中學(xué)《數(shù)學(xué)》專項(xiàng)試題06-《平行四邊形》證明、解答題重點(diǎn)題型分類（有解析）

中學(xué)《數(shù)學(xué)》專項(xiàng)試題06-《平行四邊形》證明、解答題重點(diǎn)題型分類（有解析）中學(xué)《數(shù)學(xué)》專項(xiàng)試題06-《平行四邊形》證明、解答題重點(diǎn)題型分類（有解析）PAGEPAGE1中學(xué)《數(shù)學(xué)》專項(xiàng)試題06-《平行四邊形》證明、解答題重點(diǎn)題型分類（有解析）專題06《平行四邊形》證明、解答題重點(diǎn)題型分類專題簡(jiǎn)介：本份資料專攻《平行四邊形》中"平行四邊形的判定及性質(zhì)”、"菱形的判定”、"矩形的判定”、"正方形的判定”、"中點(diǎn)四邊形”、"四邊形中的最值問題”、"四邊形中的折疊問題”、"四邊形中的旋轉(zhuǎn)問題”證明、解答題重點(diǎn)題型;適用于老師給學(xué)生作復(fù)習(xí)培訓(xùn)時(shí)使用或者考前刷題時(shí)使用.考點(diǎn)1：平行四邊形的判定及性質(zhì)方法點(diǎn)撥：(1)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形;(2)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形;(3)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形;(4)兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形;(5)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.1．已知點(diǎn)E、F分別為平行四邊形ABCD的邊AD、BC的中點(diǎn),求證：四邊形EBFD為平行四邊形．【答案】見解析【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得AD=BC,AD∥BC,再由中點(diǎn)的定義得DE=AD,BF=BC,則DE=BF,DE∥BF,即可得出結(jié)論．【詳解】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD＝BC,AD∥BC,∵點(diǎn)E、F分別為平行四邊形ABCD的邊AD、BC的中點(diǎn),∴DE＝AD,BF＝BC,∴DE＝BF,DE∥BF,∴四邊形EBFD為平行四邊形．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì),熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．如圖,在中,,點(diǎn)E為內(nèi)一點(diǎn),且為等邊三角形．(1)用尺規(guī)完成以下基本作圖：以BC為邊在內(nèi)作等邊．(保留作圖痕跡,不寫作法,不下結(jié)論)(2)在(1)所作圖形中,連接CE、AF,猜想四邊形AFCE的形狀,并證明你的猜想．【答案】(1)見解析(2)平行四邊形,證明見解析【分析】(1)作,在射線上截取,則等邊即為所求(2)證明進(jìn)而可得,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)可得,進(jìn)而證明四邊形是平行四邊形．(1)如圖所示,(2)如圖,連接CE、AF,四邊形是平行四邊形,證明如下,,是等邊三角形,四邊形是平行四邊形,四邊形是平行四邊形,,,在和中四邊形是平行四邊形【點(diǎn)睛】本題考查了作三角形,平行四邊形的性質(zhì)與判定,等邊三角形的性質(zhì),全等三角形的性質(zhì)與判定,正確的作圖是解題的關(guān)鍵．3．如圖,平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于О點(diǎn),于E點(diǎn),于F．(1)求證：四邊形DEBF為平行四邊形;(2)若,,,求的面積．【答案】(1)證明見解析(2)33【分析】(1)先根據(jù)平行線的判定可得,再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得,然后根據(jù)三角形全等的判定定理證出,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得,最后根據(jù)平行四邊形的判定即可得證;(2)先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得,再根據(jù)勾股定理可得,從而可得,結(jié)合可得,然后根據(jù)線段的和差、勾股定理可得,最后根據(jù)直角三角形的面積公式即可得．(1)證明：,,四邊形是平行四邊形,,,在和中,,,,又,四邊形為平行四邊形;(2)解：四邊形是平行四邊形,,,,,即,,即,①,又②,聯(lián)立①、②得：,,則的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn),熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．4．如圖,在平行四邊形ABCD中,E、F是對(duì)角線AC所在直線上的兩點(diǎn),且AE=CF．求證：四邊形EBFD是平行四邊形．【答案】見解析【分析】連接BD交AC于點(diǎn)O,根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形,可證四邊形EBFD是平行四邊形．【詳解】解：證明：如圖,連接BD交AC于點(diǎn)O,∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴OA=OC,OB=OD,又∵AE=CF,∴OA-AE=OC-CF,即OE=OF,∴四邊形EBFD是平行四邊形．【點(diǎn)睛】此題主要考查平行四邊形的判定,熟練掌握平行四邊形的判定是解題的關(guān)鍵．5．如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,,且分別交對(duì)角線于點(diǎn)E、F,連接ED、BF．(1)求證：四邊形BEDF是平行四邊形;(2)若AE＝EF,請(qǐng)直接寫出圖2中面積等于四邊形ABCD的面積的的所有三角形．【答案】(1)證明見解析;(2)【分析】(1)先證明再證明可得從而有于是可得結(jié)論;(2)先證明再證明,從而可得結(jié)論.【詳解】證明：(1)四邊形ABCD是平行四邊形,,四邊形BEDF是平行四邊形.(2)由(1)得：四邊形BEDF是平行四邊形,四邊形ABCD是平行四邊形,,【點(diǎn)睛】本題考查的是平行四邊形的判定與性質(zhì),熟練的運(yùn)用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形是證明的關(guān)鍵,第(2)問先確定面積為平行四邊形ABCD的的三角形是解題的關(guān)鍵.6．已知：△ABC,AD為BC邊上的中線,點(diǎn)M為AD上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合),過點(diǎn)M作ME∥AB,過點(diǎn)C作CE∥AD,連接AE．(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)D重合時(shí),求證：①△ABM≌△EMC;②四邊形ABME是平行四邊形(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)M不與點(diǎn)D重合時(shí),試判斷四邊形ABME還是平行四邊形嗎?如果是,請(qǐng)給出證明;如果不是,請(qǐng)說明理由;(3)如圖3,延長(zhǎng)BM交AC于點(diǎn)N,若點(diǎn)M為AD的中點(diǎn),求的值．【答案】(1)①見解析;②見解析(2)是,見解析(3)【分析】(1)①根據(jù)DE∥AB,得出∠EDC＝∠ABM,根據(jù)CE∥AM,∠ECD＝∠ADB,根據(jù)AM是△ABC的中線,且D與M重合,得出BD＝DC,再證△ABD≌△EDC(ASA)即可;②由①得△ABD≌△EDC,得出AB＝ED,根據(jù)AB∥ED,即可得出結(jié)論．(2)如圖,設(shè)延長(zhǎng)BM交EC于點(diǎn)F,過M作ML∥DC交CF于L,先證四邊形MDCL為平行四邊形,得出ML=DC=BD,可證△BMD≌△MFL(AAS),再證△ABM≌△EMF(ASA),可證四邊形ABME是平行四邊形;(3)過點(diǎn)D作DG∥BN交AC于點(diǎn)G,根據(jù)M為AD的中點(diǎn),DG∥MN,得出MN為三角形中位線MN＝DG,根據(jù)D為BC的中點(diǎn),得出DG＝BN,可得MN＝BN,可求即可．(1)證明：①∵DE∥AB,∴∠EDC＝∠ABM,∵CE∥AM,∴∠ECD＝∠ADB,∵AM是△ABC的中線,且D與M重合,∴BD＝DC,在△ABD與△EDC中,,∴△ABD≌△EDC(ASA),即△ABM≌△EMC;②由①得△ABD≌△EDC,∴AB＝ED,∵AB∥ED,∴四邊形ABDE是平行四邊形;(2)成立．理由如下：如圖,設(shè)延長(zhǎng)BM交EC于點(diǎn)F,過M作ML∥DC交CF于L,∵AD∥EC,ML∥DC,∴四邊形MDCL為平行四邊形,∴ML=DC=BD,∵M(jìn)L∥DC,∴∠FML=∠MBD,∵AD∥EC,∴∠BMD=∠MFL,∠AMB=∠EFM,在△BMD和△MFL中,∴△BMD≌△MFL(AAS),∴BM=MF,∵AB∥ME,∴∠ABM=∠EMF,在△ABM和△EMF中,∴△ABM≌△EMF(ASA),∴AB＝EM,∵AB∥EM,∴四邊形ABME是平行四邊形;(3)解：過點(diǎn)D作DG∥BN交AC于點(diǎn)G,∵M(jìn)為AD的中點(diǎn),DG∥MN,∴MN＝DG,∵D為BC的中點(diǎn),∴DG＝BN,∴MN＝BN,∴,由(2)知四邊形ABME為平行四邊形,∴BM＝AE,∴．【點(diǎn)睛】本題考查三角形中線性質(zhì),平行線性質(zhì),三角形全等判定與性質(zhì),平行四邊形判定,三角形中位線性質(zhì),掌握三角形中線性質(zhì),平行線性質(zhì),三角形全等判定與性質(zhì),平行四邊形判定,三角形中位線性質(zhì)是解題關(guān)鍵．考點(diǎn)2：菱形的判定方法點(diǎn)撥：菱形的判定方法有三種：(1)定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.(2)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.(3)四條邊相等的四邊形是菱形.注意：前兩種方法都是在平行四邊形的基礎(chǔ)上外加一個(gè)條件來判定菱形,后一種方法是在四邊形的基礎(chǔ)上加上四條邊相等.1．尺規(guī)作圖并回答問題：(保留作圖痕跡)已知：如圖,四邊形ABCD是平行四邊形．求作：菱形AECF,使點(diǎn)E,F分別在BC,AD上．請(qǐng)回答：在你的作法中,判定四邊形AECF是菱形的依據(jù)是．【答案】證明見解析;鄰邊相等的平行四邊形是菱形,對(duì)角線垂直的平行四邊形是菱形．【分析】根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形或?qū)蔷€垂直的平行四邊形是菱形證明即可．【詳解】解：如圖,四邊形AECF即為所求作．理由：四邊形ABCD是平行四邊形,∴AE∥CF,∴∠EAO=∠FCO,∵EF垂直平分線段AC,∴OA=OC,在△AEO和△CFO中,,∴△AEO≌△CFO(ASA),∴AE=CF,∴四邊形AECF是平行四邊形,∵EA=EC或AC⊥EF,∴四邊形AECF是菱形．故答案為：鄰邊相等的平行四邊形是菱形,對(duì)角線垂直的平行四邊形是菱形．【點(diǎn)睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖,平行四邊形的性質(zhì),菱形的判定等知識(shí),解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí),屬于中考常考題型．2．如圖,直線,線段分別與直線、交于點(diǎn)、點(diǎn),滿足．(1)使用尺規(guī)完成基本作圖：作線段的垂直平分線交于點(diǎn),交于點(diǎn),交線段于點(diǎn),連接、、、．(保留作圖痕跡,不寫做法,不下結(jié)論)(2)求證：四邊形為菱形．(請(qǐng)補(bǔ)全下面的證明過程)證明：____①____垂直平分,∴____②________③____∴四邊形是___④_____∴四邊形是菱形(______⑤__________)(填推理的依據(jù))．【答案】(1)見解析(2)①;②;③;④平行四邊形;⑤對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形【分析】(1)分別以A、D為圓心,大于AD的一半長(zhǎng)為半徑,畫弧,兩弧交于兩點(diǎn),然后過這兩點(diǎn)作直線交l1于E,交l2于F,直線EF為線段AD的垂直平分線,連接、、、即可;(2)：根據(jù),內(nèi)錯(cuò)角相等得出∠2①,根據(jù)垂直平分,得出,,可證②△EOC,根據(jù)全等三角形性質(zhì)得出OF③,再證,根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形判定四邊形是平行四邊形④,根據(jù)對(duì)角線互相垂直即可得出四邊形是菱形(對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形⑤)．(1)解：分別以A、D為圓心,大于AD的一半長(zhǎng)為半徑,畫弧,兩弧交于兩點(diǎn),然后過這兩點(diǎn)作直線交l1于E,交l2于F,直線EF為線段AD的垂直平分線,連接、、、即可;如圖所示(2)證明：,∠2①,垂直平分,,,∴②△EOC,OF③,,,,∴四邊形是平行四邊形④,,∴四邊形是菱形(對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形⑤),故答案為：①;②;③;④平行四邊形;⑤對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形．【點(diǎn)睛】本題考查尺規(guī)作圖,垂直平分線性質(zhì),三角形全等判定與性質(zhì),菱形的判定,掌握尺規(guī)作圖,垂直平分線性質(zhì),三角形全等判定與性質(zhì),菱形的判定是解題關(guān)鍵．3．如圖,在△ABC中,∠ACB＝90°,D,E分別是邊AB,AC的中點(diǎn),BC＝BD,點(diǎn)F在ED的延長(zhǎng)線上,且BF//CD．(1)求證：四邊形CBFD為菱形;(2)連接CF,與BD相交于點(diǎn)O,若CF＝4,求AC的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)AC的長(zhǎng)為【分析】(1)先證四邊形是平行四邊形,再由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得,然后證出,即可得出結(jié)論;(2)由菱形的性質(zhì)得,,再由等邊三角形的性質(zhì)得,,然后由含角的直角三角形的性質(zhì)得,,進(jìn)而得出．(1)解：證明：,分別是邊,的中點(diǎn),是的中位線,,,四邊形是平行四邊形,,是邊的中點(diǎn),,又,,平行四邊形為菱形;(2)解：連接,交于于,如圖,由(1)得：四邊形為菱形,,,,是等邊三角形,,,,,,,．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí),解題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形的判定與性質(zhì),證出．4．如圖,矩形,延長(zhǎng)至點(diǎn),使,連接,,過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn),連接．(1)求證：四邊形是菱形;(2)連接,當(dāng),時(shí),求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)【分析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)得到∠ADC＝90°,求得AE＝AC,EF＝CF,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠EAD＝∠AFC,求得AE＝EF＝AC＝CF,于是得到結(jié)論;(2)由直角三角形的性質(zhì)可求AB＝2,BC＝2,由勾股定理可求解．(1)證明：四邊形是矩形,,,又,,,,,,,,,四邊形是菱形;(2)解：,,,,,,．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定,矩形的性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),勾股定理,線段垂直平分線的性質(zhì),正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．5．如圖,四邊形ABCD是菱形,點(diǎn)為對(duì)角線AC的中點(diǎn),點(diǎn)在AB的延長(zhǎng)線上,,垂足為,點(diǎn)在AD的延長(zhǎng)線上,,垂足為．(1)求證：四邊形CEHF是菱形;(2)已知四邊形CEHF的周長(zhǎng)為,求菱形ABCD的面積．【答案】(1)見解析;(2)【分析】(1)由菱形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)定理可得CE=CF,再由直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)可得,由即可得△CEH是等邊三角形,從而可證得四邊形CEHF是菱形;(2)連接BD,由菱形的周長(zhǎng)可得CE=CH=4,可得AC=8;再由及菱形的性質(zhì)可得,在Rt△BCH中利用銳角三角函數(shù)即可求得BH的長(zhǎng),從而求得BD的長(zhǎng),最后可求得菱形ABCD的面積．【詳解】(1)∵四邊形ABCD是菱形,∴AC平分∠BAD．∵,,∴．∵為對(duì)角線AC的中點(diǎn),∴．∵,∴△CEH是等邊三角形,∴,∴,∴四邊形CEHF是菱形．(2)連接BD,如圖所示．∵四邊形ABCD是菱形,∴BD⊥AC,AB=BC,∴∠BCA=∠EAC．∵四邊形CEHF是菱形,周長(zhǎng)為16,∴,∴．又∵,,∴,∴在中,,∴,∴菱形ABCD的面積．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì),直角三角形斜邊上中線的性質(zhì),銳角三角函數(shù),求菱形的面積,等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí),靈活運(yùn)用這些知識(shí)是解答問題的關(guān)鍵．6．如圖,在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=,∠C=30°．點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng),當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)D、E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒(t＞0)．過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F,連接DE、EF．(1)求證：AE=DF;(2)四邊形AEFD能夠成為菱形嗎?如果能,求出相應(yīng)的t值;如果不能,說明理由．(3)當(dāng)t為何值時(shí),△DEF為直角三角形?請(qǐng)說明理由．【答案】(1)見解析;(2)秒;(3)秒或4秒【分析】(1)在△DFC中,∠DFC=90°,∠C=30°,由已知條件求證;(2)求得四邊形AEFD為平行四邊形,若使?AEFD為菱形則需要滿足的條件及求得;(3)利用分類討論的思想：①∠EDF=90°時(shí),四邊形EBFD為矩形,在直角三角形AED中求得AD=2AE即求得;②∠DEF=90°時(shí),由(2)知EF∥AD,則得∠ADE=∠DEF=90°,求得AD=AE·cos60°列式得;③∠EFD=90°時(shí),此種情況不存在.【詳解】解：(1)證明：在△DFC中,∠DFC=90°,∠C=30°,DC=2t,∴DF=t,又∵AE=t,∴AE=DF;(2)能.理由如下：∵AB⊥BC,DF⊥BC,∴AE∥DF,又AE=DF,∴四邊形AEFD為平行四邊形,∵∴AC=2AB=10,∴AD=AC-DC=10-2t,若使?AEFD為菱形,則需AE=AD,即t=10-2t,即當(dāng)時(shí),四邊形AEFD為菱形;(3)分三種情況討論：①∠EDF=90°時(shí),四邊形EBFD為矩形.在Rt△AED中,∠ADE=∠C=30°,∴AD=2AE,即10-2t=2t,;②∠DEF=90°時(shí),由(2)四邊形AEFD為平行四邊形知EF∥AD,∴∠ADE=∠DEF=90°．∵∠A=90°-∠C=60°,∴AD=AE·cos60°．即,t=4;③∠EFD=90°時(shí),此種情況不存在;綜上所述,當(dāng)秒或4秒時(shí),△DEF為直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)和判定,菱形與矩形之間的聯(lián)系,直角三角形的性質(zhì)和解直角三角形,綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算是解題關(guān)鍵．考點(diǎn)3：矩形的判定方法點(diǎn)撥：矩形的判定有三種方法：(1)定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.(2)對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.(3)有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.注意：在平行四邊形的前提下,加上"一個(gè)角是直角”或"對(duì)角線相等”都能判定平行四邊形是矩形.1．如圖,在中,于點(diǎn)E,延長(zhǎng)BC至點(diǎn)F,使,連接AF,DE,DF．(1)求證：四邊形AEFD為矩形;(2)若,,,求DF的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)【分析】(1)根據(jù)線段的和差關(guān)系可得BC＝EF,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AD∥BC,AD＝BC,即可得出AD＝EF,可證明四邊形AEFD為平行四邊形,根據(jù)AE⊥BC即可得結(jié)論;(2)根據(jù)矩形的性質(zhì)可得AF＝DE,可得△BAF為直角三角形,利用"面積法”可求出AE的長(zhǎng),即可得答案．(1)∵BE＝CF,∴BE+CE＝CF+CE,即BC＝EF,∵ABCD是平行四邊形,∴AD∥BC,AD＝BC,∴AD＝EF,∵AD∥EF,∴四邊形AEFD為平行四邊形,∵AE⊥BC,∴∠AEF＝90°,∴四邊形AEFD為矩形．(2)∵四邊形AEFD為矩形,∴AF＝DE＝4,DF=AE,∵,,,∴AB2+AF2＝BF2,∴△BAF為直角三角形,∠BAF＝90°,∴,∴AE=,∴．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)及勾股定理的逆定理,熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及判定定理是解題關(guān)鍵．2．已知：如圖,在?ABCD中,AE⊥BC,,點(diǎn)E,F分別為垂足．(1)求證：△ABE≌△CDF;(2)求證：四邊形AECF是矩形．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】(1)先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得,再根據(jù)垂直的定義可得,然后根據(jù)三角形全等的判定定理(定理)即可得證;(2)先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得,再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得,然后根據(jù)矩形的判定即可得證．(1)證明：四邊形是平行四邊形,,,,在和中,,．(2)證明：,,四邊形是平行四邊形,,,在四邊形中,,四邊形是矩形．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、三角形全等的判定定理、矩形的判定等知識(shí)點(diǎn),熟練掌握各判定定理與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．3．如圖,在Rt△ABC中,∠ABC＝90°,∠C＝30°,AC＝12cm,點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以每秒1cm的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA以每秒2cm的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(0＜t＜6),過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F．(1)試用含t的式子表示AE、AD、DF的長(zhǎng);(2)如圖①,連接EF,求證四邊形AEFD是平行四邊形;(3)如圖②,連接DE,當(dāng)t為何值時(shí),四邊形EBFD是矩形?并說明理由．【答案】(1)AE＝t,AD＝12﹣2t,DF＝t(2)見解析(3)3,理由見解析【分析】(1)根據(jù)題意用含t的式子表示AE、CD,結(jié)合圖形表示出AD,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)表示出DF;(2)根據(jù)對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明;(3)根據(jù)矩形的定義列出方程,解方程即可．(1)解：由題意得,AE＝t,CD＝2t,則AD＝AC﹣CD＝12﹣2t,∵DF⊥BC,∠C＝30°,∴DF＝CD＝t;(2)解：∵∠ABC＝90°,DF⊥BC,∴,∵AE＝t,DF＝t,∴AE＝DF,∴四邊形AEFD是平行四邊形;(3)解：當(dāng)t＝3時(shí),四邊形EBFD是矩形,理由如下：∵∠ABC＝90°,∠C＝30°,∴AB＝AC＝6cm,∵,∴BE＝DF時(shí),四邊形EBFD是平行四邊形,即6﹣t＝t,解得,t＝3,∵∠ABC＝90°,∴四邊形EBFD是矩形,∴t＝3時(shí),四邊形EBFD是矩形．【點(diǎn)睛】此題考查了30度角的性質(zhì),平行四邊形的判定及性質(zhì),矩形的定義,一元一次方程,三角形與動(dòng)點(diǎn)問題,熟練掌握四邊形的知識(shí)并綜合應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．4．下面是小東設(shè)計(jì)的"利用直角三角形和它的斜邊中點(diǎn)作矩形”的尺規(guī)作圖過程．已知：如圖,在Rt△ABC中,∠ABC＝90°,O為AC的中點(diǎn)．求作：四邊形ABCD,使得四邊形ABCD是矩形．作法：①作射線BO,以點(diǎn)O為圓心,OB長(zhǎng)為半徑畫弧,交射線BO于點(diǎn)D;②連接AD,CD．四邊形ABCD是所求作的矩形．根據(jù)小東設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程,(1)使用直尺和圓規(guī),依作法補(bǔ)全圖形(保留作圖痕跡);(2)完成下面的證明．證明：∵點(diǎn)O為AC的中點(diǎn),∴AO＝CO．又∵BO＝,∴四邊形ABCD是平行四邊形()(填推理的依據(jù))．∵∠ABC＝90°,∴□ABCD是矩形()(填推理的依據(jù))．【答案】(1)補(bǔ)全圖形見解析(2)OD,對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形,有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形．【分析】(1)根據(jù)題意畫圖即可;(2)根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形,得到四邊形ABCD是矩形,再結(jié)合一個(gè)角是直角,即可得證．(1)解：如圖,四邊形ABCD即為所求．(2)證明：∵點(diǎn)O為AC的中點(diǎn),∴AO＝CO．又∵BO＝OD,∴四邊形ABCD是平行四邊形(對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形),∵∠ABC＝90°,∴?ABCD是矩形(有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形)．故答案為：OD,對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形,有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的判定、平行四邊形的判定,對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形;有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形．5．已知：如圖,在菱形ABCD中,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,DE∥AC,AE∥BD．(1)求證：四邊形AODE是矩形;(2)若AB＝8,∠BCD＝120°,求四邊形AODE的面積．【答案】(1)見解析;(2)【分析】(1)由DE∥AC,AE∥BD,即可得四邊形AODE是平行四邊形,再由菱形的對(duì)角線相互垂直的性質(zhì)即可得平行四邊形AODE有一個(gè)角為直角,從而可得結(jié)論;(2)由題意可求得菱形兩對(duì)角線長(zhǎng),從而易得四邊形AODE的面積．【詳解】(1)∵DE∥AC,AE∥BD∴四邊形AODE是平行四邊形∵四邊形ABCD是菱形∴∠AOD=90゜∵DE∥AC∴∠EDO+∠AOD=180゜∴∠EDO=90゜∴平行四邊形AODE是矩形(2)∵四邊形ABCD是菱形,∠BCD=120゜∴AD=AB=CD=8,,OA=OC∴△ACD是等邊三角形∴AC=8∴在Rt△DOA中,由勾股定理得由(1)知,四邊形AODE是矩形∴四邊形AODE的面積為：【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定,菱形的性質(zhì),勾股定理,等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí),關(guān)鍵是菱形性質(zhì)的應(yīng)用．6．如圖,在四邊形ABCD中,ADBC,∠ABC＝∠ADC,對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O,AO＝BO,DE平分∠ADC交BC于點(diǎn)E,連接OE．(1)求證：四邊形ABCD是矩形;(2)若AB＝1,求OEC的面積．【答案】(1)見解析;(2)【分析】(1)證出∠BAD＝∠BCD,得出四邊形ABCD是平行四邊形,得出OA＝OC,OB＝OD,證出AC＝BD,即可解決問題;(2)作OF⊥BC于F,根據(jù)矩形的性質(zhì)得出BF=FC,由三角形中位線定理求出OF的長(zhǎng),由角的平分線的定義與∠ADC=90°求出EC的長(zhǎng),最后根據(jù)三角形面積公式進(jìn)行求解．【詳解】解：(1)∵AD∥BC,∴∠ABC+∠BAD＝180°,∠ADC+∠BCD＝180°,∵∠ABC＝∠ADC,∴∠BAD＝∠BCD,∴四邊形ABCD是平行四邊形,∴OA＝OC,OB＝OD,∵OA＝OB,∴AC＝BD,∴四邊形ABCD是矩形;(2)過點(diǎn)O作OF⊥BC于F,∵四邊形ABCD是矩形,∴CD=AB=1,∠BCD=90°,AO=CO,BO=DO,AC=BD,∴AO=BO=CO=DO,∴BF=FC,∴OF是△BDC的中位線,∴,∵DE平分∠ADC,∠ADC=90°,∴∠EDC=45°,∴∠DEC=180°-∠EDC-∠ECD=45°,∴在Rt△EDC中,EC=CD=1∴△OEC的面積．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的判定與性質(zhì),三角形中位線定理,角平分線的定義,等腰直角三角形的性質(zhì)與判定,通過巧作輔助線構(gòu)造三角形中位線是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)4：正方形的判定方法點(diǎn)撥：正方形的判定除定義外,判定思路有兩條：或先證四邊形是菱形,再證明它有一個(gè)角是直角或?qū)蔷€相等(即矩形);或先證四邊形是矩形,再證明它有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直(即菱形).1．在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DEC,其中點(diǎn)A,點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)D,點(diǎn)E,延長(zhǎng)AB交DE于F,連接FC．(1)若∠A＝30°,求證：AF⊥DE;(2)求證：FC平分∠EFA;(3)求證：EF+FB＝FC．【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)見解析．【分析】(1)由題意可知,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得,再結(jié)合對(duì)頂角相等得到,最后由三角形內(nèi)角和180°解題;(2)過點(diǎn)C作,垂足分別為M,N,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到△ABC△DEC,再由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的高相等證得,最后根據(jù)角平分線的判定解題;(3)證明四邊形FMCN是正方形,由△CNB△CME(AAS),推出EM=BN,即可解題．【詳解】證明：(1)△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DEC,(2)如圖,過點(diǎn)C作,垂足分別為M,N△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DEC,△ABC△DECFC平分∠EFA;(3),四邊形FMCN是矩形,CM=CN四邊形FMCN是正方形,△CNB△CME(AAS)EM=BNEF+FB=FM+EM+FN-BN=2FM=CF．【點(diǎn)睛】本題考查幾何變換綜合題,涉及旋轉(zhuǎn)變換、全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、直角三角形三邊關(guān)系等知識(shí),是重要考點(diǎn),難度一般,掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．2．如圖,△ABC中,點(diǎn)O是邊AC上一動(dòng)點(diǎn),過O作直線MN∥BC．設(shè)MN交∠ACB的平分線于點(diǎn)E,交∠ACB的外角平分線于點(diǎn)F．(1)當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),四邊形AECF為矩形?并說明理由;(2)在(1)的條件下,△ABC滿足什么條件時(shí),四邊形AECF是正方形?說明理由．【答案】(1)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC邊的中點(diǎn)時(shí),四邊形AECF為矩形,理由見解析;(2)△ABC為直角三角形,∠ACB=90°時(shí),四邊形AECF是正方形,理由見解析．【分析】(1)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC邊的中點(diǎn)時(shí),四邊形AECF為矩形;由角平分線的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)可得OE=OF,從而可得四邊形AECF是平行四邊形,再由OE、OF是互補(bǔ)的兩個(gè)角∠ACB、∠ACD的平分線,從而可得∠ECF為直角,因此可得四邊形AECF為矩形;(2)△ABC為直角三角形,∠ACB=90°時(shí),四邊形AECF是正方形;易證明AC⊥EF,從而可得四邊形AECF是正方形．【詳解】(1)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC邊的中點(diǎn)時(shí),四邊形AECF是矩形∵M(jìn)N交∠ACB的平分線于點(diǎn)E,交∠ACB的外角平分線于點(diǎn)F∴∠ACE=∠BCE=∠ACB∴∠ACF=∠DCF=∠ACD∵EF∥BC∴∠FEC=∠BCE,∠EFC=∠DCF∴∠ACE=∠FEC,∠ACF=∠EFC∴OE=OC,OF=OC∴OE=OF當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC邊的中點(diǎn)時(shí)OA=OC∴四邊形AECF為平行四邊形∵∠ECF=∠ACE+∠ACF=∠ACB+∠ACD=(∠ACB+∠ACD)=90°∴四邊形AECF為矩形(2)△ABC為直角三角形,∠ACB=90°時(shí),四邊形AECF是正方形∵∠ACB=90°∴AC⊥BC∵EF∥BC∴AC⊥EF∵四邊形AECF為矩形∴四邊形AECF是正方形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形和正方形的判定,平行線的性質(zhì),角平分線的性質(zhì)等知識(shí),運(yùn)用平行線的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)證明OE=OC,OF=OC從而OE=OF是關(guān)鍵．3．如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,過點(diǎn)C的直線MN∥AB,D為AB邊上一點(diǎn),過點(diǎn)D作DE⊥BC交直線MN于點(diǎn)E,垂足為F,連接CD,BE．(1)求證：CE=AD;(2)當(dāng)D為AB中點(diǎn)時(shí),四邊形BECD是什么特殊四邊形?請(qǐng)說明理由;(3)若D為AB中點(diǎn),則當(dāng)∠A等于多少度時(shí),四邊形BECD是正方形?請(qǐng)說明理由．【答案】(1)見解析;(2)四邊形BECD是菱形,理由見解析;(3)當(dāng)∠A=45°時(shí),四邊形BECD是正方形,理由見解析．【分析】(1)先求出四邊形ADEC是平行四邊形,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)推出即可;(2)求出四邊形BECD是平行四邊形,求出CD=BD,根據(jù)菱形的判定推出即可;(3)當(dāng)∠A=45°,四邊形BECD是正方形．【詳解】解：(1)∵∠ACB=90°,∴∠MCA+∠ECB=90°∵DE⊥BC,∴∠ECB+∠CED=90°∴∠MCA=∠CED,∴AC∥ED,∵M(jìn)N∥AB,∴四邊形ADEC是平行四邊形∴CE=AD;(2)四邊形BECD是菱形∵D為AB中點(diǎn),∴AD=BD,由(1)得CE=AD,∴BD=CE,又∵BD∥CE,∴四邊形BECD是平行四邊形,∵∠ACB=90°,D為AB中點(diǎn),∴CD=BD,∴四邊形BECD是菱形;(3)當(dāng)∠A=45°時(shí),四邊形BECD是正方形;∵∠ACB=90°∠A=45°,∴∠CBA=∠A=45°,∴AC=BC;∵D為BA中點(diǎn),∴CD⊥AB,∵四邊形BECD是菱形,∴四邊形BECD是正方形．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定,菱形的判定,正方形的判定、直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題,屬于中考?？碱}型．4．如圖1,在RtABC中,∠ACB＝90°,過點(diǎn)C的直線,D為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D不與點(diǎn)A、B重合),過點(diǎn)D作DE⊥BC,交直線MN于E,垂足為點(diǎn)F,連接CD,BE．觀察猜想：(1)在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中,CE與AD是否相等?請(qǐng)說明你的理由．探究說理：(2)如圖2,當(dāng)D運(yùn)動(dòng)到AB中點(diǎn)時(shí),請(qǐng)?zhí)骄肯铝袉栴}：①四邊形BECD是什么特殊四邊形?說明你的理由;②當(dāng)∠A的大小滿足什么條件時(shí),四邊形BECD是正方形?請(qǐng)說明你的理由．【答案】(1)相等,見解析;(2)①四邊形BECD是菱形,見解析;②當(dāng)∠A＝45°時(shí),四邊形BECD是正方形,見解析【分析】(1)證出AC∥DE,根據(jù)AD∥CE,得出四邊形ADEC是平行四邊形,即可得出結(jié)論;(2)①先證出BD＝CE,得出四邊形BECD是平行四邊形,再由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出CD＝AB＝BD,即可得出四邊形BECD是菱形;②當(dāng)∠A＝45°時(shí),△ABC是等腰直角三角形,由等腰三角形的性質(zhì)得出CD⊥AB,即可得出四邊形BECD是正方形．【詳解】解：(1)CE＝AD,∵DE⊥BC,∴∠DFB＝90°．∵∠ACB＝90°,∴∠ACB＝∠DFB,∴AC∥DE,∵M(jìn)N∥AB,即CE∥AD,∴四邊形ADEC是平行四邊形．∴CE＝AD．(2)①四邊形BECD是菱形,理由：∵D為AB中點(diǎn),∠ACB=90°,∴AD＝BD＝CD=AB．∵CE＝AD,∴BD＝CE．∵BD∥CE,∴四邊形BECD是平行四邊形．∵BD＝CD∴四邊形BECD是菱形;②當(dāng)∠A＝45°時(shí),四邊形BECD是正方形．理由：∵∠ACB＝90°,∠A＝45°,∴∠ABC＝∠A＝45°,∴AC＝BC．∵D為BA中點(diǎn),∴CD⊥AB,∴∠CDB＝90°,∵四邊形BECD是菱形;∴四邊形BECD是正方形．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線判定,平行四邊形的判定與性質(zhì)、正方形的判定、菱形的判定、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì);等腰直角三角形的三線合一性質(zhì),熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì),菱形,正方形判定,并能進(jìn)行推理論證是解決問題的關(guān)鍵．5．已知：如圖,在矩形ABCD中,M,N分別是邊AD,BC的中點(diǎn),E,F分別是線段BM,CM的中點(diǎn)．(1)求證：;(2)判斷四邊形MENF是什么特殊四邊形,并證明你的結(jié)論;(3)當(dāng)AD,AB滿足什么條件時(shí),四邊形MENF是正方形．【答案】(1)見解析;(2)菱形,見解析;(3)當(dāng)時(shí),四邊形MENF是正方形【分析】(1)根據(jù)矩形性質(zhì)利用SAS證明;(2)由中點(diǎn)性質(zhì)得,得到四邊形MENF是平行四邊形,再證得,即可得到結(jié)論;(3)當(dāng)時(shí),求出∠AMB=∠DMC=45°,得到∠BMC=90°,再由菱形得到結(jié)論．【詳解】(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形,∴,．又∵M(jìn)是AD的中點(diǎn),∴．在和中,∴．(2)四邊形MENF是菱形．證明：∵E,F,N分別是BM,CM,CB的中點(diǎn),∴,．∴四邊形MENF是平行四邊形．由(1)得,∴．∴四邊形MENF是菱形．(3)當(dāng)時(shí),四邊形MENF是正方形．理由：∵M(jìn)為AD中點(diǎn)∴．∵,∴．∵,∴．同理：．∴．∵四邊形MENF是菱形,∴四邊形MENF是正方形．【點(diǎn)睛】此題考查矩形的性質(zhì),菱形的判定定理及性質(zhì)定理,正方形的判定,熟記各定理并熟練應(yīng)用解決問題是解題的關(guān)鍵．6．如圖①,在矩形ABCD中,點(diǎn)E,F分別在AB,BC邊上,DE＝AF,且DE⊥AF交于點(diǎn)G．(1)求證：四邊形ABCD是正方形;(2)如圖②,在菱形ABCD中,點(diǎn)E,F分別在AB,BC邊上,DE與AF相交于點(diǎn)G,DE＝AF,∠AED＝60°,AE＝8,BF＝3,求DE的長(zhǎng)．【答案】(1)見詳解;(2)11．【分析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)得∠DAB＝∠B＝90°,由等角的余角相等可得∠ADE＝∠BAF,利用AAS可得△ADE≌△BAF(AAS),由全等三角形的性質(zhì)得AD＝AB,即可得四邊形ABCD是正方形;(2)延長(zhǎng)CB到點(diǎn)H,使BH＝AE＝8,連接AH,利用SAS可得△DAE≌△ABH(SAS),得到AH＝DE,∠AHB＝∠DEA＝60°,由已知DE＝AF可得AH＝AF,可得△AHF是等邊三角形,則AH＝HF＝HB+BF＝AE+BF＝8+3＝11,等量代換可得DE＝AH＝11．【詳解】解：(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形,∴∠DAB＝∠B＝90°,∵DE⊥AF,∴∠DAB＝∠AGD＝90°,∴∠BAF+∠DAF＝90°,∠ADE+∠DAF＝90°,∴∠ADE＝∠BAF,∵DE＝AF,∴△ADE≌△BAF(AAS),∴AD＝AB,∵四邊形ABCD是矩形,∴四邊形ABCD是正方形;(2)延長(zhǎng)CB到點(diǎn)H,使BH＝AE＝8,連接AH,∵四邊形ABCD是菱形,∴AD∥BC,AB＝AD,∴∠ABH＝∠BAD,∵BH＝AE,∴△DAE≌△ABH(SAS),∴AH＝DE,∠AHB＝∠DEA＝60°,∵DE＝AF,∴AH＝AF,∴△AHF是等邊三角形,∴AH＝HF＝HB+BF＝AE+BF＝8+3＝11,∴DE＝AH＝11．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題,考查了矩形、菱形的性質(zhì),正方形的判定,全等三角形的判定和性質(zhì),等腰三角形、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí),解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線,構(gòu)造全等三角形解決問題．考點(diǎn)5：中點(diǎn)四邊形方法點(diǎn)撥：(1)順次連接平行四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是平行四邊形.(2)順次連接矩形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是菱形.(3)順次連接菱形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是矩形.(4)順次連接正方形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是正方形.注意：新四邊形由原四邊形各邊中點(diǎn)順次連接而成.(1)若原四邊形的對(duì)角線互相垂直,則新四邊形是矩形.(2)若原四邊形的對(duì)角線相等,則新四邊形是菱形.(3)若原四邊形的對(duì)角線垂直且相等,則新四邊形是正方形.1．如圖,在四邊形中,,分別是,的中點(diǎn),,分別是對(duì)角線,的中點(diǎn),依次連接,,,,連接,．(1)求證：四邊形是平行四邊形;(2)當(dāng)時(shí),與有怎樣的位置關(guān)系?請(qǐng)說明理由;【答案】(1)見解析;(2)當(dāng)AB=CD時(shí),EF⊥GH,理由見解析【分析】(1)利用三角形的中位線定理可以證得四邊形EGFH的一組對(duì)邊平行且相等,即可證得;(2)根據(jù)菱形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：(1)證明：∵四邊形ABCD中,E、F、G、H分別是AD、BC、BD、AC的中點(diǎn),∴FG=CD,FG∥CD．HE=CD,HE∥CD．∴FG=EH,FG∥EH,∴四邊形EGFH是平行四邊形;(2)解：當(dāng)AB=CD時(shí),EF⊥GH,理由：由(1)知四邊形EGFH是平行四邊形,當(dāng)AB=CD時(shí),EH=CD,EG=AB,∴EG=EH,∴四邊形EGFH是菱形,∴EF⊥GH．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形中位線定理的應(yīng)用,平行四邊形和菱形的判定,掌握三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半和菱形的對(duì)角線互相垂直是解題的關(guān)鍵．2．我們給出如下定義：順次連接任意一個(gè)四邊形各邊中所得的四邊形叫中點(diǎn)四邊形．(1)如圖1,在四邊形ABCD中,點(diǎn)E,F,G,H分別為邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn),中點(diǎn)四邊形EFGH是．(2)如圖2,點(diǎn)P是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn),且滿足PA＝PB,PC＝PD,∠APB＝∠CPD,點(diǎn)E,F,G,H分別為邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn)．猜想中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀,并證明你的猜想．(3)若改變(2)中的條件,使∠APB＝∠CPD＝90°,其他條件不變,直接寫出中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀(不必證明)．【答案】(1)平行四邊形;(2)菱形,見解析;(3)正方形【分析】(1)連接BD,根據(jù)三角形中位線定理證明EH∥FG,EH=FG,根據(jù)平行四邊形的判定定理證明即可;(2)證明△APC≌△BPD,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AC=BD,再證明EF=FG,根據(jù)菱形的判定定理證明結(jié)論;(3)證明∠EHG=90°,利用△APC≌△BPD,得到∠ACP=∠BDP,即可證明∠COD=∠CPD=90°,再根據(jù)平行線的性質(zhì)證明∠EHG=90°,根據(jù)正方形的判定定理證明即可．【詳解】解：(1)如圖1,連接BD,∵點(diǎn)E,H分別為邊AB,DA的中點(diǎn),∴EH∥BD,EH=BD,∵點(diǎn)F,G分別為邊BC,CD的中點(diǎn),∴FG∥BD,FG=BD,∴EH∥FG,EH=GF,∴中點(diǎn)四邊形EFGH是平行四邊形,故答案為：平行四邊形;(2)結(jié)論：四邊形EFGH是菱形,理由：如圖2,連接AC,BD．∵∠APB=∠CPD,∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD,即∠APC=∠BPD,在△APC和△BPD中,,∴△APC≌△BPD(SAS),∴AC=BD,∵點(diǎn)E,F,G分別為邊AB,BC,CD的中點(diǎn),∴EF=AC,FG=BD,∴EF=FG,由(1)知中點(diǎn)四邊形EFGH是平行四邊形,∴平行四邊形EFGH是菱形;(3)結(jié)論：四邊形EFGH是正方形,理由：如圖2,設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O．AC與PD交于點(diǎn)M,∵△APC≌△BPD,∴∠ACP=∠BDP,∵∠DMO=∠CMP,∴∠COD=∠CPD=90°,∵EH∥BD,AC∥HG,∴∠EHG=∠DOC=90°,由(2)知中點(diǎn)四邊形EFGH是菱形,∴菱形EFGH是正方形．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行四邊形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、正方形的判定和性質(zhì),解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用三角形中位線定理,學(xué)會(huì)添加常用輔助線．3．已知：在矩形ABCD中,,．(1)如圖1,E、F、G、H分別是AD,AB,BC,CD的中點(diǎn)、求證：四邊形EFGH是菱形;(2)如圖2,若菱形EFGH的三個(gè)頂點(diǎn)E、F、H分別在AD,AB,CD上,．①連接BG,若,求AF的長(zhǎng);②設(shè),△GFB的面積為S,且S滿足函數(shù)關(guān)系式．在自變量m的取值范圍內(nèi),是否存在m,使菱形EPGH面積最大?若存在,請(qǐng)直接寫出菱形EFGH面積最大值,若不存在,請(qǐng)說明理由．【答案】(1)見解析;(2)①;②存在m=,菱形EFGH面積最大為【分析】(1)連接,,由、、、分別是,,,的中點(diǎn)可得,,,又,得,即結(jié)論得證;(2)①過點(diǎn)作延長(zhǎng)線于,根據(jù)證,得出,根據(jù)勾股定理求出,設(shè),則,再利用勾股定理求出即可;②延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于,由①知,同理可證,則菱形的面積矩形的面積的面積的面積的面積的面積,得出關(guān)于的關(guān)系式即可得出最大時(shí)菱形面積最大,當(dāng)與重合時(shí)有最大值,求出此時(shí)的值即可．【詳解】解：(1)連接,,、、、分別是,,,的中點(diǎn),,,四邊形是矩形,,,四邊形是菱形;(2)①如圖2,過點(diǎn)作延長(zhǎng)線于,,,,又,,,,,設(shè),則,,,即,解得,故;②如圖2,延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于,由已知可得,四邊形是矩形,由①知,同理可證,菱形的面積矩形的面積的面積的面積的面積的面積,,即,,,,,,,,當(dāng)取最大值時(shí)菱形面積最大,當(dāng)與重合時(shí)有最大值,即取到最大值,此時(shí),,當(dāng)時(shí),菱形面積最大為．【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì),菱形的性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),勾股定理等知識(shí)點(diǎn),熟練掌握矩形的性質(zhì),菱形的性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì)及勾股定理是解題的關(guān)鍵．4．如圖,兩個(gè)全等的直角三角形(△ABC和△ADC)按照斜邊重合擺放,E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)．(1)判斷并證明四邊形EFGH的形狀．(2)若∠BAC＝30°,AC＝6,求四邊形EFGH的面積．【答案】(1)矩形,證明見解析;(2)【分析】(1)連接BD,如圖,利用全等三角形的性質(zhì)得到AB＝AD,CB＝CD,則AC垂直平分BD,再利用三角形中位線性質(zhì)得到EF＝AC,EF∥AC,HG＝AC,HG∥AC,EH∥BD,EH＝BD,所以EF＝HG,EF∥HG,接著證明EF⊥EH,于是可判斷四邊形EFGH為矩形．(2)在Rt△ABC中先計(jì)算出,AB＝,再證明△ABD為等邊三角形得到BD＝AB＝,所以EH＝,而出EF＝3,然后利用矩形的面積公式計(jì)算．【詳解】解：(1)四邊形EFGH為矩形．理由如下：連接BD,如圖,∵△ABC≌△ADC,∴AB＝AD,CB＝CD,∴AC垂直平分BD,∵E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA的中點(diǎn),∴EF＝AC,EF∥AC,HG＝AC,HG∥AC,EH∥BD,EH＝BD,∴EF＝HG,EF∥HG,∴四邊形EFGH為平行四邊形,∵EF∥AC,EH∥BD,AC⊥BD,∴EF⊥EH,∴∠HEF＝90°,∴四邊形EFGH為矩形．(2)在Rt△ABC中,∵∠BAC＝30°,∴BC＝AC＝3,∴AB＝BC＝,∵∠DAC＝∠BAC＝30°,AB＝AD,∴△ABD為等邊三角形,∴BD＝AB＝,∴EH＝BD＝,∵EF＝AC＝3,∴四邊形EFGH的面積＝EH?EF＝×3＝．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的判定和性質(zhì),等邊三角形的判定和性質(zhì)．有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形．矩形的對(duì)邊相等．矩形的四個(gè)角都相等,且都為直角．矩形的對(duì)角線相等．有一個(gè)角是的等腰三角形是等邊三角形．5．四邊形ABCD中,點(diǎn)E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA邊的中點(diǎn),順次連接各邊中點(diǎn)得到的新四邊形EFGH稱為中點(diǎn)四邊形．(1)我們知道：無論四邊形ABCD怎樣變化,它的中點(diǎn)四邊形EFGH都是平行四邊形．特殊的：①當(dāng)對(duì)角線時(shí),四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形為__________形;②當(dāng)對(duì)角線時(shí),四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形是__________形．(2)如圖：四邊形ABCD中,已知,且,請(qǐng)利用(1)中的結(jié)論,判斷四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀并進(jìn)行證明．【答案】(1)①菱;②矩;(2)菱形,菱形見解析【分析】(1)①連接AC、BD,根據(jù)三角形中位線定理證明四邊形EFGH都是平行四邊形,根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明;②根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形證明;(2)分別延長(zhǎng)BA、CD相交于點(diǎn)M,連接AC、BD,證明,得到AC=DB,根據(jù)(1)①證明即可．【詳解】(1)解：(1)①連接AC、BD,∵點(diǎn)E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA邊的中點(diǎn),∴EH∥BD,FG∥BD,∴EH∥FG,同理EF∥HG,∴四邊形EFGH都是平行四邊形,∵對(duì)角線AC=BD,∴EH=EF,∴四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形是菱形;②當(dāng)對(duì)角線AC⊥BD時(shí),EF⊥EH,∴四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形是矩形;故答案為：菱;矩;(2)四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形EFGH是菱形．理由如下：分別延長(zhǎng)BA、CD相交于點(diǎn)M,連接AC、BD,∵,∴是等邊三角形,∴,,∵,∴,∴,,在和中,,∴,∴,∴四邊形ABCD的對(duì)角線相等,中點(diǎn)四邊形EFGH是菱形．【點(diǎn)睛】本題考查的是矩形、菱形的判定、中點(diǎn)四邊形的定義,掌握中點(diǎn)四邊形的概念、矩形的判定定理、菱形的判定定理是解題的關(guān)鍵．6．在四邊形中,的中點(diǎn)分別為P、Q、M、M;(1)如圖1,試判斷四邊形怎樣的四邊形,并證明你的結(jié)論;(2)若在上取一點(diǎn)E,連結(jié),,恰好和都是等邊三角形(如圖2)：①判斷此時(shí)四邊形的形狀,并證明你的結(jié)論;②當(dāng),,求此時(shí)四邊形的周長(zhǎng)(結(jié)果保留根號(hào))．【答案】(1)平行四邊形,理由見解析;(2)①菱形,證明見解析;②【分析】(1)連接、．利用三角形中位線定理判定四邊形的對(duì)邊平行且相等,易證該四邊形是平行四邊形;(2)①設(shè)的邊長(zhǎng)是,的邊長(zhǎng)是,由于,,可得平行四邊形的對(duì)角線相等,從而得出平行四邊形是菱形;②如圖2,過點(diǎn)作于,則通過解三角形求得,由勾股定理得到．由①知四邊形是菱形,可計(jì)算得周長(zhǎng)是．【詳解】解：(1)如圖1,連接、．為的中位線,且,同理且．且,四邊形為平行四邊形;(2)①四邊形是菱形,如圖2,連接AC,BD,∵△ADE和△BCE都是等邊三角形,∴AE=DE,CE=BE,∠AED=∠BEC=60°,∴∠AEC=∠DEB,∴△AEC≌△DEB,∴AC=BD,∵點(diǎn)M,N是AD,CD的中點(diǎn),∴MN是△ADC的中位線,∴MN=AC,同理：PN=BD,∴MN=PN,由(1)知,四邊形PQMN是平行四邊形,∴平行四邊形PQMN是菱形;②過點(diǎn)作于,則,又,,由①知四邊形是菱形,可計(jì)算得周長(zhǎng)是．【點(diǎn)睛】本題考查了中點(diǎn)四邊形以及菱形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì),解題時(shí),利用了三角形中位線的性質(zhì)定理．考點(diǎn)6：四邊形中的最值問題方法點(diǎn)撥：結(jié)合動(dòng)點(diǎn)的最值問題,解題思路是化"動(dòng)"為”靜",根據(jù)圖形,找特殊位置,靈活運(yùn)用有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題.在求線段的最值時(shí),轉(zhuǎn)化思想是常用思想,將所求線段轉(zhuǎn)化到其他線段上,通過點(diǎn)移動(dòng)的軌跡找特殊位置求出最值.步驟：(1)動(dòng)中求靜：在運(yùn)用變化中找出不變的量及相等的關(guān)系,得出相關(guān)的常量,并用含變量的代數(shù)式表示相關(guān)的量.(2)找特殊點(diǎn)(分類討論)：將變化的點(diǎn)按指定的運(yùn)動(dòng)路徑運(yùn)動(dòng)一遍,明確運(yùn)動(dòng)過程中的特殊位置以及可能出現(xiàn)的情況.(3)找等量關(guān)系：利用面積關(guān)系、全等三角形、勾股定理、特殊圖形的幾何性質(zhì)及相互關(guān)系等確定等量關(guān)系.(4)列方程：將相關(guān)的常量和含有變量的代數(shù)式代入等量關(guān)系建立方程,根據(jù)所列方程解決相關(guān)問題.1．如圖,在邊長(zhǎng)為2cm的正方形ABCD中,Q為BC邊的中點(diǎn),P為對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接PB,PQ,求△PBQ周長(zhǎng)的最小值．【答案】1＋．【分析】由于點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱,所以如果連接DQ,交AC于點(diǎn)P,由最短路徑問題模型知,此時(shí)△PBQ的周長(zhǎng)最小,△PBQ的周長(zhǎng)=BP+PQ+BQ=DQ+BQ．在Rt△CDQ中,由勾股定理先計(jì)算出DQ的長(zhǎng)度,再得出結(jié)果．【詳解】解：連接DQ,交AC于點(diǎn)P,連接PB、BD,BD交AC于O．∵四邊形ABCD是正方形,∴AC⊥BD,BO=OD,CD=2cm,∴點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱,∴BP=DP,∴BP+PQ=DP+PQ=DQ．在Rt△CDQ中,由勾股定理,得QD＝∴△PBQ的周長(zhǎng)的最小值為：BP+PQ+BQ=DQ+BQ=+1(cm)．【點(diǎn)睛】本圖主要考查了正方形的性質(zhì),軸對(duì)稱-最短路徑問題,同時(shí)也考查了勾股定理得應(yīng)用.是?？嫉幕绢}.2．如圖,正方形中,,是邊的中點(diǎn),點(diǎn)是正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),,連接,將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得,連接,.(1)若、、三點(diǎn)共線,求的長(zhǎng);(2)求的面積的最小值.【答案】(1)3;(2)【分析】(1)利用勾股定理求出AO長(zhǎng),易得AE長(zhǎng),由正方形的性質(zhì)利用SAS可證,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得結(jié)論;(2)過點(diǎn)作于點(diǎn),當(dāng)三點(diǎn)共線,最小,求出EH長(zhǎng),根據(jù)三角形面積公式求解即可.【詳解】(1)由旋轉(zhuǎn)得：,,∵是邊的中點(diǎn),∴.在中,.∴.∵四邊形是正方形,∴,,∴,即,∴.在和中∴.∴.(2)由于,所以點(diǎn)可以看作是以為圓心,2為半徑的半圓上運(yùn)動(dòng).過點(diǎn)作于點(diǎn).∵,∴當(dāng)三點(diǎn)共線,最小,.∴.【點(diǎn)睛】本題是正方形與三角形的綜合題,涉及的知識(shí)點(diǎn)主要有正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理,熟練的利用正方形的性質(zhì)證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.3．如圖,矩形的對(duì)角線,相交于點(diǎn),將沿所在直線折疊,得到．(1)求證：四邊形是菱形;(2)若,,是邊上的動(dòng)點(diǎn),是邊上的動(dòng)點(diǎn),那么的最小值是多少?【答案】(1)見解析;(2)【分析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)即可得到OC=OD,再根據(jù)翻折,即可得到四邊相等,即可求證菱形;(2)作于,交于,證明OP=PE,所以轉(zhuǎn)化為OP+PQ,當(dāng)時(shí),即OQ最短,即可解決．【詳解】解：(1)證明：四邊形是矩形與相等且互相平分關(guān)于的對(duì)稱圖形為,四邊形是菱形(2)解：作于,交于,則如圖所示：沿所在直線折疊,得到,在中,即的最小值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì),菱形的判定和最短路徑問題,熟練菱形的判定方法以及最短路徑的方法是解決本題的關(guān)鍵．4．如圖,矩形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,將△COD沿CD所在直線折疊,得到△CED．(1)求證：四邊形OCED是菱形;(2)若AB＝2,當(dāng)四邊形OCED是正方形時(shí),求OC的長(zhǎng);(3)若BD＝3,∠ACD＝30°,P是CD邊上的動(dòng)點(diǎn),Q是CE邊上的動(dòng)點(diǎn),求PE+PQ的最小值．【答案】(1)見解析;(2);(3)．【分析】(1)根據(jù)四邊相等的四邊形是菱形即可判斷．(2)矩形的性質(zhì)和勾股定理求解．(3)作OQ⊥CE于Q,交CD于P,此時(shí)PE+PQ的值最小,由折疊的性質(zhì)得出∠DCE＝∠DCO,PE＝PO,得出PE+PQ＝PO+PQ＝OQ,由直角三角形的性質(zhì)得出CQ＝,即可得到答案．【詳解】解：(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形,∴AC與BD相等且互相平分,∴OC＝OD,∵△COD關(guān)于CD的對(duì)稱圖形為△CED,∴OD＝ED,EC＝OC,∴OD＝ED＝EC＝OC,∴四邊形OCED是菱形．(2)解：∵四邊形ABCD是矩形,∴CD＝AB＝2．∵四邊形OCED是正方形,∴∠COD＝90°．在直角△COD中,由勾股定理得：OC2+OD2＝22,∵OD＝OC,∴OC＝;(3)解：作OQ⊥CE于Q,交CD于P,如圖所示：此時(shí)PE+PQ的值最小為;理由如下：∵△COD沿CD所在直線折疊,得到△CED,∴∠DCE＝∠DCO,PE＝PO,∴PE+PQ＝PO+PQ＝OQ,∵AC＝BD＝3,∴OC＝OD＝,∴∠DCO＝∠ACD＝30°,∴∠DCE＝30°,∴∠OCQ＝60°,∴∠COQ＝30°,∴CQ＝,即PE+PQ的最小值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了翻折變換的性質(zhì),矩形的性質(zhì),菱形的性質(zhì)與判定,正方形的判定,勾股定理以及垂線最短等知識(shí),熟練掌握翻折的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.5．【教材呈現(xiàn)】如圖是華師版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第77頁的部分內(nèi)容．【定理證明】(1)請(qǐng)根據(jù)教材內(nèi)容,結(jié)合圖①,寫出證明過程．【定理應(yīng)用】(2)如圖②,四邊形ABCD中,M、N、P分別為AD、BC、BD的中點(diǎn),邊BA、CD延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,∠E＝45°,則∠MPN的度數(shù)是．(3)如圖③,矩形ABCD中,AB＝4,AD＝3,點(diǎn)E在邊AB上,且AE＝3BE．將線段AE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周,得到線段AF,M是線段CF的中點(diǎn),直接寫出旋轉(zhuǎn)過程中線段BM長(zhǎng)的最大值和最小值．【答案】(1)見解析;(2)135°;(3)BM長(zhǎng)的最大值為4,最小值為1．【分析】(1)延長(zhǎng)DE至F,使EF=DE,連接CF,證明△AED≌△CEF,得到AD=CF,∠A=∠ACF,證明四邊形DBCF為平行四邊形,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明結(jié)論;(2)根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠MPD=∠ABD、∠NPD+∠PDC=180°,根據(jù)三角形的外角性質(zhì)計(jì)算,得到答案;(3)延長(zhǎng)CB至H,連接FH,AH,根據(jù)三角形中位線定理得到BM=FH,根據(jù)勾股定理求出AH,結(jié)合圖形計(jì)算,得到答案．【詳解】解：(1)延長(zhǎng)DE至F,使EF＝DE,連接CF,在△AED和△CEF中,∴△AED≌△CEF(SAS),∴AD＝CF,∠A＝∠ACF,∴AB∥CF,∵AD＝DB,∴BD＝CF,∴四邊形DBCF為平行四邊形,∴DF∥BC,DF＝BC,∴DE∥BC,DE＝BC;(2)解：∵M(jìn)、P分別為AD、BD的中點(diǎn),∴MP∥AB,∴∠MPD＝∠ABD,∵N、P分別為BC、BD的中點(diǎn),∴PN∥CD,∴∠NPD+∠PDC＝180°,∴∠NPD＝180°﹣∠PDC,∵∠PDC＝∠E+∠ABD,∴∠MPN＝∠MPD+∠NPD＝∠ABD+180°﹣∠E﹣∠ABD＝135°,故答案為：135°;(3)解：延長(zhǎng)CB至H,使連接FH,AH,∵CM＝MF,∴BM＝FH,由勾股定理得,AH＝＝5,當(dāng)點(diǎn)F在線段AH上時(shí),FH最小,最小值為5﹣3＝2,當(dāng)點(diǎn)F在線段HA的延長(zhǎng)線上時(shí),FH最大,最大值為5+3＝8,∴BM長(zhǎng)的最大值為4,最小值為1．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形中位線定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì),掌握相關(guān)的判定定理和性質(zhì)定理、正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．6．如圖,在平行四邊形中,,將平行四邊形沿過點(diǎn)的直線折疊,使點(diǎn)落到邊上的點(diǎn)處,折痕交邊于點(diǎn)．(1)求證：四邊形是菱形;(2)若點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),請(qǐng)作出使為最小值的點(diǎn),并計(jì)算．【答案】(1)見解析;(2)作圖見解析,【分析】(1)利用翻折變換的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)得出,進(jìn)而利用平行四邊形的判定方法得出四邊形是平行四邊形,進(jìn)而求出四邊形是平行四邊形,根據(jù)折疊的性質(zhì)得到,然后又菱形的判定定理即可得到結(jié)論;(2)由四邊形是平行四邊形,得到是菱形,推出與關(guān)于對(duì)稱,連接交于,則的長(zhǎng)即為的最小值,過作于,解直角三角形得到,,根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：證明：(1)將沿過點(diǎn)的直線折疊,使點(diǎn)落到邊上的點(diǎn)處,,,,,,,,四邊形是平行四邊形,,四邊形是平行四邊形,,,,,四邊形是平行四邊形;,,,,是菱形;(2)四邊形是菱形,與關(guān)于對(duì)稱,連接交于,則的長(zhǎng)即為的最小值,過作于,,,,,,,,的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì),最短距離問題,勾股定理,菱形的判定和性質(zhì),正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)7：四邊形中的折疊問題方法點(diǎn)撥：四邊形的折疊問題是指將四邊形按照某種方式折疊,然后在平面圖形內(nèi)按照要求完成相應(yīng)的計(jì)算和證明．折疊的本質(zhì)是圖形的軸對(duì)稱變換,折疊后的圖形與原圖形全等.1．如(圖1),矩形的邊、在坐標(biāo)軸上,點(diǎn)B坐標(biāo)為,點(diǎn)P是射線上的一動(dòng)點(diǎn),把矩形沿著折疊,點(diǎn)B落在點(diǎn)D處;(1)當(dāng)點(diǎn)C、D、A共線時(shí),=______;(2)如(圖2),當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí),與x軸交于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作,交于點(diǎn)F,請(qǐng)判斷四邊形的形狀,并說明理由;(3)若點(diǎn)D正好落在x軸上,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1);(2)菱形,見解析;(3)或【分析】(1)由翻折可以得到CD=CB=10,根據(jù)勾股定理可以求出AC=,點(diǎn)C、D、A共線時(shí),可知AD=AC-CD=;(2)根據(jù)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形,可得結(jié)論;(3)分兩種情況：①如圖3,點(diǎn)D在x軸正半軸上時(shí),易得△PAD∽△DOC,列比例式可得結(jié)論;②如圖4,當(dāng)D在x軸的負(fù)半軸上時(shí),易得△COD∽△DOP,同理可得結(jié)論．【詳解】解：(1)如圖1,∵矩形OABC,點(diǎn)B坐標(biāo)為(10,6),∴BC=10,AB=6,由勾股定理得：AC=由折疊得：CD=BC=10,當(dāng)點(diǎn)C、D、A共線時(shí),AD=AC-CD=故答案為：;(2)四邊形CEAF是菱形,理由是：由折疊得：∠FCA=∠ECA,∵AC⊥EF,∴EC=FC,∵CF∥AE,∴∠FCA=∠EAC,∴∠ECA=∠EAC,∴EC=AE∴AE=FC∵CFAE,∴四邊形CEAF為平行四邊形又∵AC⊥EF,∴四邊形CEAF是菱形;(3)分兩種情況：①如圖3,點(diǎn)D在x軸正半軸上時(shí),在Rt△COD中,OC=6,CD=10,∴OD=8,∴AD=10-8=2,∵∠PDC=90°,∴∠CDO+∠ADP=90°∵∠OCD+∠CDO=90°,∠ADP+∠DPA=90°∴∠CDO=∠DPA∴△PAD∽△DOC,∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為;②如圖4,當(dāng)D在x軸的負(fù)半軸上時(shí),CD=BC=10,OC=6由勾股定理得：OD=8,∵∠CDP=90°,∴∠CDO+∠ODP=∠ODP+∠DPA=90°,∴∠CDO=∠DPA,∵∠DOC=∠DAP,∴△COD∽△DAP,點(diǎn)P的坐標(biāo)為：;綜上所述,點(diǎn)P的坐標(biāo)為：或．【點(diǎn)睛】本題四邊形的綜合題,考查的是矩形的性質(zhì)、翻折變換、三角形全等的性質(zhì)和判定,掌握相關(guān)的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵,注意第三問,點(diǎn)P是射線BA上的一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)D在x軸上時(shí)有兩種情況,不要丟解．2．如圖①,在矩形中,點(diǎn)從邊的中點(diǎn)出發(fā),沿著勻速運(yùn)動(dòng),速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度,到達(dá)點(diǎn)后停止運(yùn)動(dòng),點(diǎn)是上的點(diǎn),,設(shè)的面積為,點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒,與的函數(shù)關(guān)系如圖②所示．(1)圖①中______,______,圖②中______．(2)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中,將矩形沿所在直線折疊,則為何值時(shí),折疊后頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在矩形的一邊上．【答案】(1)4,9,5;(2)或5或【分析】(1)由圖象得：時(shí),,當(dāng)時(shí),點(diǎn)在處,的面積,即可求解;(2)分點(diǎn)在邊上、點(diǎn)在邊上、點(diǎn)在邊上三種情況,分別求解即可．【詳解】解：(1)點(diǎn)從邊的中點(diǎn)出發(fā),速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度,,由圖象得：時(shí),,,,時(shí),,當(dāng)時(shí),點(diǎn)在處,的面積;故答案為：4,9,5;(2)分三種情況：①當(dāng)點(diǎn)在邊上,落在邊上時(shí),作于,如圖1所示：則,,四邊形是矩形,,,,由折疊的性質(zhì)得：,,,,,在△中,,,由勾股定理得：,解得：;②當(dāng)點(diǎn)在邊上,落在邊上時(shí),連接,如圖2所示：由折疊的性質(zhì)得：,,,,,,在中,由勾股定理得：,又,,解得：;③當(dāng)點(diǎn)在邊上,落在邊上時(shí),連接、,如圖3所示：同理可得：;綜上所述,為或5或時(shí),折疊后頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在矩形的一邊上．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目,考查了矩形的性質(zhì)、折疊變換的性質(zhì)、勾股定理、函數(shù)圖象、等腰三角形的判定、以及分類討論等知識(shí);本題綜合性強(qiáng),難度較大,注意分類討論．3．綜合與實(shí)踐折紙是同學(xué)們喜歡的手工活動(dòng)之一,通過折紙我們既可以得到許多美麗的圖形,同時(shí)折紙的過程還蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)知識(shí).折一折：把邊長(zhǎng)為4的正方形紙片ABCD對(duì)折,使邊AB與CD重合,展開后得到折痕EF.如圖①：點(diǎn)M為CF上一點(diǎn),將正方形紙片ABCD沿直線DM折疊,使點(diǎn)C落在EF上的點(diǎn)N處,展開后連接DN,MN,AN,如圖②(一)填一填,做一做：(1)圖②中,___________.線段___________.(2)圖②中,試判斷的形狀,并給出證明.剪一剪、折一折：將圖②中的剪下來,將其沿直線GH折疊,使點(diǎn)A落在點(diǎn)處,分別得到圖③、圖④.(二)填一填(3)圖③中,若,則_______________°【答案】(1),;(3)40【分析】(1)由折疊的性質(zhì)得,四邊形是矩形,得出,,,由折疊的性質(zhì)得出,,得出,得出,,因此,;(2)證明得出,即可得出是等邊三角形;(3)由折疊的性質(zhì)得出,,求出,得出,即可得出答案．【詳解】解：(1)由折疊的性質(zhì)得,四邊形是矩形,,,,將正方形紙片沿直線折疊,使點(diǎn)落在上的點(diǎn)處,,,,,,,;故答案為：,;(2)是等邊三角形,理由如下：在與中,,,,,是等邊三角形;(3)將圖②中的沿直線折疊,使點(diǎn)落在點(diǎn)處,,,,,,;故答案為：40．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目,考查了矩形的性質(zhì)、折疊變換的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí),熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．發(fā)現(xiàn)：(1)如圖一,在矩形ABCD中,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn),將△ABE沿AE折疊后得到△AFE,點(diǎn)F在矩形ABCD內(nèi)部,延長(zhǎng)AF交CD于點(diǎn)G．猜想線段GF與GC的數(shù)量關(guān)系是;探究：(2)如圖二,將(1)中的矩形ABCD改為平行四邊形,其它條件不變,(1)中的結(jié)論是否仍然成立?請(qǐng)說明理由．應(yīng)用：(3)如圖三,將(1)中的矩形ABCD改為正方形,邊長(zhǎng)AB＝8,其它條件不變,求線段GC的長(zhǎng)．【答案】(1)GF＝GC;(1)成立,理由見解析,(3)2．【分析】(1)如圖1,連接EG,利用矩形性質(zhì)和折疊性質(zhì)即可證明Rt△EFG≌Rt△ECG(HL),進(jìn)而得出答案．(2)如圖2,連接FC,運(yùn)用折疊的性質(zhì)和平行四邊形性質(zhì)即可證得∠GFC＝∠GCF,進(jìn)而得出GF＝GC．即(1)中的結(jié)論仍然成立．(3)由于正方形是特殊的平行四邊形,由(2)的結(jié)論可得GF＝GC,設(shè)GF＝GC＝x,則AG＝8+x,DG＝8﹣x,由勾股定理得AG2＝DG2+AD2,建立方程求解即可．【詳解】解：(1)GF＝GC;理由如下：如圖1,連接EG,∵四邊形ABCD是矩形,∴∠B＝∠C＝90°,∵E是BC的中點(diǎn),∴EB＝EC,∵將△ABE沿AE折疊后得到△AFE,∴∠AFE＝∠B＝90°,EF＝EB,∴∠EFG＝180°﹣∠AFE＝90°＝∠C,EF＝EC,∴Rt△EFG≌Rt△ECG(HL),∴GF＝GC;故答案為：GF＝GC．(2)(1)中的結(jié)論仍然成立.證明：如圖2,連接FC,∵E是BC的中點(diǎn),∴BE＝CE,∵將△ABE沿AE折疊后得到△AFE,∴BE＝EF,∠B＝∠AFE,∴EF＝EC,∴∠EFC＝∠ECF,∵四邊形ABCD為平行四邊形,∴∠B+∠ECD=180°,∵∠EFG+∠AFE＝∠EFG+∠B＝180°,∴∠ECD＝∠EFG,∴∠EFG﹣∠EFC＝∠ECG﹣∠ECF,∴∠GFC＝∠GCF,∴GF＝GC．即(1)中的結(jié)論仍然成立．(3)如圖3,∵正方形是特殊的平行四邊形,∴(2)中的GF＝GC仍然成立,設(shè)GF＝GC＝x,則AG＝8+x,DG＝8﹣x,在Rt△ADG中,AG2＝DG2+AD2,∴(8+x)2＝(8﹣x)2+82,解得：x＝2,即CG＝2．【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合題,主要考查了矩形的性質(zhì),正方形的性質(zhì),平行四邊形的性質(zhì),折疊的性質(zhì),勾股定理,全等三角形的判定和性質(zhì),解本題的關(guān)鍵是根據(jù)已知得出EF＝EC,∠EFC＝∠ECF是解決問題的關(guān)鍵．5．定義：有三個(gè)角相等的四邊形叫做三等角四邊形．(1)在三等角四邊形中,,則的取值范圍為_______;(2)如圖,折疊平行四邊形,使得頂點(diǎn)分別落在邊上的點(diǎn)處,折痕為．求證：四邊形為三等角四邊形;(3)如圖,在三等角四邊形中,,若,,,則的長(zhǎng)度為_______．【答案】(1);(2)見解析;(3)【分析】(1)根據(jù)四邊形的內(nèi)角和是360°,根據(jù)0＜∠D＜180°即可確定出∠A的范圍;(2)由平行四邊形的性質(zhì)可得∠E=∠F,且∠E+∠EBF=180°,根據(jù)折疊的性質(zhì)可得∠E=∠DAE,∠F=∠DCF,再根據(jù)等角的補(bǔ)角相等,判斷出∠DAB=∠DCB=∠ABC即可得結(jié)論;(3)如圖,過點(diǎn)D作DE//BC,交BA延長(zhǎng)線于E,作DF//AB,交BC延長(zhǎng)線于F,作DG⊥BE于G,DH⊥BF于H,可得四邊形DEBF是平行四邊形,根據(jù)及平行四邊形的性質(zhì)可得AD=DE=BF=,CD=DF=7,可求出AE的長(zhǎng),根據(jù)等腰三角形"三線合一”的性質(zhì)可得AG=EG=AE=1,CH=HF=CF,利用勾股定理可得DG的長(zhǎng),利用平行四邊形的面積可求出DH的長(zhǎng),利用勾股定理可求出CH的長(zhǎng),進(jìn)而求出CF的長(zhǎng),即可求出BC的長(zhǎng)．【詳解】(1)∵四邊形的內(nèi)角和為(4-2)×180°=360°,∴∠A+∠B+∠C+∠D=360°,∵,0＜∠D＜180°,∴180°＜3∠A＜360°,∴,故答案為：(2)∵四邊形為平行四邊形,∴,,∵折疊平行四邊形,使得頂點(diǎn)分別落在邊上的點(diǎn)處,∴DE=DA,DF=DC,∴,∵,,,∴,∴四邊形是三等角四邊形(3)如圖,過點(diǎn)D作DE//BC,交BA延長(zhǎng)線于E,作DF//AB,交BC延長(zhǎng)線于F,作DG⊥BE于G,DH⊥BF于H,∴四邊形DEBF是平行四邊形,∴DE=BF,DF=BE,∠B+∠E=180°,∠B+∠F=180°,∠E=∠F,∵∠DAB=∠B=∠BCD,∠DAE+∠DAB=180°,∠DCB+∠DCF=180°,∴∠DAE=∠E=∠DCF=∠F,∴AD=DE=BF=,CD=DF=7,∴AE=BE-AB=CD-AB=2,∵DG⊥BE,DH⊥BF,∴AG=EG=AE=1,CH=HF=CF,∴DG=,∴S平行四邊形DEBF=BE·DG=BF·DH,即7×5=DH,解得：DH=,∴CH==,∴CF=2CH=,∴BC=BF-CF=．故答案為：【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目,考查了三等角四邊形的判定與性質(zhì),翻折變換-折疊問題,四邊形的內(nèi)角和定理,平行四邊形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí);證明三角形全等和運(yùn)用勾股定理是解決問題的關(guān)鍵．6．如圖1,將矩形紙片的四個(gè)角向內(nèi)折疊,恰好拼成一個(gè)無縫隙、無重疊的四邊形,①求證：四邊形是矩形;②若,,求的長(zhǎng);(2)如圖2,將平行四邊形紙片的四個(gè)角向內(nèi)折疊,也能拼成一個(gè)無縫隙、無重疊的矩形,若,,,,求的長(zhǎng)．【答案】(1)①見解析;②;(2)【分析】(1)①由折疊可得出,根據(jù)矩形的判定定理可得結(jié)論;②由折疊的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)可得,即,進(jìn)而可證明,在中,利用勾股定理可得的長(zhǎng),即可求出的長(zhǎng)．(2)過點(diǎn)作于,過點(diǎn)作,交的延長(zhǎng)線于,結(jié)合(1)中的結(jié)論可得,,再由勾股定理可得,,,最后可求得的長(zhǎng)．【詳解】解：(1)①由折疊可知,,,,,同理可得,,四邊形是矩形;②由折疊可知,,,,,四邊形是矩形,,,,,,,,,,,,;(2)如圖2,過點(diǎn)作于,過點(diǎn)作,交的延長(zhǎng)線