【數(shù)學(xué)課件】分類變量與列聯(lián)表 2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)同步課件(人教A版2019選擇性必修第三冊)

第八章

成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析8.3列聯(lián)表與獨立性檢驗8.3.1分類變量與列聯(lián)表新課導(dǎo)入吸煙的危害

吸煙已成為全球范圍內(nèi)嚴(yán)重危害健康、危害人類生存環(huán)境、降低人們的生活質(zhì)量、縮短人類壽命的緊迫問題．為此，聯(lián)合國固定每年5月31日為全球戒煙日．

為什么將世界無煙日改為5月31日呢？是因為第二天是國際兒童節(jié)，希望下一代免受煙草危害。

世界無煙日的意義是宣揚不吸煙的觀念。而每年皆會有一個中心主題。例如：2019年世界無煙日的重點是“煙草和肺部健康”吸煙是否會增加患肺癌的風(fēng)險？怎樣用數(shù)學(xué)知識說明呢？新知講解

例如,就讀不同學(xué)校是否對學(xué)生的成績有影響,不同班級學(xué)生用于體育鍛煉的時間是否有差別,吸煙是否會增加患肺癌的風(fēng)險,等等,本節(jié)將要學(xué)習(xí)的獨立性檢驗方法為我們提供了解決這類問題的方案.

在現(xiàn)實生活中，人們經(jīng)常需要回答一定范圍內(nèi)的兩種現(xiàn)象或性質(zhì)之間是否存在關(guān)聯(lián)性或互相影響的問題.在討論上述問題時,為了表述方便,我們經(jīng)常會使用一種特殊的隨機變量,以區(qū)別不同的現(xiàn)象或性質(zhì),這類隨機變量稱為分類變量.新知講解變量數(shù)值變量分類變量數(shù)值變量的取值為實數(shù).其大小和運算都有實際含義.例如:人的身高、樹的胸徑、樹的高度、短跑100m世界紀(jì)錄和創(chuàng)紀(jì)錄的時間等兩個數(shù)值變量之間的關(guān)系：回歸分析法；由一個變量的變化去推測另一個變量的變化分類變量的取值可以用實數(shù)來表示；這些數(shù)值只作為編號使用，用來表示不同的類別；并沒有通常的大小和運算意義。例：性別、是否吸煙、是否患肺癌、國籍等例如,學(xué)生所在的班級可以用1,2,3等表示,男性、女性可以用1,0表示本節(jié)我們主要討論取值是{0,1}的分類變量的關(guān)聯(lián)性問題.新知探究問題1

為了有針對性地提高學(xué)生體育鍛煉的積極性,某中學(xué)需要了解性別因素是否對本校學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有影響,為此對學(xué)生是否經(jīng)常鍛煉的情況進(jìn)行了普查,全校學(xué)生的普查數(shù)據(jù)如下:523名女生中有331名經(jīng)常鍛煉;601名男生中有473名經(jīng)常鍛煉.你能利用這些數(shù)據(jù),說明該校女生和男生在體育鍛煉的經(jīng)常性方面是否存在差異嗎?

這是一個簡單的統(tǒng)計問題,最直接的解答方法是,比較經(jīng)常鍛煉的學(xué)生在女生和男生中的比率.解法1：（由頻率估計概率）結(jié)論：該校的女生和男生在體育鍛煉的經(jīng)常性方面存在差異，男生更經(jīng)常鍛煉。

新知探究上面的問題還可以通過建立一個古典概型，使用條件概率的語言，給出另外一種解答方法.解法2：（借助條件概率）用Ω表示該校全體學(xué)生構(gòu)成的集合，則Ω為樣本空間，定義一對分類變量X和Y如下:對于Ω中的每一名學(xué)生，分別令若從該校女生和男生中各隨機選取一名學(xué)生，那么該女生屬于經(jīng)常鍛煉群體的概率為而該男生屬于經(jīng)常鍛煉群體的概率為我們希望通過比較條件概率P(Y=1|X=0)和P(Y=1|X=1)回答上面的問題性別對體育鍛煉的經(jīng)常性沒有影響：性別對體育鍛煉的經(jīng)常性有影響：新知探究為了清楚起見，我們用表格整理數(shù)據(jù)，如下表所示.性別鍛煉合計不經(jīng)常(Y=0)經(jīng)常(Y=1)女生(X=0)192331523男生(X=1)128473601合計3208041124{X=0,Y=1}：事件{X=0}和{Y=1}的積事件{X=1,Y=1}：事件{X=1}和{Y=1}的積事件結(jié)論：該校的女生和男生在體育鍛煉的經(jīng)常性方面存在差異，男生更經(jīng)常鍛煉。

在上面問題的兩種解答中，使用了學(xué)校全部學(xué)生的調(diào)查數(shù)據(jù)，利用這些數(shù)據(jù)能夠完全確定解答問題所需的比率和條件概率.然而,對于大多數(shù)實際問題，我們無法獲得所關(guān)心的全部對象的數(shù)據(jù)，因此無法準(zhǔn)確計算出有關(guān)的比率或條件概率.

在這種情況下，上述古典概型和條件概率的觀點為我們提供了一個解決問題的思路.比較簡單的做法是利用隨機抽樣獲得一定數(shù)量的樣本數(shù)據(jù)，再利用隨機事件發(fā)生的頻率穩(wěn)定于概率的原理對問題答案作出推斷.（用樣本估計總體）方法歸納概念生成

列聯(lián)表在實踐中，由于保存原始數(shù)據(jù)的成本較高，人們經(jīng)常按研究問題的需要，將數(shù)據(jù)分類統(tǒng)計，并做成表格加以保存.我們將形如下表這種形式的數(shù)據(jù)統(tǒng)計表稱為2×2列聯(lián)表.2×2列聯(lián)表給出了成對分類變量數(shù)據(jù)的交叉分類頻數(shù).組別甲(Y＝0)乙(Y＝1)合計A(X＝0)aba＋bB(X＝1)cdc＋d合計a＋cb＋da＋b＋c＋d

以上表為例,2×2列聯(lián)包含了X和Y的如下信息:最后一行的前兩個數(shù)分別是事件{Y=0}和{Y=1}中樣本點的個數(shù);

最后一列的前兩個數(shù)分別是事件{X=0}和{X=1}中樣本點的個數(shù);中間的四個格中的數(shù)是表格的核心部分,給出了事件{X=x,Y=y}(x,y=0,1)中樣本點的個數(shù);

右下角格中的數(shù)是樣本空間中樣本點的總數(shù).新知探究例1

為比較甲、乙兩所學(xué)校學(xué)生的數(shù)學(xué)水平，采用簡單隨機抽樣的方法抽取88名學(xué)生.通過測驗得到了如下數(shù)據(jù):甲校43名學(xué)生中有10名數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀;乙校45名學(xué)生中有7名數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀.試分析兩校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率之間是否存在差異.解：(用Ω表示兩所學(xué)校的全體學(xué)生構(gòu)成的集合.考慮以Ω為樣本空間的古典概型)

對于Ω中每一名學(xué)生，定義分類變量X和Y如下：合計乙校(X=1)甲校(X=0)優(yōu)秀(Y=1)不優(yōu)秀(Y=0)合計數(shù)學(xué)成績學(xué)校

我們將所給數(shù)據(jù)整理成2×2列聯(lián)表(單位：人).新知探究甲校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績不優(yōu)秀和數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的頻率分別為乙校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績不優(yōu)秀和數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的頻率分別為由2×2列聯(lián)表可得新知探究還可以用等高堆積條形圖直觀地展示上述計算結(jié)果：左邊的藍(lán)色和紅色條的高度分別是甲校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績不優(yōu)秀和數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的頻率;右邊的藍(lán)色和紅色條的高度分別是乙校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績不優(yōu)秀和數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的頻率.通過比較發(fā)現(xiàn)，兩個學(xué)校學(xué)生抽樣數(shù)據(jù)中數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的頻率存在差異，甲校的頻率明顯高于乙校的頻率.依據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，我們可以推斷：P(Y=1|X=0)>P(Y=1|X=1).也就是說，如果從甲校和乙校各隨機選取一名學(xué)生，那么甲校學(xué)生數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的概率大于乙校學(xué)生數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的概率，因此，可以認(rèn)為兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率存在差異，甲校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率比乙校學(xué)生的高.問題2你認(rèn)為“兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率存在差異”這一結(jié)論是否有可能是錯誤的?

新知探究有可能事實上，“兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率存在差異”這個結(jié)論是根據(jù)兩個頻率間存在差異推斷出來的.有可能出現(xiàn)這種情況:在隨機抽取的這個樣本中，兩個頻率間確實存在差異，但兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率實際上是沒有差別的.對于隨機樣本而言，因為頻率具有隨機性，頻率與概率之間存在誤差，所以我們的推斷可能犯錯誤，而且在樣本容量較小時，犯錯誤的可能性會較大.因此，需要找到一種更為合理的推斷方法，同時也希望能對出現(xiàn)錯誤推斷的概率有一定的控制或估算.后面我們將討論犯這種錯誤的概率大小問題.鞏固練習(xí)1.成語“名師出高徒”可以解釋為“知名老師指導(dǎo)出高水平學(xué)生的概率較大”，即老師的名聲與學(xué)生的水平之間有關(guān)聯(lián).你能舉出更多的描述生活中兩種屬性或現(xiàn)象之間關(guān)聯(lián)的成語嗎?解：例如水漲船高、登高望遠(yuǎn)等.課本127頁2.例1中的隨機抽樣數(shù)據(jù)是否足夠確定與X和Y有關(guān)的所有概率和條件概率?為什么?解：不能.因為隨機抽樣得到的樣本具有隨機性，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算出來的頻率也具有隨機性.在統(tǒng)計推斷中，依據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，可以利用頻率推斷與X和Y有關(guān)的概率和條件概率，但由于頻率具有隨機性，這種推斷可能犯錯誤.因此，隨機抽樣數(shù)據(jù)不足以確定與X和Y有關(guān)的所有概率和條件概率.鞏固練習(xí)3.根據(jù)有關(guān)規(guī)定，香煙盒上必須印上“吸煙有害健康”的警示語.那么(1)吸煙是否對每位煙民一定會引發(fā)健康問題?(2)有人說吸煙不一定引起健康問題，因此可以吸煙.這種說法對嗎?解：(1)從已掌握的知識來看，吸煙會損害身體的健康.但除了吸煙之外，身體的健康還受許多其他隨機因素的影響，它是很多因素共同作用的結(jié)果.吸煙導(dǎo)致患病的案例非常普遍，但也可以找到長壽的吸煙者.因此健康與吸煙有關(guān)聯(lián)，即從統(tǒng)計意義上講，吸煙會損害健康，但不一定會對每位煙民都引起健康問題.(2)這種說法不正確.雖然吸煙不一定會對每個人都引起健康問題，但根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，吸煙比不吸煙引起健康問題的可能性大，因此“吸煙不一定引起健康問題，因此可以吸煙”的說法是不對的.課本127頁鞏固練習(xí)課本127頁4.假設(shè)在本小節(jié)“問題”中，只是隨機抽取了44名學(xué)生，按照性別和體育鍛煉情況整理為如下的列聯(lián)表:性別鍛煉合計不經(jīng)常經(jīng)常女生51520男生61824合計113344(1)據(jù)此推斷性別因素是否影響學(xué)生鍛煉的經(jīng)常性；(2)說明你的推斷結(jié)論是否可能犯錯，并解釋原因.解：(1)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，計算得男女生中不經(jīng)常鍛煉和經(jīng)常鍛煉的頻率分別為通過對比發(fā)現(xiàn)，男生中不經(jīng)常鍛煉和經(jīng)常鍛煉的頻率與女生中不經(jīng)常鍛煉和經(jīng)常鍛煉的頻率分別相等，依據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，可以推斷P(Y=1|X=0)=P(Y=1|X=1).因此，可以認(rèn)為性別對體育鍛煉的經(jīng)常性沒有影響.(2)推斷可能犯錯誤.因為樣本是通過隨機抽樣得到的，頻率具有隨機性，因此推斷可能犯錯誤.1.分類變量

用以區(qū)別不同的現(xiàn)象或性質(zhì)的一種特殊的隨機變量，稱為分