2021年遼寧省大連市第三十一高級中學高二數(shù)學理月考試題含解析

2021年遼寧省大連市第三十一高級中學高二數(shù)學理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.對任意實數(shù)，，，在下列命題中，真命題是（

）A．是的必要條件

B．是的必要條件C．是的充分條件

D．是的充分條件參考答案：B2.已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，且a1=，a4=﹣1，則{an}的公比q為（）A．2 B．﹣ C．﹣2 D．參考答案：C【考點】等比數(shù)列．【分析】由已知的題意利用等比數(shù)列的通項公式建立關于公比的方程即可．【解答】由，故選C．3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入A的值為2，則輸出的P值為()A．2

B．3C．4

D．5參考答案：C4.設為正數(shù)，且，則下列各式中正確的一個是 （

）A.

B.

C.

D.參考答案：B略5.已知條件：，條件：<1，則是成立的

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既非充分也非必要條件參考答案：B6.設是三條不同的直線，是兩個不同的平面，則能使成立是()A．

B．C．

D．參考答案：C7.用輾轉相除法求294和84的最大公約數(shù)時，需要做除法的次數(shù)是(

)A1

B2

C3

D4參考答案：B略8.如果z＝m(m＋1)＋(m2－1)i為純虛數(shù)，則實數(shù)m的值為()A.1 B.0 C.－1 D.－1或1參考答案：B【分析】根據(jù)復數(shù)為純虛數(shù)的概念，得到復數(shù)的實部為0，并且虛部不為0求出m．【詳解】因為復數(shù)z=m（m+1）+（m2－1）i（i為虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，所以，解得m=0；故答案為：B．【點睛】本題考查了復數(shù)的基本概念；如果復數(shù)a+bi（a，b是實數(shù)）是純虛數(shù)，那么a=0并且b≠0．9.平面內一動點M到兩定點F1、F2距離之和為常數(shù)2a，則點M的軌跡為(

)A.橢圓

B.圓

C.橢圓或線段或不存在

D.不存在參考答案：C略10.復數(shù)（A）

（B）

（C）

(D)參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)的值域為

.參考答案：.12.若拋物線y2=2px的焦點與雙曲線﹣y2=1的右焦點重合，則拋物線上一點P（2，b）到拋物線焦點的距離是．參考答案：4【考點】拋物線的簡單性質；雙曲線的簡單性質．【分析】根據(jù)雙曲線方程可得它的右焦點坐標，結合拋物線y2=2px的焦點坐標得p=4，利用拋物線的定義，即可得出結論．【解答】解：∵雙曲線﹣y2=1中a2=3，b2=1∴c=2，得雙曲線的右焦點為F（2，0）因此拋物線y2=2px的焦點（，0）即F（2，0）∴=2，即p=4，∴拋物線上一點P（2，b）到拋物線焦點的距離是2+2=4故答案為4．13.設雙曲線（）的漸近線方程為,則該雙曲線的離心率為

參考答案：14.對任意的，都有成立，則實數(shù)a的取值范圍是

．參考答案：對原式子變形得到即故得到故答案為：.

15.方程表示曲線C，給出以下命題：①曲線C不可能為圓；

②若1<t<4，則曲線C為橢圓；③若曲線C為雙曲線，則t<1或t>4；④若曲線C為焦點在x軸上的橢圓，則1<t<.其中真命題的序號是____________(寫出所有正確命題的序號)．參考答案：略16.已知隨機變量,．則的值為

．參考答案：117.當滿足不等式組時，目標函數(shù)的最小值是

.

參考答案：-3略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.一緝私艇在A處發(fā)現(xiàn)在北偏東45°方向距離12海里的海面上C處有一走私船正以10海里/小時的速度沿東偏南15°方向逃竄，緝私艇的速度為14海里/小時。若要在最短的時間內追上該走私船，緝私艇應沿北偏東45°+α的方向去追，求追及所需時間和α角的正弦值。參考答案：解:

設A,C分別表示緝私艇,走私船的位置,設經過小時后在B處追上,

則有，

所以所需時間2小時,略19.（12分）在雅安發(fā)生地震災害之后，救災指揮部決定建造一批簡易房，供災區(qū)群眾臨時居住，房形為長方體，高2.5米，前后墻用2.5米高的彩色鋼板，兩側用2.5米高的復合鋼板，兩種鋼板的價格都用長度來計算（即鋼板的高均為2.5米，用長度乘以單價就是這塊鋼板的價格），每米單價：彩色鋼板為450元，復合鋼板為200元，房頂用其他材料建造，每平方米材料費為200元，每套房材料費控制在32000元以內。（1）設房前面墻的長為，兩側墻的長為，一套簡易房所用材料費為p，試用。（2）一套簡易房面積S的最大值是多少？當S最大時，前面墻的長度是多少？參考答案：解：（1）依題得，

（2）

又因為，解得

,，當且僅當時S取得

最大值。答：每套簡易房面積S的最大值是100平方米，當S最大時前面墻的長度是米。20.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=3n2+8n，{bn}是等差數(shù)列，且an=bn+bn+1（Ⅰ）求數(shù)列{bn}的通項公式；（Ⅱ）令cn=，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn．參考答案：【考點】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．【分析】（Ⅰ）求出數(shù)列{an}的通項公式，再求數(shù)列{bn}的通項公式；（Ⅱ）求出數(shù)列{cn}的通項，利用錯位相減法求數(shù)列{cn}的前n項和Tn．【解答】解：（Ⅰ）∵數(shù)列{an}的前n項和，∴a1=11．當n≥2時，．又∵an=6n+5對n=1也成立所以an=6n+5，{bn}是等差數(shù)列，設公差為d，則an=bn+bn+1=2bn+d．當n=1時，2b1=11﹣d；當n=2時，2b2=17﹣d由，解得d=3，所以數(shù)列{bn}的通項公式為；（Ⅱ）由，于是，，兩邊同乘以2，得．兩式相減，得==﹣n?2n+2．所以，．21.在平面直角坐標系xoy中，已知橢圓的焦點為（﹣，0）（，0），離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）若圓M：x2+（y﹣m）2=1上的點到橢圓上的點的最遠距離為+1，求m的值；（3）過坐標原點作斜率為k的直線l交橢圓于P、Q兩點，點N為橢圓上任意一點（異于點P，Q），設直線NP，NQ的斜率均存在且分別記為kNp，kNQ．證明：對任意k，恒有kNPkNQ=﹣．參考答案：（1）解：由題意得，解得a=2，b=1，∴橢圓方程為=1．（2）解：設圓M上任取一點S，橢圓上任取一點T，則ST≤MT+MS=MT+1，故轉化為求圓心M到橢圓上點T的距離的最大值，即MT的最大值，設T（x，y），則MT2=x2+（y﹣m）2，又∵點T在橢圓上，∴，∴MT2=x2+（y﹣m）2=﹣3y2﹣2my+m2+4（﹣1≤y≤1），當﹣，即m≥3，此時y=﹣1，MT2取到最大值為m2+2m+1，∴（m+1）2=5，解得m=﹣1?[3，+∞），舍去，當﹣，即m≤﹣3時，此時y=1，MT2取到最大值為m2﹣2m+1，∴（m﹣1）2=5，解得m=1?（﹣∞，﹣3]，舍去，當﹣1，即﹣3＜m＜3時，y=﹣，MT2取到最大值為，∴，解得，符合題意，∴m的值為±．（3）證明：根據(jù)題意知P，Q關于原點對稱，∴，，∴kNP?kNQ==，又點P，N在橢圓上，∴，兩式相減，得，∴對任意k，恒有kNPkNQ=﹣．考點：直線與圓錐曲線的綜合問題．專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題．分析：（1）由題意得，由此能求出橢圓方程．（2）原題轉化為求MT取最大值實數(shù)m的求解，設T（x，y），則MT2=x2+（y﹣m）2=﹣3y2﹣2my+m2+4（﹣1≤y≤1），由此利用分類討論思想能求出m的值．（3）由已知得kNP?kNQ==，由此能證明對任意k，恒有kNPkNQ=﹣．解答：（1）解：由題意得，解得a=2，b=1，∴橢圓方程為=1．（2）解：設圓M上任取一點S，橢圓上任取一點T，則ST≤MT+MS=MT+1，故轉化為求圓心M到橢圓上點T的距離的最大值，即MT的最大值，設T（x，y），則MT2=x2+（y﹣m）2，又∵點T在橢圓上，∴，∴MT2=x2+（y﹣m）2=﹣3y2﹣2my+m2+4（﹣1≤y≤1），當﹣，即m≥3，此時y=﹣1，MT2取到最大值為m2+2m+1，∴（m+1）2=5，解得m=﹣1?[3，+∞），舍去，當﹣，即m≤﹣3時，此時y=1，MT2取到最大值為m2﹣2m+1，∴（m﹣1）2=5，解得m=1?（﹣∞，﹣3]，舍去，當﹣1，即﹣3＜m＜3時，y=﹣，MT2取到最大值為，∴，解得，符合題意，∴m的值為±．（3）證明：根據(jù)題意知P，Q關于原點對稱，∴，，∴kNP?kNQ==，又點P，N在橢圓上，∴，兩式相減，得，∴對任意k，恒有kNPkNQ=﹣．點評：本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的實數(shù)值的求法，考查直線的斜率之積為定值的證明，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．22.在中，角所對的邊分別為，且滿足，．