數(shù)的單調(diào)性(區(qū)間)2.求解析式含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性(區(qū)間)[例1](1)下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，＋∞)上為增函數(shù)的是()A．y＝eq\r(x＋1) B．y＝(x－1)2C．y＝2－x D．y＝log0.5(x＋1)答案：A(2)函數(shù)f(x)＝lgx2的單調(diào)遞減區(qū)間是________．答案：(－∞，0)(3)判斷并證明函數(shù)f(x)＝eq\f(ax,x2－1)(其中a＞0)在x∈(－1,1)上的單調(diào)性．（二次除以一次的處理；拓展一次除以一次）[方法引航]判斷函數(shù)單調(diào)性的方法1定義法：取值，作差，變形，定號(hào)，下結(jié)論.2利用復(fù)合函數(shù)關(guān)系：簡(jiǎn)稱“同增異減”.3圖象法：從左往右看，圖象逐漸上升，單調(diào)增；圖象逐漸下降，單調(diào)減.4性質(zhì)法：增函數(shù)與減函數(shù)的加減問(wèn)題。1．下列函數(shù)中，定義域是R且為增函數(shù)的是()A．y＝e－xB．y＝xC．y＝lnxD．y＝|x|選B.2．函數(shù)y＝|x|(1－x)在區(qū)間A上是增函數(shù)，那么區(qū)間A是()A．(－∞，0)B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C．[0，＋∞)D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))選B.3．已知a＞0，函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(a,x)(x＞0)，證明：函數(shù)f(x)在(0，eq\r(a)]上是減函數(shù)，在[eq\r(a)，＋∞)上是增函數(shù)．（掌握對(duì)勾函數(shù)；明確對(duì)勾函數(shù)的特征）考點(diǎn)二利用函數(shù)的單調(diào)性求最值命題點(diǎn)1.求單調(diào)函數(shù)的最值2.求函數(shù)的值域[例2](1)函數(shù)f(x)＝eq\f(2x,x＋1)在[1,2]上的最大值和最小值分別是________．答案：eq\f(4,3)，1(2)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,a)－eq\f(1,x)(a＞0，x＞0)，若f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上的值域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，則a＝________.答案：eq\f(2,5)1．定義新運(yùn)算⊕：當(dāng)a≥b時(shí)，a⊕b＝a；當(dāng)a＜b時(shí)，a⊕b＝b2，則函數(shù)f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，x∈[－2,2]的最大值等于()A．－1B．1C．6D．12f(x)的最大值為f(2)＝23－2＝6.考點(diǎn)三函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用命題點(diǎn)1.比較函數(shù)值的大小2.求字母參數(shù)3.解不等式[例3]（1）已知，則下列不等關(guān)系一定成立的是（）A．B．C．D．(2)已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－ax＋1，x＜1，,ax，x≥1，))滿足對(duì)任意x1≠x2，都有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)＞0成立，那么a的取值范圍是________．答案：eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))[方法引航]1利用單調(diào)性比較大小，首先把不在同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上的變量轉(zhuǎn)化為同一個(gè)單調(diào)區(qū)間，再結(jié)合單調(diào)性進(jìn)行比較.2已知函數(shù)的單調(diào)性確定參數(shù)的值域范圍要注意以下兩點(diǎn)：①任意子區(qū)間上也是單調(diào)的；②注意銜接點(diǎn)的取值.1.在本例(2)中，若f(x)不變且a∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2)).解不等式f(4a2－2a－5)＜f(a＋2)．f(4a2－2a－5)＜f(a＋2)的解集為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(7,4))).2.定義在R上的函數(shù)對(duì)任意都有，成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A.[－3,－2] B.[－3,0) C.(－∞,－2] D.(－∞,0)[易錯(cuò)警示]定義域的請(qǐng)求——求函數(shù)單調(diào)區(qū)間先求我1．函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是定義域的子集，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間必須做到“定義域優(yōu)先”的原則．[典例1]函數(shù)f(x)＝eq\r(x2＋x－6)的單調(diào)增區(qū)間為________．[答案][2，＋∞)[警示]求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，應(yīng)該先求定義域，在定義域內(nèi)尋找減區(qū)間、增區(qū)間；若增區(qū)間或減區(qū)間是間斷的，要分開寫，不能用“并集符號(hào)”合并聯(lián)結(jié)．2．利用函數(shù)單調(diào)性解不等式時(shí)也要先求定義域．[典例2]已知，定義在[－2,3]上的函數(shù)f(x)是減函數(shù)，則滿足f(x)＜f(2x－3)的x的取值范圍是________．[答案]eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))[警示]這類不等式應(yīng)等價(jià)于：?jiǎn)握{(diào)性和定義域構(gòu)成的不等式組．[高考真題體驗(yàn)]1．下列函數(shù)中，在區(qū)間(－1,1)上為減函數(shù)的是()A．y＝eq\f(1,1－x) B．y＝cosxC．y＝ln(x＋1) D．y＝2－x選項(xiàng)D符合題意．2．設(shè)函數(shù)f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，則f(x)是()A．奇函數(shù)，且在(0,1)上是增函數(shù)B．奇函數(shù)，且在(0,1)上是減函數(shù)C．偶函數(shù)，且在(0,1)上是增函數(shù)D．偶函數(shù)，且在(0,1)上是減函數(shù)故選A.3．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞增的是()A．f(x)＝eq\f(1,x2) B．f(x)＝x2＋1C．f(x)＝x3 D．f(x)＝2－x故選A.4．函數(shù)f(x)＝eq\f(x,x－1)(x≥2)的最大值為________．答案：25．已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞增．若實(shí)數(shù)a滿足f(2|a－1|)＞f(－eq\r(2))，則a的取值范圍是________．答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2)))課時(shí)規(guī)范訓(xùn)練A組基礎(chǔ)演練1．函數(shù)y＝x2－6x＋10在區(qū)間(2,4)上是()A．遞減函數(shù) B．遞增函數(shù)C．先遞減再遞增 D．先遞增再遞減解析：選C.2．已知f(x)為R上的減函數(shù)，則滿足feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＞f(1)的實(shí)數(shù)x的取值范圍是()A．(－∞，1) B．(1，＋∞)C．(－∞，0)∪(0,1) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)x的取值范圍是x＞1或x＜0.3．函數(shù)f(x)中，滿足“對(duì)任意x1，x2∈(0，＋∞)，當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f(x1)＞f(x2)”的是()A．f(x)＝eq\f(1,x) B．f(x)＝(x－1)2C．f(x)＝ex D．f(x)＝ln(x＋1)4．如果函數(shù)f(x)＝ax2＋2x－3在區(qū)間(－∞，4)上是單調(diào)遞增的，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．a(chǎn)＞－eq\f(1,4) B．a(chǎn)≥－eq\f(1,4)C．－eq\f(1,4)≤a＜0 D．－eq\f(1,4)≤a≤0綜上所述得－eq\f(1,4)≤a≤0.5．函數(shù)y＝eq\f(x－5,x－a－2)在(－1，＋∞)上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是()A．a(chǎn)＝－3 B．a(chǎn)＜3C．a(chǎn)≤－3 D．a(chǎn)≥－3選C.6．已知f(x)為R上的減函數(shù)，則滿足feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))))＜f(1)的實(shí)數(shù)x的取值范圍是________．答案：(－1,0)∪(0,1)7．y＝－x2＋2|x|＋3的單調(diào)增區(qū)間為________．答案：(－∞，－1]，[0,1]8．已知函數(shù)f(x)＝|x＋a|在(－∞，－1)上是單調(diào)函數(shù)，則a的取值范圍是________．答案：(－∞，1]9．函數(shù)f(x)＝x2－4x－4在閉區(qū)間[t，t＋1](t∈R)上的最小值記為g(t)．(1)試寫出g(t)的函數(shù)表達(dá)式；(2)求g(t)的最小值．g(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t2－2t－7t＜1，,－81≤t≤2，,t2－4t－4t＞2.))(2)畫出g(t)的圖象如圖所示，由圖象易知g(t)的最小值為－8.10．已知f(x)＝eq\f(x,x－a)(x≠a)．(1)若a＝－2，試證（判斷）f(x)在(－∞，－2)上單調(diào)遞增；(2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，求a的取值范圍．B組能力突破1．設(shè)函數(shù)f(x)＝loga|x|在(－∞，0)上單調(diào)遞增，則f(a＋1)與f(2)的大小關(guān)系是()A．f(a＋1)＞f(2) B．f(a＋1)＜f(2)C．f(a＋1)＝f(2) D．不能確定選A.2．已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4x＋3，x≤0,－x2－2x＋3，x＞0))，不等式f(x＋a)＞f(2a－x)在[a，a＋1]上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，－2) B．(－∞，0)C．(0,2) D．(－2,0)選A.3．函數(shù)f(x)＝log5(2x＋1)的單調(diào)遞增區(qū)間是________．答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))4．已知定義在區(qū)間(0，＋∞)上的函數(shù)f(x)滿足feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1,x2)))＝f(x1)－f(x2)，且當(dāng)x＞1時(shí)，f(x)＜0.（函數(shù)背景是什么？）(1)求f(1)的值；(2)證明：f(x)為單調(diào)遞減函數(shù)；(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值．解：(1)令x1＝x2＞0，代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0.(2)證明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＞x2，則eq\f(x1,x2)＞1，由于當(dāng)x＞1時(shí)，f(x)＜0，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1,x2)))＜0，即f(x1)－f(x2)＜0，因此f(x1)＜f(x2)，所以f(x)在(0，＋∞)上是單調(diào)遞減函數(shù)．(3)∵[2,9]?(0，＋∞)，∴f(x)在[2,9]上為減函數(shù)f(x)min＝f(9)．由題意可知f(x1)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1,x2)))＋f(x2)，∴f(9)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,3)))＋f(3)＝2f(3)＝－2.∴f(x)在[2,9]上的最小值為－2.專題函數(shù)的奇偶性與周期性1．函數(shù)的奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)定義一般地，如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x都有f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)都有f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)圖象特征關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱關(guān)于y軸對(duì)稱2.函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù)對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個(gè)函數(shù)的周期．(2)最小正周期如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期．3．判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)若f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則f(－x)＋f(x)＝0.(√)(2)偶函數(shù)的圖象不一定過(guò)原點(diǎn)，奇函數(shù)的圖象一定過(guò)原點(diǎn)．(×)(3)如果函數(shù)f(x)，g(x)為定義域相同的偶函數(shù)，則F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函數(shù)．(√)(4)若T是函數(shù)的一個(gè)周期，則nT(n∈Z，n≠0)也是函數(shù)的周期．(√)(5)函數(shù)f(x)在定義域上滿足f(x＋a)＝－f(x)，則f(x)是周期為2a(a＞0)的周期函數(shù)．(√(6)若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)關(guān)于直線x＝a對(duì)稱．(√)(7)若函數(shù)y＝f(x＋b)是奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)關(guān)于點(diǎn)(b,0)中心對(duì)稱．(√)(8)若某函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則該函數(shù)為偶函數(shù)；若某函數(shù)的圖象關(guān)于(0,0)對(duì)稱，則該函數(shù)為奇函數(shù)．(√)考點(diǎn)一判斷函數(shù)的奇偶性命題點(diǎn)用函數(shù)奇偶性定義判斷[例1](1)下列函數(shù)為奇函數(shù)的是()A．y＝eq\r(x) B．y＝exC．y＝cosx D．y＝ex－e－x答案：D(2)下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是()A．y＝eq\f(1,x) B．y＝lg|x|C．y＝(x－1)2 D．y＝2x答案：B(3)函數(shù)f(x)＝eq\r(3－x2)＋eq\r(x2－3)，則()A．不具有奇偶性 B．只是奇函數(shù)C．只是偶函數(shù) D．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)答案：D[方法引航]判斷函數(shù)的奇偶性的三種重要方法(1)定義法：(2)圖象法：函數(shù)是奇(偶)函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于原點(diǎn)(y軸)對(duì)稱．(3)性質(zhì)法：①“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶；②“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶；③“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇．判斷下列函數(shù)的奇偶性(1)f(x)＝(x＋1)eq\r(\f(1－x,1＋x))；(2)f(x)＝lgeq\f(1－x,1＋x).（其它底數(shù)）（其它變形形式）原函數(shù)是奇函數(shù)．考點(diǎn)二函數(shù)的周期性及應(yīng)用命題點(diǎn)1.周期性的簡(jiǎn)單判斷2.利用周期性求函數(shù)值[例2](1)下列函數(shù)不是周期函數(shù)的是()A．y＝sinx B．y＝|sinx|C．y＝sin|x| D．y＝sin(x＋1)答案：C(2)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，若對(duì)于x≥0，都有f(x＋2)＝－eq\f(1,fx)，且當(dāng)x∈[0,2)時(shí)，f(x)＝log2(x＋1)，則求f(－2017)＋f(2019)的值為________．答案：0[方法引航](1)利用周期f(x＋T)＝f(x)將不在解析式范圍之內(nèi)的x通過(guò)周期變換轉(zhuǎn)化到解析式范圍之內(nèi)，以方便代入解析式求值．(2)判斷函數(shù)周期性的幾個(gè)常用結(jié)論．①f(x＋a)＝－f(x)，則f(x)為周期函數(shù)，周期T＝2|a|.②f(x＋a)＝eq\f(1,fx)(a≠0)，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，2|a|是它的一個(gè)周期；③f(x＋a)＝－eq\f(1,fx)，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，2|a|是它的一個(gè)周期．1．若將本例(2)中“f(x＋2)＝－eq\f(1,fx)”變?yōu)椤癴(x＋2)＝－f(x)”，則f(－2017)＋f(2019)＝________.答案：02．若本例(2)條件變?yōu)閒(x)對(duì)于x∈R，都有f(x＋2)＝f(x)且當(dāng)x∈[0,2)時(shí)，f(x)＝log2(x＋1)，求f(－2017)＋f(2019)的值．f(－2017)＋f(2019)＝2.拓展延伸：已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(－x)＝2－f(x)，若函數(shù)y＝eq\f(x＋1,x)與y＝f(x)圖象的交點(diǎn)為(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，則eq\i\su(i＝1,m,)(xi＋yi)＝()A．0B．mC．2mD．解析：選B.考點(diǎn)三函數(shù)奇偶性的綜合應(yīng)用命題點(diǎn)1.已知奇偶性求參數(shù)2.利用奇偶性、單調(diào)性求解不等式3.利用奇偶性求解析式或函數(shù)值[例3](1)若函數(shù)f(x)＝eq\f(2x＋1,2x－a)是奇函數(shù)，則使f(x)＞3成立的x的取值范圍為()A．(－∞，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1，＋∞)答案：C（注重多種解法）(2)函數(shù)f(x)＝eq\f(ax＋b,1＋x2)是定義在(－1,1)上的奇函數(shù)，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(2,5).①確定函數(shù)f(x)的解析式；②用定義證明f(x)在(－1,1)上是增函數(shù)；③解不等式f(t－1)＋f(t)＜0.解：①a＝1.∴f(x)＝eq\f(x,1＋x2)，經(jīng)檢驗(yàn)適合題意．②證明：（略）f(x)在(－1,1)上為增函數(shù)．③0＜t＜eq\f(1,2).3.設(shè)奇函數(shù)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，且＝，則不等式的解集為()A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0,1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1)(4)已知f(x)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝x3＋ln(1＋x)，則當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＝()A．－x3－ln(1－x) B．x3＋ln(1－x)C．x3－ln(1－x) D．－x3＋ln(1－x)答案：C[方法引航]1根據(jù)奇偶性求解析式中的參數(shù)，是利用f－x＝－fx或f－x＝fx在定義域內(nèi)恒成立，建立參數(shù)關(guān)系.2根據(jù)奇偶性求解析式或解不等式，是利用奇偶性定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化.1．已知f(x)＝ax2＋bx是定義在[a－1,2a]上的偶函數(shù)，那么a＋b的值是________答案：eq\f(1,3)2．定義在R上的偶函數(shù)y＝f(x)在[0，＋∞)上遞減，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝0，則滿足f(x)＜0的x的集合為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))∪(2，＋∞) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))∪(1,2)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪(2，＋∞) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))∪(2，＋∞)滿足不等式f＜0的x的集合為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪(2，＋∞)．3．已知函數(shù)f(x)＝－x＋log2eq\f(1－x,1＋x)＋1，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))的值為()A．2 B．－2C．0 D．2log2eq\f(1,3)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝2.[方法探究]“多法并舉”解決抽象函數(shù)性質(zhì)問(wèn)題[典例]定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，f(x＋2)＝－f(x)且f(x)在[－1,0]上是增函數(shù)，給出下列四個(gè)命題：①f(x)是周期函數(shù)；②f(x)的圖象關(guān)于x＝1對(duì)稱；③f(x)在[1,2]上是減函數(shù)；④f(2)＝f(0)，其中正確命題的序號(hào)是________(請(qǐng)把正確命題的序號(hào)全部寫出來(lái))．[分析關(guān)系]①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)隱含了用什么結(jié)論？什么方法探究？②f(x＋2)＝－f(x)，隱含了什么結(jié)論？用什么方法探究．③若f(x)的圖象關(guān)于x＝1對(duì)稱，其解析式具備什么等式關(guān)系？從何處理探究？④f(x)在[－1,0]上的圖象與[1,2]上的圖象有什么關(guān)系？依據(jù)什么指導(dǎo)？⑤f(2)，f(0)從何處計(jì)算．[解析]第一步：f(x＋y)＝f(x)＋f(y)對(duì)任意x，y∈R恒成立．(賦值法)：令x＝y(tǒng)＝0，∴f(0)＝0.令x＋y＝0，∴y＝－x，∴f(0)＝f(x)＋f(－x)．∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)．第二步：∵f(x)在x∈[－1,0]上為增函數(shù)，又f(x)為奇函數(shù)，∴f(x)在[0,1]上為增函數(shù)．第三步：由f(x＋2)＝－f(x)?f(x＋4)＝－f(x＋2)?f(x＋4)＝f(x)，(代換法)∴周期T＝4，即f(x)為周期函數(shù)．第四步：f(x＋2)＝－f(x)?f(－x＋2)＝－f(－x)．(代換法)又∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(2－x)＝f(x)，∴關(guān)于x＝1對(duì)稱．第五步：由f(x)在[0,1]上為增函數(shù)，又關(guān)于x＝1對(duì)稱，∴[1,2]上為減函數(shù)．(對(duì)稱法)第六步：由f(x＋2)＝－f(x)，令x＝0得f(2)＝－f(0)＝f(0)．(賦值法)[答案]①②③④[回顧反思]此題用圖象法更直觀．[高考真題體驗(yàn)]1．(2014·高考課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)的定義域都為R，且f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是()A．f(x)g(x)是偶函數(shù) B．|f(x)|g(x)是奇函數(shù)C．f(x)|g(x)|是奇函數(shù) D．|f(x)g(x)|是奇函數(shù)選C.2．已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽.當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＝x3－1；當(dāng)－1≤x≤1時(shí)，f(－x)＝－f(x)；當(dāng)x＞eq\f(1,2)時(shí)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2))).則f(6)＝()A．－2 B．－1C．0 D．2解析：選D3．已知函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f(x)＝4x，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＋f(1)＝________.答案：－24．(2015·高考課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ)若函數(shù)f(x)＝xln(x＋eq\r(a＋x2))為偶函數(shù)，則a＝________.答案：15．設(shè)f(x)是定義在R上的周期為2的函數(shù)，當(dāng)x∈[－1,1)時(shí)，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－4x2＋2，－1≤x＜0，,x，0≤x＜1，))則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝________.答案：1課時(shí)規(guī)范訓(xùn)練A組基礎(chǔ)演練1．下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是()A．y＝x2sinx B．y＝x2cosxC．y＝|lnx| D．y＝2－x解析：選B.2．下列函數(shù)中既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)的是()A．y＝2|x| B．y＝lg(x＋eq\r(x2＋1))C．y＝2x＋2－x D．y＝lgeq\f(1,x＋1)解析：選D.3．若f(x)是R上周期為5的奇函數(shù)，且滿足f(1)＝1，f(2)＝2，則f(3)－f(4)等于()A．－1B．1C．－2D．2解析：選A.4．已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝x2＋eq\f(1,x)，則f(－1)＝()A．－2B．0C．1D．2解析：選A.5．設(shè)f(x)是定義在R上的周期為3的函數(shù)，當(dāng)x∈[－2,1)時(shí)，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x2－2，－2≤x≤0,x，0＜x＜1))，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))＝()A．0 B．1C.eq\f(1,2) D．－1解析：選D.6．函數(shù)f(x)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x滿足條件f(x＋2)＝eq\f(1,fx)，若f(1)＝－5，則f(f(5))＝________.答案：－eq\f(1,5)7．已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，f(2)＝1，且對(duì)任意的x∈R，都有f(x＋3)＝f(x)，則f(2017)＝________.答案：18．函數(shù)f(x)＝ex＋x(x∈R)可表示為奇函數(shù)h(x)與偶函數(shù)g(x)的和，則g(0)＝________.答案：19．已知f(x)是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，f(x)＝－xlg(2－x)，求f(x)的解析式．∴f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－xlg2＋xx∈[0，＋∞,－xlg2－xx∈－∞，0))B組能力突破1．已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)和偶函數(shù)g(x)滿足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a＞0，且a≠1)．若g(2)＝a，則f(2)等于()A．2 B.eq\f(15,4)C.eq\f(17,4) D．a(chǎn)2解析：選B.3．已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，則()A．f(－25)＜f(11)＜f(80)B．f(80)＜f(11)＜f(－25)C．f(11)＜f(80)＜f(－25)D．f(－25)＜f(80)＜f(11)解析：選D.4．定義在R上的函數(shù)f(x)，對(duì)任意x均有f(x)＝f(x＋2)＋f(x－2)且f(2016)＝2016，則f(2028)＝________.解析：∵x∈R，f(x)＝f(x＋2)＋f(x－2)，∴f(x＋4)＝f(x＋2)－f(x)＝－f(x－2)，∴f(x＋6)＝－f(x)，∴f(x＋12)＝f(x)，則函數(shù)f(x)是以12為周期的函數(shù)．又∵f(2016)＝2016，∴f(2028)＝f(2028－12)＝f(2016)＝2016.答案：20165．函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈＝{x|x≠0}，且滿足對(duì)于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．(1)求f(1)的值；(2)判斷f(x)的奇偶性并證明你的結(jié)論；(3)如果f(4)＝1，f(x－1)＜2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，求x的取值范圍．解：(1)∵對(duì)于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)∴f(1)＝0.(2)令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，∴f(－1)＝eq\f(1,2)f(1)＝0.令x1＝－1，x2＝x，有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)為偶函數(shù)．(3)依題設(shè)有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，由(2)知，f(x)是偶函數(shù)，∴f(x－1)＜2?f(|x－1|)＜f(16)．又f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)．∴0＜|x－1|＜16，解得－15＜x＜17且x≠1.∴x的取值范圍是{x|－15＜x＜17且x≠1}．專題二次函數(shù)與冪函數(shù)1．冪函數(shù)(1)冪函數(shù)的定義形如y＝xα(α∈R)的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，α為常數(shù)．(2)五種冪函數(shù)的圖象(3)五種冪函數(shù)的性質(zhì)y＝xy＝x2y＝x3y＝y(tǒng)＝x－1定義域RRR[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)值域R[0，＋∞)R[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性增x∈[0，＋∞)時(shí)，增x∈(－∞，0]時(shí)，減增增x∈(0，＋∞)時(shí)，減x∈(－∞，0)時(shí)，減2.二次函數(shù)(1)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a＜0)圖象定義域R值域eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))單調(diào)性在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上單調(diào)遞減，在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上單調(diào)遞增在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上單調(diào)遞增，在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上單調(diào)遞減奇偶性b＝0時(shí)為偶函數(shù)，b≠0時(shí)為非奇非偶函數(shù)圖象特點(diǎn)①對(duì)稱軸：x＝－eq\f(b,2a)；②頂點(diǎn)：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))(2)二次函數(shù)表達(dá)式的三種形式①一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．②頂點(diǎn)式：y＝a(x＋h)2＋k(其中a≠0，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－h(huán)，k))．③兩根式：y＝a(x－x1)(x－x2)(其中a≠0，x1、x2是二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo))．3．判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)當(dāng)α＜0時(shí)，冪函數(shù)y＝xα是定義域上的減函數(shù)．(×)(2)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是eq\f(4ac－b2,4a).(×)(3)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函數(shù)．(×)(4)當(dāng)n＞0時(shí)，冪函數(shù)y＝xn是定義域上的增函數(shù)．(×)(5)若函數(shù)f(x)＝(k2－1)x2＋2x－3在(－∞，2)上單調(diào)遞增，則k＝±eq\f(\r(2),2).(×)考點(diǎn)一二次函數(shù)解析式命題點(diǎn)1.一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)2.頂點(diǎn)式：y＝a(x－m)2＋n(a≠0)3.零點(diǎn)式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)[例1](1)已知二次函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)0和－2，且它有最小值－1，則f(x)＝________.答案：x2＋2x[方法引航]根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，一般用待定系數(shù)法，規(guī)律如下：1．若函數(shù)f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常數(shù)a，b∈R)是偶函數(shù)，且它的值域?yàn)?－∞，4]，則該函數(shù)的解析式f(x)＝答案：－2x2＋4考點(diǎn)二二次函數(shù)圖象和性質(zhì)命題點(diǎn)1.二次函數(shù)的最值2.二次函數(shù)的單調(diào)性3.二次方程及函數(shù)、不等式恒成立問(wèn)題[例2]已知函數(shù)f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)當(dāng)a＝－2時(shí)，求f(x)的最值；(2)求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使y＝f(x)在區(qū)間[－4,6]上是單調(diào)函數(shù)；解：(1)f(x)的最小值是f(2)＝－1，又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35.(2)由于函數(shù)f(x)的圖象開口向上，對(duì)稱軸是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是單調(diào)函數(shù)，應(yīng)有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.[方法引航]1二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要有三種類型：軸定區(qū)間定、軸動(dòng)區(qū)間定、軸定區(qū)間動(dòng)，不論哪種類型，解決的關(guān)鍵是考查對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系，當(dāng)含有參數(shù)時(shí)，要依據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系進(jìn)行分類討論；2二次函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題則主要依據(jù)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸進(jìn)行分析討論求解；3對(duì)于二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，要綜合應(yīng)用二次函數(shù)與二次方程和二次不等式之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化.1．若本例已知條件不變，求f(x)的最小值．當(dāng)a≥4時(shí)，f(x)min＝19－8a當(dāng)－6≤a≤4時(shí)，f(x)min＝3－a2.當(dāng)a＜－6時(shí)，f(x)min＝39＋12a2．若本例已知條件不變，f(x)＝0在[－4,6]上有兩個(gè)不相等實(shí)根，求a的取值范圍．解：要使f(x)＝0，在[－4,6]上有兩個(gè)不等實(shí)根，需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－a＜0,－4≤－a≤6,f－4≥0,f6≥0))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－a2＜0，,－6≤a≤4，,19－8a≥0，,36＋12a≥0.))解得，－eq\f(13,4)≤a＜－eq\r(3)或eq\r(3)＜a≤eq\f(19,8).3．若本例中f(x)＞0在x∈(0,6]上恒成立，求a的取值范圍．解：x2＋2ax＋3＞0，在x∈(0,6]上恒成立，即2a＞－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,x)))在x∈(0,6]上恒成立，只需求u＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,x)))，x∈(0,6]的最大值．∵x＋eq\f(3,x)≥2eq\r(3)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\r(3)時(shí)，取等號(hào)．∴umax＝－2eq\r(3)，∴2a＞－2eq\r(3)，∴a＞－eq\r(3).綜合運(yùn)用：已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝x2－3x，則函數(shù)g(x)＝f(x)－x＋3的零點(diǎn)的集合為()注重巧解A．{1,3} B．{－3，－1,1,3}C．{2－eq\r(7)，1,3} D．{－2－eq\r(7)，1,3}解析：選D.考點(diǎn)三冪函數(shù)圖象與性質(zhì)命題點(diǎn)1.冪函數(shù)圖象2.冪函數(shù)性質(zhì)[例3](1)冪函數(shù)y＝f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(4,2)，則冪函數(shù)y＝f(x)的圖象是()答案：C(2)已知函數(shù)f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是冪函數(shù)，且x∈(0，＋∞)時(shí)，f(x)是增函數(shù)，則m的值為()A．－1 B．2C．－1或2 D．3答案：B(3)已知f(x)＝，若0＜a＜b＜1，則下列各式正確的是()A．f(a)＜f(b)＜feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＜feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)))B．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＜feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)))＜f(b)＜f(a)C．f(a)＜f(b)＜feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)))＜feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))D．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＜f(a)＜feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)))＜f(b)答案：C[方法引航]1若冪函數(shù)y＝xαα∈R是偶函數(shù)，則α必為偶數(shù).當(dāng)α是分?jǐn)?shù)時(shí)，一般將其先化為根式，再判斷.2若冪函數(shù)y＝xα在0，＋∞上單調(diào)遞增，則α＞0，若在0，＋∞上單調(diào)遞減，則α＜0.,3在比較冪值的大小時(shí)，必須結(jié)合冪值的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較.1．若四個(gè)冪函數(shù)y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐標(biāo)系中的圖象如圖所示，則a，b，c，d的大小關(guān)系是()A．d＞c＞b＞a B．a(chǎn)＞b＞c＞dC．d＞c＞a＞b D．a(chǎn)＞b＞d＞c解析：選B.2．若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．（陷阱）解析：不等式等價(jià)于a＋1＞3－2a＞0或3－2a＜a＋1＜0或a＋1＜0＜3－2解得a＜－1或eq\f(2,3)＜a＜eq\f(3,2).答案：(－∞，－1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(3,2)))[規(guī)范答題]“三個(gè)二次”間的轉(zhuǎn)化二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式統(tǒng)稱為“三個(gè)二次”，它們常有機(jī)結(jié)合在一起，而二次函數(shù)是“三個(gè)二次”的核心，通過(guò)二次函數(shù)的圖象將其貫穿為一體．因此，有關(guān)二次函數(shù)的問(wèn)題，常利用數(shù)形結(jié)合法、分類討論法轉(zhuǎn)化為方程與不等式來(lái)解決．[典例](本題滿分12分)已知f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)(1)求f(x)的最小值；(2)若f(x)≥－1恒成立，求a的范圍；(3)若f(x)＝0的兩根都在[0,1]內(nèi)，求a的范圍．[規(guī)范解答](1)①當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝－2x在[0,1]上遞減，∴f(x)min＝f(1)＝－2.②當(dāng)a>0時(shí)，f(x)＝ax2－2x的圖象的開口方向向上，且對(duì)稱軸為x＝eq\f(1,a).2分ⅰ.當(dāng)0<eq\f(1,a)≤1，即a≥1時(shí)，f(x)＝ax2－2x的圖象的對(duì)稱軸在[0,1]內(nèi)，∴f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,a)))上遞減，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，1))上遞增．∴f(x)min＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝eq\f(1,a)－eq\f(2,a)＝－eq\f(1,a).4分ⅱ.當(dāng)eq\f(1,a)>1，即0<a<1時(shí)，f(x)＝ax2－2x的圖象的對(duì)稱軸在[0,1]的右側(cè)，∴f(x)在[0,1]上遞減．∴f(x)min＝f(1)＝a－2.6分③當(dāng)a<0時(shí)，f(x)＝ax2－2x的圖象的開口方向向下，且對(duì)稱軸x＝eq\f(1,a)<0，在y軸的左側(cè)，∴f(x)＝ax2－2x在[0,1]上遞減．∴f(x)min＝f(1)＝a－2.綜上所述，f(x)min＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2，a<1，,－\f(1,a)，a≥1.))8分(2)只需f(x)min≥－1，即可．由(1)知，當(dāng)a<1時(shí)，a－2≥－1，∴a≥1(舍去)；當(dāng)a≥1時(shí)，－eq\f(1,a)≥－1恒成立，∴a≥1.10分(3)由題意知f(x)＝0時(shí)，x＝0，x＝eq\f(2,a)(a≠0)，0∈[0,1]，∴0<eq\f(2,a)≤1，∴a≥2.12分[規(guī)范建議](1)分清本題討論的層次第一層：函數(shù)類型a＝0和a≠0.第二層：開口方向a>0和a<0.第三層：對(duì)稱軸x＝eq\f(1,a)與區(qū)間[0,1]的位置關(guān)系，左、內(nèi)、右．(2)討論后要有總結(jié)答案．[高考真題體驗(yàn)]1．(2016·高考全國(guó)丙卷)已知?jiǎng)t()A．b＜a＜c B．a(chǎn)＜b＜cC．b＜c＜a D．c＜a＜b解析：選A.2．(2015·高考山東卷)設(shè)a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，則a，b，c的大小關(guān)系是(A．a(chǎn)＜b＜c B．a(chǎn)＜c＜bC．b＜a＜c D．b＜c＜a解析：選C.3．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減的是()A．y＝eq\f(1,x) B．y＝e－xC．y＝－x2＋1 D．y＝lg|x|解析：選C.4．設(shè)函數(shù)則使得f(x)≤2成立的x的取值范圍是________．答案：(－∞，8]5．已知a＞0，b＞0，ab＝8，則當(dāng)a的值為________時(shí)，log2a·log2(2b)答案：4課時(shí)規(guī)范訓(xùn)練A組基礎(chǔ)演練1．若函數(shù)f(x)是冪函數(shù)，且滿足f(4)＝3f(2)，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))的值為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(4,3)解析：選A.2．一次函數(shù)y＝ax＋b與二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c在同一坐標(biāo)系中的圖象大致是()解析：選C.4．如果函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋c對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，都有f(1＋x)＝f(－x)，那么()A．f(－2)＜f(0)＜f(2)B．f(0)＜f(－2)＜f(2)C．f(2)＜f(0)＜f(－2)D．f(0)＜f(2)＜f(－2)解析：選D.5．若f(x)＝x2－ax＋1有負(fù)值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．a(chǎn)≤－2 B．－2＜a＜2C．a(chǎn)＞2或a＜－2 D．1＜a＜3解析：選C.6．若方程x2－11x＋30＋a＝0的兩根均大于5，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．解析：令f(x)＝x2－11x＋30＋a.結(jié)合圖象有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ≥0,f5＞0))，∴0＜a≤eq\f(1,4).答案：0＜a≤eq\f(1,4)7．若二次函數(shù)f(x)＝ax2－4x＋c的值域?yàn)閇0，＋∞)，則a，c滿足的條件是________．解析：由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,\f(4ac－16,4a)＝0，))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,ac－4＝0.))答案：a＞0，ac＝48．已知f(x)＝4x2－mx＋5在[2，＋∞)上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝4x2－mx＋5的單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,8)，＋∞))，所以eq\f(m,8)≤2，即m≤16.答案：(－∞，16]9．已知函數(shù)f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0,1]時(shí)有最大值2，求a的值．解：函數(shù)f(x)＝－x2＋2ax＋1－a＝－(x－a)2＋a2－a＋1，對(duì)稱軸方程為x＝a.(1)當(dāng)a＜0時(shí)，f(x)max＝f(0)＝1－a，∴1－a＝2，∴a＝－1.(2)當(dāng)0≤a≤1時(shí)，f(x)max＝a2－a＋1，∴a2－a＋1＝2，∴a2－a－1＝0，∴a＝eq\f(1±\r(5),2)(舍)．(3)當(dāng)a＞1時(shí)，f(x)max＝f(1)＝a，∴a＝2.綜上可知，a＝－1或a＝2.10．已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b為實(shí)數(shù)，a≠0，x∈R)．(1)若函數(shù)f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(－2,1)，且方程f(x)＝0有且只有一個(gè)根，求f(x)的表達(dá)式；(2)在(1)的條件下，當(dāng)x∈[－1,2]時(shí)，g(x)＝f(x)－kx是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．解：(1)因?yàn)閒(－2)＝1，即4a－2b＋1＝1，所以b＝2因?yàn)榉匠蘤(x)＝0有且只有一個(gè)根，所以Δ＝b2－4a＝所以4a2－4a＝0，所以a＝1，所以b所以f(x)＝(x＋1)2.(2)g(x)＝f(x)－kx＝x2＋2x＋1－kx＝x2－(k－2)x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(k－2,2)))2＋1－eq\f(k－22,4).由g(x)的圖象知：要滿足題意，則eq\f(k－2,2)≥2或eq\f(k－2,2)≤－1，即k≥6或k≤0，∴所求實(shí)數(shù)k的取值范圍為(－∞，0]∪[6，＋∞)．B組能力突破1．若冪函數(shù)y＝(m2－3m＋3)·xm2－m－2的圖象不過(guò)原點(diǎn)，則m的取值是(A．－1≤m≤2 B．m＝1或m＝2C．m＝2 D．m＝1解析：選B.由冪函數(shù)性質(zhì)可知m2－3m＋3＝1，∴m＝2或m＝1.又冪函數(shù)圖象不過(guò)原點(diǎn)，∴m2－m－2≤0，即－1≤m≤2，∴m＝2或m＝2．如圖是二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象的一部分，圖象過(guò)點(diǎn)A(－3,0)，對(duì)稱軸為x＝－1.給出下面四個(gè)結(jié)論：①b2＞4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a其中正確的是()A．②④ B．①④C．②③ D．①③解析：選B.由函數(shù)圖象知，a＜0，與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，∴b2－4ac＞0，即b2＞4ac.對(duì)稱軸x＝－eq\f(b,2a)＝－1，∴2a－b＝0.當(dāng)x＝－1時(shí)，對(duì)應(yīng)最大值，f(－1)＝a－b＋c＞0.∵b＝2a，a＜0，∴5a＜2a，即53．已知冪函數(shù)f(x)＝，若f(a＋1)＜f(10－2a)，則a的取值范圍是________．解析：∵f(x)＝＝eq\f(1,\r(x))(x＞0)，易知x∈(0，＋∞)時(shí)為減函數(shù)，又f(a＋1)＜f(10－2a)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1＞0，,10－2a＞0，,a＋1＞10－2a，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞－1，,a＜5，,a＞3，))∴3＜a＜5.答案：(3,5)5．已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0，b∈R，c∈R)．(1)若函數(shù)f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，F(xiàn)(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx，x＞0，,－fx，x＜0，))求F(2)＋F(－2)的值；(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在區(qū)間(0,1]上恒成立，試求b的取值范圍．解：(1)由已知c＝1，a－b＋c＝0，且－eq\f(b,2a)＝－1，解得a＝1，b＝2.∴f(x)＝(x＋1)2.∴F(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋12，x＞0，,－x＋12，x＜0.))∴F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)f(x)＝x2＋bx，原命題等價(jià)于－1≤x2＋bx≤1在(0,1]上恒成立，即b≤eq\f(1,x)－x且b≥－eq\f(1,x)－x在(0,1]上恒成立．又eq\f(1,x)－x的最小值為0，－eq\f(1,x)－x的最大值為－2.∴－2≤b≤0.故b的取值范圍是[－2,0]．指數(shù)與指數(shù)函數(shù)1．根式(1)根式的概念若xn＝a，則x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*，式子eq\r(n,a)叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù)．(2)a的n次方根的表示xn＝a?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(n,a)當(dāng)n為奇數(shù)且n∈N*時(shí)，,x＝±\r(n,a)當(dāng)n為偶數(shù)且n∈N*時(shí).))2．有理數(shù)指數(shù)冪(1)冪的有關(guān)概念①正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：＝eq\r(n,am)(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；②負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；③0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪無(wú)意義．(2)有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)；②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)；③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．3．指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)y＝axa＞10＜a＜1圖象定義域R值域(0，＋∞)性質(zhì)過(guò)定點(diǎn)(0,1)當(dāng)x＞0時(shí)，y＞1；x＜0時(shí)，0＜y＜1當(dāng)x＞0時(shí)，0＜y＜1；x＜0時(shí)，y＞1在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)4.判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)eq\r(n,an)與(eq\r(n,a))n都等于a(n∈N*)．(×)(2)函數(shù)y＝a－x是R上的增函數(shù)．(×)(3)函數(shù)y＝ax2＋1(a＞1)的值域是(0，＋∞)．(×)(4)當(dāng)x＞0時(shí)，y＝ax＞1.(×)(5)函數(shù)y＝2x－1＋1，過(guò)定點(diǎn)(0,1)．(×)考點(diǎn)一指數(shù)冪的運(yùn)算命題點(diǎn)1.具體實(shí)數(shù)的根式與指數(shù)冪的運(yùn)算2.含字母的根式與指數(shù)冪的運(yùn)算解：[方法引航]指數(shù)冪的化簡(jiǎn)方法1有括號(hào)的先算括號(hào)里的，無(wú)括號(hào)的先做指數(shù)運(yùn)算.2先乘除后加減，負(fù)指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù).3底數(shù)是負(fù)數(shù)，先確定符號(hào)，底數(shù)是小數(shù)，先化成分?jǐn)?shù)，底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的，先化成假分?jǐn)?shù).4若是根式，應(yīng)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，盡可能用冪的形式表示，運(yùn)用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)來(lái)解答.1．化簡(jiǎn)－(－1)0的結(jié)果為()（易錯(cuò)）A．－9 B．7C．－10 D．9解析：選B.－(－1)0＝－1＝8－1＝7.考點(diǎn)二指數(shù)函數(shù)圖象及應(yīng)用命題點(diǎn)1.指數(shù)函數(shù)圖象的變換2.指數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用[例2](1)函數(shù)f(x)＝ax－b的圖象如圖所示，其中a，b為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)＞1，b＜0B．a(chǎn)＞1，b＞0C．0＜a＜1，b＞0D．0＜a＜1，b＜0答案：D(2)k為何值時(shí)，方程|3x－1|＝k無(wú)解？有一解？有兩解？[方法引航]1與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的圖象的研究，往往利用相應(yīng)指數(shù)函數(shù)的圖象，通過(guò)平移、對(duì)稱變換得到其圖象.2一些指數(shù)方程、不等式問(wèn)題的求解，往往利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象數(shù)形結(jié)合求解.1．函數(shù)f(x)＝2|x－1|的圖象是()解析：選B.f(x)＝2|x－1|的圖象是由y＝2|x|的圖象向右平移一個(gè)單位得到，故選B.2．(2017·河北衡水模擬)若曲線|y|＝2x＋1與直線y＝b沒(méi)有公共點(diǎn)，則b的取值范圍是________．解析：曲線|y|＝2x＋1與直線y＝b的圖象如圖所示，由圖象可知：如果|y|＝2x＋1與直線y＝b沒(méi)有公共點(diǎn)，則b應(yīng)滿足的條件是b∈[－1,1]．答案：[－1,1]考點(diǎn)三指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)命題點(diǎn)1.比較指數(shù)式的大小2.解指數(shù)方程或指數(shù)不等式3.與指數(shù)函數(shù)復(fù)合的函數(shù)性質(zhì)[例3](1)(2017·天津模擬)設(shè)y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－1.5，則()A．y3＞y1＞y2 B．y2＞y1＞y3C．y1＞y2＞y3 D．y1＞y3＞y2答案：D(2)不等式2－x2＋2x＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＋4的解集為________．答案：{x|－1＜x＜4}(3)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))ax2－4x＋3①若f(x)有最大值3，求a的值；②若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．解：①令g(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))g(x)，由于f(x)有最大值3，所以g(x)應(yīng)有最小值－1，因此必有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,\f(3a－4,a)＝－1，))解得a＝1，即當(dāng)f(x)有最大值3時(shí)，a的值等于1.②由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，要使y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))g(x)的值域?yàn)?0，＋∞)．應(yīng)使g(x)＝ax2－4x＋3的值域?yàn)镽，因此只能a＝0.(因?yàn)槿鬭≠0，則g(x)為二次函數(shù)，其值域不可能為R)．故a的值為0.[方法引航]1比較兩個(gè)指數(shù)冪大小時(shí)，盡量化同底或同指，當(dāng)?shù)讛?shù)相同，指數(shù)不同時(shí)，構(gòu)造同一指數(shù)函數(shù)，然后比較大??；當(dāng)指數(shù)相同，底數(shù)不同時(shí)，構(gòu)造兩個(gè)指數(shù)函數(shù)，利用圖象比較大小.2解決簡(jiǎn)單的指數(shù)方程或不等式問(wèn)題應(yīng)利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，要特別注意底數(shù)a的取值范圍，并在必要時(shí)進(jìn)行分類討論.3與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的指數(shù)型函數(shù)的定義域、值域最值、單調(diào)性、奇偶性的求解方法，與前面所講一般函數(shù)的求解方法一致，只需根據(jù)條件靈活選擇即可.1．若本例(1)中的三個(gè)數(shù)變?yōu)閥1＝，y2＝，y3＝，則大小關(guān)系如何．解析：構(gòu)造指數(shù)函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))x(x∈R)，由該函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減可得y2＜y3，又y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))x(x∈R)與y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))x(x∈R)之間有如下結(jié)論：當(dāng)x＞0時(shí)，有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))x＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))x，故，即y1＞y3，∴y1＞y3＞y2.答案：D2．在本例(3)中，若a＝－1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間．解：當(dāng)a＝－1時(shí)，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－x2－4x＋3，令g(x)＝－x2－4x＋3，由于g(x)在(－∞，－2)上單調(diào)遞增，在(－2，＋∞)上單調(diào)遞減，而y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))t在R上單調(diào)遞減，所以f(x)在(－∞，－2)上單調(diào)遞減，在(－2，＋∞)上單調(diào)遞增，即函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－2，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，－2)．3．在本例(3)中，若a＝1，求使f(x)＝1的x的解．解析：當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x2－4x＋3＝1∴x2－4x＋3＝0，∴x＝1或x＝3.答案：1或3[方法探究]整體換元法，巧化指數(shù)式指數(shù)式的運(yùn)算化簡(jiǎn)除了定義和法則外，根據(jù)不同的題目結(jié)構(gòu)，可采用整體換元等方法．一、根據(jù)整體化為同指數(shù)[典例1]計(jì)算(eq\r(3)－eq\r(2))2018·(eq\r(3)＋eq\r(2))2019的值為________．[答案]eq\r(3)＋eq\r(2)二、根據(jù)整體化為同底數(shù)[典例2]若67x＝27,603y＝81，則eq\f(3,x)－eq\f(4,y)＝________.期末考試第一題[解析]∵67x＝27,603y＝81，[答案]－2三、根據(jù)整體構(gòu)造代數(shù)式[典例3]已知a2－3a＋1＝0，則＝________.[解析]∵a2－3a＋1＝0，∵a≠0，∴a＋eq\f(1,a)＝3.[答案]eq\r(5)四、根據(jù)整體構(gòu)造常數(shù)ax·a－x＝1[典例4]化簡(jiǎn)eq\f(4x,4x＋2)＋eq\f(41－x,41－x＋2)＝________.[答案]1五、根據(jù)整體換元[典例5]函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＋1在區(qū)間[－3,2]上的值域是________．[解析]因?yàn)閤∈[－3,2]，所以若令t＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，則t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，8))，故y＝t2－t＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4).當(dāng)t＝eq\f(1,2)時(shí)，ymin＝eq\f(3,4)；當(dāng)t＝8時(shí)，ymax＝57.故所求函數(shù)值域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，57)).[答案]eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，57))[高考真題體驗(yàn)]1．已知?jiǎng)t()A．b＜a＜c B．a(chǎn)＜b＜cC．b＜c＜a D．c＜a＜b解析：選A.2．已知定義在R上的函數(shù)f(x)＝2|x－m|－1(m為實(shí)數(shù))為偶函數(shù)．記a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，則a，b，c的大小關(guān)系為(A．a(chǎn)＜b＜c B．c＜a＜bC．a(chǎn)＜c＜b D．c＜b＜a解析：選B.3．下列函數(shù)中，滿足“f(x＋y)＝f(x)f(y)”的單調(diào)遞增函數(shù)是()A．f(x)＝x3 B．f(x)＝3xC．f(x)＝ D．f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x解析：選B.5．已知函數(shù)f(x)＝ax＋b(a＞0，a≠1)的定義域和值域都是[－1,0]，則a＋b＝________.答案：－eq\f(3,2)6．(2015·高考福建卷)若函數(shù)f(x)＝2|x－a|(a∈R)滿足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(x)在[m，＋∞)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)m的最小值等于________．答案：1課時(shí)規(guī)范訓(xùn)練A組基礎(chǔ)演練1．函數(shù)y＝ax－a(a＞0，且a≠1)的圖象可能是()解析：選C.2．在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝2x與y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的圖象之間的關(guān)系是()A．關(guān)于y軸對(duì)稱 B．關(guān)于x軸對(duì)稱C．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 D．關(guān)于直線y＝x對(duì)稱解析：選A4．函數(shù)y＝2x－2－x是()A．奇函數(shù)，在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增B．奇函數(shù)，在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減C．偶函數(shù)，在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞增D．偶函數(shù)，在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞減解析：選A.5．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)x＞0，,exx≤0，))若F(x)＝f(x)＋x，x∈R，則F(x)的值域?yàn)?)A．(－∞，1] B．[2，＋∞)C．(－∞，1]∪[2，＋∞) D．(－∞，1)∪(2，＋∞)解析：選C.6．指數(shù)函數(shù)y＝(2－a)x在定義域內(nèi)是減函數(shù)，則a的取值范圍是________．解析：由題意知0＜2－a＜1，解得1＜a＜2.答案：(1,2)7．計(jì)算：＝________.答案：28．若函數(shù)f(x)＝ax－x－a(a＞0，且a≠1)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．答案：(1，＋∞)9．設(shè)a＞0且a≠1，函數(shù)y＝a2x＋2ax－1在[－1,1]上的最大值是14，求a的值．解：令t＝ax(a＞0且a≠1)，則原函數(shù)化為y＝(t＋1)2－2(t＞0)．①當(dāng)0＜a＜1時(shí)，x∈[－1,1]，t＝ax∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a，\f(1,a)))，此時(shí)f(t)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a，\f(1,a)))上為增函數(shù)．所以f(t)max＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋1))2－2＝14.所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋1))2＝16，所以a＝－eq\f(1,5)或a＝eq\f(1,3).又因?yàn)閍＞0，所以a＝eq\f(1,3).②當(dāng)a＞1時(shí)，x∈[－1,1]，t＝ax∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，a))，此時(shí)f(t)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，a))上為增函數(shù)．所以f(t)max＝f(a)＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3(a＝－5舍去)．綜上得a＝eq\f(1,3)或3.10．已知函數(shù)f(x)＝b·ax(其中a，b為常量且a＞0，a≠1)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,6)，B(3,24)．(1)試確定f(x)；(2)若不等式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)))x－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解：(1)∵f(x)＝b·ax的圖象過(guò)點(diǎn)A(1,6)，B(3,24)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b·a＝6，①,b·a3＝24，②))②÷①得a2＝4，又a＞0且a≠1，∴a＝2，b＝3，∴f(x)＝3·2x.(2)由(1)知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)))x－m≥0在(－∞，1]上恒成立化為m≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x在(－∞，1]上恒成立．令g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x，則g(x)在(－∞，1]上單調(diào)遞減，∴m≤g(x)min＝g(1)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＝eq\f(5,6)，故所求實(shí)數(shù)m的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(5,6))).B組能力突破1．偶函數(shù)f(x)滿足f(x－1)＝f(x＋1)，且在x∈[0,1]時(shí)，f(x)＝x，則關(guān)于x的方程f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))x在x∈[0,4]上解的個(gè)數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4解析：選D.2．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－3ax＋10a，x≤7，,ax－7，x＞7))是定義域上的遞減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2))) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(6,11)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3))) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(6,11)))解析：選B.3．已知f(x)＝eq\f(9x－1,3x)＋1，且f(a)＝3，則f(－a)的值為________．結(jié)論：答案：－14．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(a,a2－1)(ax－a－x)(a＞0，a≠1)(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若m∈R滿足f(m)＞f(m2＋2m－2)，求m解：(1)當(dāng)a＞1時(shí)，a2－1＞0，y＝ax為增函數(shù)，y＝a－x為減函數(shù)，從而y＝ax－a－x為增函數(shù)．所以f(x)為增函數(shù)．當(dāng)0＜a＜1時(shí)，a2－1＜0，y＝ax為減函數(shù)，y＝a－x為增函數(shù)，從而y＝ax－a－x為減函數(shù)．所以f(x)為增函數(shù)．故當(dāng)a＞0且a≠1時(shí)，f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增．(2)由(1)知函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增．∴由f(m)＞f(m2＋2m－2)得m＞m2＋2m－即m2＋m－2＜0，(m＋2)(m－1)＜0，∴－2＜m＜1.故m的范圍為(－2,1)．對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)1．對(duì)數(shù)的概念如果ax＝N(a＞0且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)．2．對(duì)數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法則(1)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則：如果a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④logeq\o\al(m,a)Mn＝eq\f(n,m)logaM.(2)對(duì)數(shù)的性質(zhì)：①alogaN＝N；②logaaN＝N(a＞0且a≠1)．(3)對(duì)數(shù)的重要公式：①換底公式：logbN＝eq\f(logaN,logab)(a，b均大于零且不等于1)；②logab＝eq\f(1,logba)，推廣logab·logbc·logcd＝logad.3．對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a＞10＜a＜1圖象性質(zhì)(1)定義域：(0，＋∞)(2)值域：R(3)過(guò)定點(diǎn)(1,0)，即x＝1時(shí)，y＝0(4)當(dāng)x＞1時(shí)，y＞0當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y＜0(5)當(dāng)x＞1時(shí)，y＜0當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y＞0(6)在(0，＋∞)上是增函數(shù)(7)在(0，＋∞)上是減函數(shù)4.反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝ax與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱．5．判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)若MN＞0，則loga(MN)＝logaM＋logaN.(×)(2)函數(shù)y＝lneq\f(1＋x,1－x)與y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定義域相同．(√)其它底數(shù)呢？(3)對(duì)