高考數(shù)學(xué)二輪專題學(xué)與練 15 橢圓、雙曲線、拋物線（考點(diǎn)解讀）（含解析）

專題15橢圓、雙曲線、拋物線1.以客觀題形式考查圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓錐曲線的定義、離心率、焦點(diǎn)弦長(zhǎng)問(wèn)題、雙曲線的漸近線等，可能會(huì)與數(shù)列、三角函數(shù)、平面向量、不等式結(jié)合命題，若與立體幾何結(jié)合，會(huì)在定值、最值、定義角度命題．2.每年必考一個(gè)大題，相對(duì)較難，且往往為壓軸題，具有較高的區(qū)分度．平面向量的介入，增加了本部分高考命題的廣度與深度，成為近幾年高考命題的一大亮點(diǎn)，備受命題者的青睞，本部分還經(jīng)常結(jié)合函數(shù)、方程、不等式、數(shù)列、三角等知識(shí)結(jié)合進(jìn)行綜合考查．知識(shí)點(diǎn)一、橢圓、雙曲線、拋物線的定義及幾何性質(zhì)橢圓雙曲線拋物線定義|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)定點(diǎn)F和定直線l，點(diǎn)F不在直線l上，P到l距離為d，|PF|＝d標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸上eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)焦點(diǎn)在x軸上eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)焦點(diǎn)在x軸正半軸上y2＝2px(p>0)圖象幾何性質(zhì)范圍|x|≤a，|y|≤b|x|≥a，y∈Rx≥0，y∈R頂點(diǎn)(±a,0)，(0，±b)(±a,0)(0,0)對(duì)稱性關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對(duì)稱關(guān)于x軸對(duì)稱焦點(diǎn)(±c,0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))軸長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a，短軸長(zhǎng)2b實(shí)軸長(zhǎng)2a，虛軸長(zhǎng)2b幾何性質(zhì)離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\f(b2,a2))(0<e<1)e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))(e>1)e＝1準(zhǔn)線x＝－eq\f(p,2)通徑|AB|＝eq\f(2b2,a)|AB|＝2p漸近線y＝±eq\f(b,a)x二、誤區(qū)警示1．求橢圓、雙曲線方程時(shí)，注意橢圓中c2＝a2＋b2，雙曲線中c2＝a2－b2的區(qū)別．2．注意焦點(diǎn)在x軸上與y軸上的雙曲線的漸近線方程的區(qū)別．3．平行于雙曲線漸近線的直線與雙曲線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；平行于拋物線的軸的直線與拋物線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)．高頻考點(diǎn)一橢圓的定義及其方程例1．【2019年高考全國(guó)Ⅰ卷】已知橢圓C的焦點(diǎn)為，過(guò)F2的直線與C交于A，B兩點(diǎn)．若，，則C的方程為A． B．C． D．【答案】B【解析】法一：如圖，由已知可設(shè)，則，由橢圓的定義有．在中，由余弦定理推論得．在中，由余弦定理得，解得．所求橢圓方程為，故選B．法二：由已知可設(shè)，則，由橢圓的定義有．在和中，由余弦定理得，又互補(bǔ)，，兩式消去，得，解得．所求橢圓方程為，故選B．【變式探究】(2017·北京卷)已知橢圓C的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A(－2，0)，B(2，0)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為eq\f(\r(3),2).(1)求橢圓C的方程；(2)點(diǎn)D為x軸上一點(diǎn)，過(guò)D作x軸的垂線交橢圓C于不同的兩點(diǎn)M，N，過(guò)D作AM的垂線交BN于點(diǎn)E.求證：△BDE與△BDN的面積之比為4∶5.(1)解：設(shè)橢圓C的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,\f(c,a)＝\f(\r(3),2)，))解得c＝eq\r(3)，所以b2＝a2－c2＝1，所以橢圓C的方程為eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)設(shè)M(m，n)，則D(m，0)，N(m，－n)，由題設(shè)知m≠±2，且n≠0.直線AM的斜率kAM＝eq\f(n,m＋2)，故直線DE的斜率kDE＝－eq\f(m＋2,n)，所以直線DE的方程為y＝－eq\f(m＋2,n)(x－m)，直線BN的方程為y＝eq\f(n,2－m)(x－2)．聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(m＋2,n)（x－m），,y＝\f(n,2－m)（x－2），))解得點(diǎn)E的縱坐標(biāo)yE＝－eq\f(n（4－m2）,4－m2＋n2).由點(diǎn)M在橢圓C上，得4－m2＝4n2，所以yE＝－eq\f(4,5)n.又S△BDE＝eq\f(1,2)|BD|·|yE|＝eq\f(2,5)|BD|·|n|，S△BDN＝eq\f(1,2)|BD|·|n|，所以△BDE與△BDN的面積之比為4∶5.【變式探究】已知橢圓C1：+y2=1(m>1)與雙曲線C2：–y2=1(n>0)的焦點(diǎn)重合，e1，e2分別為C1，C2的離心率，則()A．m>n且e1e2>1B．m>n且e1e2<1C．m<n且e1e2>1D．m<n且e1e2<1【答案】A【解析】由題意知，即，由于m＞1，n＞0，可得m＞n，又=，故．故選A．【變式探究】已知橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(3，0)，過(guò)點(diǎn)F的直線交E于A，B兩點(diǎn)．若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)，則E的方程為()A.eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,36)＝1 B.eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,27)＝1C.eq\f(x2,27)＋eq\f(y2,18)＝1 D.eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1【解析】設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵A，B在橢圓上，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(xeq\o\al(2,1),a2)＋\f(yeq\o\al(2,1),b2)＝1，①,\f(xeq\o\al(2,2),a2)＋\f(yeq\o\al(2,2),b2)＝1②))①－②，得eq\f(（x1＋x2）（x1－x2）,a2)＋eq\f(（y1＋y2）（y1－y2）,b2)＝0，即eq\f(b2,a2)＝－eq\f(（y1＋y2）（y1－y2）,（x1＋x2）（x1－x2）)，∵AB的中點(diǎn)為(1，－1)，∴y1＋y2＝－2，x1＋x2＝2，而eq\f(y1－y2,x1－x2)＝kAB＝eq\f(0－（－1）,3－1)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,2).又∵a2－b2＝9，∴a2＝18，b2＝9.∴橢圓E的方程為eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1，故選D.【答案】D高頻考點(diǎn)二橢圓的幾何性質(zhì)例2．【2019年高考北京卷】已知橢圓SKIPIF1<0(a＞b＞0)的離心率為eq\f(1,2)，則A．a(chǎn)2=2b2 B．3a2=4b2C．a(chǎn)=2b D．3a=4b【答案】B【解析】橢圓的離心率SKIPIF1<0，化簡(jiǎn)得SKIPIF1<0，故選B.【變式探究】已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，是橢圓：的左焦點(diǎn)，分別為的左，右頂點(diǎn).為上一點(diǎn)，且軸.過(guò)點(diǎn)的直線與線段交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn).若直線經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)，則的離心率為()(A) (B) (C) (D)【答案】A【解析】由題意設(shè)直線的方程為，分別令與得，.設(shè)OE的中點(diǎn)為N，則，則，即，整理，得，所以橢圓C的離心率，故選A．【變式探究】已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的離心率為eq\f(\r(2),2)，點(diǎn)P(0，1)和點(diǎn)A(m，n)(m≠0)都在橢圓C上，直線PA交x軸于點(diǎn)M.(1)求橢圓C的方程，并求點(diǎn)M的坐標(biāo)(用m，n表示)；(2)設(shè)O為原點(diǎn)，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱，直線PB交x軸于點(diǎn)N.問(wèn)：y軸上是否存在點(diǎn)Q，使得∠OQM＝∠ONQ？若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．【解析】(1)由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝1，,\f(c,a)＝\f(\r(2),2)，,a2＝b2＋c2))解得a2＝2，故橢圓C的方程為eq\f(x2,2)＋y2＝1.設(shè)M(xM，0)．因?yàn)閙≠0，所以－1＜n＜1.直線PA的方程為y－1＝eq\f(n－1,m)x.所以xM＝eq\f(m,1－n)，即Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,1－n)，0)).(2)因?yàn)辄c(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱，所以B(m，－n)．設(shè)N(xN，0)，則xN＝eq\f(m,1＋n).“存在點(diǎn)Q(0，yQ)使得∠OQM＝∠ONQ”，等價(jià)于“存在點(diǎn)Q(0，yQ)使得eq\f(|OM|,|OQ|)＝eq\f(|OQ|,|ON|)”，即yQ滿足yeq\o\al(2,Q)＝|xM||xN|.因?yàn)閤M＝eq\f(m,1－n)，xN＝eq\f(m,1＋n)，eq\f(m2,2)＋n2＝1.所以yeq\o\al(2,Q)＝|xM||xN|＝eq\f(m2,1－n2)＝2.所以yQ＝eq\r(2)或yQ＝－eq\r(2).故在y軸上存在點(diǎn)Q，使得∠OQM＝∠ONQ，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(0，eq\r(2))或(0，－eq\r(2))．高頻考點(diǎn)三雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程例3．(2018·天津卷)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為2，過(guò)右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)．設(shè)A，B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2，且d1＋d2＝6，則雙曲線的方程為()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1 B.eq\f(x2,12)－eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(x2,3)－eq\f(y2,9)＝1 D.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,3)＝1【答案】C【解析】因?yàn)橹本€AB經(jīng)過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)且垂直于x軸，所以不妨取A(c，eq\f(b2,a))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，－\f(b2,a)))，取雙曲線的一條漸近線為直線bx－ay＝0，由點(diǎn)到直線的距離公式可得d1＝eq\f(|bc－b2|,\r(a2＋b2))＝eq\f(bc－b2,c)，d2＝eq\f(|bc＋b2|,\r(a2＋b2))＝eq\f(bc＋b2,c)，因?yàn)閐1＋d2＝6，所以eq\f(bc－b2,c)＋eq\f(bc＋b2,c)＝6，所以2b＝6，得b＝3.因?yàn)殡p曲線的離心率為2，所以eq\f(c,a)＝2，所以eq\f(a2＋b2,a2)＝4，即eq\f(a2＋9,a2)＝4，解得a2＝3，所以雙曲線的方程為eq\f(x2,3)－eq\f(y2,9)＝1，故選C.【變式探究】(2017·全國(guó)卷Ⅱ)若雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線被圓(x－2)2＋y2＝4所截得的弦長(zhǎng)為2，則C的離心率為()A．2 B.eq\r(3)C.eq\r(2) D.eq\f(2\r(3),3)【解析】取漸近線y＝eq\f(b,a)x，化成一般式bx－ay＝0，圓心(2，0)到直線的距離為eq\r(22－12)＝eq\f(|2b|,\r(a2＋b2))，又由c2＝a2＋b2得c2＝4a2，e2＝4，e＝2.【答案】A【變式探究】已知雙曲線(b>0)，以原點(diǎn)為圓心，雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為半徑長(zhǎng)的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A、B、C、D四點(diǎn)，四邊形的ABCD的面積為2b，則雙曲線的方程為()ABCD【答案】D【解析】根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)A在第一象限，，∴，∴，故雙曲線的方程為，故選D.【變式探究】若雙曲線E：eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線E上，且|PF1|＝3，則|PF2|等于()A．11 B．9 C．5 D．3【解析】由雙曲線定義||PF2|－|PF1||＝2a，∵|PF1|＝3，∴P在左支上，∵a＝3，∴|PF2|－|PF1|＝6，∴|PF2|＝9，故選B.【答案】B高頻考點(diǎn)四雙曲線的幾何性質(zhì)例4．【2019年全國(guó)Ⅱ卷】設(shè)F為雙曲線C：SKIPIF1<0的右焦點(diǎn)，SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，以SKIPIF1<0為直徑的圓與圓SKIPIF1<0交于P，Q兩點(diǎn)．若SKIPIF1<0，則C的離心率為A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】設(shè)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸交于點(diǎn)SKIPIF1<0，由對(duì)稱性可知SKIPIF1<0軸，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為以SKIPIF1<0為直徑的圓的半徑，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0點(diǎn)在圓SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，故選A．【變式探究】已知方程表示雙曲線,且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4,則n的取值范圍是()(A)(B)(C)(D)【答案】A【解析】由題意知：雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，所以，解得，因?yàn)榉匠瘫硎倦p曲線，所以，解得，所以的取值范圍是，故選A．【變式探究】已知A，B為雙曲線E的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，△ABM為等腰三角形，且頂角為120°，則E的離心率為()A.eq\r(5) B．2 C.eq\r(3) D.eq\r(2)【解析】如圖，設(shè)雙曲線E的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，則|AB|＝2a，由雙曲線的對(duì)稱性，可設(shè)點(diǎn)M(x1，y1)在第一象限內(nèi)，過(guò)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N(x1，0)，∵△ABM為等腰三角形，且∠ABM＝120°，∴|BM|＝|AB|＝2a，∠MBN＝60°，∴y1＝|MN|＝|BM|sin∠MBN＝2asin60°＝eq\r(3)a，x1＝|OB|＋|BN|＝a＋2acos60°＝2a.將點(diǎn)M(x1，y1)的坐標(biāo)代入eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，可得a2＝b2，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(a2＋b2,a2))＝eq\r(2)，選D.【答案】D高頻考點(diǎn)五拋物線的定義及方程例5．【2019年全國(guó)Ⅱ卷】若拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)是橢圓SKIPIF1<0的一個(gè)焦點(diǎn)，則p=A．2 B．3C．4 D．8【答案】D【解析】因?yàn)閽佄锞€SKIPIF1<0的焦點(diǎn)SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0的一個(gè)焦點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故選D．【變式探究】(2017·全國(guó)卷Ⅱ)過(guò)拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)F，且斜率為eq\r(3)的直線交C于點(diǎn)M(M在x軸的上方)，l為C的準(zhǔn)線，點(diǎn)N在l上且MN⊥l，則M到直線NF的距離為()A.eq\r(5) B．2eq\r(2)C．2eq\r(3) D．3eq\r(3)【解析】由題知MF：y＝eq\r(3)(x－1)，與拋物線y2＝4x聯(lián)立得3x2－10x＋3＝0，解得x1＝eq\f(1,3)，x2＝3，所以M(3，2eq\r(3))．因?yàn)镸N⊥l，所以N(－1，2eq\r(3))．又F(1，0)，所以直線NF的方程為y＝－eq\r(3)(x－1)．故點(diǎn)M到直線NF的距離是eq\f(|\r(3)（3－1）＋2\r(3)|,\r(（－\r(3)）2＋12))＝2eq\r(3).【答案】C【變式探究】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是以F為焦點(diǎn)的拋物線上任意一點(diǎn)，M是線段PF上的點(diǎn)，且=2,則直線OM的斜率的最大值為()(A)(B)(C)(D)1【答案】C【解析】設(shè)(不妨設(shè))，則，故選C.【變式探究】過(guò)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若|AF|＝3，則△AOB的面積為()A.eq\f(\r(2),2) B.eq\r(2) C.eq\f(3\r(2),2) D．2eq\r(2)【解析】設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由|AF|＝3及拋物線定義可得，x1＋1＝3，∴x1＝2.∴A點(diǎn)坐標(biāo)為(2，2eq\r(2))，則直線AB的斜率k＝eq\f(2\r(2)－0,2－1)＝2eq\r(2).∴直線AB的方程為y＝2eq\r(2)(x－1)，即為2eq\r(2)x－y－2eq\r(2)＝0，則點(diǎn)O到該直線的距離為d＝eq\f(2\r(2),3).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,y＝2\r(2)（x－1），))消去y得，2x2－5x＋2＝0，解得x1＝2，x2＝eq\f(1,2).∴|BF|＝x2＋1＝eq\f(3,2)，∴|AB|＝3＋eq\f(3,2)＝eq\f(9,2).∴S△AOB＝eq\f(1,2)|AB|·d＝eq\f(1,2)×eq\f(9,2)×eq\f(2\r(2),3)＝eq\f(3\r(2),2).【答案】C高頻考點(diǎn)六拋物線的幾何性質(zhì)例6．已知拋物線C：y2＝2x，過(guò)點(diǎn)(2，0)的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，圓M是以線段AB為直徑的圓．(1)證明：坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上；(2)設(shè)圓M過(guò)點(diǎn)P(4，－2)，求直線l與圓M的方程．(1)證明：設(shè)l：x＝my＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝2x，,x＝my＋2，))得y2－2my－4＝0，Δ＝4m2＋16恒大于0，y1＋y2＝2m，y1y2＝－4.eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝(my1＋2)(my2＋2)＋y1y2＝(m2＋1)y1y2＋2m(y1＋y2)＋4＝－4(m2＋1)＋2m·2m＋4＝0，所以eq\o(OA,\s\up6(→))⊥eq\o(OB,\s\up6(→))，即O在圓M上．(2)解：由(1)可得y1＋y2＝2m，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4＝2m2＋4.故圓心M的坐標(biāo)為(m2＋2，m)，圓M的半徑r＝eq\r(（m2＋2）2＋m2).由于圓M過(guò)點(diǎn)P(4，－2)，因此eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝0，故(x1－4)·(x2－4)＋(y1＋2)·(y2＋2)＝0，即x1x2－4(x1＋x2)＋y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0.由(1)可得y1y2＝－4，x1x2＝4，所以2m2－m－1＝0，解得m＝1或m＝－eq\f(1,2).當(dāng)m＝1時(shí)，直線l的方程為x－y－2＝0，圓心M的坐標(biāo)為(3，1)，圓M的半徑為eq\r(10)，圓M的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝10.當(dāng)m＝－eq\f(1,2)時(shí)，直線l的方程為2x＋y－4＝0，圓心M的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)，－\f(1,2)))，圓M的半徑為eq\f(\r(85),4)，圓M的方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(9,4)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(85,16).【變式探究】以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A、B兩點(diǎn),交C的準(zhǔn)線于D、E兩點(diǎn).已知|AB|=,|DE|=,則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為(A)2(B)4(C)6(D)8【答案】B【解析】如圖,設(shè)拋物線方程為,交軸于點(diǎn),則,即點(diǎn)縱坐標(biāo)為,則點(diǎn)橫坐標(biāo)為,即,由勾股定理知,,即,解得,即的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4,故選B.【變式探究】已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線過(guò)點(diǎn)(2，eq\r(3))，且雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線y2＝4eq\r(7)x的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為()A.eq\f(x2,21)－eq\f(y2,28)＝1 B.eq\f(x2,28)－eq\f(y2,21)＝1C.eq\f(x2,3)－eq\f(y2,4)＝1 D.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1【解析】雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，又漸近線過(guò)點(diǎn)(2，eq\r(3))，所以eq\f(2b,a)＝eq\r(3)，即2b＝eq\r(3)a，①拋物線y2＝4eq\r(7)x的準(zhǔn)線方程為x＝－eq\r(7)，由已知，得eq\r(a2＋b2)＝eq\r(7)，即a2＋b2＝7②，聯(lián)立①②解得a2＝4，b2＝3，所求雙曲線的方程為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1，選D.【答案】D1.【2019年全國(guó)Ⅲ卷】設(shè)SKIPIF1<0為橢圓C:SKIPIF1<0的兩個(gè)焦點(diǎn)，M為C上一點(diǎn)且在第一象限.若SKIPIF1<0為等腰三角形，則M的坐標(biāo)為___________.【答案】SKIPIF1<0【解析】由已知可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0(SKIPIF1<0舍去)，則M的坐標(biāo)為SKIPIF1<0．2.【2019年全國(guó)Ⅲ卷】雙曲線C：SKIPIF1<0=1的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在C的一條漸近線上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若SKIPIF1<0，則△PFO的面積為()A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又P在C的一條漸近線上，不妨設(shè)為在SKIPIF1<0上，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故選A．3．【2019年浙江卷】漸近線方程為x±y=0的雙曲線的離心率是A．SKIPIF1<0B．1C．SKIPIF1<0D．2【答案】C【解析】因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以雙曲線的離心率SKIPIF1<0.故選C.4．【2019年江蘇卷】在平面直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，若雙曲線SKIPIF1<0經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3，4)，則該雙曲線的漸近線方程是▲.【答案】SKIPIF1<0【解析】由已知得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0，所以雙曲線的漸近線方程為SKIPIF1<0.5.(2019·全國(guó)高考)若拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)是橢圓SKIPIF1<0的一個(gè)焦點(diǎn)，則p=()A．2B．3C．4D．8【答案】D【解析】因?yàn)閽佄锞€SKIPIF1<0的焦點(diǎn)SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0的一個(gè)焦點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故選D．1．(2018·全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)(－2,0)且斜率為eq\f(2,3)的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，則eq\o(FM,\s\up8(→))·eq\o(FN,\s\up8(→))＝()A．5 B．6C．7 D．8【答案】D【解析】由題意知直線MN的方程為y＝eq\f(2,3)(x＋2)．聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(2,3)x＋2，,y2＝4x，))消去y并整理，得x2－5x＋4＝0.解得xN＝1，xM＝4.所以yN＝2，yM＝4.又拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F(1,0)，所以eq\o(FM,\s\up8(→))＝(3,4)，eq\o(FN,\s\up8(→))＝(0,2)．所以eq\o(FM,\s\up8(→))·eq\o(FN,\s\up8(→))＝3×0＋2×4＝8.故選D.2．(2018·全國(guó)卷Ⅰ)已知雙曲線C：eq\f(x2,3)－y2＝1，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為C的右焦點(diǎn)，過(guò)F的直線與C的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為M，N.若△OMN為直角三角形，則|MN|＝()A.eq\f(3,2) B.3C．2eq\r(3) D．4【答案】B【解析】由已知得雙曲線的兩條漸近線方程為y＝±eq\f(1,\r(3))x.設(shè)兩條漸近線的夾角為2α，則有tanα＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，所以α＝30°.所以∠MON＝2α＝60°.又△OMN為直角三角形，由于雙曲線具有對(duì)稱性，不妨設(shè)MN⊥ON，如圖所示．在Rt△ONF中，|OF|＝2，則|ON|＝eq\r(3).在Rt△OMN中，|MN|＝|ON|·tan2α＝eq\r(3)·tan60°＝3.故選B.3．(2018·全國(guó)卷Ⅱ)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的離心率為eq\r(3)，則其漸近線方程為()A．y＝±eq\r(2)x B．y＝±eq\r(3)xC．y＝±eq\f(\r(2),2)x D．y＝±eq\f(\r(3),2)x【答案】A【解析】因?yàn)閑q\f(c,a)＝eq\r(3)，所以eq\f(a2＋b2,a2)＝3，所以eq\f(b,a)＝eq\r(2)，所以漸近線方程為y＝±eq\r(2)x.故選A.4．(2018·全國(guó)卷Ⅲ)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．過(guò)F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P.若|PF1|＝eq\r(6)|OP|，則C的離心率為()A.eq\r(5) B．2C.eq\r(3) D.eq\r(2)【答案】C【解析】設(shè)雙曲線C的一條漸近線的方程為bx－ay＝0，則直線PF2的方程為ax＋by－ac＝0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋by－ac＝0，,bx－ay＝0))可得Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,c)，\f(ab,c))).由F1(－c,0)及|PF1|＝eq\r(6)|OP|，得eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,c)＋c))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ab,c)))2)＝eq\r(6)×eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,c)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ab,c)))2)，化簡(jiǎn)得3a2＝c2，則e＝eq\r(3).故選C.5．(2018·天津卷)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的離心率為2，過(guò)右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)．設(shè)A，B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2，且d1＋d2＝6，則雙曲線的方程為()A.eq\f(x2,3)－eq\f(y2,9)＝1 B.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,3)＝1C.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1 D.eq\f(x2,12)－eq\f(y2,4)＝1【答案】A【解析】如圖，不妨設(shè)點(diǎn)A在點(diǎn)B的上方，則Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，－\f(b2,a))).其中的一條漸近線為bx－ay＝0，則d1＋d2＝eq\f(bc－b2＋bc＋b2,\r(a2＋b2))＝eq\f(2bc,c)＝2b＝6，所以b＝3.又由e＝eq\f(c,a)＝2知a2＋b2＝4a2，所以a＝eq\r(3).所以雙曲線的方程為eq\f(x2,3)－eq\f(y2,9)＝1.故選A.6．(2018·浙江卷)雙曲線eq\f(x2,3)－y2＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()A．(－eq\r(2)，0)，(eq\r(2)，0) B．(－2,0)，(2,0)C．(0，－eq\r(2))，(0，eq\r(2)) D．(0，－2)，(0,2)【答案】B【解析】因?yàn)閍2＝3，b2＝1，所以c2＝4，所以c＝2，又焦點(diǎn)在x軸上，所以B項(xiàng)正確．故選B.7．(2018·北京卷)若雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,4)＝1(a＞0)的離心率為eq\f(\r(5),2)，則a＝__________.【答案】4【解析】設(shè)焦距為2c，則eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),2)，即c2＝eq\f(5,4)a2.由c2＝a2＋4得eq\f(5,4)a2＝a2＋4，所以a2＝16，所以a＝4.8．(2018·全國(guó)卷Ⅰ)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,4)＝1的一個(gè)焦點(diǎn)為(2,0)，則C的離心率為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(2\r(2),3)【答案】C【解析】因?yàn)閍2＝b2＋c2＝4＋4＝8，所以a＝2eq\r(2)，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2).9．(2018·天津卷)設(shè)橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B.已知橢圓的離心率為eq\f(\r(5),3)，|AB|＝eq\r(13).(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線l：y＝kx(k＜0)與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，l與直線AB交于點(diǎn)M，且點(diǎn)P，M均在第四象限．若△BPM的面積是△BPQ面積的2倍，求k的值．【解析】(1)設(shè)橢圓的焦距為2c，由已知得eq\f(c2,a2)＝eq\f(5,9)，又由a2＝b2＋c2可得2a＝3b.由|AB|＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(13)，從而a＝3，b＝2，所以橢圓方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1.(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x1，y1)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x2，y2)，由題意，x2＞x1＞0，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(－x1，－y1)．由△BPM的面積是△BPQ面積的2倍可得|PM|＝2|PQ|，從而x2－x1＝2[x1－(－x1)]，即x2＝5x1.易知直線AB的方程為2x＋3y＝6，由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝6，,y＝kx))消去y可得x2＝eq\f(6,3k＋2).由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,9)＋\f(y2,4)＝1，,y＝kx))消去y可得x1＝eq\f(6,\r(9k2＋4)).由x2＝5x1可得eq\r(9k2＋4)＝5(3k＋2)，兩邊平方整理得18k2＋25k＋8＝0，解得k＝－eq\f(8,9)或k＝－eq\f(1,2).當(dāng)k＝－eq\f(8,9)時(shí)，x2＝－9＜0，不合題意，舍去；當(dāng)k＝－eq\f(1,2)時(shí)，x2＝12，x1＝eq\f(12,5)，符合題意，所以k的值為－eq\f(1,2).10．(2018·全國(guó)卷Ⅲ)已知斜率為k的直線l與橢圓C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M(1，m)(m＞0)．(1)證明：k＜－eq\f(1,2)；(2)設(shè)F為C的右焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且eq\o(FP,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＋eq\o(FB,\s\up6(→))＝0.證明：|eq\o(FA,\s\up6(→))|，|eq\o(FP,\s\up6(→))|，|eq\o(FB,\s\up6(→))|成等差數(shù)列，并求該數(shù)列的公差．【解析】(1)證明：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\f(x\o\al(2,1),4)＋eq\f(y\o\al(2,1),3)＝1，eq\f(x\o\al(2,2),4)＋eq\f(y\o\al(2,2),3)＝1.兩式相減，并由eq\f(y1－y2,x1－x2)＝k得eq\f(x1＋x2,4)＋eq\f(y1＋y2,3)·k＝0.由題設(shè)知eq\f(x1＋x2,2)＝1，eq\f(y1＋y2,2)＝m，于是k＝－eq\f(3,4m).①由題設(shè)得0＜m＜eq\f(3,2)，故k＜－eq\f(1,2).(2)由題意得F(1,0)．設(shè)P(x3，y3)，則(x3－1，y3)＋(x1－1，y1)＋(x2－1，y2)＝(0,0)．由(1)及題設(shè)得x3＝3－(x1＋x2)＝1，y3＝－(y1＋y2)＝－2m＜0.又點(diǎn)P在C上，所以m＝eq\f(3,4)，從而Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(3,2)))，|eq\o(FP,\s\up6(→))|＝eq\f(3,2)，于是|eq\o(FA,\s\up6(→))|＝eq\r(x1－12＋y\o\al(2,1))＝eq\r(x1－12＋3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x\o\al(2,1),4))))＝2－eq\f(x1,2).同理，|eq\o(FB,\s\up6(→))|＝2－eq\f(x2,2).所以|eq\o(FA,\s\up6(→))|＋|eq\o(FB,\s\up6(→))|＝4－eq\f(1,2)(x1＋x2)＝3.故2|eq\o(FP,\s\up6(→))|＝|eq\o(FA,\s\up6(→))|＋|eq\o(FB,\s\up6(→))|，即|eq\o(FA,\s\up6(→))|，|eq\o(FP,\s\up6(→))|，|eq\o(FB,\s\up6(→))|成等差數(shù)列．設(shè)該數(shù)列的公差為d，則2|d|＝||eq\o(FB,\s\up6(→))|－|eq\o(FA,\s\up6(→))||＝eq\f(1,2)|x1－x2|＝eq\f(1,2)eq\r(x1＋x22－4x1x2).②將m＝eq\f(3,4)代入①得k＝－1，所以l的方程為y＝－x＋eq\f(7,4)，代入C的方程，并整理得7x2－14x＋eq\f(1,4)＝0.故x1＋x2＝2，x1x2＝eq\f(1,28)，代入②解得|d|＝eq\f(3\r(21),28).所以該數(shù)列的公差為eq\f(3\r(21),28)或－eq\f(3\r(21),28).11.(2018·天津卷)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為2，過(guò)右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)．設(shè)A，B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2，且d1＋d2＝6，則雙曲線的方程為()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1 B.eq\f(x2,12)－eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(x2,3)－eq\f(y2,9)＝1 D.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,3)＝1【答案】C【解析】因?yàn)橹本€AB經(jīng)過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)且垂直于x軸，所以不妨取A(c，eq\f(b2,a))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，－\f(b2,a)))，取雙曲線的一條漸近線為直線bx－ay＝0，由點(diǎn)到直線的距離公式可得d1＝eq\f(|bc－b2|,\r(a2＋b2))＝eq\f(bc－b2,c)，d2＝eq\f(|bc＋b2|,\r(a2＋b2))＝eq\f(bc＋b2,c)，因?yàn)閐1＋d2＝6，所以eq\f(bc－b2,c)＋eq\f(bc＋b2,c)＝6，所以2b＝6，得b＝3.因?yàn)殡p曲線的離心率為2，所以eq\f(c,a)＝2，所以eq\f(a2＋b2,a2)＝4，即eq\f(a2＋9,a2)＝4，解得a2＝3，所以雙曲線的方程為eq\f(x2,3)－eq\f(y2,9)＝1，故選C.1.【2017課標(biāo)1，理10】已知F為拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，過(guò)F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A、B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D、E兩點(diǎn)，則|AB|+|DE|的最小值為A．16 B．14 C．12 D．10【答案】A【解析】設(shè)SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，聯(lián)立方程SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，同理直線SKIPIF1<0與拋物線的交點(diǎn)滿足SKIPIF1<0，由拋物線定義可知SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0(或SKIPIF1<0)時(shí)，取等號(hào).2．(2017·全國(guó)卷Ⅲ)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx－ay＋2ab＝0相切，則C的離心率為()A．eq\f(\r(6),3) B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(\r(2),3) D．eq\f(1,3)【答案】A【解析】以線段A1A2為直徑的圓的方程為x2＋y2＝a2，該圓與直線bx－ay＋2ab＝0相切，∴eq\f(|b×0－a×0＋2ab|,\r(b2＋－a2))＝a，即2b＝eq\r(a2＋b2)，∴a2＝3b2，∵a2＝b2＋c2，∴eq\f(c2,a2)＝eq\f(2,3)，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(6),3).3.【2017浙江，2】橢圓SKIPIF1<0的離心率是A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】SKIPIF1<0，選B．4.【2017天津，理5】已知雙曲線SKIPIF1<0的左焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，離心率為SKIPIF1<0.若經(jīng)過(guò)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0兩點(diǎn)的直線平行于雙曲線的一條漸近線，則雙曲線的方程為(A)SKIPIF1<0(B)SKIPIF1<0(C)SKIPIF1<0(D)SKIPIF1<0【答案】B【解析】由題意得SKIPIF1<0，選B.5.【2017北京，理9】若雙曲線SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，則實(shí)數(shù)m=_________.【答案】2【解析】SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.6.【2017課標(biāo)1，理】已知雙曲線C：SKIPIF1<0(a>0，b>0)的右頂點(diǎn)為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M、N兩點(diǎn).若∠MAN=60°，則C的離心率為________.【答案】SKIPIF1<0【解析】如圖所示，作SKIPIF1<0，因?yàn)閳AA與雙曲線C的一條漸近線交于M、N兩點(diǎn)，則SKIPIF1<0為雙曲線的漸近線SKIPIF1<0上的點(diǎn)，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，代入計(jì)算得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.7.【2017課標(biāo)3，理5】已知雙曲線C：SKIPIF1<0(a＞0,b＞0)的一條漸近線方程為SKIPIF1<0,且與橢圓SKIPIF1<0有公共焦點(diǎn)，則C的方程為A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】雙曲線C：SKIPIF1<0(a＞0,b＞0)的漸近線方程為SKIPIF1<0，橢圓中：SKIPIF1<0，橢圓，即雙曲線的焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，據(jù)此可得雙曲線中的方程組：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，則雙曲線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0.故選B.8.【2017山東，理14】在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的右支與焦點(diǎn)為的拋物線交于兩點(diǎn)，若，則該雙曲線的漸近線方程為.【答案】【解析】SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0漸近線方程為SKIPIF1<0.9.【2017課標(biāo)1，理20】已知橢圓C：SKIPIF1<0(a>b>0)，四點(diǎn)P1(1,1)，P2(0,1)，P3(–1，SKIPIF1<0)，P4(1，SKIPIF1<0)中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.(1)求C的方程；(2)設(shè)直線l不經(jīng)過(guò)P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1，證明：l過(guò)定點(diǎn).【答案】(1)SKIPIF1<0.(2)見(jiàn)解析?！窘馕觥?1)由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，故由題設(shè)知C經(jīng)過(guò)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn).又由SKIPIF1<0知，C不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P1，所以點(diǎn)P2在C上.因此SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故C的方程為SKIPIF1<0.(2)設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2，如果l與x軸垂直，設(shè)l：x=t，由題設(shè)知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，可得A，B的坐標(biāo)分別為(t，SKIPIF1<0)，(t，SKIPIF1<0).則SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，不符合題設(shè).從而可設(shè)l：SKIPIF1<0(SKIPIF1<0).將SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0得SKIPIF1<0由題設(shè)可知SKIPIF1<0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1+x2=SKIPIF1<0，x1x2=SKIPIF1<0.而SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.由題設(shè)SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.即SKIPIF1<0.解得SKIPIF1<0.當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，欲使l：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以l過(guò)定點(diǎn)(2，SKIPIF1<0)10.【2017山東，理21】在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：的離心率為，焦距為.(Ⅰ)求橢圓的方程；(Ⅱ)如圖，動(dòng)直線：交橢圓于兩點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，直線的斜率為，且，是線段延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，的半徑為，是的兩條切線，切點(diǎn)分別為.求的最大值，并求取得最大值時(shí)直線的斜率.【答案】(I).(Ⅱ)的最大值為，取得最大值時(shí)直線的斜率為.【解析】(I)由題意知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因此橢圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0.(Ⅱ)設(shè)SKIPIF1<0，聯(lián)立方程SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，由題意知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.由題意可知圓SKIPIF1<0的半徑SKIPIF1<0為SKIPIF1<0由題設(shè)知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0因此直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0.聯(lián)立方程SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0.由題意可知SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0最大值為SKIPIF1<0.綜上所述：SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0，取得最大值時(shí)直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0.11.【2017北京，理18】已知拋物線C：y2=2px過(guò)點(diǎn)P(1，1).過(guò)點(diǎn)(0，SKIPIF1<0)作直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)M，N，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線分別與直線OP，ON交于點(diǎn)A，B，其中O為原點(diǎn).(Ⅰ)求拋物線C的方程，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；(Ⅱ)求證：A為線段BM的中點(diǎn).【答案】(Ⅰ)方程為SKIPIF1<0，拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(SKIPIF1<0，0)，準(zhǔn)線方程為SKIPIF1<0.(Ⅱ)詳見(jiàn)解析.【解析】(Ⅰ)由拋物線C：SKIPIF1<0過(guò)點(diǎn)P(1，1)，得SKIPIF1<0.所以拋物線C的方程為SKIPIF1<0.拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(SKIPIF1<0，0)，準(zhǔn)線方程為SKIPIF1<0.(Ⅱ)由題意，設(shè)直線l的方程為SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)，l與拋物線C的交點(diǎn)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因?yàn)辄c(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，1)，所以直線OP的方程為SKIPIF1<0，點(diǎn)A的坐標(biāo)為SKIPIF1<0.直線ON的方程為SKIPIF1<0，點(diǎn)B的坐標(biāo)為SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故A為線段BM的中點(diǎn).12.【2017天津，理19】設(shè)橢圓SKIPIF1<0的左焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，右頂點(diǎn)為SKIPIF1<0，離心率為SKIPIF1<0.已知SKIPIF1<0是拋物線SKIPIF1<0的焦點(diǎn)，SKIPIF1<0到拋物線的準(zhǔn)線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0.(I)求橢圓的方程和拋物線的方程；(II)設(shè)SKIPIF1<0上兩點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0軸對(duì)稱，直線SKIPIF1<0與橢圓相交于點(diǎn)SKIPIF1<0(SKIPIF1<0異于點(diǎn)SKIPIF1<0)，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸相交于點(diǎn)SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，求直線SKIPIF1<0的方程.【答案】(Ⅰ)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(Ⅱ)SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0.【解析】(Ⅰ)解：設(shè)SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0.依題意，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0.所以，橢圓的方程為SKIPIF1<0，拋物線的方程為SKIPIF1<0.(Ⅱ)解：設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，與直線SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0聯(lián)立，可得點(diǎn)SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.將SKIPIF1<0與SKIPIF1<0聯(lián)立，消去SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0