微積分在生活中的應(yīng)用講課稿

微積分在生活中的應(yīng)用精品資料微積分在生活中的應(yīng)用（何杰東 陳新亮連冠才 施楠信工一班 北二830）一.摘要牛頓、萊布尼茲發(fā)明微積分以后，人們才有能力把握運(yùn)動(dòng)和過(guò)程。有了微積分，就有了工業(yè)革命，就有了大工業(yè)生產(chǎn)，也就有了現(xiàn)代化的社會(huì)。航天飛機(jī)、宇宙飛船等現(xiàn)代化交通工具都是在微積分的幫助下制造出來(lái)的。微積分在人類社會(huì)從農(nóng)業(yè)文明跨入工業(yè)文明的過(guò)程中起到了決定性的作用。微積分是為了解決變量的瞬時(shí)變化率而存在的。從數(shù)學(xué)的角度講，是研究變量在函數(shù)中的作用。從物理的角度講，是為了解決長(zhǎng)期困擾人們的關(guān)于速度與加速度的定義的問(wèn)題。 “變”這個(gè)字是微積分最大的奧義。因此，了解微積分在生活中的應(yīng)用對(duì)于我們解決實(shí)際問(wèn)題有很大的幫助。二．關(guān)鍵詞：物理，經(jīng)濟(jì)，應(yīng)用。三．引言：通過(guò)研究微積分在物理，經(jīng)濟(jì)等方面的具體應(yīng)用，得到微積分在現(xiàn)實(shí)生活中的重要意義，從而能夠利用微積分這一數(shù)學(xué)工具科學(xué)地解決問(wèn)題。獲取資料的途徑主要是互聯(lián)網(wǎng)。四（一）在物理中的應(yīng)用例1，研究物體做勻變速直線運(yùn)動(dòng)位移問(wèn)題時(shí)；對(duì)于勻速直線運(yùn)動(dòng)，位移和速度之間的關(guān)系我們都清楚,x=vt，但如果物體的速度大小時(shí)刻發(fā)生變化，那么物體的位移如何求解呢？此時(shí)，微積分就成了我們有利工具。我們可以把物體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間無(wú)限細(xì)分。在每一份時(shí)間內(nèi)，速度的變化量非常小，可以忽略這種微小變化，認(rèn)為物體在做勻速直線運(yùn)動(dòng)，因此僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除 謝謝2精品資料根據(jù)已有知識(shí)位移可求；接下來(lái)把所有時(shí)間內(nèi)的位移相加，即“無(wú)限求和”，則總的位移可以知道?，F(xiàn)在我們明白，物體在變速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)候的位移等于速度時(shí)間圖像與時(shí)間軸所圍圖形的面積；例2，研究勻速圓周向心加速度的方向問(wèn)題時(shí)；根據(jù)牛頓第二定律，我們可以知道勻速圓周運(yùn)動(dòng)加速度的方向指向圓心；同時(shí)利用極限思想，也可以加速度的方向。當(dāng)圓周上的兩個(gè)點(diǎn)無(wú)限靠近時(shí)，速度變化量也無(wú)限的小，因此由 VAVB△V圍成的等腰三角形的底角接近 90，因此速度變化量和速度垂直，而速度又和半徑垂直，因此，勻變速圓周運(yùn)動(dòng)中，加速度的方向始終指向圓心。例3.研究變力做功問(wèn)題時(shí)；對(duì)于恒力做功，我們可以利用公式直接求出；但對(duì)于變力，我們不能利用公式；這種情況下，我們要借助于微積分，我們可以把位移無(wú)限細(xì)分，在每一個(gè)小位移上，力的變化很小，可以看作是恒力，根據(jù)公式算出力所作的功；然后把每一個(gè)小位移上的功無(wú)限求和，那么就可以求出變力做的總功是多少。（二）在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用1.1邊際分析在經(jīng)濟(jì)分析中的的應(yīng)用1.1.1邊際需求與邊際供給設(shè)需求函數(shù)Q=f（p）在點(diǎn)p處可導(dǎo)（其中Q為需求量，P為商品價(jià)格），則其邊際函數(shù) Q ’=f ’(p)稱為邊際需求函數(shù)，簡(jiǎn)稱邊際需求。類似地，若供給函數(shù) Q=Q(P)可導(dǎo)（其中Q為供給量，P為商品價(jià)格），則其邊際函數(shù)Q=Q(p)稱為邊際供給函數(shù)，簡(jiǎn)稱邊際供給。1.1.2邊際成本函數(shù)僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除 謝謝3精品資料總成本函數(shù)C=C(Q)=C 0+C 1(Q)；平均成本函數(shù)=(Q)=C(Q)Q；邊際成本函數(shù)C ’=C ’(Q)．C ’(Q 0)稱為當(dāng)產(chǎn)量為Q 0時(shí)的邊際成本，其經(jīng)濟(jì)意義為：當(dāng)產(chǎn)量達(dá)到 Q 0時(shí)，如果增減一個(gè)單位產(chǎn)品，則成本將相應(yīng)增減C ’’(Q 0)個(gè)單位。1.1.3邊際收益函數(shù)總收益函數(shù)R=R(Q)；平均收益函數(shù)=(Q)；邊際收益函數(shù) R’=R’(Q)．R’(Q 0)稱為當(dāng)商品銷售量為 Q 0時(shí)的邊際收益。其經(jīng)濟(jì)意義為：當(dāng)銷售量達(dá)到Q 0時(shí)，如果增減一個(gè)單位產(chǎn)品，則收益將相應(yīng)地增減 R ’(Q0)個(gè)單位。1.1.4邊際利潤(rùn)函數(shù)利潤(rùn)函數(shù)L=L(Q)=R(Q)-C(Q);平均利潤(rùn)函數(shù);=(Q)邊際利潤(rùn)函數(shù)L’=L’(Q)=R’(Q)-C’(Q).L’(Q 0)稱為當(dāng)產(chǎn)量為Q 0時(shí)的邊際利潤(rùn)，其經(jīng)濟(jì)意義是：當(dāng)產(chǎn)量達(dá)到Q 0時(shí)，如果增減一個(gè)單位產(chǎn)品，則利潤(rùn)將相應(yīng)增減 L’(Q 0)個(gè)單位。例1某企業(yè)每月生產(chǎn)Q（噸）產(chǎn)品的總成本 C（千元）是產(chǎn)量 Q的函數(shù)，C(Q)=Q 2-10Q+20。如果每噸產(chǎn)品銷售價(jià)格 2萬(wàn)元，求每月生產(chǎn) 10噸、15噸、20噸時(shí)的邊際利潤(rùn)。解：每月生產(chǎn)Q噸產(chǎn)品的總收入函數(shù)為：R（Q）=20QL（Q）=R（Q）-C（Q）=20Q-（Q 2-1Q+20）=-Q 2+30Q-20L’(Q)=(-Q 2+30Q-20)’=-2Q+30僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除 謝謝4精品資料則每月生產(chǎn)10噸、15噸、20噸的邊際利潤(rùn)分別為L(zhǎng)’(10)=-2×10+30=10（千元/噸）；L’(15)=-2×15+30=0（千元/噸）；L’(20)=-2×20+30=-10（千元/噸）；以上結(jié)果表明：當(dāng)月產(chǎn)量為 10噸時(shí)，再增產(chǎn)1噸，利潤(rùn)將增加 1萬(wàn)元；當(dāng)月產(chǎn)量為 15噸時(shí)，再增產(chǎn)1噸，利潤(rùn)則不會(huì)增加；當(dāng)月產(chǎn)量為 20噸時(shí)，再增產(chǎn)1噸，利潤(rùn)反而減少 1萬(wàn)元。顯然，企業(yè)不能完全靠增加產(chǎn)量來(lái)提高利潤(rùn)，那么保持怎樣的產(chǎn)量才能使企業(yè)獲得最大利潤(rùn)呢？1.2彈性在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用1.2.1彈性函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，函數(shù)的相對(duì)改變量 yy=f(x+ x)-f(x)y與自變量的相對(duì)改變量 xx之比，當(dāng) x→0時(shí)的極限稱為函數(shù) y=f(x)在點(diǎn)x處的相對(duì)變化率，或稱為彈性函數(shù)。記為 EyEx?EyEx= lim δx→0yy xx= lim δx→0 y x．xy=f’(x)xf(x)在點(diǎn)x=x 0處，彈性函數(shù)值 Ef(x 0)Ex=f’(x 0)xf(x 0)稱為f（x）在點(diǎn)x=x 0處的彈性值，簡(jiǎn)稱彈性。 EE xf(x 0)%表示在點(diǎn)x=x0處，當(dāng)x產(chǎn)生1%的改變時(shí)，f（x）近似地改變EE xf(x 0)%。1.2.2需求彈性經(jīng)濟(jì)學(xué)中，把需求量對(duì)價(jià)格的相對(duì)變化率稱為需求彈性。僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除 謝謝5精品資料對(duì)于需求函數(shù)Q=f（P）(或P=P（Q）)，由于價(jià)格上漲時(shí)，商品的需求函數(shù)Q=f(p)（或P=P(Q)）為單調(diào)減少函數(shù)， P與Q異號(hào)，所以特殊地定義，需求對(duì)價(jià)格的彈性函數(shù)為η(p)=-f’(p)pf(p)例2設(shè)某商品的需求函數(shù)為 Q=e -p5 ，求(1)需求彈性函數(shù)；(2)P=3,P=5,P=6時(shí)的需求彈性。解：(1)η(p)=-f’(p)pf(p)=-(-15)e -p5 .pe -p5 =p5；(2)η(3)=35=0.6;η(5)=55=1;η(6)=65=1.2η(3)=0.6<1，說(shuō)明當(dāng)P=3時(shí)，價(jià)格上漲1%，需求只減少0.6%，需求變動(dòng)的幅度小于價(jià)格變動(dòng)的幅度。η(5)=1，說(shuō)明當(dāng)P=5時(shí)，價(jià)格上漲1%，需求也減少 1%，價(jià)格與需求變動(dòng)的幅度相同。五．結(jié)論從以上的例題解決的實(shí)際問(wèn)題中，我們